高中數(shù)學不等式知識點

1、不等式知識點歸納：一、不等式的概念與性質(zhì)1、實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系：a b a b 0 a b a b 0 a b a b 02、不等式的性質(zhì):1abb aa bb a反對稱性2ab, bca c；，ab, b ca c 傳遞性3aba cbc，故ab ca c b 移項法那么推論:ab,cdac b d同向不等式相加4ab, c0acbc， ab,c 0ac bc推論1：a b0,cd0 acbd推論2：a b0n abn推論3：a b0n an b不等式的性質(zhì)是解、證不等式的根底，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟 練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學會對不等式進行條件的放寬和加強

2、。3、常用的根本不等式和重要的不等式1aR,a20, a 0當且僅當a 0,取“2a,bR,那么 a2 b22ab3a,bR，那么 a b2 ab4a；b2a2b2兩個正數(shù)的均值不等式：al . ab 三個正數(shù)的均值不等是：a b C 3 abc3n個正數(shù)的均值不等式： 彳一a2an n a-ia2 ann6 四種均值的關(guān)系：兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、 均方根之間的關(guān)系是aba b a2 b22 2小結(jié)：在不等式的性質(zhì)中，要特別注意下面 4點：1 、不等式的傳遞性：假設(shè)ab,bc,那么ac,這是放縮法的依據(jù)，在運用傳遞性時，要注意不等式的方向，否那么易產(chǎn)生這樣的錯誤：

3、為證明ac,選擇中間量b,在證出ab,cb,后，就誤認為能得到ac。2 、同向不等式可相加但不能相減，即由 ab,cd，可以得出a+cb+d, 但不能得acb do3 、不等式兩邊同時乘以一個數(shù)或式時，只有該數(shù)或式保證為正，才能得到同向的不等式，否那么不能保證所乘之數(shù)或式為正，那么不等式兩邊同時乘以該數(shù)或 式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時，也要特別注意不等式的 兩邊必須是正。不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，在數(shù)學中，諸如集合問題，方程(組)的解的討 論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域確實定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解 析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多

4、問題， 最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。二、不等式的證明方法1比擬法：作差比擬：A B 0 AB 作差比擬的步驟： 作差：對要比擬大小的兩個數(shù)或式作差。 變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)或式的完全平方和。 判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。注意：假設(shè)兩個正數(shù)作差比擬有困難，可以通過它們的平方差來比擬大小。2綜合法：由因?qū)Ч傻牟坏仁匠霭l(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不 等式，直到推導出前面的不等式。常用的根本不等式有均值不等式；假設(shè)a a ma,b, m 0， a b，貝U; 假設(shè) a,b R，那么 |a | |b|a b|a| | b |;b b mnnn 柯西不等式(

5、aibi)2( a2)( bi2)i 1i 1i 13分析法：執(zhí)果索因根本步驟：要證只需證，只需證 “分析法證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。 “分析法證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以 利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法進行表達。4反證法：正難那么反直接證明難，就用反證。5放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的放縮法的方法有： 添加或舍去一些項，如：Ja2 1 |a ； vn(n 1) n ； 將分子或分母放大或縮小 利用根本不等式，如：Iog3lg5 (lg 3 lg5)2 lg J5 Ig . 16 Ig 4 ；.n(n 1)n

6、(n1)2利用常用結(jié)論：I、k1. k1、k1. kn111 1k2k(k 1)k1 k川、111k2k2 1(k1)(k 1)12“k ；1 1 11 程度大k 1k2k(k 1) k丄(11 )；程度小2 k 1 k 16換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為 簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。女口：x22ya2，可設(shè)xa cos ,yasin ;x22 y1，可設(shè)xr cos , yr sin (0 r 1);2 x2 a2yb21，可設(shè)xa cos , ybsin ；2與a2yb21，可設(shè)xa sec ,yb tan ；7構(gòu)造法:通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向

