第12講從“角地度量”看測量教學(xué)

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案第 12 講 從“角的度量”看測量教學(xué)主講：楊利亞江蘇無錫市名師江蘇省江陰市講師進修學(xué)校張葉清中學(xué)高級教師上海市師范高等?？茖W(xué)校附屬小學(xué)楊：各位老師，大家好今天我們一起來從“角的度量”看測量教學(xué)，為什么選這個題目呢？測量是空間和圖形中一個重要的部分，而這個內(nèi)容里面有很多的東西非常難， 比如說角的度量。 今天我們就來解剖這節(jié)課，討論一些關(guān)于測量教學(xué)的問題。一、現(xiàn)狀和原因的分析（字幕）張：我們先來了解一些基本情況：一般是怎樣教學(xué)“角的度量”的？教學(xué)時遇到什么問題？產(chǎn)生這些問題的原因又是什么？（字幕）楊：我也多次教過角的度量，我一般是這樣教的，首先認(rèn)識量角器和角的的計量單位“度”，接著教

2、學(xué)量角的方法“對點、對邊、讀刻度”，最后就進行大量的練習(xí)。張：但是象這樣的教學(xué)經(jīng)常遇到的問題有三個，第一是學(xué)生不會擺量角器，頂點和中心、零刻度線和角的一條邊很難同時達到要求， 最極端的錯誤是明明角在這里， 量角器竟然會放到角的另一側(cè)， 也就是說角不在量角器的范圍里邊。 第二種錯誤是擺好了量角器也不會讀刻度， 內(nèi)圈和外圈分不清， 70 度讀成 110 度，遇到 65 度這樣的角更難理解，學(xué)生會讀成 75 度、125 度、115 度。而第三個問題，整個課堂中灌輸?shù)奈兜缹嵕饰臋n實用標(biāo)準(zhǔn)文案在太濃，學(xué)生真的成了接收灌輸?shù)娜萜?。楊：你遇到的問題啊其實我也經(jīng)常遇到， 我認(rèn)為產(chǎn)生這些問題的原因不能歸結(jié)于我

3、們自己講解不清，指導(dǎo)不細， 訓(xùn)練不夠，恐怕這些原因只是表面的原因，我認(rèn)為最根本的原因是學(xué)生對于量角器的本質(zhì)不太明了。學(xué)生不明白“量角器就是單位小角的集合” （字幕）。因為量角的基本單位是度，而這個“度的角”實在太小，在量角器上根本不能反映出來，所以量角器的制作者往往把度分割線去掉大部分， 就留下沿著圓周的一小部分，因此學(xué)生很難理解“量角器就是小角的集合”。而且學(xué)生不明白量角器上兩圈刻度的作用和由來（字幕）。學(xué)生最熟悉的度量工具是“尺”“尺”上只有單向刻度，這是因為“尺”的擺放與讀數(shù)比較容易；而用量角器量角時呢，如果只有單向刻度， 那么量不同朝向的角的大小時是非常麻煩的，因此不得不加上兩圈刻度，

4、學(xué)生對此也不太理解。因此我認(rèn)為：量角器的高度簡約化、高度智慧化、高度截面化和學(xué)生已有經(jīng)驗之間的矛盾使得學(xué)生對于量角器的本質(zhì)的認(rèn)識產(chǎn)生了障礙。張：楊老師，我還認(rèn)為還有一個原因，是學(xué)生對量角方法的本質(zhì)不明。學(xué)生不明白量角的本質(zhì)就是看測量對象中含有多少個單位小角。無論是長度、面積、體積、重量、角度的度量的本質(zhì)都是用基本單位與當(dāng)前所測量對象進行比較， 例如：測量面積就是把被測量對象與單位面積進行比較， 被測量對象中含有多少個面積單位它的面積就是多少； 而量角的本質(zhì)是看被測量的角中包含多少個單位角。 正由于學(xué)生對于量角器的本質(zhì)不明，學(xué)生才不會擺量角器。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案二、怎樣從揭示本質(zhì)的角度來改進“

