空間向量的線面關(guān)系

1、復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧：1、 的充要條件是的充要條件是 ab0a b 2、設(shè)向量、設(shè)向量 的夾角為的夾角為 ，則，則a b cosab3、共面向量定理共面向量定理 如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線，那么不共線，那么向量向量 與向量與向量 共面的充要條件是共面的充要條件是, a b p , a b 存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組, x y，使得：，使得：pxayb 4、直線、直線 的方向向量是的方向向量是l平面平面 的法向量的法向量 與與 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是nn, a b el3.2.13.2.1直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量與平面的法向量例例1、已知直線、已知直線L1的方向向量為的

2、方向向量為a=(2,4,x) ，直線，直線L2的方向向的方向向量為量為b=(2,y,4)，若，若L1/L2則則x+y= ,若若L1 L2則則x-y = .例例2、在正方體、在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，求證：求證：DB1是平面是平面ACD1的法向量。的法向量。思考：如何求一個(gè)面的法向量？思考：如何求一個(gè)面的法向量？已知點(diǎn)已知點(diǎn)A（a,0,0）B（0,b,0）,C（0,0,c）,求平面求平面 ABC的一個(gè)法向量。的一個(gè)法向量。例例3、在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面、在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P（x0,y0,z0）平面的法向量為）平面的法向量為e=(A,B,C), M是平面是平

3、面內(nèi)任意一點(diǎn)，求內(nèi)任意一點(diǎn)，求X,Y,Z滿足的關(guān)系。滿足的關(guān)系。思考：已知直線上一點(diǎn)和直線的方向向量，直思考：已知直線上一點(diǎn)和直線的方向向量，直線可以唯一確定，已知平面內(nèi)一點(diǎn)和平面的法線可以唯一確定，已知平面內(nèi)一點(diǎn)和平面的法向量，這個(gè)平面是否唯一確定？向量，這個(gè)平面是否唯一確定？5、 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A（a,0,0）B（0,b,0）,C（0,0,c）,求平面求平面 ABC的一個(gè)法向量。的一個(gè)法向量。6、在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面、在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P（x0,y0,z0）平面平面 的法向量為的法向量為e=(A,B,C), M是平面是平面 內(nèi)任意一點(diǎn)，求內(nèi)任意一點(diǎn)，求X,Y,Z滿

4、足的關(guān)系。滿足的關(guān)系。思考：已知直線上一點(diǎn)和直線的方向向量，直思考：已知直線上一點(diǎn)和直線的方向向量，直線可以唯一確定，已知平面內(nèi)一點(diǎn)和平面的法線可以唯一確定，已知平面內(nèi)一點(diǎn)和平面的法向量，這個(gè)平面是否唯一確定？向量，這個(gè)平面是否唯一確定？思考：思考： 我們能不能用直線的方向我們能不能用直線的方向向量和平面法向量來刻畫空間線向量和平面法向量來刻畫空間線面位置關(guān)系？面位置關(guān)系？ 設(shè)空間兩條直線設(shè)空間兩條直線 的方向向量為的方向向量為兩個(gè)平面兩個(gè)平面 的法向量分別為的法向量分別為12,e e 12,l l12, 12,n n 平行平行垂直垂直12ll與11l與12與1e12ee11en1e1n12n

5、n2e1n2nOBDCA 例例1、如圖，、如圖， 是平面是平面 的一條斜線，的一條斜線， 為為斜足，斜足， ， 為垂足，為垂足， ，且，且 求證：求證： OBOABACDCD OACDOB 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（三垂線定三垂線定理理）變式練習(xí)：變式練習(xí)： 寫出三垂線定理的逆定理，并用向量的寫出三垂線定理的逆定理，并用向量的方法加以證明。方法加以證明。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的

6、射影垂直，那么它也和這條個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。斜線垂直。 三垂線定理的逆定理：三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。那么它也和這條斜線的射影垂直。OBDC A已知：如圖，已知：如圖， 是平面是平面 的的 一條斜線，一條斜線， 為斜為斜足，足， ， 為垂足，為垂足， ，且，且求證：求證：OBOABACDCD OBCDOA例例2、證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂、證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。（直，那

7、么這條直線垂直于這個(gè)平面。（直線與平面垂直線與平面垂直的判定定理直的判定定理）lmn已知：如圖，已知：如圖， 求證：求證： ,mn,mnB lm lnlBllmmnng g分析：分析：要證明直線與要證明直線與平面垂直，只要證明平面垂直，只要證明該直線垂直于平面內(nèi)該直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線。任意一條直線。B,lm ln0,0l ml m mn與相交相交mn與不共線不共線又又, ,m n g 共面共面存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組, x y使得，使得，gxmyn l glxmynxl myl mo 例例3、如圖，在直三棱柱、如圖，在直三棱柱 - 中，中， 是棱是棱 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：

