第四章_插值法及曲線擬合

1、1第四章第四章 插值與曲線擬合插值與曲線擬合1 引言引言2 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式3 牛頓插值多項式牛頓插值多項式4 分段低次插值分段低次插值5 最小二乘擬合最小二乘擬合21 引引 言言1. 1插值問題的提法插值問題的提法 在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常遇到這種情況：在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù) 在區(qū)間 上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù) 的性態(tài)、甚至直接求出其 xfba ,3它一些點(diǎn)上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下，雖然可以寫出函數(shù) 的解析表達(dá)式，但由

2、于結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起來很不方便。面對這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個簡單函數(shù)P(x)作為 的近似。 插值法插值法是解決此類問題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計算方法的基礎(chǔ)。 xf xf4定義定義 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間 a,b上連續(xù)，且在n+1個不同的點(diǎn) 上分別取值 ，在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的函數(shù)類 中，求一簡單函數(shù)p(x) ，使 而在其它點(diǎn) 上，作為 f(x) 的近似。稱區(qū)間為插值區(qū)間插值區(qū)間，點(diǎn) 為插插值節(jié)點(diǎn)值節(jié)點(diǎn)，稱（1.1）為 f(x)的插值條件插值條件，稱函數(shù)

3、類 為插值函數(shù)類插值函數(shù)類，稱 p(x)為函數(shù)在bxxxan,10nyyy,10 niyxPii, 1 , 0(1.1)ixx nxxx,105節(jié)點(diǎn) 處的插值函數(shù)插值函數(shù)。求插值函數(shù) p(x) 的方法稱為插值法插值法。插值函數(shù)類的取法不同，所求得的插值函數(shù)p(x)逼近f(x)的效果就不同它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項式、三角多項式和有理函數(shù)等。 當(dāng)選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)時，相應(yīng)的插值問題就稱為多項式插值。多項式插值。 在多項式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式nxxx,106 (1.2) nnnxaxaaxP10使其中 為實數(shù)。滿足插值條件(1.3)

4、的多項式(1.2)，稱為函數(shù)f(x) 在節(jié)點(diǎn) 處的n次插值值多項式次插值值多項式。 n次插值多項式次插值多項式 的幾何意義的幾何意義：過曲線y = f(x) 上的n+1個點(diǎn) 作一條n次代數(shù)曲線 ，作為曲線y = f(x) 的近似，如圖圖2-1。 niyxPiin, , 1 , 0naaa,10 xPn)(xPyn), 1 , 0)(,(niyxii (1.3)7 xPyn xfy 0 x1xnxXab0y1yny0Y8 1 .2 插值多項式存在唯一性插值多項式存在唯一性 由插值條件（1.3）知，插值多項式 的系數(shù)滿足線性方程組 （1.4）由線性代數(shù)知，線性方程組的系數(shù)行列式（記為V）是n+1階

5、范德蒙（Vandermonde）行列式，且 xPnniai, 1 , 0nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV1102121102001119 因 是區(qū)間 上的不同點(diǎn)不同點(diǎn)，上式右端乘積中的每一個因子 ，于是 ，方程組（1.4）的解存在且唯一。故有下面的結(jié)論：定理定理1 若節(jié)點(diǎn) 互不相同，則滿足插值條件（1.3）的n次插值多項式（1.2）存在且唯一。 0Vnxxx, 1, 0ba,0jixxnxxx, 1,0102 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式 在上一節(jié)里，我們不僅指出了插值多項式的存在唯一性，而且

6、也提供了它的一種求法，即通過解線性方程組（1.4）來確定其系數(shù) ，但是，這種作法的計算工作量大，不便于實際應(yīng)用，下面介紹幾種簡便的求法。 2.1 插值基函數(shù)插值基函數(shù) 先考慮一下簡單的插值問題：對節(jié)點(diǎn) 中任一點(diǎn) ,作一n次多項式 , 使它在該點(diǎn)上取值為1,而在其余點(diǎn) 上取值為零, 即 （2.1）（2.1）表明n個點(diǎn) 都是n次多項式 的零點(diǎn)，故可設(shè))(xlkianixi, 1 , 0nkxk0nkkixi, 1, 1, 1 , 0kikixlik01)()(xlknkkixi, 1, 1, 1 , 0)()()()(1110nkkkkxxxxxxxxxxAxl11其中 為待定系數(shù)，由條件 可得

