高中數(shù)學公式匯總

1、高中數(shù)學公式結論大全1. 懇巨* o工“討o x毎衛(wèi).0Q丿O /h02. Cl(】q 二島蟲UClQUC4U3 二.3. '匚二 ©oqu 月二設仙叫石 的子集個數(shù)共有嚴 個；真子集有y,個；非空子集有甞1個；非空的真子集有2H-2個.一般式1':'_ '" "f II; 頂點式八-、：- ：- '1;當拋物線的頂點坐標時，設為此式 零點式' ''-；當拋物線與軸的交點坐標為二|:丄“；時，設為此式4切線式：" 二".。當拋物線與直線相切且切點的橫坐標為時,設為此式 -'

2、1 " 二常有以下轉化形式NVZMo / 一 M叮-N<Q M-y H/W>Z7宀亦SO)在靠竝內(nèi)有且只有一個實根，等價于畑心宀或3護-40。8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值_ h二次函數(shù)/(QmC處衣也"在閉區(qū)間b占上的最值只能在勿處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：(1)當a>0時，假設；廣，那么1 =皿)丿敘pg 當 a<0時，假設，那么-*.- -' 1,假設小討，那么/喚珂/處/，/y=mm如J.，； -':0的實根分布p2 藝皿1方程/W = °在區(qū)間臨皿內(nèi)有根的充要條件為/欄<0或I 22方程$-在區(qū)間'

3、;內(nèi)有根的充要條件為p拠十左懣 <-<2 2加十用pS- CK22尹=一韌壬Q*聲4孑王0/(«) >0_/帥)x 0/W/W <0或或Wp2 _4? 2.0-j3方程煮小=°在區(qū)間F熾內(nèi)有根的充要條件為于旳vU或I 2.10.定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立或有解的條件依據(jù)在給定區(qū)間Eg的子區(qū)間E形如血Q，卜叫禺，広曲不同上含參數(shù)的不等式八沁1牡為參 數(shù)恒成立的充要條件是'''"：，TI " ' _ ' 0在給定區(qū)間一八' 的子區(qū)間T上含參數(shù)的不等式'H - :為參數(shù)恒成立的充

4、要條件是 /OU/"O 在給定區(qū)間：°二的子區(qū)間二上含參數(shù)的不等式為參數(shù)的有解充要條件是4在給定區(qū)間.J匚的子區(qū)間上上含參數(shù)的不等式. 1 -為參數(shù)有解的充要條件是對于參數(shù)*及函數(shù)=-':.假設恒成立，貝U心;:;假設“二''<恒成立，那么L' -<T 1 ；假設諾一'1 有解，那么丿一 TT.T. -；假設衛(wèi)-有解，貝U；假設.，有解,那么"'"''.假設函數(shù)：V 八；"無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應結論11.真值表Pq非Pp或qp且q直/、直/、假直/、直

5、/、直/、假假直/、假假直/、直/、直/、假假假直/、假假原命題firiJFJq否否命題 假設謹命題 假設唄加te逆否命題 假設1叔山卩原結論反設詞原結論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有邛個至多有總一 1個小于不小于至多有總個至少有用+1個對所有X，成立存在某K，不成立且F對任何X,不成立存在某X，成立P或罕13.四種命題的相互關系右圖:''表示條件，.表示結論1充分條件：假設；-，那么廠是.充分條件.2必要條件：假設匚一-，那么廠是必要條件.3充要條件：假設一，且4 /，那么和是丁充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，那么乙是甲的

6、必要條件；反之亦然設可網(wǎng)亡口上眄工可那么亞-呵裔>0呂石也>0»/x在上是增函數(shù);可-叫屮叼-/鳧VO0如二h 0O/在以"-乃上是減函數(shù). 設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果.'J -，那么廠Y為增函數(shù)；如果，那么為減函數(shù).' 和都是減函數(shù),那么在公共定義域內(nèi),和函數(shù) WW 也是減函數(shù)；如果函數(shù)I；和!一 ："都是 增函數(shù),那么在公共定義域內(nèi),和函數(shù)二7也是增函數(shù)；如果函數(shù)-和廠-在其對應的定 義域上都是減函數(shù)，那么復合函數(shù)-匸是增函數(shù)； 如果函數(shù)1J-和'-在其對應的定義域上都是增函數(shù)，那么復合函數(shù)丿-是增函數(shù)；如果函數(shù)1'