8、ABC111ABC190 ,30 ,1,6,ACBBACBCA A M1CC1ABAM1B1A1CABCM903016證明：在直三棱柱證明：在直三棱柱 - 中，中，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 因?yàn)橐驗(yàn)?，而，而所以所以 ，所以，所以在在 中，因?yàn)橹校驗(yàn)樗运訟BC111ABC1A AAC10A A AC CMABC 平面ABABC 平面CMAB0CM AB Rt ABC1,30BCBAC3,2ACAB3cos302332AB ACABAC 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?， ，且且 是棱是棱 中點(diǎn)，所以中點(diǎn)，所以 ，所以所以CM 1A A16A AM1C C62CM 11cos1803A A CMA A C

9、M 1B1A1CABCM903016所以所以：11AB AMA AABACCM 11A A ACA A CMAB CM 0所以：所以：即，即，1ABAM 1ABAM1B1A1CABCM903016 思考：還有其它的證明方法嗎？思考：還有其它的證明方法嗎？ 利用相似形與線面垂直利用相似形與線面垂直分析：連結(jié)分析：連結(jié) 交交 于點(diǎn)于點(diǎn) 因?yàn)橐驗(yàn)樗?，要證所以，要證就是證就是證即證即證1AC11ABACCB AMO10AB AM 10ACCBAM 10AC AMCB CM 1、利用、利用 相似可以證明相似可以證明 ， 從而從而1ACMA AC和1ACAM10AC AM 2、利用、利用 知道知道 ，即

10、，即1CBACC1平面ACBAM0CB AM 1B1A1CABCM903016O 你能試著建立適當(dāng)?shù)目臻g直角你能試著建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，再證明坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，再證明它們互相垂直嗎？它們互相垂直嗎？1C1B1AABCM9030161C1B1AABCM903016xyz證明：分別以證明：分別以所在直線為所在直線為 軸，軸， 軸，軸， 軸，建軸，建立空間直角坐標(biāo)系立空間直角坐標(biāo)系1,CA CB CCxyzCxyz圖中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：圖中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：13,1,6A3,0,0A所以：所以：163,0,6 ,3,0,2ABAM 所以：所以：0AB AM 即，即，1ABAM

11、1C1B1AABCM903016xyz323,1, 60,1,03,0,060,0,2,0,1,0B6,0,0,2M例例3. 如圖如圖 : 已知已知 正方體正方體 E，F(xiàn)分別為分別為BB1，CD的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 求證求證: ADE1D F平面1111DCBAABCD1111DABDCBCAEFAA1 B1 C1BCE例例4、如圖，在正三棱柱如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，中，（正三棱柱指底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂（正三棱柱指底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直的三棱柱），直的三棱柱），E為為B B1 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：截面求證：截面A1 EC側(cè)面?zhèn)让鍭C1 。三種方法的比較：三種方

12、法的比較： 證法一是幾何向量法，要熟練掌握向量的加證法一是幾何向量法，要熟練掌握向量的加減運(yùn)算及所滿足的運(yùn)算律。減運(yùn)算及所滿足的運(yùn)算律。 證法二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算法，關(guān)鍵是要恰當(dāng)證法二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算法，關(guān)鍵是要恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，探求出各點(diǎn)的坐標(biāo)。地建立空間直角坐標(biāo)系，探求出各點(diǎn)的坐標(biāo)。 證法三是幾何向量法和立體幾何法的綜合運(yùn)證法三是幾何向量法和立體幾何法的綜合運(yùn)用。用。 最終都是應(yīng)用向量的數(shù)量積為最終都是應(yīng)用向量的數(shù)量積為0 0來來證明線線垂直。證明線線垂直。課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 本節(jié)課主要研究了用向量的方法本節(jié)課主要研究了用向量的方法判定空間線線、線面垂直關(guān)系。判定空間線線、線面垂直關(guān)系。 如果要判定兩條直線如果要判定兩條直線 垂直垂直 ，可以通過證明它們的方向向量可以通過證明它們的方向向量 ， 的數(shù)量積為的數(shù)量積為0實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)ab、ab同步練習(xí)：同步練習(xí)：（兩平面垂直的性質(zhì)定理兩平面垂直的性質(zhì)定理）已知：平面已知：平面 平面平面 ， 直線直線 ，且，且求證：求證：lmmlmlmnAg 同步練習(xí)：同步練習(xí)： 如圖，在正方體如圖，在正方體 中，中， 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn) ，求證：，求證：1111ABCDABC D11CDDC和O1AOAB1A1B1C1DABCDO1.