7、故 (2.2)對應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn) ，都能求出一個滿足插值條件（2.1）的n次插值多項式（2.2），這樣，由（2.2）式可以求出n+1個n次插插多項式 。容易看出，這組多項式僅與節(jié)點(diǎn)的取法有關(guān)，稱它們?yōu)樵趎+1個節(jié)點(diǎn)上的n次基本插值多項式次基本插值多項式或n次插值次插值基函數(shù)。基函數(shù)。kA1)(kkxl)(,),(),(10 xlxlxln)()()(1110nkkkkkkkxxxxxxxxA)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkxk012 2.2 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式 利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件（1.3）的

8、n次插值多項式 （2.3） 事實上，由于每個插值基函數(shù) 都是n次多項式，故其線性組合（2.3）必是不高于n次的多項式，同時，根據(jù)條件（2.1）容易驗證多項式（2.3）在節(jié)點(diǎn) 處的值為 ，因此，它就是待求的n次插值多項式 。 形如(2.3)的插值多項式稱為拉格朗日插值多項式，記為 （2.4)ix xLn)()()(1100 xlyxlyxlynn), 1 , 0)(nkxlkniyi, 1 , 0 xPn)()()(1100 xlyxlyxlynnnknkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxy0110110)()()()()()(13 作為的特例，令n=1，由（2.4）即得兩點(diǎn)插值

9、公式兩點(diǎn)插值公式即這是一個線性函數(shù)，用線性函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過曲線 上兩點(diǎn) 作一直線 近似代替曲線 (見圖圖2-2)，故兩點(diǎn)插值又名線性插值線性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三點(diǎn)插值公式 （2.5） （2.6）（2.7）)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL010110101)(xxxxyxxxxyxL)()(0010101xxxxyyyxL)(1xL),(00yx),(11yx)(1xyL)(xfy )(xfy )(xf14這是一個二次函數(shù)，用二次函數(shù) 近似代替函數(shù) ，

10、在幾何上就是通過曲線 上的三點(diǎn) ，作一拋物線 近似地代替曲線 （圖圖2-3），故三點(diǎn)插值三點(diǎn)插值(二次插二次插值值)。例例1 已知 分別用線性插值和拋物插值 求 的值。 xLy1 xfy x0 x0 x1),00(yx),11(yxy圖圖2-2)(2xL)(xf)(xfy )(xfy ),(),(),(221100yxyxyx)(2xLy 12144,11121,1010011515解解 因為115在100和121之間，故取節(jié)點(diǎn)x0=100，x1=121相應(yīng)地有 y0=10，y1=11，于是，由線性插值公式（2.5）可得 故用線性插值求得的近似值為圖圖2-3 xLy2 xfy ),11(yx)

11、,00(yxyxx0 x10),22(yx714.10100121100115*11121100121115*10)115(1151L100121100*11121100121*10)(1xxxL 16723.10)121144)(100144()121115)(100115(*12)144121)(100121()144115)(100115(*11)144100)(121100()144115)(121115(*10)115(1152 L115仿上，用拋物插值公式（2.7）所求得的近似值為將所得結(jié)果與 的精確值10.7238相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。 為了便于上機(jī)計算，我們常將

12、拉格朗日插值多項式（2.4）改寫成公式（2.8）的對稱形式 可用二重循環(huán)來完成 值的計算，先通過內(nèi)循環(huán)，即先固定k，令j從0到 ，累乘求得 nknkjjjkjknxxxxyxL00)(（2.8）)(kjn)(xLn17 然后再通過外循環(huán)，即令k從0到n，累加得出插值結(jié)果 。 2.3 插值余項插值余項 在插值區(qū)間a,b上用插值多項式 近似代替 ，除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在有誤差的。若記則 就是用 近似代替 時所產(chǎn)生的截斷誤差，稱 為插值多項式 的余項余項。 nkjjjkjkxxxxxl0)()()()(xPxfxRnn)(xLn)(xPn)(xf)(xRn)(xPn)(

13、xPn)(xf18 的n次插值多項式，則對于任何 ，有其中 且依賴于 。 （2.9）b)(a, )()(01niinxxx)()!1()()(1)1(xnfxRnnn), 1 , 0)()(nixfxPiinbax,x關(guān)于誤差有如下定理2中的估計式。定理定理2 設(shè) 在區(qū)間 上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)， 為區(qū)間 上n+1個互異的節(jié)點(diǎn)， 為滿足條件:)(xfba,nxxx,10)(xPnba,19例例2 在例1中分別用線性插值和拋物插值計算了的 近似值，試估計它們的截斷誤差。解解 用線性插值求 的近似值，其截斷誤差由插值余項公 式（2.9）知現(xiàn)在x0=100，x1=121，x=115，故115xxf)(

