第十八講 數(shù)字信號(hào)處理-窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器

1、第三章第三章 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 3-1 模擬濾波器設(shè)計(jì) 3-2 通過(guò)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 3-3 FIR低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法 3-4 數(shù)字濾波器計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 3-5 IIR與FIR數(shù)字濾波器比較3.3.2 利用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器1.設(shè)計(jì)思路1)先給定所要求設(shè)計(jì)的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ej).2)設(shè)計(jì)一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器頻率響應(yīng)H(ej )。3）由于設(shè)計(jì)是在時(shí)域中進(jìn)行，使所設(shè)計(jì)濾波器的h(n)去逼近理想單位取樣響應(yīng)hd(n).4) 由h(n)進(jìn)行Z變換，得到FIR濾波器的H(z)。沖擊響應(yīng)不變法：直接在數(shù)字域設(shè)計(jì)Hd(ej)指標(biāo)Ha(s)模擬濾波器指標(biāo)ha(

2、t)h(n)H(z)（1）理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ej)系統(tǒng)函數(shù)。變換即可得到濾波器的經(jīng)過(guò)即可求出若已知znheHdjd)(),( 一般情況下，Hd(ej )逐段恒定逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)，因而hd(n)是無(wú)限時(shí)寬無(wú)限時(shí)寬的，且是非因果序列。響應(yīng)，因此是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖輸函數(shù)為設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳)n(h),e(Hdjdde )e(H21)n(he )n(h)e(Hnjjddnnjdjd理想低通濾波器的傳輸函數(shù)Hd(ej )序列。是無(wú)限長(zhǎng)，且是非因果響應(yīng)濾波器的單位取樣由上式看到，理想低通)n(hd)(nhdn)(Hd0ccjdjde )(H)e(H)n()n

3、(sin(dee21)n(hcnjjdccccjjdeeH0)(2)設(shè)計(jì)實(shí)際的FIR濾波器H (ej)100( ),( )( )( )( )( )( ),.NMnnnndh nNH zH zh n zh n zh nhn設(shè)實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為長(zhǎng)度為，其系統(tǒng)函數(shù)為，這樣我們用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去代替肯定會(huì)引起誤差( )( )( )( )( )(1)/2/2( )(1)/2ddh nh nh nh n W nW nNNMh nN用）表示截取后的單位沖激響應(yīng)，即：式中為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為 。當(dāng)時(shí)，截取的一段對(duì)對(duì)稱，可保證所設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位。)n()n(sin(dee21)n(hcnjj

4、dccccjjde)e(H0./c3圖中nhdnh21NnNn)n(w)n(w)n(h)n(hd其他010112NN-12. 加窗的頻域解釋lv ,(), .jjcdceHe0低通波器：d)e(W)e(H21)e(Hnhnwnh)( jjdjd 積：時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷2/2/)( 10 1,:2/ )1(SinNSineeW.NnnwNjj例：矩形窗()()()()ccccNjjjNjSinH eeedSinSinedSin 22221212()()()()ccccNjjjNjSinH eeedSinSinedSin 22221212cjdeH c)(-2/N()( )()ccccNRSin

5、HdWdSin 221122N4主瓣：()()ccNSinHdSin2212特殊點(diǎn)-1. 1)0()0(,21)0(0)(的全部面積。歸一化為的可視為從則一般情況下，歸一化為時(shí)，響應(yīng)值零頻RcWHNHa特殊點(diǎn)-25 . 0)0(H)(H)(W)(H)(H)b(cRdcc即的一半重疊，與此時(shí)時(shí)，響應(yīng)值截止頻率特殊點(diǎn)-3頻響出現(xiàn)正肩峰為通帶內(nèi)，的全部主瓣都在這時(shí)時(shí)，響應(yīng)值正肩峰：95. 8max,)N2(H)(H)(W)N2(HN2)d(cdRcc特殊點(diǎn)-4出現(xiàn)負(fù)肩峰為旁瓣的正面積。積而通帶內(nèi)的旁瓣的負(fù)面內(nèi)通帶外，的主瓣剛好全部在這時(shí)時(shí)，響應(yīng)值負(fù)肩峰：95. 8)N2(H)(H)(W)N2(HN2

6、)c(cdRcc特殊點(diǎn)-5的值在零值上下波動(dòng)的尾瓣將掃過(guò)通帶，的阻帶內(nèi)變化時(shí)，并繼續(xù)在當(dāng)零波動(dòng))(H)(W)(HN2)e(Rdc實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器的特點(diǎn)）的主瓣寬度（過(guò)渡帶的寬度：過(guò)渡帶RWN4實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器的特點(diǎn)余振也越多。的旁瓣越多，卷積，產(chǎn)生的窗口頻譜頻率中的旁瓣與矩形窗因：長(zhǎng)的余振。出現(xiàn)余振原在最大負(fù)肩峰外形成長(zhǎng)余振實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器的特點(diǎn)。此現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)取決于窗函數(shù)的形狀。而最大肩峰永遠(yuǎn)為密，只能使起伏的振蕩變值的周期為余振為為幅頻特性的過(guò)渡帶寬度，設(shè)截取的長(zhǎng)度為效應(yīng)吉布斯（,95. 8N/20,N/4)NNGibbsN增大，相當(dāng)于對(duì)增大，相當(dāng)于對(duì)軸進(jìn)行了壓縮軸進(jìn)行了壓縮3、理想濾波器

