第十章 轉(zhuǎn)動(dòng)副本 2

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 一個(gè)硬球和一個(gè)圓柱滾下斜坡。它們倆同時(shí)從靜止一個(gè)硬球和一個(gè)圓柱滾下斜坡。它們倆同時(shí)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，哪一個(gè)先到底部？開始運(yùn)動(dòng)，哪一個(gè)先到底部？(a)(a)它們同時(shí)到底部。它們同時(shí)到底部。(b)(b)它們幾乎同時(shí)到達(dá)底部，除非摩擦力不同。它們幾乎同時(shí)到達(dá)底部，除非摩擦力不同。(c)(c)球先到達(dá)底部。球先到達(dá)底部。(d)(d)圓柱先到達(dá)底部。圓柱先到達(dá)底部。(e)(e)不確定，除非知道它們的質(zhì)量和半徑。不確定，除非知道它們的質(zhì)量和半徑。v 開篇問題開篇問題- 請(qǐng)猜一猜請(qǐng)猜一猜上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁

2、 下頁下頁 返回返回 退出退出剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) . .剛體運(yùn)動(dòng)研究的基礎(chǔ)：剛體運(yùn)動(dòng)研究的基礎(chǔ)：剛體是由無數(shù)個(gè)連續(xù)分布的剛體是由無數(shù)個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)質(zhì)量元元dm。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。剛體的。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。剛體的運(yùn)動(dòng)是這些質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)的總和。運(yùn)動(dòng)是這些質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)的總和。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或動(dòng)軌跡

3、都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連者說剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位線總是平行于它們的初始位置間的連線置間的連線 . .思考：思考：火車拐彎時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)是不是平動(dòng)？火車拐彎時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)是不是平動(dòng)？上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，這一直線就叫做這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸。 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)（1 1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸相對(duì)參考系靜止。）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸相對(duì)參考系靜止。（2 2）定點(diǎn)

4、轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸上只有一點(diǎn)相對(duì)參考系靜止，）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸上只有一點(diǎn)相對(duì)參考系靜止，轉(zhuǎn)軸方向不斷變化。轉(zhuǎn)軸方向不斷變化。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出一般運(yùn)動(dòng)：一般運(yùn)動(dòng)：可看成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。可看成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。 如車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)如車輪的轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) . 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出剛體的自由度剛體的自由度xyzC x y zAF剛

5、體總自由度剛體總自由度i=6=6平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度t=3=3轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度r=3=3),(zyx剛體繞剛體繞CA軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng),CA的方位的方位其中其中兩個(gè)兩個(gè)是獨(dú)立的是獨(dú)立的上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出幾個(gè)自由度 ， 運(yùn)動(dòng)定律歸結(jié)為幾個(gè)獨(dú)立的方程式 例如：一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度，描述它的運(yùn)動(dòng)要有三個(gè)方程式 描述剛體的運(yùn)動(dòng)有幾個(gè)方程式？上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出到到 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 軸軸 的的 垂垂 線線上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-1 角的度量角

6、的度量上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-1 捕食的鳥捕食的鳥用弧度用弧度 一雙獨(dú)特的鳥眼睛可以恰當(dāng)?shù)刈R(shí)別所對(duì)應(yīng)張角不小于310-4rad的物體。（a）它的度數(shù)是多少？（b）當(dāng)飛行高度是100m時(shí)，多少小的物體正好可以被鳥識(shí)別（如圖）？Page 324上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出O OX XR R 1v2vs ABt Att+qq+B角位移角位移沿沿逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取正正值值沿沿順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取負(fù)負(fù)值值角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 0d

7、limdttt 單位：?jiǎn)挝唬簉ad/srad/s220ddlimddtttt 單位：?jiǎn)挝唬簉ad/srad/s2 2上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)是恒量是恒量0t20012tt00ddtt00dtt一般圓周運(yùn)動(dòng)一般圓周運(yùn)動(dòng)22002() 勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng) 是恒量是恒量ddt00ddttt 0討論：討論：ddtddt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：dl=dtdvRRdt 將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切