14、xxxxxxxfxR10102/321,)(81)()( 21)(3558. 010*6*15*81max)121115)(100115(*81)115(232/3121,1001R20 當(dāng)用拋物插值求 的近似值時，其截斷誤差為 將 代入，即得 0178. 010*)144115)(121115)(100115(161)115(252RxxxxxRxxxxfx,202102/532),)()(161)()( ! 31)(xxf)(115,144,121,100210 xxxx 3 牛頓插值多項式牛頓插值多項式 由線性代數(shù)可知，任何一個不高于n次的多項式，都可表示成函數(shù) 的線性組合，即可將滿足插

15、值條件 的n次多項式寫成形式其中 為待定系數(shù)。這種形式的插值多項式稱為牛頓牛頓Newton插值多項式插值多項式，我們把它記成nx,即 （3.1)21 )()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa 11012010nnonxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkak, 1 , 0)()(,),)(, 1110100nxxxxxxxxxxxx), 1 , 0()(niyxPii22 因此，牛頓插值多項式 是插值多項式 的另一種表示形式,與拉格朗日插值多項式相比較，不僅克服了“增加一個節(jié)點(diǎn)時整個計算機(jī)工作必須重新開始”見例1的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù)。同時，在牛頓插

16、值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其它方面有著密切的關(guān)系. 3.1 向前差分與牛頓插值公式向前差分與牛頓插值公式 設(shè)函數(shù)x 在等距節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值 為已知，其中h是正常數(shù)，稱為步長步長，稱兩個相鄰點(diǎn) 和 處函數(shù)值之差 為函數(shù)x在點(diǎn) 處以h為步長的一階向前差分一階向前差分簡稱一階差分，記作 ，即于是，函數(shù)x 在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為 又稱一階差分的差分為二階差分二階差分。 xNn xPnnkkhxxk, 1 , 00kkyxf1kxkkyy1kxkykkkyyy1。11121010,nnnyyyyyyyyykkkkyyyy12kx23kmkmkmyyy111一般地，定義函數(shù) x在

17、點(diǎn) 處的m階差分階差分為 為了便于計算與應(yīng)用，通常采用表格形式計算差分，如表表2-1所示。表表2-1xkykykyk2yk3yk4x0 x2x3x4x1y0y1y2y3y4y0y1y2y3y02y12y22y03y13y04kx24 在等距節(jié)點(diǎn) 情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項式3.1 的系數(shù)，并將所得公式加以簡化。事實上，由插值條件 立即可得 再由插值條件 可得由插值條件 可得 一般地，由插值條件 可得 2020121202020022! 222hyhhyyyxxxxhxxyyya), 1 , 0(0nkkhxxk00yxNn00ya 11yxNnhyxxyya001011kknyxN2

18、2yxNn25 于是，滿足插值條件 的插值多項式為令 ,并注意到 ，則可簡化為 這個用向前差分表示的插值多項式，稱為牛頓向前插值公式牛頓向前插值公式，簡稱前插公式前插公式。它適用于計算表頭 附近的函數(shù)值。 由插值余項公式2.9，可得前插公式的余項為：), 2 , 1(!nkhkyakokk iinyxN 110010202000!2nnnnxxxxxxhnyxxxxhyxxhyyxN)0(0tthxxkhxxk0002000!11!21ynntttyttytythxNnn0 x3226 （3.3)例例4 從給定的正弦函數(shù)表表表2-2左邊兩列出發(fā)計算 ,并估計截斷誤差。 ),(,!110110n

19、nnnxxfhnntttthxR)12. 0sin(表表22xxsinyy2y30.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019927解解 因為0.12介于0.1與0.2之間，故取 ，此時 。為求 ,構(gòu)造差分表表22。表中長方形框中各數(shù)依次為 在 處的函數(shù)值和各階差分。若用線性插值求sin0.12的近似值，則由前插公式3.2立即可得用二次插值得用