7、與實(shí)際濾波器之間的差別-1).N4()(HDF)a(寬度取決于窗口頻譜的主瓣帶的寬度產(chǎn)生一個(gè)過(guò)渡帶。過(guò)渡緣處，在理想特性不連續(xù)的邊實(shí)際過(guò)渡帶N.N.)b(cc208950208951，負(fù)肩峰：為，正肩峰：為肩峰（正、負(fù)肩峰）也愈強(qiáng)。旁瓣相對(duì)值愈大，肩峰。旁瓣愈多，余振也越多，取決于窗口頻譜的旁瓣余振)(c肩峰和余振是由窗口頻響的旁瓣引起的減的平穩(wěn)性和阻帶內(nèi)的衰因此不會(huì)改變通帶內(nèi)窗函數(shù)的形狀決于與主瓣的相對(duì)值主要取旁瓣但不會(huì)改變肩峰的值，（過(guò)渡帶寬度）減少，增加,NN)d(4其它窗其它窗 (I)Two-side sequence-BB, Mn0 . 0B M/2,nM/2- : 0.08.C0.

8、5,B0.42,A :Blackman 0;C0.46,B0.54,A : Hamming0;C0.5,B0.5,A :( HanningM4cos2cos Blachman HammingHanning ;triangularBartlett 令若令若注窗（海明）窗漢寧）窗是窗的長(zhǎng)度。式中，窗；、窗MnCMnBAn w0.5Hanning)(jeW2/N2/N 0.50.5212n1+cos()2NjnjneeW n0.25窗函數(shù)的窗函數(shù)的Fourier變換變換 (I)頻移22j()j()jjRRR11W eWeWeWe24NN0.54Hamming)(jeW2/N2/N 0.540.462

9、2n0.540.46cosNjnjneeW n0.2322j()j()jjRRRW e0.54 We0.23 WeWeNN0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.60100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6HanningHamming)(jeW)(jeWMatlab 的計(jì)算結(jié)果：的計(jì)算結(jié)果：窗函數(shù)的窗函數(shù)的Fourier變換變換 (II)Blackman0.420.250.04)(jeW208. 025 . 042. 01/41/41/21/2NnjNnjNnjNnjeeeenW窗函數(shù)的

10、窗函數(shù)的Fourier變換變換 (III)e(W)e(W04. 0)e(W)e(W25. 0)e(W42. 0)e(W)j(R)j(R)j(R)j(RjRj1N41N41N21N20100200300400500600700800-0.4-0.200.20.40.60.810100200300400500600700800-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.40.45BlackmanRect.)(jeW)(jeW窗函數(shù)的窗函數(shù)的Fourier變換變換 (IV)Matlab 的計(jì)算結(jié)果：的計(jì)算結(jié)果： 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(

11、b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)漢明窗；(e)布萊克曼窗用矩形窗時(shí)過(guò)渡帶最窄，而阻帶衰減最??；布萊克曼窗過(guò)渡帶最寬，但換來(lái)的是阻帶衰減加大Kaiser 窗窗控制主瓣寬度；控制主瓣幅度；，則另 21. 10 ,)21(2121( aa022a0NNNnNINnNIn w樣本幅值 20 15 10 5 03 . 06 . 09 . 02 . 1036Kaiser 窗窗(II)各窗函數(shù)特征比較各窗函數(shù)特征比較窗的窗的類(lèi)型類(lèi)型旁瓣旁瓣峰值峰值主瓣主瓣寬度寬度最小阻最小阻帶衰減帶衰減過(guò)渡過(guò)渡帶寬度帶寬度Rect.-134/N-211.81/NBartlett-258/N-252.37/

12、NHanning-318/N-445.01/NHamming-418/N-536.27/NBlackman-5712/N-749.19/N 矩形窗的過(guò)渡帶最窄，但是其吉布斯效應(yīng)最明顯，其他幾種窗沿兩邊平滑過(guò)渡到0，頻響旁瓣顯著降低，但代價(jià)是過(guò)渡帶加寬FIR低通低通濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟。并確定相應(yīng)數(shù)字頻率，函數(shù)形式處的衰減指標(biāo)，確定窗和阻帶根據(jù)通道TTnwssppsp,)(. 1;4PNN;,.2確定加窗寬度根據(jù)過(guò)渡帶寬ps;)()()(sin)(,21. 3pccnwmnmnnhNm式中可取為：則濾波器單位沖激響應(yīng)確定沖激響應(yīng)位移系數(shù)濾波器的頻率響應(yīng)計(jì)算FIR. 4值重新設(shè)計(jì)。如不滿足

13、，則取更大的要求，審核技術(shù)指標(biāo)是否滿足N. 5理想低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)P根據(jù)窗函數(shù)在表3.3中確定例1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11，c=0.2rad。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn解 用理想低通作為逼近濾波器，有1. 用漢寧窗設(shè)計(jì)：用漢寧窗設(shè)計(jì)：( )( )( ),0102( )0.5(1 cos)10dHnHnh nh n wnnnwn2. 用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：用布萊克曼窗設(shè)計(jì)： 11( )( )( )24( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh n wnnnwnRn分別求出其h(n)后，再求出頻響H (ej) ，其幅度特性如圖所示。FIR濾波器的低通幅頻特性用矩形窗時(shí)過(guò)渡帶最窄，而阻帶衰減最?。徊既R克曼窗過(guò)渡帶最寬，但換來(lái)的是阻帶衰減加大，為保證有同樣的過(guò)渡帶，必須加大窗口長(zhǎng)度N。例2 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一線性相位FIR濾波器，滿足技術(shù)指標(biāo)：. s.T,40dBs/rad3d