8、向加速度與角加速度之間的關(guān)系：度與角加速度之間的關(guān)系：tdvdaRRdtdt切向加速度切向加速度與與角加速度角加速度的關(guān)系：的關(guān)系：勻角加速度圓周運(yùn)動(dòng)勻角加速度圓周運(yùn)動(dòng)為常量為常量ta為常量為常量勻變速勻變速( (率率) )圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)taR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出在任何時(shí)刻一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總加速度是兩個(gè)分量的矢量和在任何時(shí)刻一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總加速度是兩個(gè)分量的矢量和tRa = a + ataR222()RvRaRRR圓周運(yùn)動(dòng)的重要公式：圓周運(yùn)動(dòng)的重要公式：22tnvRdvaRdtvaRRdd tdd t上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁

9、 下頁下頁 返回返回 退出退出4dtdt24/drad sdt2R216t R上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出1222t222 rad/s1v2v12vv2 21 1rr215 rad/s11t2 21 1rr241101|40202dttrev上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例例10-3 10-3 角速度、線速度與加速度角速度、線速度與加速度 一個(gè)旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)木馬開始時(shí)靜止。在木馬開始時(shí)靜止。在t t = 0= 0時(shí)它獲得了一個(gè)時(shí)它獲得了一個(gè)恒定的角加速度恒定的角加速度 = 0.060 rad/s 0.0

10、60 rad/s2 2, ,它的角它的角速度經(jīng)歷了速度經(jīng)歷了8.0s8.0s的增長(zhǎng)。在的增長(zhǎng)。在t t =8.0s=8.0s時(shí)，請(qǐng)時(shí)，請(qǐng)確定下列量的大?。海ù_定下列量的大?。海╝ a）旋轉(zhuǎn)木馬的角速）旋轉(zhuǎn)木馬的角速度；（度；（b b）離開中心）離開中心2.5m2.5m處，圖處，圖1-8b1-8b點(diǎn)點(diǎn)P P，小，小孩（圖孩（圖10-8a10-8a）的線速度；（）的線速度；（c c）小孩的切向）小孩的切向（線）加速度；（線）加速度；（d d）小孩的向心加速度；）小孩的向心加速度；以及（以及（e e）小孩的總線加速度。）小孩的總線加速度。解題思路解題思路 角加速度角加速度是恒定的，所以我們可是恒定的

11、，所以我們可以用以用 = = /t t去解時(shí)間去解時(shí)間t t = 8.0s= 8.0s后的后的。用。用這個(gè)這個(gè)和給定的和給定的 ，我們用已經(jīng)導(dǎo)出的關(guān)系式，我們用已經(jīng)導(dǎo)出的關(guān)系式，公式公式10-410-4，10-510-5和和10-610-6，來確定其它量。，來確定其它量。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出2210(0.060rad/s )(8.0s)0.48rad/st 在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔8.0s8.0s內(nèi)，旋轉(zhuǎn)木馬的角速度從內(nèi)，旋轉(zhuǎn)木馬的角速度從1=0=0（靜止）增加（靜止）增加到到2= 0.48rad/s= 0.48rad/s。（b b）在）在R

12、 R =2.5m=2.5m處處t t =8.0s=8.0s時(shí)刻，小孩的線速度時(shí)刻，小孩的線速度(2.5m)(0.48rad/s)1.2m/svR（c c）小孩的切向加速度由公式）小孩的切向加速度由公式10-510-5給出；給出；(2.5m)(0.060rad/s)0.15m/staR解：解：( (a)a)由由 ，我們讓，我們讓 ， 以及以及 。解。解2，我們得到，我們得到21()/t8.0ts 20.060rad /s10上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出2222222t(0.15m/ s )(0.58m/ s )0.60m / sRaaa它的方向是它