7、; -：|和“在其對應的定義域上一個是減函數(shù)而另一個是增函數(shù)，那么復合函數(shù)二丄 是減函數(shù).17奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于 y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱, 那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關于 y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).18.常見函數(shù)的圖像:在+ b- I-上 '-:恒成立，那么函數(shù)的對稱軸是:'兩個函數(shù)'與baz 廠i “：的圖象關于直線對稱. '- ，- -；,那么函數(shù)'的圖象關于點一對稱；假設八廠+'：',那么函數(shù)為周期為二的周期函數(shù).21多項式函數(shù)+ 竹的奇偶性多項

8、式函數(shù)亍-匚是奇函數(shù)的偶次項即奇數(shù)項的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)是偶函數(shù)二二匸的奇次項即偶數(shù)項的系數(shù)全為零.1" 的圖象的對稱性1函數(shù) 門；的圖象關于直線：_匚對稱L、丨工J 一- 丄._ a+6 函數(shù)卩的圖象關于直線：對稱，：一 ' ；1函數(shù)L" 二與函數(shù)，門 '的圖象關于直線：即“軸對稱._ « +Z?函數(shù)- '' ；1A ：與函數(shù)''''的圖象關于直線-：'對稱. 函數(shù)一 和二'的圖象關于直線y=x對稱. = yw的圖象右移盤、上移b個單位，得到函數(shù)廠燼-十也的圖象；假設將曲線兀刃二

9、°的圖象 右移J上移'個單位，得到曲線點八 '的圖象.正比例函數(shù)了他+必=/或+ f=匚.指數(shù)函數(shù)-'|： '. - '''.' 1.-'L -廠-'.對數(shù)函數(shù)' |： -111 ? 1 T'/|_ +,：T 1 '-1' .' ; _ ir '-r 1 .幕函數(shù)，"丨-. 余弦函數(shù)/ W= c°,正弦函數(shù) 或二別11 k , 了兀-劉=/力/0+或月,s x .26.幾個函數(shù)方程的周期約定a>01；' 1 ，貝的周期T=a

10、；2一=' ''，或r ,那么的周期 丁=2迅/W = iC/刃蓋 0，那么丿：的周期T=3a；_ /輛+丿花T=4a；且/二工J 可工V兀17?X加那么/E的周期27.分數(shù)指數(shù)幕 ./ =曙7 >卑E礦，且n>2當“為奇數(shù)時,當為偶數(shù)時,<029. 有理指數(shù)幕的運算性質ar =卅a > 0,尸，呂 Q了二瀘心0/代0.393尸=/擴直、0> 03r e Q注：假設a>0, p是一個無理數(shù)，那么ap表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)幕的運算性質，對于無理數(shù) 指數(shù)幕都適用30. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：.匸 一丁 -曲那= '臨3

11、1. 對數(shù)的換底公式:I 二-:,且"一，八:,且：丨，:-】.對數(shù)恒等式：丿廠，且“子1,幾二.推論-,且32. 對數(shù)的四那么運算法那么：假設a>0, a 1, M>0, N>0,那么_.嚴一甘;-=二亠宀mm-；=一-記 -；-匚假設的定義域為.那么l且假設的 值域為，那么-1 ,且v。34. 對數(shù)換底不等式及其推廣：設，且，二一，那么m.2.35. 平均增長率的問題負增長時-如果原來產(chǎn)值的根底數(shù)為 N,平均增長率為叩，那么對于時間丁的總產(chǎn)值J，有.- 一 - | ._ pb « = 136. 數(shù)列的通項公式與前n項的和的關系：" 転弘嚴之2

12、數(shù)列仏J的前n項的和為巧二陽+巾+十陽.37. 等差數(shù)列的通項公式:m；如耳=十仝亠=9 +.打M其前n項和公式為：咳二礬樸二生尸處礦38. 等比數(shù)列的通項公式：丿其前n項的和公式為 :“亠'的通項公式為b 十甸= 1叫二遽+ 坊廠H 衛(wèi)芒L曠1.7其前n項和公式為:祐+科并 一 1Z? = 1 姑令甘+缶恥1+創(chuàng)n =40.分期付款按揭貸款：每次還款 11 -"元貸款杯元/'次還清，每期利率為一.41 常見三角不等式霞S1假設'，貝u I -,'.假設e:，那么sin42.同角三角函數(shù)的根本關系式:山?-一二丄-，L一-43.正弦、余弦的誘導公式奇變