5、角的度量”的教學(xué)（字幕）楊：原因找到了，是由于學(xué)生對量角器和量角方法的本質(zhì)不明。那么該怎樣從揭示本質(zhì)入手改進我們當(dāng)前的教學(xué)呢？全國第八屆課堂教學(xué)大比武的一等獎獲得者強震球老師在這方面作了很好的探索， 我們分兩個段落來剖析他的教學(xué)方法和設(shè)計意圖。首先來研究（一） 怎樣揭示“量角的本質(zhì)是看對象中含有多少個單位小角”“量角器的本質(zhì)是單位小角的集合”（字幕）請看錄像。案例 12-1 角的度量（江蘇省江陰市實驗小學(xué)強震球）（字幕）1、錄像觀摩：2、討論：楊：剛才這段錄像其實可以分成兩個段落1. 由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大小2. 由單位角的使用不便引出要可以把單位角合并為半圓工具，并進行

6、方法教學(xué)（字幕）我們來分析一下這兩個段落的設(shè)計意圖：張：由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大小。這個段落其實是為了說明量角的本質(zhì)是看大角里有多少個單位角。復(fù)習(xí)角的大小的含義， 喚醒學(xué)生對角的大小的理解，為用單位角量角的大小打下鋪墊； 復(fù)習(xí)用活動角比較角的大小，用活動角來比較角的大小時的注意點“點對點，邊對邊”實際上是用量角器量角的方法的雛形，精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案因此需要激活。 本環(huán)節(jié)還通過學(xué)生的討論與操作， 引導(dǎo)得出用小角來比較的方法，比較了用活動角比大小和用小角比大小各自的優(yōu)劣， 突出了小角度量比較精確的特點。 量角器的本質(zhì)是單位角的集合， 讓學(xué)生悟出用小角測量的可行性與操作要點，

7、可以為學(xué)生理解量角的原理打下堅實的基礎(chǔ)。楊：第二個段落由單位角的使用的不便引出要把單位角集合為半圓工具，并進行方法教學(xué)。 這個段落的目的在于揭示量角器的本質(zhì)是單位角的集合。強老師呢，針對“用單位角比較”的優(yōu)勢和劣勢非常準(zhǔn)確地設(shè)問：能否保留“用小角比” 的優(yōu)勢而改變操作不便的不足呢？在這個基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生把單位小角合并起來， 這樣就非常巧妙揭示了量角器的本質(zhì)是單位角的集合。本環(huán)節(jié)還強化了用“簡易量角器”測量角的大小的方法。簡易量角器上沒有刻度，但是正因為沒有刻度，學(xué)生就只能數(shù)出得數(shù)了，對學(xué)生掌握量角的方法反而減少了很多干擾，更利于學(xué)生掌握量角的方法。（二）怎樣讓學(xué)生明白量角器上兩圈刻度的作用和由來

8、（字幕）1、導(dǎo)入：楊：到現(xiàn)在為止，學(xué)生明白了量角器是小角的集合，量角的本質(zhì)也明白了，但是學(xué)生還不明白兩圈刻度的作用和由來，那么強老師接下來會怎樣呢呢？讓我們接著看下去。2、錄像觀摩案例 12-2角的度量（江蘇省江陰市實驗小學(xué)強震球）（字幕）精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案3、討論：楊：這部分內(nèi)容的教學(xué)還是可以分成兩個階段：第一個階段由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位小角分得更細些第二個階段由細分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度， 進而引出兩圈刻度（字幕）拿這兩個段落設(shè)計意圖又是什么呢？張：我認(rèn)為，前一段落中老師用的單位角比較大，具有便于操作、便于學(xué)生掌握原理和方法的作用，但是真正使用的量角器中的單位角是

