大學(xué)物理A(上冊)電磁學(xué)b介質(zhì)靜電場

1、1 1 靜電場中的導(dǎo)體靜電場中的導(dǎo)體2 2 電容電容 電容器電容器3 3 電場中的電介質(zhì)電場中的電介質(zhì)4 電介質(zhì)中的靜電場電介質(zhì)中的靜電場 5 5 電場的能量電場的能量 1 1 靜電場中的導(dǎo)體靜電場中的導(dǎo)體 (Conductor in Electrostatic Field)一、導(dǎo)體的靜電平衡一、導(dǎo)體的靜電平衡(Electrostatic equilibrium) 1 1、靜電平衡：、靜電平衡： 電荷靜止不動，電荷靜止不動，(電場分布不隨電場分布不隨時間變化時間變化)靜電平衡。靜電平衡。 2 2、電場對導(dǎo)體、電場對導(dǎo)體的作用機(jī)理的作用機(jī)理： 電子定向移動電子定向移動，產(chǎn)生產(chǎn)生附加電場附加電場E

2、 E=E0+ E ,當(dāng)當(dāng)E=E0時時,電荷不再移動電荷不再移動靜電平衡靜電平衡。3 3、導(dǎo)體的靜、導(dǎo)體的靜電平衡條件：電平衡條件：-導(dǎo)體內(nèi)處處場強(qiáng)為零場強(qiáng)為零反證：反證： 二、處于靜電平衡導(dǎo)體具有的性質(zhì)二、處于靜電平衡導(dǎo)體具有的性質(zhì)： 1、導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)方向?qū)w表面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)方向表面。表面。 、定性證明：定性證明：假如不假如不，則在，則在表面上有分量，表面上有分量，電荷移動，故不電荷移動，故不靜電平衡。靜電平衡。、表面場強(qiáng)與面密度的關(guān)系表面場強(qiáng)與面密度的關(guān)系 表面場強(qiáng)表面場強(qiáng)表面，內(nèi)部場強(qiáng)為零表面，內(nèi)部場強(qiáng)為零 dsEdssdEs 010 EE方向與方向與 n 相同還是相反，取決相

3、同還是相反，取決于的正負(fù)，考慮到方向于的正負(fù)，考慮到方向onE0 E/EAdsnP2 2、導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈余電荷導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈余電荷（即（即 e e=0=0），電荷只分布在導(dǎo)體表面上。），電荷只分布在導(dǎo)體表面上。導(dǎo)體qS反證：反證：假定有未被抵消的凈余電荷假定有未被抵消的凈余電荷q ，做，做S包圍包圍q（ S在導(dǎo)體內(nèi)）在導(dǎo)體內(nèi)） qsdEs010 0 q導(dǎo)體靜電屏蔽靜電屏蔽 (Electrostatic shielding) Sa、導(dǎo)體有內(nèi)腔，腔內(nèi)無電荷導(dǎo)體有內(nèi)腔，腔內(nèi)無電荷: 緊貼腔外做s seqsdE010 即即：內(nèi)表面無電荷，只分布在外表面。電力線不會在導(dǎo)體、空

4、腔處中斷，導(dǎo)體內(nèi)和空腔內(nèi)場強(qiáng)都為0。（金屬衣）b、導(dǎo)體內(nèi)有空腔，腔內(nèi)有電荷導(dǎo)體內(nèi)有空腔，腔內(nèi)有電荷 導(dǎo)體+qS-q+q緊貼腔外做SisqsdE 010 qq 腔腔表表即即不僅外表上有電荷，而且內(nèi)表面上也會有電荷，若外表面接地，則腔外E=0，即腔內(nèi)不會影響腔外。（儀器金屬殼）3 3、實(shí)驗(yàn)證明：處于靜電平衡狀態(tài)實(shí)驗(yàn)證明：處于靜電平衡狀態(tài)的孤立導(dǎo)體上面電荷密度的孤立導(dǎo)體上面電荷密度的大小的大小與表面的曲率有關(guān)。與表面的曲率有關(guān)。 凸、尖部分凸、尖部分( (曲率是正值且較大曲率是正值且較大) )電荷面密度較大，在平坦部分電荷面密度較大，在平坦部分( (曲曲率較小率較小) )電荷面密度較小，在表面電荷面