20、三次插值得：1 . 00 x2 . 01 . 01 . 012. 00hxxtyyy03020,1 . 00 x11960. 009884. 02 . 009983. 0)12. 0()12. 0sin(1 N11976. 000016. 0)12. 0()00199. 0(2) 12 . 0(2 . 009884. 02 . 009983. 0)12. 0()12. 0sin(12NNxsin28 因 很接近，且由差分表表22可以看出，三階差分接近于常數(shù)（即 接近于零），故取 作為 的近似值，此時由余項公式（3.3）可知其截斷誤差 3.2 向后差分與牛頓向后插值公式向后差分與牛頓向后插值公式

21、 在等距節(jié)點(diǎn) 下， 除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號分別如下： 在點(diǎn) 處以h為步長的一階向后差分一階向后差分和m階向后差階向后差分分分別為)12. 0sin( 11971.000096.0622 .012 .02 .0)12.0()12.0()12.0sin(23NN)12. 0()12. 0(23NN與04y11971. 0)12. 0(3N xfy kx000002. 0)4 . 0sin() 1 . 0(24)32 . 0()22 . 0() 12 . 0(2 . 0)12. 0(43R), 1 , 0(0nkkhxxk29 在 點(diǎn)處以為步長的一階中心差分和m階中

22、心差分分別為其中 各階向后差分與中心差分的計算，可通過構(gòu)造向后差分表與中心差分表來完成?參見表表2?。 利用向后差分，可簡化牛頓插值多項式（.1），導(dǎo)出與牛頓前插公式?3.2?類似的公式，即，若將節(jié)點(diǎn)的排列次序看作 ，那么?.1)可寫成 xfy kx), 3 , 2(2112112121myyyyyykmkmkmkkk.2,22121hxfyhxfykkkk01,xxxnn), 3 , 2(1111myyyyyykmkmkmkkk30根據(jù)插值條件 , 可得到一個用向后差分表示的插值多項式其中 t0，插枝多項式(3.4)稱為牛頓向后插值公式牛頓向后插值公式，簡稱后插公式。它適用于計算表尾 附近的

23、函數(shù)值。由插值余項公式（.9），可寫出后插公式的余項(3.4) 111210 xxxxxxbxxxxbxxbbxNnnnnnnn )0 , 1 , 1,(nniyxNiinnnnnnnnynntttyttytythxN!11! 212nxnxxth31 (3.5)例例已知函數(shù)表同例，計算 ，并估算截斷誤差。解解因為.58位于表尾 附近，故用后插公式（3.4）計算sin(0.58)的近似值。 一般地為了計算函數(shù)在 處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對同一函數(shù)表來說，構(gòu)造出來的向后差分表與向前差分表在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表表-用“”線標(biāo)出的各數(shù)依次給出了

24、在 處的函數(shù)值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計算，且 ，于是由后插公式（3.4）得 ),(!11011nnnnnxxfhnntttthxR)58. 0sin(6 . 05x5xxsin6 . 05x2 . 01 . 0/ )6 . 058. 0(/ )(5hxxt32 因為在整個計算中，只用到四個點(diǎn) 上的函數(shù)值，故由余項公式（.5）知其截斷誤差 54802. 000091. 0622 . 012 . 02 . 000480. 0212 . 02 . 03 . 0 , 4 . 0 , 5 . 06 . 0 ，x58. 058. 0sin3N08521. 02 . 056

25、464. 0000002. 06 . 0sin1 . 04 2432 . 022 . 012 . 02 . 058. 03R33 3.3 差商與牛頓基本插值多項式差商與牛頓基本插值多項式 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)非等距分布時，就不能引入差分來簡化牛頓插值多項式，此時可用差商這個新概念來解決。 設(shè)函數(shù) 在一串互異的點(diǎn) 上的值依次為 。我們稱函數(shù)值之差 與自變量之差 的比值為函數(shù) 關(guān)于 點(diǎn)的一階差商一階差商，記作例如210iiixxx、)()()(210iiixfxfxf、0101)()(iiiixxxfxf,10iixxf,)()(,)()(,121221010110 xxxfxffxxxfxffxxxx01

26、iixx )(xf)()(01iixfxf)(xf01,iixx34稱一階差商的差商 為函數(shù) 關(guān)于點(diǎn) 的二階差商二階差商（簡稱二階差商二階差商），記作 ，例如 一般地，可通過函數(shù) 的m-1階差商定義的m階差商如下：021021,iiiiiixxxxfxxf xf210iiixxx、021021210,xxxxfxxfxxxf,210ixxxfii010110,iiiiiiiiixxxxfxxfxxxfmmmm)(xf35 差商計算也可采用表格形式（稱為差商表），如表表23所示， 表表23 1xf 0 xf32,xxf 一階差商 二階差商 三階差商 kxf10,xxf210,xxxf21,xxf