9、 1 度的角， 1 度的角非常小，具有度量準(zhǔn)確的優(yōu)點。因此強老師就從單位角太大度量不準(zhǔn)確入手啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出：要把單位角分得更細些。學(xué)生實際使用的量角器的靠近中心部分是沒有分割線的， 使得學(xué)生不易理解量角器是單位小角的集合， 強老師演示量角器的動態(tài)演變過程用意就在于彌補這個不足。楊：第二個段落是由細分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度， 進而引出兩圈刻度。與直尺相比，量角器有兩圈刻度，這是理解量角器的構(gòu)成的一大難點。這個環(huán)節(jié)中強老師精心設(shè)計了讀數(shù)不便的現(xiàn)實情景， 讓學(xué)生產(chǎn)生要加兩圈刻度的想法，這樣一來刻度成了學(xué)生自己的作品，當(dāng)然它的由來、作用、使用方法就不言自明了。在平時的教學(xué)設(shè)計之下， 量角的

10、方法是要由教師一個步驟一個步驟地示范講解的，但是在本課的教學(xué)前提之下， 量角的方法當(dāng)然不再需要教師精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案拼命死灌了， 量角的方法只是學(xué)生的思維的自然延伸，因此完全可以由學(xué)生自己得出了。三、整個課堂設(shè)計的核心思想（字幕）楊：為了捕捉整堂課設(shè)計的主要思想，我們來完整地來看一下整節(jié)課的五個段落：1. 由角的大小的意義引出可以用單位角來度量角的大??；2. 由單位角的使用的不便引出要把單位角合并為半圓工具；3. 由這種半圓工具度量不準(zhǔn)確引出要把單位角分得更細些；4. 由細分后的半圓工具讀數(shù)不便引出要加刻度，進而引出兩圈刻度；5. 完整總結(jié)量角方法，進行相應(yīng)練習(xí)（字幕）這個段落呢剛才大家沒有

11、看到從這五個段落和他們之間的相互聯(lián)系中我們也可以看出強老師在設(shè)計這節(jié)課時有哪些重要設(shè)計理念呢？張：我認(rèn)為在本課當(dāng)中，強老師非常重視揭示知識和方法的本質(zhì)，揭示本質(zhì)是本課的第一個設(shè)計理念。量角器的本質(zhì)是“單位角”的集合，角的度量的本質(zhì)是看被測對象中含有多少個“單位角” ，促使學(xué)生對這兩個本質(zhì)充分而又深刻地理解是上好這節(jié)課的邏輯基礎(chǔ)， 強老師的教學(xué)策略的設(shè)計就是圍繞這樣的主題展開的。楊：但是強老師揭示本質(zhì)不是通過灌輸來實現(xiàn)的， 而是通過動態(tài)建構(gòu)來實現(xiàn)的，因此動態(tài)建構(gòu)是本課設(shè)計的第二個理念。建構(gòu)主義的教學(xué)理論強調(diào)學(xué)生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學(xué)知精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案識意義的主動建構(gòu)，建構(gòu)的過程是

12、從“不平衡”到“平衡”的不斷反復(fù)的過程（字幕）。這節(jié)課里，強老師能夠追蹤量角器設(shè)計者的思考軌跡，凸現(xiàn)種種矛盾沖突，不斷激發(fā)學(xué)生深入思考，展示了知識的形成過程，讓學(xué)生理解“量角器的本質(zhì)”，理解“量角方法的本質(zhì)”。也就是說，強老師試圖把學(xué)生的角色從“量角器的使用者”提升成為“量角器的制作者”，引導(dǎo)學(xué)生進行對量角器的再創(chuàng)造，在探索和實踐的過程中掌握知識的原理，在建構(gòu)工具的同時建構(gòu)方法。四、延伸討論（字幕）1、導(dǎo)入：楊：老師們，空間和圖形中的測量內(nèi)容非常豐富，具體而言包含下列內(nèi)容：意義：長度、角度、周長、面積、表面積、體積、容積算法：一些圖形的周長、 面積、表面積、體積、容積的計算方法 （字幕）強老師