13、偶不變，符號看象限MS竺斗口2 '(-l)ws«,(冷為偶數(shù))J44-1£- I)丁 Sill £ 0為奇數(shù))I I . '：-1 I i :;- ： . I；，-： I 廠 - :： r. i. I I r ；湎匕土處竺業(yè)巴£1 干tantan &節(jié). 十''-:'TI -平方正弦公式;cos(a+ )cos(af- p) - cor3 asin2 py" "I-J,輔助角樣所在象限由點的象限決定-.45. 二倍角公式及降幕公式2 tan asm 2a = sin orcas a 1

14、十 tan3 al - tan3 am:二:；乙 j.n 丄二'1 _二二二,.-、r 2 tan a tan Za 、i'.- - / '.t 1 -cos2c3f 2 1+cos 2a sin a =, cos a =2 2sin 2a 1- cos 2atan ci =:1h-cos2o:sLti246. 三角函數(shù)的周期公式T =7T函數(shù)人 ，xR及函數(shù)亠 »',x RA, co,'為常數(shù)，且AM 0的周期；函數(shù)7T2 A, o,卩為常數(shù)，且Am 0的周期三角函數(shù)的圖像:0 jt/20五點法作圖列表:+ ®0n /2n3n /2

15、2nX7厶=2 =厶七47. 正弦定理 ：行二“" R為一心 外接圓的半徑.U 衛(wèi)=2a sm 耳 口二上氐= 2K siti C* 4 b ：；二 jin / : sin g: sin C a2 二 b2 +c3 - 2bc nos j4 . b2 = c1 -t-a2 - 2ca cos B . c1 = a2 + b2 - cos C£一C -A - ccir. £'2 ； :- -J顧麗刃碩/G內(nèi)切3a +d+c在 ABC中，有+£+C二兀OU=河-丄+為222 Q 2C=測-2/+舊50.簡單的三角方程的通解,!.-| - -.>

16、- - '.' - ； I ： . I； -' -',-':'：. J : / - I ：-：，-：:', I一 .-. .7丨丄一Lu一一1 '丄匚 二.匚 丄i 特別地，有'f - 一 i ：-'一.-：一 ： 1 LC - - -'= cos RO=2k/r士 0上 2.丄二 L.2.:二.二:;'Z _sin 忑 A 常|© $1 O 兀亡 t2t+ arcsin a, "7T+7T air 孔口口，疋 E Z沁兀 Vq| 口 任 1 O 不亡2fcT-/T-越冏n.算

17、2izr-Farcsin«t Zcos x 二山| u |蘭 1 O jt 迂2t7T-arccos a, 2+arc匚工 Jte Z cos x 弋列伍 1 Oh e 2Att 4-sire cos af 2-F 2tt arccosct, te Ztan x > E 氏二工 E 此7F+ ai'Ctartan x < aa e x - 上zr+ arctanZ.52. 實數(shù)與向量的積的運算律：設入、卩為實數(shù)，那么結合律：入卩=入卩2第一分配律：入+卩：二入：+卩7 ;第二分配律:入+=入丁 +入二.53. 向量的數(shù)量積的運算律：1； ，= 1 交換律；|=I,

18、.'.=：；：.=；.i1 匚3二 + i_ = 一1 廠 +.54. 平面向量根本定理如果、二是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)入i、入2，使得'=入1 ' + X 2 -.不共線的向量下、匚叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 基底.55. 向量平行的坐標表示設 2，且 A - j，那么 I 廠二二二丁- 二 J .56. 7與L的數(shù)量積或內(nèi)積:廠二=|匸| '：'57. 7 ：的幾何意義:數(shù)量積匚.等于三的長度|三|與在了的方向上的投影r | -上r的乘積.a_b_向量1在向量上的投影：| | -：二=二丨.