27、3210,xxxxf2xf321,xxxf3xfkx3x0 x2x1x36差商具有下列重要性質(zhì)（證明略）：（1） 函數(shù) 的m階差商 可由函數(shù)值 的線性組合表示，且（2） 差商具有對稱性，即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，不影響差商的值。 例如（）當(dāng) 在包含節(jié)點(diǎn) 的某個區(qū)間上存在時， 在 之間必有一點(diǎn) 使,10mxxxf mxfxfxf、10 mimiiiiiiimxxxxxxxxxfxxxf011010)()()(,.,021201210 xxxfxxxfxxxf xfmmjxji, 1 , 0miiixxx,10, !,10mfxxxfmiimi，)(xf37（）在等距節(jié)點(diǎn) 情況下，可同時引入 階差分與

28、差商，且有下面關(guān)系： 引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項式（.1）的系數(shù)。事實上，從插值條件出發(fā)，可以象確定前插公式中的系數(shù)那樣，逐步地確定（.1）中的系數(shù)故滿足插值條件 的n次插值多項式為nkkhxxk, 1 , 00nmmmnmmnnnmmmhmyxxxfhmyxxxf!,!,1010)(, 2 , 1,0010 xfankxxxfakk niyxNiin, 1 , 038 （3.6）（3.6）稱為牛頓基本插值多項式牛頓基本插值多項式，常用來計算非等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。例例 試用牛頓基本插值多項式按例要求重新計算 的近似值。解解 先構(gòu)造差商表。 由上表可以看出牛頓基本插值多項式(3

29、.6)中各系數(shù)依次為11010,nnxxxxxxxxxf 102100100,xxxxxxxfxxxxfxfxNn115一階商差 二階商差xx10012111100.0434780.047619-0.0000941441239 故用線性插值所得的近似值為 用拋物插值所求得的近似值為所得結(jié)果與例1相一致。比較例1和例6的計算過程可以看出，與拉格朗日插值多項式相比較，牛頓插值多項式的優(yōu)點(diǎn)是明顯的。 由插值多項式的存在唯一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項式（2.42.4）與牛頓基本插值多項式（3.63.6）是同一多項式。因此，余項公式（2.92.9）也適用于牛頓插值。但是在實際計算中，

30、有時也用差商表示的余項公式000094. 0,047619. 0,10)(210100 xxxxxxfff7143.10)100115(047619. 010)115(1151 N7228.10)121115()100115()000094. 0()115()115(11512NN40 （3.73.7）來估計截斷誤差（證明略）。注意注意： 上式中的n+1階商差 與 的值有關(guān)，故不 能準(zhǔn)確地計算出 的精確值，只能對它作一 種估計。例，當(dāng)四階差商變化不大時，可用 近似代替 。)(xf)(,)(110 xxxxxfxRnnn,10 xxxxfn,10 xxxxfn,43210 xxxxxf,3210

31、 xxxxxf 分段線性插值Runge現(xiàn)象v給定函數(shù)v取等距插值節(jié)點(diǎn)v建立10次插值多項式112511)(2xxxf)10,2, 1 ,0(1021iixi10010)()()(iiixlxfxL43 -1 0 1 x y 1y=1/(1+25x2)y=L5(x)圖圖2-52-5y=L10(x) 分段線性插值分段線性插值 分段線性插值就是通過插值節(jié)點(diǎn)用折線段連接分段線性插值就是通過插值節(jié)點(diǎn)用折線段連接起起來逼近來逼近f( (x) )。 設(shè)設(shè)f(x)f(x)在在n+1n+1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值為上的函數(shù)值為 , ,在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 ( (k=0,1,k=0,1,，n n）上作線性插值

32、，得上作線性插值，得 bxxxan10)(,),(),(10nxfxfxf1,kkxx)()()()(111111kkkkkkkkkkxxxxfxxxxxfxxxxxS y y=f(x) 0 x0 x1 x2 xn x 在幾何上就是用折線在幾何上就是用折線替代曲線替代曲線, ,如右圖所示如右圖所示若用插值基函數(shù)表示若用插值基函數(shù)表示, ,則在則在 a, ,b 上上 )()()()(0bxaxfxlxSinii11111111,0,)(iiiiiiiiiiiiixxxbaxxxxxxxxxxxxxxxxl其其中中顯然，顯然， 是分段線性連續(xù)函數(shù)，且是分段線性連續(xù)函數(shù)，且 稱稱S S( (x x)