13、的角的度量的教學(xué)中最突出的就是把握本質(zhì)和動態(tài)建構(gòu)，那么這樣的理念對于如此豐富的測量教學(xué)的內(nèi)容有沒有什么指導(dǎo)意義呢？2、教師對于測量本身的數(shù)學(xué)理解非常重要。張：強老師的課使我們教師對于量角的本質(zhì)、量角器的本質(zhì)（的認(rèn)識）有了新的提高，我覺得教師對于測量本身的數(shù)學(xué)理解非常重要。楊：對呀，你要讓學(xué)生理解知識的本質(zhì)， 那么教師不理解本質(zhì)怎么行呢？而且理解要深刻要深刻要達到哪些要求呢？我看主要有下面這些要求：精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案1. 理解測量的本質(zhì)是看測量對象中含有多少個基本單位2. 理解為什么有的測量工具是專門化固定化？有的測量工具卻是臨時性質(zhì)？3. 理解測量單位統(tǒng)一的必要性4. 理解測量單位和測量對象

14、的一致性這一條我解釋幾句：長度是一維的，長度單位也是一維的；面積是兩維的，面積單位也是兩維的；體積是三維的，體積單位也是三維的 這其中就有一致性呀5. 理解專門的測量工具是測量單位的集合。6. 理解為什么一些專門的測量工具上要加刻度？7. 深刻理解測量概念本身的內(nèi)在含義（以上字幕逐條出）深刻認(rèn)識測量概念本身的含義是一件非常重要的事情， 很多測量概念是非常抽象難懂的， 比如什么是面積？什么是體積？教師絕不應(yīng)該滿足于會機械地背出幾個定義， 如面積的定義老師就背啦 “物體表面或圍成的平面圖形的大小叫做他們的面積”，其實會背這樣的定義很簡單，但是你對面積的真正意義完全是可能一知半解的。我曾經(jīng)讓一個學(xué)生

15、比較兩個長方形的面積， 當(dāng)學(xué)生比出結(jié)果后我問他原因，那個學(xué)生說卻說“那個長方形邊框比較長”。你看這里邊學(xué)生關(guān)注的根本不是面積啊，他關(guān)注的是周長。我認(rèn)為，教師對于測量概念必須要有非常本質(zhì)的而不是字面的理解， 還是以面積為例，面積的本質(zhì)是什么，面積的本質(zhì)是“面的大小”而不是精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案“邊的長短”，把握概念的本質(zhì)有什么標(biāo)志呢？下面我舉兩個例子，這兩個例子應(yīng)該很能說明問題。有一次，吳正憲老師教學(xué)面積的意義，她先讓兩個學(xué)生比賽涂色，一個學(xué)生涂面積比較大的一個長方形，還有一個學(xué)生涂一個面積較小的正方形，看誰先涂完。我認(rèn)為學(xué)生在這個過程中關(guān)注的才真正是面的大小。還有一位老師教學(xué)面積意義時，他一開始

16、就布置學(xué)生比較兩個房間的大小，結(jié)果有的學(xué)生用尺去量，有的學(xué)生用報紙去鋪地，鋪完之后說哪個房間用的紙多哪個房間的面積就大。我認(rèn)為第二個學(xué)生對于面積的含義恐怕也是真正理解的。3、把技能訓(xùn)練課提升為思維發(fā)展課。張：我認(rèn)為強老師的這堂課不象很多老師一樣， 把測量課僅僅當(dāng)作技能訓(xùn)練課、手工操作課，在強老師的課堂里，學(xué)生的思維能力得到了很大的發(fā)展，解決問題的策略得到了很大的提升，這一點非常值得我們學(xué)習(xí)。因此我認(rèn)為改進測量教學(xué)第一個要做到的就是：把技能訓(xùn)練課提升為思維發(fā)展課。楊：要把技能訓(xùn)練課提升為思維發(fā)展課，我覺得應(yīng)該做到下面幾條：（）杜絕測量概念教學(xué)中的淺表化、文字化，要追求概念理解的深刻化、本質(zhì)化。（