13、的方向是211t20.15/tan()tan()0.25rad0.58/Ramsams所以所以1515。222(1.2m/s)0.58m/s(2.5m)RvaR(d(d）在）在t t =8.0s=8.0s時(shí)小孩的向心加速度由公式時(shí)小孩的向心加速度由公式10-610-6給出：給出：（e e）在（）在（c c）和（）和（d d）中計(jì)算的兩個(gè)線加速度分量是）中計(jì)算的兩個(gè)線加速度分量是相互垂直的。這樣在相互垂直的。這樣在t t =8.0s=8.0s時(shí)總線加速度大小為時(shí)總線加速度大小為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上

14、頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例例10-4 10-4 計(jì)算機(jī)硬盤轉(zhuǎn)度是計(jì)算機(jī)硬盤轉(zhuǎn)度是7200rpm7200rpm（rpm = rpm = 每每分鐘周轉(zhuǎn)數(shù)分鐘周轉(zhuǎn)數(shù) = rev/min = rev/min）。（）。（a a）盤片角速度是）盤片角速度是多少？（多少？（b b）如果該驅(qū)動(dòng)器的讀寫頭離開轉(zhuǎn)動(dòng)軸）如果該驅(qū)動(dòng)器的讀寫頭離開轉(zhuǎn)動(dòng)軸3.00cm3.00cm，在它之下的盤片上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線速度是，在它之下的盤片上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線速度是多少多少? ?（c c）如果沿著運(yùn)動(dòng)方向一個(gè)數(shù)據(jù)位（）如果沿著運(yùn)動(dòng)方向一個(gè)數(shù)據(jù)位（bitbit）需要需要0.50m0.50m長(zhǎng)，那么離開轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)，那么離開轉(zhuǎn)軸3.0cm3.

15、0cm處的寫入處的寫入頭每秒能寫多少數(shù)據(jù)位？頭每秒能寫多少數(shù)據(jù)位？解題思路解題思路 我們用給定的頻率去找盤片的角速度我們用給定的頻率去找盤片的角速度，以及盤片上某點(diǎn)的，以及盤片上某點(diǎn)的線速度（線速度（v=Rv=R）。位率用一位的長(zhǎng)度去除線速度得到（）。位率用一位的長(zhǎng)度去除線速度得到（v v = = 距離距離/ /時(shí)時(shí)間）。間）。解解 （a a）首先我們找出用）首先我們找出用rev/srev/s表示的頻率，已有表示的頻率，已有 7200rev/ minf (7200rev / min)120rev / min120(60s / min)fHz角速度為角速度為2754/frads上頁上頁 下頁下頁

16、 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出（b b） 離轉(zhuǎn)軸離轉(zhuǎn)軸3.00cm3.00cm處某點(diǎn)線速度由公式處某點(diǎn)線速度由公式10-410-4給出：給出：2(3.00 10m)(754rad/s)22.6m/svR（c c）每一數(shù)據(jù)位需要）每一數(shù)據(jù)位需要0.500.501010-6-6m m，所以在，所以在22.6m/s22.6m/s下下每秒通過磁頭的數(shù)據(jù)位數(shù)目是每秒通過磁頭的數(shù)據(jù)位數(shù)目是6622.6m/s45 10 bits/s0.50 10 m/ bit或45megabits/s(Mbps)。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-

17、2 10-2 角速度的矢量性質(zhì)角速度的矢量性質(zhì)（a a）轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子。（）轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子。（b b）用以獲得）用以獲得 方向的右手法則方向的右手法則如果旋轉(zhuǎn)軸固定在一個(gè)方向上，那么如果旋轉(zhuǎn)軸固定在一個(gè)方向上，那么只能在大只能在大小上變化。這樣，小上變化。這樣，必須也指向轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向。必須也指向轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向。如果像圖如果像圖a所示旋轉(zhuǎn)是逆時(shí)針的并且大小是增加所示旋轉(zhuǎn)是逆時(shí)針的并且大小是增加的，那么的，那么指向上方；如果指向上方；如果是減少的（輪子是是減少的（輪子是減慢的），那么減慢的），那么指向下方。指向下方。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-3 10-