19、設茁=%H,$=S乃，那么怎屈'=珂+勺戸+乃.設莊=心，了=吃丿，那么£ 一虧=5 吃.3設aEJi，BEjJ,那么巫二方-刃二-召宀-旳4設匚=忑J兄亡R，那么靈口 =1幾不池y . 設茁=%H,$=忌乃，那么孑£ =可乃+戸乃公式茁占 _羽兀十y空肩+圧肩+丈I =】；仏=|畫二倔喬二血-12十七丫Ax“X，B勺，61. 向量的平行與垂直：設川=r“J = ，且圧，那么和|，丁 '=入丄 '- - - ： .*S_LbJ _ 了=0_ - 一62. 線段的定比分公式：設談3亍，是線段 H 的分點是實數(shù)，且,%十忑“1+兄_、丿+冊手_0竝+恥烏

20、 _ _r_1.63.三角形的重心坐標公式 ABC三個頂點的坐標分別為 八i一、；-：、'二：i ,那么厶ABC的重心的坐標是亞+可+碼乃+片+乃3 13:/ =萬十刀 x = f 向LM=P +上 了=卩一氏O。卩二菲+函注：圖形F上的任意一點Px，y在平移后圖形上的對應點為? -1 ，且廠 的坐標為.65. “按向量平移的幾個結論1點；，' 1 ：按向量盲二:平移后得到點八=. 函數(shù)" 的圖象二按向量了二匚'平移后得到圖象,那么的函數(shù)解析式為' 7 . 圖象按向量。平移后得到圖象匚,假設-的解析式-" -：那么廠的函數(shù)解析式為曲線:&qu

21、ot;按向量="'；平移后得到圖象"，那么"的方程為'''P'. 向量二 按向量二 八八平移后得到的向量仍然為飛 八二.66. 三角形五“心向量形式的充要條件設匚為'帖廠所在平面上一點，角"J -所對邊長分別為，貝U1 °為酎0C的外心O 0A三 QC2、為1"的重心 ；.' ： /' I ： 1 ':.3為的垂心:工 .：4為.I' 1 '的內(nèi)心. I -:.5_為一印一的.丄的旁心 -':67. 常用不等式： 4門八丿_丄；當且僅當a=

22、 b時取“二號.2 當且僅當a= b時取“二號.3 /-'-：./-.-|- I4 - - -：! I 7" - ，- I】5bUkb十引蘭討+創(chuàng)6當且僅當a= b時取“二號68. 最值定理：'都是正數(shù)，那么有1假設積是定值和，那么當1時和+有最小值幾;+ - “2假設和+是定值二那么當T " '時積t有最大值-.3'"，假設，一°:那么有2十丄二:十妙丄十丄=a+Z?+ + 5+ 2jab二Ja十的尸x yx ya y4：“ 一，假設二"那么有yyTr-' -:" 1 - - rL. - 1-

23、l - ' :，如果二與'J | ''同號，那么其解集在兩根之外；如果;：與LJ 川一異號，那么其解集在兩根之間簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間:一：一打:' -' r I > -.-'；?X < 工I ?或工 > 可 0X X藍一 J：2 > DX丈可70.含有絕對值的不等式：當a> 0時，有x<a<=> co1<xr/wo7/(x) > J或x) 0 g(H)工 07/CCgW>oJW >swf/心g兀<000 < gx> o3 lyx72.指

24、數(shù)不等式與對數(shù)不等式 1當廠時,log* /to >( Jf) <=5> sM > of/w>o <g(x)呃/W 沢唱t g(x) O 4 g(x) > 0"<g(j)勺血牡W、坊 J .74.直線的五種方程1點斜式'"" '' '直線過點-Jp",且斜率為J .2斜截式丁 -1 b為直線在y軸上的截距.刀_不一碼3 兩點式 “:.嚴H、二】八兩點式的推廣：宀応：，門八，r：y ；一 |無任何限制條件!+ = 1 截距式：丄分別為直線的橫、縱截距，工八5 一般式'&

25、#39;''其中A、B不同時為0.直線'''的法向量：，方向向量：75.兩條直線的平行和垂直假設片:二百人+勾，二屯H+爲假設丄亠L1 + '.''',且Al、A、B、B2都不為零, ： 1；. 4 亠十-；心二呂工+£/+G二o d&x十*+G二。4& +坊氏工。此時直線7丄-76四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：1定點直線系方程：經(jīng)過定點： '爲 的直線系方程為;_ '除直線，其中'：是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點: w 的直線系方程為_一 I亠' ,其中是待

26、定的系數(shù).共點直線系方程：經(jīng)過兩直線I'-，“丨：y . !的交點的直線系方程為+ ' -'1'除一，其中入是待定的系數(shù).3平行直線系方程：直線一：中當斜率k 一定而b變動時，表示平行直線系方程與直線 平行的直線系方程是一 一亠一，入是參變量. 垂直直線系方程：與直線：+'1 A工0, BM0垂直的直線系方程是丄 ,入是參變量.5直線系 °| 與線段相交 - !。甘_ I /陽+肉心+ CI77點到直線的距離：點-r ：1 ,直線一二-T -.78. 亠 J 1八或J所表示的平面區(qū)域設直線 m，那么-一 ' 1'或：所表示的平面