33、 )為為f f( (x x) )的的分段線性插值函數(shù)。分段線性插值函數(shù)。由線性插值的余項估計式知由線性插值的余項估計式知, ,f f( (x x) )在每個子段在每個子段上有誤差估計式上有誤差估計式其中其中 )(xlikikixlki, 0, 1)(1,iixx)(max8)()(12xfhxSxfiixxxi iiixxh1例例5.19 5.19 已知已知f(x)f(x)在四個節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如下表所示在四個節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如下表所示 ix)(ixf 30 45 60 902122231求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 30,9030,90 上的上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)分段連續(xù)線性插值函數(shù)S(x

34、)S(x) 解解 將將插值區(qū)間插值區(qū)間 30,9030,90 分成連續(xù)的三個小區(qū)間分成連續(xù)的三個小區(qū)間 30,4530,45 , , 45,6045,60 , , 60,9060,90 則則S(x)在區(qū)間在區(qū)間 30,4530,45 上的上的線性插值為線性插值為 2233012)()()(10100101xxfxxxxxfxxxxxSS(x)在區(qū)間在區(qū)間 45,6045,60 上的上的線性插值為線性插值為 323223023)()()(21211212xxfxxxxxfxxxxxSS(x)S(x)在區(qū)間在區(qū)間 60,9060,90 上的線性插值上的線性插值為為 22336032)()()(32

35、322323xxfxxxxxfxxxxxS將各小區(qū)間的將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得線性插值函數(shù)連接在一起，得 906022336032604532322302345302233012)(xxxxxxxS三次Hermite插值v問題: 已知函數(shù)f(x)在兩個節(jié)點(diǎn) x0, x1上 的函數(shù)值分別為 y0, y1 及一階導(dǎo)數(shù)值分別為 m0, m1構(gòu)造一個插值函數(shù)H3(x) ，使?jié)M足條件 1H3(x)是次數(shù)3的多項式 2H3(x0)=y0 , H3(x1)=y1 ,H3 (x0)=m0 H3(x1)=m1 稱這類插值問題為三次Hermite插值問題.v首先求做三次多項式h0(x),h1(x),

36、h0(x),h1(x),使其滿足 h0(x0)=1, h0(x1)=0, h0(x0)=0, h0(x1)=0 h1(x0)=0, h1(x1)=1, h1(x0)=0, h1(x1)=0 h0(x0)=0, h0(x1)=0, h0(x0)=1, h0(x1)=0 h1(x0)=0, h1(x1)=0, h1(x0)=0, h1(x1)=1設(shè) 由h0(x0)=1 ，得a=1, 再由h0(x0)=0 ，得 ，于是210100)()(xxxxxxbaxh012bxx 21010100)(21 ()(xxxxxxxxxh同理有設(shè) 由h0(x0)=1 ，得a=1, 于是同理有20101011)(21

37、 ()(xxxxxxxxxh210100)()(xxxxxxaxh210100)()(xxxxxxxh201011)()(xxxxxxxhv顯然H3(x)= y0h0(x)+y1h1(x)+m0h0(x)+m1h1(x)其中210100)()(xxxxxxxh21010100)(21 ()(xxxxxxxxxh20101011)(21 ()(xxxxxxxxxh201011)()(xxxxxxxh三次Hermite插值多項式的余項v定理3 設(shè)H3(x) 是以x0, x1為插值節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多項式，若f(x)C3a, b ， f(4)(x)在(a, b)上存在，其中 a, b是包含

38、(x0, x1)的任一區(qū)間，則對任意給定的xa,b ，總存在一點(diǎn)(a, b)（依賴于x）使2120)4(3)()(!4)()()()(xxxxfxHxfxR 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法 如果已知函數(shù)如果已知函數(shù)f(x)f(x)在若干點(diǎn)在若干點(diǎn)x xi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)處處的值的值y yi i, ,便可根據(jù)插值原理來建立插值多項式作為便可根據(jù)插值原理來建立插值多項式作為f(x)f(x)的近似。但在科學(xué)實驗和生產(chǎn)實踐中，往往會的近似。但在科學(xué)實驗和生產(chǎn)實踐中，往往會遇到這樣一種情況，即節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值并不是很精遇到這樣一種情況，即節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值并不是很精確的，這