17、）杜絕測量單位、 工具教學(xué)的機械化， 要追求教學(xué)過程中的生成性。（）杜絕測量公式教學(xué)過程中的短平快， 要追求在公式推導(dǎo)過程中學(xué)生的實質(zhì)發(fā)展。（字幕）精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案其實前兩點我們在前面的討論中已經(jīng)涉及很多， 關(guān)于第三個方面我在這里補充一個例子。教學(xué)平行四邊形的面積計算時， 我們一般先引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形變形為長方形，然后就提出三個問題 “平行四邊形的面積和長方形面積有什么關(guān)系？長方形的長和平行四邊形的底有什么關(guān)系？長方形的寬和平行四邊形的高有什么關(guān)系” ，最后在問題討論的基礎(chǔ)上得出計算公式。但是也有人不是這樣上課的，他的教學(xué)分為三步：第一步跟我們一樣， 引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形割補成為長方形，

18、 求出面積。第二步呢跟我們不一樣了， 他在方格紙上畫了大量的平行四邊形， 要求學(xué)生想象，要想出割補的過程求出面積。第三步問學(xué)生：要求平行四邊形的面積需要知道哪些條件？怎樣求？為什么？我很欣賞這位老師的第二個教學(xué)段落， 讓學(xué)生想象割補過程求面積看似浪費了時間，但是在這個過程中平行四邊形和長方形之間的內(nèi)在聯(lián)系得到了極大的重視，學(xué)生的空間想象能力也得到了很大的提高。我對第三個教學(xué)段落也非常欣賞， 他的問題是 “要求平行四邊形的面積需要知道什么條件？怎樣求？為什么？” ，而我們給他們提的問題是什么呢？ “面積和面積有什么關(guān)系？長和底有什么關(guān)系？寬和高有什么關(guān)系”兩種提法相比較， 顯然這一位老師的提問比

19、較宏觀， 題目比較大，這樣一來，學(xué)生就能比較系統(tǒng)地完整地進行思考， 而我們體的問題呢就把知識嚼得太碎了，就降低教學(xué)過程中的認(rèn)知水平。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案4 、把學(xué)生提升為知識和工具的發(fā)明者。張：強老師設(shè)計課堂教學(xué)時的大膽也值得我們學(xué)習(xí)， 一般的老師只滿足于教會學(xué)生量角， 根本不敢讓學(xué)生創(chuàng)造量角器， 正因為設(shè)計的大膽才導(dǎo)致了課堂的靈動。其實，這實際上不僅僅是大膽與否的問題，更是應(yīng)該不應(yīng)該的問題，這涉及到我們?nèi)绾慰创龑W(xué)生的問題， 教師越是小看學(xué)生， 培養(yǎng)的學(xué)生越是高分低能，越是把學(xué)生看做具有很大的潛能的創(chuàng)造者， 學(xué)生就越是能朝著這個方向發(fā)展。 當(dāng)然過分高估學(xué)生肯定不行， 但是別忘了學(xué)生的創(chuàng)造只是在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造， 在這個前提下我們設(shè)計課堂教學(xué)時不妨膽子更大些、步子更大些。因此我認(rèn)為改進測量教學(xué)第二個要做到的就是：把學(xué)生提升為知識和工具的發(fā)明者。 我們要相信學(xué)生學(xué)習(xí)和創(chuàng)造的能力，同時要發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用。5 、促進提升的前提是追溯前人認(rèn)知發(fā)展的軌跡。楊：要在動態(tài)建構(gòu)中促進學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)本質(zhì)的