27、區(qū)域是：假設-r -，當"與'，；''同號時，表示直線'的上方的區(qū)域；當與' ''異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上，異號在下.假設丄-一，當與-'同號時，表示直線.：'的右方的區(qū)域；當上與4異號時，表示直線 .'的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左79. 一廠亠亠亠： 或所表示的平面區(qū)域亠：亠I亠."，+ . T亠I ： '或-所表示的平面區(qū)域是兩直線八亠tT + - 1和-J；-；. 所 成的對頂角區(qū)域上下或左右兩局部。80. 圓的四種方程1圓的標準方程2圓的一般方程

28、 廠孑I二一 一小八 > 0.3圓的參數(shù)方程4圓的直徑式方程=圓的直徑的端點是工、：“.81. 圓系方程過點- 'L- =的圓系方程是 匸-可匕一巧+妙-血0-乃+爲工-丙伽-乃一0一叼-可二00工-和伏-勺+0-乃3-丹+丸伽+切我=0 ,其中處+如+"0是直線A?的方程,入是待定的 系數(shù). 過直線'：上“ = .與圓二：；丨JT廠的交點的圓系方程是入是待定的系數(shù).f -by2 +口忑 + 型 + 廳 + 幾月x+帥+U ='0過圓l：i一與圓的交點的圓系方程是H+才+D*十十広+十門去十氐葉助二0入是待定的系數(shù)特別地，當一時就是 當兩圓相交時，為公共

29、弦所在的直線方程； 向兩圓所引切線長相等的點的軌跡直線方程82. 點與圓的位置關系：點與圓:''J ' 1:; 的位置關系有三種假設'一那么L二點在圓外點在圓上-“點！在圓內(nèi).j4(3 + Bb + d? = /直線丄與圓' -.- '的位置關系有三種(一 ，)：f|=呂：.；.；-廠二卜 -；,了F 寧-''JJ84.兩圓位置關系的判定方法：設兩圓圓心分別為O, Q，半徑分別為ri,2,二.| 二丨二上 I ；J 一 :|' 7 - : 二+廠二:|;J|rj-r2 <d “十內(nèi)a相交0 2條公切銭；Jd二h -勺

30、| O內(nèi)切U> 1條公切線；J0 < < |rj - r21»內(nèi)含«無公切線(1)圓'1 1 "-.假設切點二在圓上，那么切線只有一條，其方程是昭+燉+今旦+型嚴當1 /圓外時,'-匕、*-+ '表示過兩個切點的切點弦方程求切點弦方 程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。 過圓外一點的切線方程可設為-'廠 -，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線. 斜率為k的切線方程可設為門，再利用相切條件求b,必有兩條切線.圓'1_! _. 過圓上的口點的切線方程為 I 扎八&#

31、39;； 斜率為的圓的切線方程為.的離心率過圓外一點的切線長為I "' ；，1過焦點且垂直于長軸的弦長為:|*i| =總北 + <- =&+曲88.橢圓的的內(nèi)外部2232口s-+4 = la>S>0»4+4<11點 ''在橢圓的內(nèi)部 ''2在橢圓的外部7橢圓二血 >b > 0)點處的切線方程是/幾巫+型二12過橢圓. 一外一點所引兩條切線的切點弦方程是 汀3 橢圓：'與直線一-)- 一 L 相切的條件是 I ；' -'.= 1( >0,3 >05的離心率過

32、焦點且垂直于實軸的弦長為:|亠呼1卜十二)冃口十丘打|閃|十(巳-力冃紡|? Ja_點在雙曲線1 f 在雙曲線;!?(1假設雙曲線方程為丁/ =1“一漸近線方程:芻十尸士紜a ba(2) 假設漸近線方程為雙曲線可設為-' 假設雙曲線與廠'有公共漸近線，可設為廠 !，焦點在X軸上，九V C1，焦點在y軸上.(4)焦點到漸近線的距離總是1雙曲線竺九1點廠 處的切線方程是. 蘭疋二1巫皿_12過雙曲線./廠八外一點 丿所引兩條切線的切點弦方程是 J 一3雙曲線+ -.與直線丄相切的條件是 -.94.拋物線：A的焦半徑公式拋物線二| ,二匸匚花 其中9為x軸的正向繞焦點按逆時針方向旋轉