18、3 恒定角加速度恒定角加速度例例10-6 10-6 離心加速度離心加速度 離心轉(zhuǎn)子在離心轉(zhuǎn)子在30s30s內(nèi)從靜止加速到內(nèi)從靜止加速到20000rpm20000rpm。（a a）它的平均角加速度是多少）它的平均角加速度是多少?(?(b b) )在它的加速周期內(nèi)離心轉(zhuǎn)在它的加速周期內(nèi)離心轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)了多少圈，假設(shè)角加速度恒定。子轉(zhuǎn)了多少圈，假設(shè)角加速度恒定。解題思路解題思路 為了確定為了確定 ，我們需要初和末角速度。對(duì)于（，我們需要初和末角速度。對(duì)于（b b）我們用公式我們用公式10-910-9（一個(gè)圓周對(duì)應(yīng)著（一個(gè)圓周對(duì)應(yīng)著 = 2= 2radrad）。）。/ t 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出

19、退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出解解（a a）初角速度是）初角速度是 = 0= 0。末角速度是。末角速度是(20,000rev/ min)2(2 rad/ rev)2100rad /s(60s/ min)f因因 和和 ，我們有，我們有/ t 30ts 202100rad /s070rad /s30st即，每秒轉(zhuǎn)子的角速度增加即，每秒轉(zhuǎn)子的角速度增加70rad/s70rad/s（b b）為求）為求我們可以運(yùn)用公式我們可以運(yùn)用公式10-9b10-9b或或10-9c10-9c，或用兩者相，或用兩者相互核對(duì)答案。前者給出互核對(duì)答案。前者給出224120(70rad/s )(30s)3.15

20、10 rad433.1510 rad5.010 rev2/ revrad上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-4 10-4 力矩力矩對(duì)不同的部位，對(duì)不同的部位， 和和 ，施以同，施以同向的力。如果向的力。如果 ，那么達(dá)到，那么達(dá)到了相同的效應(yīng)（角加速度），了相同的效應(yīng)（角加速度）， 需需要是要是3 3倍的倍的 ，或，或 。1R2R123RR2F1F1123FF1122F RF R一扇門的俯視圖。一扇門的俯視圖。產(chǎn)生相同的產(chǎn)生相同的上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁

21、 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出Pz* *OsinFrFdMFrd : : 力臂力臂d剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , , 力力 作用在剛體上作用在剛體上P點(diǎn)點(diǎn) , , 且在且在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)平面內(nèi), , 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力到力的作用點(diǎn)的作用點(diǎn) P 的矢徑的矢徑 . . FrM r F 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z Z 的力矩的力矩 FM上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出0,0iiMF0,0iiMFFFFFFFo1r2r2MFrFF0iF 0iM 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退

22、出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 （1） 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)r F 垂直于轉(zhuǎn)軸只能引起軸的垂直于轉(zhuǎn)軸只能引起軸的變形變形, , 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)。1Fr轉(zhuǎn)動(dòng)平面1FrFr2Fr)(21FFr21FrFrr討論討論2rF平行于轉(zhuǎn)軸，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)平行于轉(zhuǎn)軸，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)平面內(nèi)的平面內(nèi)的力才可能力才可能對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 是轉(zhuǎn)軸到力作是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為用線的距離，稱為力臂力臂。sinrd 22sinZrFF d （2 2）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方

23、向可用轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+ +、- -號(hào)表示。號(hào)表示。轉(zhuǎn)動(dòng)平面1FrFr2Frrd上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出3 3）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和123jiijMM4 4） 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jririjijFjiFdOijMjiM上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例例10-7 10-7 復(fù)合軸的力復(fù)合軸的力矩矩上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出解解 凈力矩為AABBsin 60(0.