5、密度較小，在表面凹進(jìn)部分帶電面密度最小。凹進(jìn)部分帶電面密度最小。尖端放電尖端放電4 4、處于靜電平衡的導(dǎo)體、處于靜電平衡的導(dǎo)體內(nèi)部是一個等勢體，表內(nèi)部是一個等勢體，表面是一等勢面面是一等勢面。 設(shè)內(nèi)設(shè)內(nèi)p、Q兩點(diǎn)（兩點(diǎn)（E內(nèi)內(nèi)=0） QPPQl dEu00 PQu孤立導(dǎo)體孤立導(dǎo)體+起電機(jī)起電機(jī) 2 2 電容電容( (capacitycapacity) ) 電容器電容器( (capacitorcapacitor) ) 一、孤立導(dǎo)體的電容一、孤立導(dǎo)體的電容 孤立孤立-附近無其它導(dǎo)體或帶電體附近無其它導(dǎo)體或帶電體導(dǎo)體可成為帶電體（等勢體），即具有“容電”的本領(lǐng)。設(shè)帶電設(shè)帶電q，電勢，電勢u 定定義義

6、uqC 僅與導(dǎo)體的尺寸和形狀僅與導(dǎo)體的尺寸和形狀有關(guān)，而與有關(guān)，而與q、u無關(guān)的無關(guān)的常數(shù)常數(shù)孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 例、例、半徑半徑R的孤立導(dǎo)的孤立導(dǎo)體球，帶體球，帶Q，求，求C。解：解： 選選為為“0”，則，則RQu041 RuQc04 可見，可見，C的大小僅與的大小僅與R有有關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)。關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)。 二、電容器的電容二、電容器的電容（非孤立導(dǎo)體）（非孤立導(dǎo)體） C 導(dǎo)體導(dǎo)體A A旁有導(dǎo)體，則旁有導(dǎo)體，則u uA A不僅與不僅與q qA A有關(guān)，還有關(guān)，還取決于取決于B B、C C的位置和形狀。的位置和形狀。 不能再用常數(shù)不能再用常數(shù)C= qA / uA來反映

7、來反映uA和和qA之間的關(guān)系了，它還與周圍導(dǎo)體有關(guān)。之間的關(guān)系了，它還與周圍導(dǎo)體有關(guān)。 要消除影響，采用靜電屏蔽，要消除影響，采用靜電屏蔽，B B包包A A（也可不完全包圍），（也可不完全包圍），電容器電容器。電容器的電容電容器的電容 設(shè)，設(shè)，q,電勢差電勢差u1-u2定定義義21uuqc 僅與板大小、形狀、大小、形狀、間距間距及及介質(zhì)介質(zhì)有關(guān) BBA例例1 1、平行板電容器，板面積、平行板電容器，板面積S S，間距，間距d d，且，且S S d d 2 2，這樣可忽略邊緣效，這樣可忽略邊緣效應(yīng)的影響，求應(yīng)的影響，求C C +-+ +q- -qS SdE1E2E解：解：設(shè)q 012 E022

8、E0 EdsqdEduu0021 dsuuqc021例例2 2、球形電容器，半經(jīng)、球形電容器，半經(jīng)R R1 1、R R2 2（同（同心金屬球面）心金屬球面）, ,求電容。求電容。oR2R1解：解：設(shè)q 204rqE （沿經(jīng)向） )(21RrR drrql dEuuRR 21202141 211204RRRRq 僅與僅與R R1 1、R R2 2有關(guān)有關(guān)12210214RRRRuuqC +q-q例例3、柱形電容器，半經(jīng)、柱形電容器，半經(jīng)R1、R2（金屬柱面）（金屬柱面）,長長L R2 -R1,求電容。求電容。解：解：設(shè)q ，LR1R2（沿經(jīng)向） )(21RrR rE02 21021212RRdr