33、到 FC的角過焦點弦長刖=巧+壬+乜+彳二珂+也+ pCD 二血其中a為傾斜角戸=2刃上的動點可設為p兒或F即宀2輿pD，其中疋二如y=用 +站+7 = c3x + 5 +仏 占 幣勿 牝 農(nóng)工的圖象是拋物線:壬b 4處-擴孑b 4加-護十11頂點坐標為：' 2焦點的坐標為-也3準線方程是4a97.以拋物線上的點為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準線相切；以拋物線焦點弦為直徑的圓，必與準線 相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點垂直于軸的直線相切。拋物線： 一 '上一點-處的切線方程是.+ h'.2過拋物線1 " - ' f外一點二二；所引兩條切線的切點

34、弦方程是.3拋物線-"'i/1 j 與直線-+宀+相切的條件是二j . 過曲線丿一'的交點的曲線系方程是- !為參數(shù).2 2工I于 _3彳共焦點的有心圓錐曲線系方程：- - ；,其中i -THV '.當心二時,表示橢圓；當時，表示雙曲線.100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式期二Jg-叨+4-曲 或|j45| 二 J1 十F工？十可7 4% 再=| 呵一毛 | -Jl+tan2 a 二|片一片 | jl-co t3 ay = kx +b弦端點，由方程國務= o消去y得到亦十加仕二o，心匸0，為直線朋的傾斜角:為直線的斜率，： 廠咕二.1曲線''-

35、關于點九-丁成中心對稱的曲線是X 一 .2曲線'關于直線丄 卜成軸對稱的曲線是鮎北歹十Qy + C羽缶十總y+C、門心才十羅才用二°.特別地，曲線 J：關于原點匚成中心對稱的曲線是門 :'.曲線'關于直線丁軸對稱的曲線是.曲線- -關于直線：軸對稱的曲線是"二匚 .曲線關于直線丁 7軸對稱的曲線是» Yl .曲線-關于直線 i軸對稱的曲線是J 一 I -.:的距離之比為常數(shù)宀，假設: -. . , M的軌跡為橢圓；假設-I , M的軌跡為拋物線；假設 -I , M的 軌跡為雙曲線。103. 證明直線與直線的平行的思考途徑1轉化為判定共面二直

36、線無交點；2轉化為二直線同與第三條直線平行；3轉化為線面平行；4轉化為線面垂直；5轉化為面面平行.104. 證明直線與平面的平行的思考途徑1轉化為直線與平面無公共點；2轉化為線線平行；3轉化為面面平行.105. 證明平面與平面平行的思考途徑1轉化為判定二平面無公共點；2轉化為線面平行；3轉化為線面垂直.106. 證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉化為相交垂直；2轉化為線面垂直；3轉化為線與另一線的射影垂直；4轉化為線與形成射影的斜線垂直.107. 證明直線與平面垂直的思考途徑1轉化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉化為該

37、直線垂直于另一個平行平面。108. 證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉化為判斷二面角是直二面角；2轉化為線面垂直；(3) 轉化為兩平面的法向量平行。加法交換律； = +匯(2)加法結合律：(F +】)+ 丁二+ ( + ).數(shù)乘分配律：入(G+ ；)=入0 +入'.始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量對空間任意兩個向量 二(匕工)，下/ '存在實數(shù) 入使亍=V .只比B三點共線u 處II朋 a = o °尸=. 1 " l . ：、一共線且 Q 二不共線- * -且-不共線.112.

38、共面向量定理向量"與兩個不共線的向量丘、共面的I存在實數(shù)對,使J.推論 空間一點P位于平面MAE內(nèi)的二存在有序實數(shù)對；1 ,使 f 廣小匚,或對空間任一定點0,有序實數(shù)對*，使-'-rm .和不共線的三點A、B、C,滿足仁 -:,那么當；_1時，對于空間任一點匚， 總有P、A、B、C四點共面；當必H1時，假設0E平面ABC那么P、A B C四點共面；假設0居平面ABC 那么P、A、B、C四點不共面.,I四點共面J與I 、共面_ 八+_亠 -平面 ABC114.空間向量根本定理如果三個向量、一不共面，那么對空間任一向量：，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使匸=推論 設O A