7、量或不等式來證明不等式;證明不等式的方法靈活多樣，但比擬法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法 仍是 證明不等式的最根本方法。要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當 的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特 點。數(shù)學歸納法法證明不等式將在數(shù)學歸納法中專門研究。 例 1 a，b R,且 a+b=1。 求證：a 22 b 2 225。證法一：比擬法aaR2a22證法二:(1a)222922522a22a 2(a2當且僅當a2)2 0i-時，取等號。分析法2 B252a2b24(ab)8 25b 1 a2 以 、225,1、2 ca (1a)4 8(a )02 2因為顯

8、然成立，所以原不等式成立。點評：分析法是根本的數(shù)學方法，使用時，要保證“后一步是“前一步的 充分條件。證法三：綜合法由上分析法逆推獲證略。證法四：反證法假設(shè)(a 2)2 (b 2)225a2 b24( a b) 825由 a+b=1，得 b1 a1所以(a 1)20，2這與 a -0矛盾2所以a 22b 2 2證法五：放縮法t于是有oaI左邊=2252b2 2a (1 a)12252IT二右邊。a2 b22口2點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用根本不等式證法六：均值換元法12所以可設(shè)左邊=(22 1 2 t 1 2) (2 t 2)當且僅當252t=0時，等號成立。2t

9、2 25竺二右邊2 2點評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元 證法七：利用一元二次方程根的判別式法2 2設(shè) y=(a+2) +(b+2)，13,由 a+b=1,有 y (a 2)2(3 a)2 2a2 2a所以 2a2 2a 13因為a R，所以4 4 2 (13 y)0，即25y 7。25 孑。例 2 a,b, c0，求證：bcaac abb cbab)2(a b c) b c利用均值不等式，我們可以得到證：匹匹2C,同樣地, a bc ac2(-aaba bc丄)9。y證:11(1 )(1 -) (1xy7(1x2 yx y a,b,c 0,a，求3a 1 3b 1-3c

10、1的最大值。解：由題可得.3a 11 2當且僅當3a 112即a -時等式成立。3同理，可得.2. 3a、3c 1)3(a b c) 9 g故而可知其最大值為6.例5x y z1，求證x2證：令x2 y2 z21 |(3 3例6n是正整數(shù),求證:1：13i23133Jn33證：當n 2時，有1n32(n 1), n1 2(1(、n , n 1) n于是1：i3133112(11) 2( 11)2( 12)2( .23)2(. n 1 n1 1)3 2 3.n小結(jié)：1、掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的 性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面。

11、如與數(shù) 列的結(jié)合，與“二次曲線的結(jié)合，與“三角函數(shù)的結(jié)合，與“一元二次方程， 一元二次不等式、二次函數(shù)這“三個二次間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制 約，這些也是近年命題的重點。2、 在不等式證明中還要注意數(shù)學方法，如比擬法包括比差和比商、分析 法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法等，還要注意一些數(shù)學技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等。3、比擬法是證明不等式最常用最根本的方法當欲證的不等式兩端是多項式 或分式時，常用差值比擬法 當欲證的不等式兩端是乘積的形式或幕指不等式時 常用商值比擬法，即欲證a b,(a 0,b 0)可證-1b4、根本思想、根本方法：用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想

12、的換元的根本 方法。用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決 數(shù)學問題的一種重要的數(shù)學思想方法?！胺治龇ㄗC明不等式就是“執(zhí)果索因，從所證的不等式出發(fā)，不斷利 用充分條件或者充要條件替換前面的不等式， 直至找到顯然成立的不等式，書寫 方法習慣上用“來表達 分析法是數(shù)學解題的兩個重要策略原那么的具體運用，兩個重要策略原那么是：正難那么反原那么：假設(shè)從正面考慮問題比擬難入手時，那么可考慮從相反方向去 探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯。簡單化原那么：尋求解題思路與途徑，常把較復雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題， 在證明較復雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不

13、斷地進行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式。但凡“至少、“唯一或含有否認詞的命題適宜用反證法。換元法主要指三角代換法多用于條件不等式的證明，此法假設(shè)運用恰 當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題。含有兩上字母的不等式，假設(shè)可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的 二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件。有些不等式假設(shè)恰當?shù)剡\用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做 到有的放矢，注意放縮適度。三、解不等式1、解不等式問題的分類(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式； 解