9、rl dEuu 120ln2RR 120ln2RRLq 12021ln2RRLuuqC 僅與僅與R1、R2有關(guān)有關(guān)總結(jié)求電容的方法總結(jié)求電容的方法、 先任意假設(shè)兩極板上所帶的等先任意假設(shè)兩極板上所帶的等量異號電荷量異號電荷q 、 、據(jù)電荷分布求板間的、據(jù)電荷分布求板間的 分布分布E、據(jù)、據(jù) 分布求分布求E21uu 21uuqc 、據(jù)、據(jù) 電容定義求電容電容定義求電容3 3 電場中的電介質(zhì)電場中的電介質(zhì)( (Dielectric in Electrostatic FieldDielectric in Electrostatic Field) ) 電介質(zhì)電介質(zhì)(Dielectric) 絕緣體（不導(dǎo)

10、電，但有電性表現(xiàn)）電偶極子電偶極子 一、與導(dǎo)體的區(qū)別一、與導(dǎo)體的區(qū)別二、無極分子、有極分子二、無極分子、有極分子 正、負(fù)電荷中心正、負(fù)電荷中心 無極分子無極分子(Non-polar molecule) -介質(zhì)中分子的正負(fù)電荷中心恰好重合，分子的電矩為零， 。0 分P有極分子有極分子(Polar molecule)-介質(zhì)中分子的正負(fù)電荷中心不相重合，分子具有固定電矩 。0 分P-束縛電荷束縛電荷(Bound charge)三、電介質(zhì)的極化三、電介質(zhì)的極化(Polarization) 場作用，正負(fù)電荷中心位移，成電偶極子（沿場向排列）。場作用，正負(fù)電荷中心位移，成電偶極子（沿場向排列）。1、無極分

11、子電介質(zhì)的極化、無極分子電介質(zhì)的極化 彈性偶極子彈性偶極子。0E0Eep位移極化位移極化(Displacement polarization)共共 性：性：、內(nèi)內(nèi)部部任任一一無無限限小小體體積積，在在極極化化前前， 0 分P，極極化化后后，0 分P 、極化前：極化前：內(nèi)部正負(fù)電荷內(nèi)部正負(fù)電荷總量相當(dāng)，即總量相當(dāng)，即e處處為處處為0 0極化后：極化后：小體內(nèi)小體內(nèi),轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)入、移出電荷不等，入、移出電荷不等，出現(xiàn)出現(xiàn)體束縛電荷體束縛電荷、面束縛電荷面束縛電荷。無場無場：雜亂， 不顯電性。0 分P有場有場：剛性偶極子剛性偶極子 2、有極分子電介質(zhì)的極化、有極分子電介質(zhì)的極化1f2f0E0Eep轉(zhuǎn)向極化

12、轉(zhuǎn)向極化(Orientation polarization)轉(zhuǎn)向、有序。四、電極化強(qiáng)度四、電極化強(qiáng)度(Polarization)1、電極化強(qiáng)度、電極化強(qiáng)度 PvPP 分分2米米庫庫2、 與與 的關(guān)系的關(guān)系 PE實(shí)驗(yàn)證明：實(shí)驗(yàn)證明：對各向同性介質(zhì)(isotropy linearity )e-電極化率電極化率,0 1 er 3、 與束縛電荷與束縛電荷 的關(guān)系的關(guān)系P 均勻介質(zhì)均勻介質(zhì)面電荷面電荷 EPe0 (以無極分子為例) slPnA在介質(zhì)表面在介質(zhì)表面A處，沿處，沿E（P） 方向上以） 方向上以 s 為底為底作一作一l（分子電矩長）斜圓柱體，（分子電矩長）斜圓柱體，該圓柱體很小， 可認(rèn)為電矩該