39、、B C是不共面的四點，那么對空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數(shù) x，y，z,使-、 - - ' ' 1 '向量=和軸，是上與''同方向的單位向量.作A點在上的射影,作B點在上的射影,那么=| AS | cos < a,e>= a-e設耳=吟勺礙& =幾如也那么 F“十！、.,-；臣$ =硯勺宀-虬礙婦；入一了 =丄顯七花入 R;& . b =坷對+旳坊+眄鳥.L.- :' ,，那么一二門:- I.-.1.118. 空間的線線平行或垂直設一 ，貝卩 =見兀鳥* yi =入刈FTTTFT口 |占o詭=久占色疋0 o

40、2_ 乂 ；a丄占O a i = 0呂兩心+滬北+右習=0119. 夾角公式士 r©曲+口曲+0血cos <arb >= .：_ _一 _設&二®厲，£ =片爼鳥，那么J£+£+£屈廚+£推論吶+叢+哦讓&+述+迖膺+閏+目，此即三維柯西不等式.洱日=蛍®120. 正棱錐的側面與底面所成的角為F,貝U*：C>£ 3 =特別地，對于正四面體每兩個面所成的角為，有_121. 異面直線所成角GO5 0 =丨也+ j空叮平？ | +才尼+%' +專其中 '： &#

41、39; ''：為異面直線所成角，I分別表示異面直線*的方向向量. AB wp = arc sin斗 _'一“止為平面宀的法向量.A： -二的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角門m nm-n&= arc CQ5-k7T arc cos一于丨卞門或，：為平面門，匚的法向量.124折疊角定理設AC是a內(nèi)的任一條直線，AD是 a的一條斜線AB在a內(nèi)的射影，且BDL AD垂足為D,設AB與a AD 所成的角為，AD與AC所成的角為Q, AB與AC所成的角為F 貝U川.125.空間兩點間的距離公式假設A%兒習，Bg乃適，貝U弘麗=倔忌二厲二円冠石円百石-到直線.距離&qu

42、ot;丄J問氏訂點'在直線'上,，為直線的方向向量,127.異面直線間的距離是兩異面直線，其公垂向量為 J亠廠分別是上任一點,'為間的距離.11到平面門的距離卜丨用為平面的法向量，丿巴，占是的一條斜線段.129.異面直線上兩點距離公式2 2-Vm + 淚cos &十川 一 2/wi cos p- E- AA - F(兩條異面直線a b所成的角為B,其公垂線段丄：的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F,AS = m,=闖，豆F = d).$+&+匚*=s+c -2a-b + 2b c -2c -a+羅 +/ + 2| |g |2| |c| cos0,7

43、+ 21131. 作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，那么這三條交線交于一點或互相平行132. 棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到 截面距離與棱錐高的平方比對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的 比等于對應邊的比的平方；相應小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的立方 比；相應小棱錐的的側面積與原棱錐的的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比.V = -71“ 屛133. 球的半徑是R,那么其體積 -,其外表積- :.(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直

44、徑是長方體的體對角線長(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方 體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.' 口_ a 球與正四面體的組合體：棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為匕(正四面體高- 的1-),外接球的半徑為dJ (正四面體高135. 柱體、錐體的體積F 二£陽卮祚3 E是柱體的底面積、'是柱體的高.F 廠-是錐體的底面積、是錐體的高136. 分類計數(shù)原理加法原理:137. 分步計數(shù)原理乘法原理:笛二用沖一9®一朋十1=曲一巒.“，戰(zhàn) N，且廉蘭閱.規(guī)定0= 1.:1 亠： ，_ 卜 +

45、 八；2''-一 fn3忙二曲檸；4叭之：卜&；5船嚴厝+啦：6 ' ' -料-料聊十D:"=二lxjx- -=牌| -總一閥I料 N*,灑E腫，且牌莖科.141.組合數(shù)的兩個性質：1廣廠盤一盛廣fKt 廣f熬J prK廣rO _-二，;2-八.規(guī)定.；2、7秒+ C：+ C：二2“6 - 8：亠+ 寸- +： 宀(9)10靂尸+© +©；】 i+Q：尸二 .143. 排列數(shù)與組合數(shù)的關系：蘭二悶工；.144. 單條件排列以下各條的大前提是從"個元素中?。簜€元素的排列1 “在位與“不在位 某特元必在某位有種；某特元