14、分式不等式； 解無理不等式； 解指數(shù)不等式； 解對數(shù)不等式； 解帶絕對值的不等式； 解不等式組2、解不等式時應(yīng)特別注意以下幾點：(1)正確應(yīng)用不等式的根本性質(zhì)正確應(yīng)用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3、不等式的同解性(1)f(x) g(x) 0與f(x) 0 或 g(x) 0 或f(x) v 0g(x) v 0同解.(2)f(x) g(x) v 0與f(x) 0 或 g(x) v 0 口f(x) v 0同解.g(x) 0f(x) 0 或 g(x) 0 g爲同解.(g(x)豐 0)、f(x)- g(x)(5) |f(x)|(6) |f(x)| f(x)f(x

15、) 0 或g(x)v 0 或v g(x)與g(x) v f(x) g(x)與 g(x)或 f(x) v g(x)( f(x) g(x)2f(x) v 0 同解.g(x) 0v g(x)(g(x)豐 0)同解.(g(x) 0)其中 g(x) 0) ； g(x) v 0 同解f(x) 0(7)f(x) g(x)與 f(x) 0 或同解.g(x)v 0g(x) 0f(x) v g(x) 2(8) f(x) v g(x)與 f(x) 0 同解.(9) 當 a 1 時，af(x) ag(x)與 f(x) g(x)同解, 當 0 v a v 1 時，af(x) ag(x)與 f(x) v g(x)同解.(

16、10) 當 a 1 時，logaf(x) log ag(x)與：同解.f(x) 0f(x) v g(x)當0 v av 1 時,logaf(x) logag(x)與 f(x) 0 同解.g(x) 04、零點分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法步驟：形式： 巴勺 0 移項，通分(不輕易去 分母)Q(x) 首項系數(shù)符號0標準式，假設(shè)系數(shù)含參數(shù)時，須判斷或討論系數(shù)的 符號，化負為正 判斷或比擬根的大小小結(jié)：1、帶等號的分式不等式求解時，要注意分母不等于0,二次函數(shù) y ax2 bx c的值恒大于0的條件是a 0且 0 ；假設(shè)恒大于或等于0,那么 a 0且 0。假設(shè)二次項系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函。

17、 是二次函數(shù)時，必須考 慮二次項系數(shù)為0這一特殊情形。2、忽略對定義域的考慮以及變形過程的不等價，是解無理不等式的常見錯誤， 因此要強化對轉(zhuǎn)化的依據(jù)的思考。3、數(shù)形結(jié)合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇題，還可利用 圖形驗證，解題的結(jié)果。4、解指數(shù)、對數(shù)不等式的過程中常用到換元法。底數(shù)是參數(shù)時，須不重不漏地分類討論?；资墙獠坏仁降那疤?取對數(shù)也是解指數(shù)、對數(shù)不等式的常用 方法之一，在取對數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍。當所取對數(shù)的底數(shù)是字母時，隨時要把“不等號是否變向這一問題斟酌再三。5、解含參數(shù)的不等式時，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對參數(shù)進行分類討論。分

18、類的標準要通過理解題意例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱含 條件，根據(jù)方法例如利用單調(diào)性解題時，抓住使單調(diào)性發(fā)生變化的參數(shù)值，按照解答的需要例如進行不等式變形時必須具備的變形條件等方面來決定，要求做到不重復、不遺漏。四、含絕對值的不等式1、 解絕對值不等式的根本思想：解絕對值不等式的根本思想是去絕對值，常采用 的方法是討論符號和平方。2、注意利用三角不等式證明含有絕對值的問題|a| |b| |a+b| |a|+|b|;|a| |b|a b| |a|+|b|;并指出等號條件。(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)0時，Ax+By+C0,那么點PXo，y。在直線的上方；Ax+Byo+Cv

19、0，那么 點PX。，y。在直線的下方。對于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0或v 0，無論B為正值還是負值， 我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)。當 B 0時，Ax+By+C0表示直線 Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+Cv 0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域。2線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解x，y叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做 可行域類似函數(shù)的定義域；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最 優(yōu)解。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：1根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y;2找出線性約束條件；3確定線性目標函數(shù)z=fx，y；4畫出可行域即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域；5利用線性目標函數(shù)作