39、些函數(shù)值是由實驗或觀測得到的數(shù)據(jù)，不確的，這些函數(shù)值是由實驗或觀測得到的數(shù)據(jù)，不可避免地帶有測量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)可避免地帶有測量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無誤地通過所有的點(diǎn)曲線精確無誤地通過所有的點(diǎn)( (x xi i, ,y yi i),),就會使曲線保就會使曲線保留著一切測試誤差。當(dāng)個別數(shù)據(jù)的誤差較大時留著一切測試誤差。當(dāng)個別數(shù)據(jù)的誤差較大時, ,插值插值效果顯然是不理想的。此外效果顯然是不理想的。此外, ,由實驗或觀測提供的數(shù)由實驗或觀測提供的數(shù)據(jù)個數(shù)往往很多據(jù)個數(shù)往往很多, ,如果用插值法如果用插值法, ,勢必得到次數(shù)較高勢必得到次數(shù)較高的插值多項式，這樣計算起來很

40、煩瑣。的插值多項式，這樣計算起來很煩瑣。為此為此, ,我們希望從給定的數(shù)據(jù)我們希望從給定的數(shù)據(jù)( (x xi i, ,y yi i) )出發(fā)出發(fā), ,構(gòu)造構(gòu)造一個近似函數(shù)一個近似函數(shù) , ,不要求函數(shù)不要求函數(shù) 完全通過所完全通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢，如圖據(jù)的基本趨勢，如圖5-75-7所示。所示。)(x)(x y o x 圖圖5-7 5-7 曲線擬合示意曲線擬合示意圖圖 換句話說換句話說: :求一條曲線求一條曲線, ,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處上方或下方不遠(yuǎn)處, ,所求的曲線稱為擬合曲線

41、所求的曲線稱為擬合曲線, ,它它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布既能反映數(shù)據(jù)的總體分布, ,又不至于出現(xiàn)局部較大又不至于出現(xiàn)局部較大的波動的波動, ,更能反映被逼近函數(shù)的特性更能反映被逼近函數(shù)的特性, ,使求得的逼使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來說其偏差按某種方近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來說其偏差按某種方法度量達(dá)到最小法度量達(dá)到最小, ,這就是曲線擬合。這就是曲線擬合。 與函數(shù)插值問題不同與函數(shù)插值問題不同, ,曲線擬合不要求曲線通過曲線擬合不要求曲線通過所有已知點(diǎn)所有已知點(diǎn), ,而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系。在某種意義上基本關(guān)系。在某種意義上, ,曲線

42、擬合更有實用價值。曲線擬合更有實用價值。 在對給出的實驗在對給出的實驗( (或觀測或觀測) )數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)作曲線擬合時作曲線擬合時, ,怎樣才算擬合得最好呢？一般希望各怎樣才算擬合得最好呢？一般希望各實驗實驗( (或觀測或觀測) )數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小, ,這就是最小二乘原理。這就是最小二乘原理。 兩種逼近概念兩種逼近概念: : 插值插值: : 在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同. . 擬合擬合: : 在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小), 1 , 0)(,(niyxii 函數(shù)插值是插值函數(shù)函數(shù)插值是插值函數(shù)P(x)P(x)與被插函數(shù)與被

43、插函數(shù)f(x)f(x)在節(jié)在節(jié)處函數(shù)值相同處函數(shù)值相同, ,即即 而而曲線擬合函數(shù)曲線擬合函數(shù) 不要求嚴(yán)格地通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)不要求嚴(yán)格地通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn) , ,也就是說擬合函數(shù)也就是說擬合函數(shù) 在在x xi i處的偏差處的偏差( (亦稱殘差亦稱殘差） 不都嚴(yán)格地等于不都嚴(yán)格地等于零。但是零。但是, ,為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢的變化趨勢, ,要求要求 按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小。若記按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小。若記向量向量 , ,即要求向量即要求向量 某種范數(shù)某種范數(shù) 最小最小, ,如如 的的1-范數(shù)范數(shù) 或或-范數(shù)范數(shù)即即 )()(iixfxP), 1 , 0