24、30 m)(50 N)(0.50 m)(50 N)(0.866)6.7 m NR FR F 此凈力矩使輪子向順時(shí)針方向加速運(yùn)動(dòng)。NoImagerv2/krad s上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-5 10-5 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O OiFrifriiimirr對(duì)剛體中任一質(zhì)量元對(duì)剛體中任一質(zhì)量元im- -外力外力iF- -內(nèi)力內(nèi)力ifiiiim afF采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O

25、Osinsiniiiiiii iFfmamr 10-5 10-5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出用用 乘以上式左右兩端：乘以上式左右兩端：ir2sinsini iii iii iFrf rmr 設(shè)剛體由設(shè)剛體由N N 個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫出上述個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將類似方程，將N N 個(gè)方程左右相加，得：個(gè)方程左右相加，得：2111sinsin()NNNi iii iii iiiiFrf rm rsinsiniiiiiii iFfmamr 0上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回

26、退出退出211sin()NNi iii iiiFrmrO OiFrifriiimirrO OzM剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IddzMIIt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出ddzIIt比較：牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律Fma（2）角動(dòng)量 ?L ddzLtzddItzLI慣性大小的量度；慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)（1 1） 一定，一定，I上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出2dIrmdm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量r質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離 剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

27、的定義有按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有2iiIrm討論：討論： 和質(zhì)量分布有關(guān)和質(zhì)量分布有關(guān)；I 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同. .I上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義平動(dòng)：平動(dòng)：ddxxvFmt動(dòng)量動(dòng)量xxpmv平動(dòng)定律平動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：ddzMIt角動(dòng)量角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。LI上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回

28、返回 退出退出竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？外輪緣？上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出思考：將一個(gè)生雞蛋和一個(gè)熟雞蛋放在桌上分別使其旋轉(zhuǎn)，如何判定哪個(gè)是生的哪個(gè)是熟的？zMJ剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理熟雞蛋：穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間生雞蛋：轉(zhuǎn)軸不穩(wěn)定，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不穩(wěn)定，內(nèi)摩擦使轉(zhuǎn)動(dòng)很快停下上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出解解：（a）兩重物離開轉(zhuǎn)動(dòng)軸相同距離，2.0m2222

29、22(5.0 kg)(2.0 m)(7.0 kg)(2.0 m)20kg m28kg m48kg mImR (b) 5.0kg質(zhì)量離開軸0.5米，而7.0kg的質(zhì)量離開軸4.5米，那么222222(5.0 kg)(0.50 m)(7.0 kg)(4.5 m)1.3kg m142kg m143kg mImR 思考思考: (a)(b)的結(jié)果間存在什么聯(lián)系的結(jié)果間存在什么聯(lián)系?上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退

30、出10-6 10-6 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)中的問題解答轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)中的問題解答例例10-9 10-9 重滑輪重滑輪滑輪質(zhì)量不均勻，滑輪質(zhì)量不均勻，邊緣處更重邊緣處更重上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出m m1 1m m2 2T T2 2 T T1 1 T T1 1T T2 2G G2 2G G1 1a aa aa am m1 1m m2 2解解: :滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在轉(zhuǎn)滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在轉(zhuǎn)動(dòng)中受到阻力矩的作用，兩邊的張動(dòng)中受到阻力矩的作用，兩邊的張力不再相等，設(shè)物體力不再相

31、等，設(shè)物體m m1 1這邊繩的張力這邊繩的張力為為T T1 1、 T T1 1( (T T1 1= T= T1 1) ) ， 物體物體m m2 2這邊的張力為這邊的張力為T T2 2、T T2 2( (T T2 2= T= T2 2) )例題例題 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為量為m m1 1和和m m2 2的物體的物體1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m m ，半徑為半徑為r r，所受的，所受的摩擦阻力矩摩擦阻力矩為為 。繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。試。繩與滑

32、輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。求物體的加速度和繩的張力。11122221TGmaGTm aT r TrIra 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出212121212/12mmgrmmgraImmmmmr21212112/212mmm grTmgammm12112112/212mmm grTmgammm而而滑輪邊緣滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等上的切向加速度和物體的加速度相等上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出2121/12mmgrarmmm r當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及

