超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系和區(qū)別

1、超幾何分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系和區(qū)別開(kāi)灤一中張智民在最近的幾次測(cè)試中,總有半數(shù)的的學(xué)生搞不清二項(xiàng)分布和超幾何分布,二者到底該如何區(qū)分呢什么時(shí)候利用二項(xiàng)分布的公式解決這道概率問(wèn)題什么時(shí)候用超幾何分布的公式去解決呢好多學(xué)生查閱各種資料甚至于上網(wǎng)尋找答案,其實(shí)這個(gè)問(wèn)題的答復(fù)就出現(xiàn)在教材上,人教版新課標(biāo)選修2-3從兩個(gè)方面給出了很好的解釋.誠(chéng)可謂：眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處！一、兩者的定義是不同的教材中的定義：(一)超幾何分布的定義在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,那么P(X=k)kn-k=CmCn-m,k=0,1,2八,m,其中m=minM,n,且n&N,

2、MKN,n,M,NCN,稱隨機(jī)變量X服從超CN幾何分布(二)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的定義1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn),且各次試驗(yàn)試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),其中A(i=1,2,n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果,那么P(A1A2A3An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P,那么P(X=k)=C：pk(1-p)i(k=0,1,2,m),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作XB(n,p),并稱P為成功概率.1.本質(zhì)區(qū)別(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題,二項(xiàng)分布描述的是放回抽樣問(wèn)

3、題；(2)超幾何分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是古典概型問(wèn)題；二項(xiàng)分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是相互獨(dú)立事件的概率問(wèn)題2.計(jì)算公式超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,那么P(X=k)kn-k=MnN-M,k=0,1,2,上,m,CN二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P,那么P(X=k尸C：pk(1-p)j(k=0,1,2,n),溫馨提示：當(dāng)題目中出現(xiàn)“用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)XXX的總體數(shù)據(jù)時(shí),均為二項(xiàng)分布問(wèn)題.比方2021-2021高三上學(xué)期期末測(cè)試19題.二、二者之間是有聯(lián)系的人教版新課標(biāo)選修2-3第59頁(yè)習(xí)題組第3題：例.某批

4、n件產(chǎn)品的次品率為2%現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn),問(wèn)：(1)當(dāng)n=500,5000,500000時(shí),分別以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少(2)根據(jù)(1)你對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何熟悉人教版配套的教學(xué)參考上給出了如下的答案與解釋說(shuō)明【解】(1)在不放回的方式抽取中,每次抽取時(shí)都是從這n件產(chǎn)品中抽取,從而抽到次品的概率都為.次品數(shù)XB(3,恰好抽到1件次品的概率為P(X=1)=c3xx2=3xx0在不放回的方式抽取中,抽到的次品數(shù)X是隨機(jī)變量,X服從超幾何分布,X的分布與產(chǎn)品的總數(shù)n有關(guān),所以需要分3種情況分別計(jì)算n=500時(shí),產(chǎn)品的總數(shù)為500件,其中次品的

5、件數(shù)為500X2%=10合格品的件數(shù)為490.從500件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率為C110c49030490489P(X=1)=1034900.057853C500500499498n=5000時(shí),產(chǎn)品的總數(shù)為5000件,其中次品的件數(shù)為5000X2%=100合格品的件數(shù)為4900.從5000件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率為C1100c490030049004899P(X=1)=100349000.0576747C000500049994998n=50000時(shí),產(chǎn)品的總數(shù)為50000件,其中次品的件數(shù)為50000X2%=1000合格品的件數(shù)為49000.從500

6、00件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概C11000c2900co30004900048999P(X=1)=1000349000=0.057626C50000500004999949998(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果可以看出,當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí),超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.這也是可以理解的,當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時(shí),每次抽出產(chǎn)品后,次品率近似不變,這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨(dú)立的,抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項(xiàng)分布【說(shuō)明】由于數(shù)字比擬大,可以利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.另外此題目也可以幫助學(xué)生了解超幾何分布和二項(xiàng)分布之間的關(guān)系：第一,n次試驗(yàn)中,某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)

