數(shù)學(xué)分析高階偏導(dǎo)與泰勒學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(sh xu fn x)高階偏導(dǎo)與泰勒高階偏導(dǎo)與泰勒第一頁，共19頁。),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合混合(hnh)偏偏導(dǎo)導(dǎo)定義定義1：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)(do sh)統(tǒng)稱統(tǒng)稱為為 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)(do sh).第1頁/共19頁第二頁，共19頁。. 02222 yuxu第2頁/共19頁第三頁，共19頁。解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu

2、 ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 第3頁/共19頁第四頁，共19頁。解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y yxz. 19622 yyxxyz, 19622 yyx第4頁/共19頁第五頁，共19頁。解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sinbyabeua

3、xxy .sinbyabeuaxyx 第5頁/共19頁第六頁，共19頁。問題問題(wnt)：混合偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)(do sh)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？4例例, 0,0, 0),(22222222 yxyxyxyxxyyxf第6頁/共19頁第七頁，共19頁。, 0,0, 0)()4(),(22222224224 yxyxyxyyxxxyxfy. 1)0 , 0(, 1)0 , 0( yxxyff, 0,0, 0)()4(),(22222224224 yxyxyxyyxxyyxfx第7頁/共19頁第八頁，共19頁。第8頁/共19頁第九頁，共19頁。二、復(fù)合二

4、、復(fù)合(fh)函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)求法標(biāo)準(zhǔn)求法數(shù)數(shù)都都是是具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)、設(shè)設(shè)例例 , 5yxf),(),(tsytsxfu .,22222tsutusu 求求由由鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則知知解解： ,syyfsxxfsu .tyyftxxftu 的二元函數(shù)，的二元函數(shù)，第9頁/共19頁第十頁，共19頁。)()(22syyfssxxfssu 22)(sxxfsxxfs 22)(syyfsyyfs sxsyyxfsxxf )(22222sxxf sysyyfsxxyf )(22222syyf tsutu 222,類似可求類似可求第10頁/共19頁第十一頁，共19頁。:兩

5、種技巧兩種技巧),(),( . 1yxvvyxuu 設(shè)設(shè):,的的雅雅可可比比矩矩陣陣為為關(guān)關(guān)于于變變量量定定義義yxvu yxyxvvuuyxvuJ),(),(第11頁/共19頁第十二頁，共19頁。 zyxzyxzyxwwwvvvuuuzyxwvuJ),(),(的的所所有有二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點設(shè)設(shè)),(),( 000yxPyxfz 定義定義:)( 0矩陣為矩陣為黑賽黑賽的的在點在點HessePf0)()()()()(00000PyyyxxyxxyyyxxyxxfffffPfPfPfPfPH ,存在存在第12頁/共19頁第十三頁，共19頁。的的在在點點類類似似可可定定義義),(),(00

6、00zyxPzyxfu :)( 矩陣為矩陣為黑賽黑賽Hesse0)(0PzzzyzyyzyyyxxzxyxxffffffffffPH . , ),(),(),( 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在相相應(yīng)應(yīng)于于各各自自變變量量的的二二階階且且設(shè)設(shè)vufyxvvyxuuvufz :),( 的二階偏導(dǎo)數(shù)滿足的二階偏導(dǎo)數(shù)滿足則則yxzz 第13頁/共19頁第十四頁，共19頁。 yyyxxyxxzzzz yxyxvvuu yyxxvuvu vvvuuvuuffff yyyxxyxxvyyyxxyxxuvvvvfuuuufzHJJfHuHvH :即即 zHJ JfHuuHf vvHf .元元函函數(shù)數(shù)也也有有類類似似

7、公公式式一一般般的的 n第14頁/共19頁第十五頁，共19頁。. , ),(),(),( . 2數(shù)數(shù)都都存存在在相相應(yīng)應(yīng)于于各各自自的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)且且設(shè)設(shè)vufyxvvyxuuvufz : 為例為例以求以求xyz第一步第一步寫寫出出下下表表 fxyzuufuvfvufvvfufvf., 數(shù)數(shù)的的所所有有二二階階和和一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)關(guān)關(guān)于于之之后后是是第第一一行行vuffyxuuyxvuyxuvyxvvyxuyxv.第第二二行行特特點點第15頁/共19頁第十六頁，共19頁。第二步第二步,)(兩兩兩兩相相乘乘第第一一列列除除外外將將表表中中各各列列元元素素: ,的的表表達(dá)達(dá)式式便便得得到到再再相相加加yxz. xyz :注意注意必須看成不同的項必須看成不同的項與與混合偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)vuuvff),(即便相等即便相等. 否則否則. ,比比如如其其它它類類似似. 熟悉以后熟悉以后第16頁/共19頁第十七頁，共19頁。三、中值定理和泰勒三、中值定理和泰勒(ti l)公公式式, 2DD于于上任意兩點的連線都含上任意兩點的連線都含若區(qū)域若區(qū)域定義定義.為凸區(qū)域為凸區(qū)域則稱則稱D,),(),( 222111DyxPyxP 或：或：, 10 .)(),(121121Dyyyxxx