46、不在某位有-補集思想"-1著眼位置著眼元素種.2緊貼與插空即相鄰與不相鄰 定位緊貼： 八二認-匚個元在固定位的排列有：二種. 浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有二亠：種.注：此類問題常用捆綁法； 插空：兩組元素分別有k、h個二；+丨，把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有 排列數(shù)有種.3兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？- V 捲*當時，無解；當“宀T丨時，有：種排法.4兩組相同元素的排列：兩組元素有 m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.145. 分配問題1平均分組有歸屬問題將相異的】；:個物件等分給個人，各得Y件，

47、其分配方法數(shù)共有2平均分組無歸屬問題將相異的】；：個物體等分為無記號或無順序的 衛(wèi)堆，其分配方法數(shù)共有3非平均分組有歸屬問題將相異的_ 7-'" 1個物體分給屮個人，物件必須被分完，分別得到，H這個數(shù)彼此不相等，那么其分配方法數(shù)共有，K 件，且"，:,4非完全平均分組有歸屬問題將相異的個物體分給宀個人，物件必須被分完，分別得到“，件，且"，了，J這宀個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，那么其分配方法數(shù)有/ 'p m叩片姓！& !占2!. J5非平均分組無歸屬問題將相異的丄 個物體分為任意的:，,件無記號的嚴堆, 且，=,、這卩個數(shù)彼此不相等，那

48、么其分配方法數(shù)有-.6非完全平均分組無歸屬問題將相異的-J"" "-1-個物體分為任意的二，J件無記號N=的堆，且"，這二個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，那么其分配方法數(shù)有八八.7限定分組有歸屬問題將相異的個物體分給甲、乙、丙，等個人，物體必須被分完，如果指定甲得“件，乙得件，丙得：件，時，貝U無論“，"，'等' 個數(shù)是否全相 異或不全相異其分配方法數(shù)恒有對一印£冷農(nóng)！馬!旳！ mJ146 “錯位問題2封信與2個信封全部錯位排列數(shù)：1;3封信與3個信封全部錯位排列數(shù)：2;4封信與4個信封全部錯位排列數(shù)：9;5封信與5個

49、信封全部錯位排列數(shù)：44;一般記著上面的就夠了推廣貝努利裝錯箋問題：信“封信與丁個信封全部錯位的組合數(shù)為推廣：叮個元素與叮個位置,其中至少有住個元素錯位的不同組合總數(shù)為/佩熬二創(chuàng)一-1!+處於_2!-詳仗_耳4代理一 4!147. 不定方程x的解的個數(shù)方程 ': 一的正整數(shù)解有個. 方程-''-11 一的非負整數(shù)解有個. 方程?滿足條件上：； 廠 匸一的非負整數(shù)解有；+：m 個.148. 二項式定理卄疔二說屮+%叫乂汁于+ 穴擴 Y；護;二項展開式的通項公式- < .一的展開式的系數(shù)關系：碼斗如+說+叫二/.坯一阿+碼十十T馮=/T . a0 = /0F(A)-1

50、49. 等可能性事件的概率：.150. 互斥事件A, B分別發(fā)生的概率的和：P(A+ B)=P(A) + P(B).151. 冒個互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P(Ai + A2+-+ A)=P(A" + P(A2)+ + P(An).152. 獨立事件 A, B同時發(fā)生的概率：P(A- B)= P(A) P(B).153. n個獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A1 A 2 An)=P(A1) P(A2) P(An)15 4.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率：i, - ：|'1，H ": '；2 I _ -156.數(shù)學期望：二二t十；f+，那么“丄2假設

51、： ；，那么丫 -假設服從幾何分布，且廠- ' '： ' - ''158.方差:皿=(丙-畸a+(帀-葩血斗H斗_略丫 a+159.標準差：' = ' '.(2假設-"，那么八 假設匚服從幾何分布，且-，那么"丁_-"I161.方差與期望的關系：'-r '心.162.正態(tài)分布密度函數(shù):式中的實數(shù)卩，是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標準差163.標準正態(tài)分布密度函數(shù):止：，取值小于x的概率:戸(巧 <X0 < x2)=<x2 )< 巧)165.回歸直線方程土佃-無0廠刃土山-亍3廠刃166.相關系數(shù)i-lLIV i-1Z|r| < 1,且|r|越接近于1,相關程度越大；|r|越接近于0,相關程度越小. 167.特殊數(shù)列的極限0I水1lrniq"二；1g 二1不存在I小1或"-1Cl(E)1 迪一；二十鳥_旳 +州不存在(上 > 耳H】&:-無窮等比數(shù)列(丿I')的和.lim f(x) = a lim /(x) = lin /