7、X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布.當(dāng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí),X服從二項(xiàng)分布；當(dāng)這n次試驗(yàn)是不放回摸球問(wèn)題,事件A為摸到某種特性(如某種顏色)的球時(shí),X服從超幾何分布.第二,在不放回n次摸球試驗(yàn)中,摸到某種顏色的次數(shù)X服從超幾何分布,但是當(dāng)袋子中的球的數(shù)目N很大時(shí),X的分布列近似于二項(xiàng)分布,并且隨著N的增加,這種近似的精度也增加.從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系：當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時(shí),在有放回地抽取與無(wú)放回地抽取條件下,計(jì)算得到的概率非常接近,可以近似把超幾何分布認(rèn)為是二項(xiàng)分布下面看相關(guān)例題例1.(2021漠河模擬)寒假期間,我市某校學(xué)生會(huì)組織局部同學(xué),用“10分制隨機(jī)調(diào)查“陽(yáng)光花園社

8、區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如下圖的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉),假設(shè)幸福度分?jǐn)?shù)不低于分,那么稱該人的幸福度為“幸福(1)求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人為“幸福的概率；(2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)冢H,假設(shè)從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記己表示抽到“幸福的人數(shù),求己的分布列及數(shù)學(xué)期望先不要急于看答案,大家先自己解一下這道題再往下看,會(huì)有意想不到的收獲哦錯(cuò)解(1)由莖葉圖可知,抽取的16人中“幸福的人數(shù)有12人,其他的有4人;記“從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是“幸福,為事件A.由題意得P(A

9、)=1-321C4C4C1233C16C16二112114070140(2)己的可能取值為0,1,2,3貝葉(=0)=空4C；6560140C2C1P(=1)=咨C1672_9560-70P(=2)=12C4C12C1I26433一560-7003P(二3)二警C1622021560-28所以己的分布列為錯(cuò)解分析第二問(wèn)的選人問(wèn)題是不放回抽樣問(wèn)題,根據(jù)定義先考慮超幾何分布,但是題目中又明確給出：“以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,說(shuō)明不是從16人中任選3人,而是從Ig社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,所以可以近似看作是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),應(yīng)該根據(jù)二項(xiàng)分布去求解,而

10、不能根據(jù)超幾何分布去處理一冬.23C3C16C16【正解】(1)(1)由莖葉圖可知,抽取的16人中“幸福的人數(shù)有12人,其他的有4人；記“從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是“幸福/為事件A.由題意得彳19121二1-140701402)由莖葉圖知任選一人,該人幸福度為,幸福的概率為.E的可能取值為.12,3,顯然3b(3,4)311944643P=3)=31<4J2764從以上解題過(guò)程中我們還發(fā)現(xiàn),錯(cuò)解中的期望值與正解中的期望值相等,好多學(xué)生都覺(jué)得不可思議,怎么會(huì)出現(xiàn)相同的結(jié)果呢其實(shí)這還是由于前面解釋過(guò)的原因,超幾何分布與二項(xiàng)分布是有聯(lián)系的,看它們的期望公式：(1)在含有M件次品的N

11、件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,隨機(jī)變量X服從超幾何分布,超幾何分布的期望計(jì)算公式為EX=nM可以根據(jù)組合數(shù)公式以及期望的定義推N導(dǎo)；2隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作XBn,p,EX=np;當(dāng)超幾何分布中的Nt8時(shí),MTp,此時(shí)可以把超幾何分布中的不放回抽樣問(wèn)題,N近似看作是有放回抽樣問(wèn)題,再次說(shuō)明Ntg時(shí),可以把超幾何分布看作是二項(xiàng)分布.總結(jié)：綜上可知,當(dāng)提問(wèn)中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)字樣的為二項(xiàng)分布.高考解題中,我們還是要分清超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別,以便能正確的解題,拿到總分值.相信各位同學(xué)們手中都應(yīng)該有歷年真題卷和2021的模擬試卷吧,快去找?guī)椎蓝?xiàng)分布和超幾何分布的概率大