33、摩擦阻力矩即令m m=0=0、 =0=0時(shí)，有時(shí)，有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212阿特伍德機(jī)裝置，可用來測(cè)量重力加速度阿特伍德機(jī)裝置，可用來測(cè)量重力加速度g g。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-7 10-7 確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例題例題 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1 1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為轉(zhuǎn)軸通過棒上

34、距中心為h的一點(diǎn)并的一點(diǎn)并和棒垂直。和棒垂直。元元上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出xo解解:(1)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxx2dJxm2121ml222dllmxxlxodxx2dJxm20dlmxxl231ml(2)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出xohJ 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)（3）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxx2dJxm22112mlmh222dlhlhmxxl上頁上

35、頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題 求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的求圓盤對(duì)于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為質(zhì)量為m，密度均勻。密度均勻。rRdr解：解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為在圓盤上取一半徑為r、 寬度為寬度為d dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的環(huán)的 質(zhì)量質(zhì)量dm= 2 rdr 。可得可得423201d2d22RRJrmrrmR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出CJ

36、JmR221mRJC2mRJJC2221mRmR 解：解： 同上例223CM02IIMhMR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出10-8 10-8 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能212KI221iivm整個(gè)剛體的動(dòng)能整個(gè)剛體的動(dòng)能 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)該是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。的動(dòng)能之和。 設(shè)剛體中第設(shè)剛體中第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 ，速度為速度為 , , 則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：則該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：imiv 剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的角速度剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的角速度 相同。相同。設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) 離軸的垂直距離為離軸的

37、垂直距離為 ，則它的線速度，則它的線速度imir2221122iii iKmvmriirv上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對(duì)剛體做功。 力 對(duì)P 點(diǎn)作功：FrFddAsindsF2cosdsFddrs 00 drFd rPsinFrd 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出因sinFrddA0ddA力矩作功：對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。00 drFd rP上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返

38、回返回 退出退出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理ddddIIIIdtddtd221122112122WdIdII剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，它表示物體轉(zhuǎn)過角度 時(shí)所做的功等于這個(gè)物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。21上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 一個(gè)質(zhì)量分布均勻的硬球和一個(gè)質(zhì)量分布均勻的圓一個(gè)質(zhì)量分布均勻的硬球和一個(gè)質(zhì)量分布均勻的圓柱滾下斜坡。它們倆同時(shí)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，哪一個(gè)柱滾下斜坡。它們倆同時(shí)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，哪一個(gè)先到底部？先到底部？(a)(a)它們同時(shí)到底部。它們同時(shí)到底部。(b)(b)它們

39、幾乎同時(shí)到達(dá)底部，除非摩擦力不同。它們幾乎同時(shí)到達(dá)底部，除非摩擦力不同。(c)(c)球先到達(dá)底部。球先到達(dá)底部。(d)(d)圓柱先到達(dá)底部。圓柱先到達(dá)底部。(e)(e)不確定，除非知道它們的質(zhì)量和半徑。不確定，除非知道它們的質(zhì)量和半徑。v 開篇問題開篇問題- 再做再做上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)軸 轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出進(jìn)動(dòng)原因進(jìn)動(dòng)原因 LLLd LdpGGrM 剛體受重力矩剛體受重力矩 OZdt 時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量增量時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量增量 ddLMt因因 LL d所以自轉(zhuǎn)軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)。所以自轉(zhuǎn)軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)。r上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出實(shí)際上，轉(zhuǎn)動(dòng)中的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象相當(dāng)于平動(dòng)中的勻?qū)嶋H上，轉(zhuǎn)動(dòng)中的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象相當(dāng)于平動(dòng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，類比如下：速圓周運(yùn)動(dòng)，類比如下：剛體的進(jìn)動(dòng)剛體的進(jìn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)成因具有角動(dòng)量并在外力矩作用下具