44、(ni)(x),(iiyx)(x)()(iiixfx), 1 ,0(niiTne,10eee1eeniiiniixfxe001)()()()(maxmaxiiiiixfxe或或 最小。為了便于計算、分析與應(yīng)用，通常要求最小。為了便于計算、分析與應(yīng)用，通常要求的的2-2-范數(shù)范數(shù) e212021022)()(niiiniixfxe200222)()(niiiniixfxe即即 為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。 （1）直線擬合直線擬合設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn) , ,分布大致為一分布大致為一條

45、直線。作擬合直線條直線。作擬合直線 , ,該直線不是通該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn) , ,而是使偏差平方和而是使偏差平方和miyxii,2, 1,xaaxy10)(iiyx ,miiiyxaaaaF121010)(),(為最小，其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為為最小，其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)取根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)取 和和 使使 有極有極小值，故小值，故 和和 應(yīng)滿足下列條件：應(yīng)滿足下列條件：iiiiyxaayxy10)(mi,2, 10a1a),(10aaF1a0a0)(2),(0)(2),(110110110010imiiimiiixyxaaaaaFyxa

46、aaaaF即得如下正規(guī)方程組即得如下正規(guī)方程組 miiimiimiimiimiiyxxaxayxama1121101110(5.45) 例例 設(shè)有某實驗數(shù)據(jù)如下：設(shè)有某實驗數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.96314.094 16.844 18.475 20.963iixiy 用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù) 解解: :把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上, ,將會看到數(shù)據(jù)點(diǎn)將會看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可以用一條直線來

47、近似地描述的分布可以用一條直線來近似地描述, ,設(shè)所求的設(shè)所求的 擬合直線為擬合直線為 記記x x1 1=1.36, =1.36, x x2 2=1.37, =1.37, x x3 3 =1.95=1.95x x4 4 =2.28, y =2.28, y1 1 =14.094, y =14.094, y2 2= 16.844, y= 16.844, y3 3=18.475, =18.475, y y4 4=20.963=20.963則正規(guī)方程組為則正規(guī)方程組為 xaaxy10)(4141214104141104iiiiiiiiiiiyxxaxayxaa32. 741iix8434.13412i

48、ix376.7041iiy12985.13241iiiyx其中其中 將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組, ,得得12985.1328434.1332. 7376.7032. 741010aaaa解得解得 4626.7,9374.310aa即得擬合直線即得擬合直線 xy4626.79374.3（2 2）多項式擬合）多項式擬合 有時所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條有時所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線直線, ,這時仍用直線擬合顯然是不合適的這時仍用直線擬合顯然是不合適的, ,可用多項可用多項式擬合。對于給定的一組數(shù)據(jù)式擬合。對于給定的一組數(shù)據(jù)尋求次數(shù)不超過尋求次數(shù)不

49、超過m (mN ) m (mN ) 的多項式，的多項式， Niyxii,2,1,mmxaxaxaay2210來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的平方和平方和201)(jimjjNiixayQ為最小為最小由于由于Q Q可以看作是關(guān)于可以看作是關(guān)于 ( ( j=0,1,2,j=0,1,2, m), m)的的多元函數(shù)多元函數(shù), , 故上述擬合多項式的構(gòu)造問題可故上述擬合多項式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令201)(jimjjNiixayQmkaQk,2, 1 ,0,0得得 mkxxaykijimjjNii, 1

50、 , 0, 0)(01即有即有 imimimmimiiimimiiimimiyxxaxaxayxxaxaxayxaxaNa2110121010這是關(guān)于系數(shù)這是關(guān)于系數(shù) 的線性方程組，通常稱為正的線性方程組，通常稱為正規(guī)方程組（法方程組）?？梢宰C明，正規(guī)方程組規(guī)方程組（法方程組）?？梢宰C明，正規(guī)方程組有惟一解。有惟一解。 ja 例設(shè)某實驗數(shù)據(jù)如下：例設(shè)某實驗數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3 5 2 1 1 2 3iixiy用最小二乘法求一個多項式擬合這組數(shù)據(jù)用最小二乘法求一個多項式擬合這組數(shù)據(jù) 解：將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，可以看出這些點(diǎn)解：將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，可以看出這些點(diǎn) 接近一條拋物線，因此設(shè)所求的多項式為接近一條拋物線，因此設(shè)所求的多項式為 2210 xaxaay由法方程組，由法方程組，經(jīng)計算得經(jīng)計算得 N=6, 612616161461361261122,30,14,979,225,55,15iiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxxxx其法方程組為其法方程組為 122979225553022555151455156210210210aaaaaaaaa解之得解之得 5000