12、題試試吧,爭(zhēng)取概率總分值,加油！再比方：18.本小題總分值12分百所名校高考模擬金典卷五為了調(diào)查觀眾對(duì)某電視娛樂(lè)節(jié)目的喜愛(ài)程度,某人在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾做問(wèn)卷調(diào)查總分值100分,現(xiàn)將結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下列圖所示1計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾的問(wèn)卷得分的平均分以及方差,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)簡(jiǎn)單說(shuō)明麗甲、乙兩地觀眾對(duì)該電視娛樂(lè)節(jié)目的喜愛(ài)程度；2|以頻率估計(jì)概率|,假設(shè)從甲地觀眾中|再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,記問(wèn)卷分?jǐn)?shù)超過(guò)80分的人數(shù)為E,求的分布列與數(shù)學(xué)期望請(qǐng)看原題答案,居然是錯(cuò)解：正解：1同上.2由于題中說(shuō)：|以頻率估計(jì)概率,即以該頻率來(lái)估計(jì)甲地區(qū)的整體情況,“假設(shè)從甲地觀眾中再隨機(jī)抽取3人即時(shí)強(qiáng)

13、有力的證據(jù),所以此題應(yīng)為二項(xiàng)分布,而非超幾何分布超過(guò)80分的頻率為-,即概率p=3,£的可能取值為0,1,2,3,P(x=0)=1-.4643l=±P(x.1)七d-aP(x-1)-0344.P(x=2)=C；3QiT；27I=14)14)643P(x=3)=-42764所以X的分布列為X0123P192727164646464一,八9E(X)=np=-4而下面這道題,就應(yīng)該是超幾何分布啦！18.本小題總分值12分2021石家莊質(zhì)檢一某學(xué)校為了解高三復(fù)習(xí)效果,從高三第一學(xué)期期中測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取50名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),分成6組制成頻率分布直方圖如圖所示:(1)求m的值；并且計(jì)

14、算這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的樣本平均數(shù)(R)該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)方案,從成績(jī)?cè)?30,150的同學(xué)中選出3位作為代表進(jìn)行座談,記成績(jī)?cè)?40,150的同學(xué)人數(shù)為己,寫(xiě)出己的分布列,并求出期望.18.解(I)由題(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m/10=1解得m=0.0083分X=950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810=121.8(n)成績(jī)?cè)?30,140)的同學(xué)人數(shù)為6,在140,150的同學(xué)人數(shù)為4,從而.的可能取_1_2HCdP=1=3C10值為0,1,2,3,00031130P=0:

15、F-6,p烏p生P一C3-10P一3一C3C10IUC10所以e的分布列為0123P113162103010分11316.Er=0M+1M+2M+3區(qū)=.12分621030518.(本小題總分值12分)(2021百所名校示范卷五)“共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種模一A城市B城市式創(chuàng)新,對(duì)于解決民眾出行“最后一公1公里的問(wèn)題特別見(jiàn)效,由于停取方便、租用價(jià)格低廉,各種共享單車受到人們的熱捧.某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查人們對(duì)此種交通方式的滿意度,從交通擁堵的A城市和交通嚴(yán)重?fù)矶碌腂城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶,得到了一個(gè)用戶滿意度評(píng)分的樣本,假設(shè)評(píng)分不低于80分,那么認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“認(rèn)可,否那么認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“不認(rèn)可,并繪制出莖葉圖如圖.(1)請(qǐng)根據(jù)此樣本完成下面的2X2列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否能在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)10%勺情況下認(rèn)為交通擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)；(2)假設(shè)以A城抽取的這20個(gè)用戶的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)A城的總體數(shù)據(jù),現(xiàn)從A城任選3名用戶,記X表示抽到用戶為對(duì)此種交通方式“認(rèn)可的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望參考公式：K22n(ad-bc)(ab)(cd)(ac)(bd)'其中n=a+b