高中數(shù)學(xué)平面向量知識點總結(jié)

1、-平面向量知識點總結(jié)第一局部：向量的概念與加減運算，向量與實數(shù)的積的運算。一 向量的概念：1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2 向量的表示方法：1°幾何表示法：點射線有向線段具有一定方向的線段有向線段的三要素：起點、方向、長度記作注意起訖2°字母表示法：可表示為3.模的概念：向量的大小長度稱為向量的模。 記作：| 模是可以比擬大小的4.兩個特殊的向量： 1°零向量長度模為0的向量，記作。的方向是任意的。注意與0的區(qū)別2°單位向量長度模為1個單位長度的向量叫做單位向量。二 向量間的關(guān)系：1 平行向量：方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量。abc記

2、作： 規(guī)定：與任一向量平行2 相等向量：長度相等且方向一樣的向量叫做相等向量。 記作：= 規(guī)定：= 任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點無關(guān)。3 共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上 ， 所以平行向量也叫共線向量。三 向量的加法：1定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。 注意：；兩個向量的和仍舊是向量簡稱和向量aaaCCCBBBAAA2三角形法則：a+bbabba+ba+b 強調(diào)： 1°“向量平移自由向量：使前一個向量的終點為后一個向量的起點 2°可以推廣到n個向量連加 3° 4°不共線向量都可以采用這種法則三角形法則3.加法的交

3、換律和平行四邊形法則1°向量加法的平行四邊形法則三角形法則：2°向量加法的交換律：+=+3°向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)4.向量加法作圖：兩個向量相加的和向量，箭頭是由始向量始端指向終向量末端。四 向量的減法：1.用“相反向量定義向量的減法1°“相反向量的定義：與a長度一樣、方向相反的向量。記作-a2°規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0如果a、b互為相反向量，則a = -b, b = -a, a + b = 03°向量減法的定義：向量a加上的b相

4、反向量，叫做a與b的差。即：a-b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法。2.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：假設(shè)b + * = a，則*叫做a與b的差，記作a-b3.向量減法做圖：表示a-b。強調(diào)：差向量“箭頭指向被減數(shù)總結(jié)：1°向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量 2°向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法則、運算定律五：實數(shù)與向量的積強調(diào)：“模與“方向兩點)1.實數(shù)與向量的積 實數(shù)與向量的積，記作：定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作： 1°|=|2°&

5、gt;0時與方向一樣；<0時與方向相反；=0時=2運算定律：結(jié)合律：()=()第一分配律：(+)=+第二分配律：(+)=+3.向量共線充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)使=六平面向量定理：用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。其實質(zhì)在于：同一平面任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合平面向量根本定理：如果，是同一平面的兩個不共線向量，則于一平面的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2注意幾個問題：1°、必須不共線，且它是這一平面所有向量的一組基底2° 這個定理也叫共面向量定理3°1，2是被，唯一確定的數(shù)

6、量第二局部：向量的坐標(biāo)運算七向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運算1.平面向量的坐標(biāo)表示：在坐標(biāo)系下，平面上任何一點都可用一對實數(shù)(坐標(biāo))來表示取*軸、y軸上兩個單位向量, 作基底，則平面作一向量=*+y，記作：=(*, y) 稱作向量的坐標(biāo)2注意：1°每一平面向量的坐標(biāo)表示是唯一的；2°設(shè)A(*1, y1) B(*2, y2) 則=(*2-*1, y2-y1)3°兩個向量相等的充要條件是兩個向量坐標(biāo)相等。3結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。同理可得：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。4實數(shù)與向量積的坐標(biāo)運算：=(*,

7、y) 實數(shù)則=(*+y)=*+y=(*, y)結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個實數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。八向量平行的坐標(biāo)表示結(jié)論： (¹)的充要條件是*1y2-*2y1=0注意：1°消去時不能兩式相除，y1, y2有可能為0，¹*2, y2中至少有一個不為02°充要條件不能寫成*1, *2有可能為03°從而向量共線的充要條件有兩種形式：(¹)九線段的定比分點：1 線段的定比分點及P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數(shù)，P1P1P1P2P2P2PPP使=叫做點P分所成的比，有三種情況：>

8、0(分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)2.定比分點坐標(biāo)公式3中點公式：假設(shè)P是中點時，=1 4注意幾個問題：1°是關(guān)鍵，>0分<0外分¹-1 假設(shè)P與P1重合，=0 P與P2重合不存在2°中點公式是定比分點公式的特例3° 始點終點很重要，如P分的定比=則P分的定比=24° 公式：如 *1, *2, *, 知三求一十平面向量的數(shù)量積及運算律一平面向量數(shù)量積1 定義：平面向量數(shù)量積積的定義，a×b = |a|b|cosq，q = 0°q = 180°

9、;qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。×2 向量夾角的概念：圍0°q180°C3 注意的幾個問題；兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 1°兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 2°兩個向量的數(shù)量積稱為積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而ab是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分。 3°在實數(shù)中，假設(shè)a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，假設(shè)a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因為

10、其中cosq有可能為0。這就得性質(zhì)2。OaAcbab 4°實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×cÞa = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þab=bc但a¹c 5°在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c¹a(b×c)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。（二） 投

11、影的概念及兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：1“投影的概念：作圖AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1°投影也是一個數(shù)量，不是向量。 2°當(dāng)q為銳角時投影為正值； 當(dāng)q為鈍角時投影為負值； 當(dāng)q為直角時投影為0； 當(dāng)q = 0°時投影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時投影為-|b|。2向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。3兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。 1°e

12、×a = a×e =|a|cosq2°abÛa×b = 03°當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|。 特別的a×a = |a|2或4°cosq =5°|a×b| |a|b|十一. 平面向量的數(shù)量積的運算律1. 交換律：a×b = b×a2. 結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)3. 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c十二. 平

13、面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.設(shè)a = (*1, y1)，b = (*2, y2)，*軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：i×i = 1，j×j = 1，i×j = j×i = 02.a×b = *1*2 + y1y23.長度、角度、垂直的坐標(biāo)表示 1°a = (*, y) Þ|a|2 = *2 + y2 Þ |a| = 2°假設(shè)A = (*1, y1)，B = (*2, y2)，則= 3° cosq = 4°abÛa×b = 0 即*1*2 + y1y2 = 0注

14、意與向量共線的坐標(biāo)表示原則十三.平移一、 平移的概念：點的位置、圖形的位置改變，而形狀、大小沒有改變，從而導(dǎo)致函數(shù)的解析式也隨著改變。這個過程稱做圖形的平移。作圖、講解一個平移實質(zhì)上是一個向量二、 平移公式：設(shè)= (h, k)，即：(*, y) = (*, y) + (h, k) 平移公式三、 注意：1°它反映了平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系2°知二求一3°這個公式是坐標(biāo)系不動，點P(*, y)按向量a = (h, k)平移到點P(*, y)。另一種平移是：點不動，把坐標(biāo)系平移向量-a，即：。這兩種變換使點在坐標(biāo)系中的相對位置是一樣的， 這兩個公式作用是一致的。十四. 正弦定理1°正弦定理的表達：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等公式即：=它適合于任何三角形。 2°可以證明=2R R為ABC外接圓半徑 3° 每個等式可視為一個方程：知三求一從理論上正弦定理可解決兩類問題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和