13、圓柱體很小， 可認(rèn)為電矩的排列都沿軸線，與的排列都沿軸線，與P方向方向一致。一致。 l sl qP 分分子子slv cos據(jù)據(jù) 定義定義: :P coscos slslvPPP分子分子nPP cos即：均勻介質(zhì)極化時，在介質(zhì)表面上某處所產(chǎn)生的極化電荷面密即：均勻介質(zhì)極化時，在介質(zhì)表面上某處所產(chǎn)生的極化電荷面密度，等于電介質(zhì)在該處的極化強(qiáng)度沿法線方向的分量。度，等于電介質(zhì)在該處的極化強(qiáng)度沿法線方向的分量。 討論：討論： 時2 正 時2 負(fù) 時2 0 時0 P時 P例、求沿軸向均勻極化的各向同性例、求沿軸向均勻極化的各向同性均勻圓柱介質(zhì)的極化電荷分布。均勻圓柱介質(zhì)的極化電荷分布。nnnP即即 極化

14、電荷僅分布在桿兩端面極化電荷僅分布在桿兩端面nPP cosPnA解：解： 0 右底：為正,P 左底：為負(fù),P 2 側(cè)面：0 4 4 電介質(zhì)中的靜電場電介質(zhì)中的靜電場 一、電位移矢量一、電位移矢量 DE 對介質(zhì)作用對介質(zhì)作用極化極化極化電荷（束）極化電荷（束）附加場附加場0EE EEE 0要要求求E ， 則則要要知知 ， 困困難難! 為避免為避免當(dāng)有介質(zhì)存在時出現(xiàn)極化電荷當(dāng)有介質(zhì)存在時出現(xiàn)極化電荷后計算的困難。后計算的困難。也為也為把電介質(zhì)中電場的描述在形式上把電介質(zhì)中電場的描述在形式上統(tǒng)一。統(tǒng)一。引入引入DE0-（electric displacement vectorelectric dis

15、placement vector）在各向同性介質(zhì)中 定義定義 ：r-相對介電常數(shù)相對介電常數(shù) -介電常數(shù)介電常數(shù) E總場總場實(shí)驗(yàn)還表明實(shí)驗(yàn)還表明，在均各向同性介質(zhì)中EEDr 0rEE 0 00ED 二、電位移線二、電位移線 電位移通量電位移通量 1 1、電位移線、電位移線（與電力線類似）（與電力線類似） 定義定義： (1) (1)曲線上任一點(diǎn)的切曲線上任一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的電位移線方向表示該點(diǎn)的電位移 的方向。的方向。 (2) (2)通過垂直于電位移的單通過垂直于電位移的單位面積的電位移線數(shù)目，等位面積的電位移線數(shù)目，等于該點(diǎn)電位移的量值于該點(diǎn)電位移的量值D D， SND2、電位移線與電力

16、線的區(qū)別、電位移線與電力線的區(qū)別 、 在 各 同 介 質(zhì) 中 ，在 各 同 介 質(zhì) 中 ，EDr0 ，D線密度是線密度是E密度的密度的r0倍；倍； 、D線從正自由線從正自由負(fù)自由電荷負(fù)自由電荷 E線從正（自、束）線從正（自、束）負(fù)負(fù) ( (自、自、束）束） S D dS cos dsDNdD時，20 正Dd ,2時 負(fù)Dd ds:大小等于大小等于 ds閉合：內(nèi)至外閉合：內(nèi)至外不閉合不閉合: 任意任意方向：方向：n 正向正向 定義：定義： 穿過任意曲面穿過任意曲面S S的電位移線條數(shù)，的電位移線條數(shù)，稱穿過該面的電位移通量稱穿過該面的電位移通量D D 。ndssd n ds3 3、電位移通量、電

17、位移通量 sdDdsDD S面的通量：面的通量： sDsdD閉合曲面：閉合曲面： ds的通量的通量:sdDdD 三、介質(zhì)中的高斯定理三、介質(zhì)中的高斯定理 )(10內(nèi)內(nèi)iseqsdE 真空：真空：(從特殊情況出發(fā)) +-+-E0EE平行板電容器，板帶電平行板電容器，板帶電q（）,取高斯面取高斯面s：左底在板內(nèi)且與極板面積相左底在板內(nèi)且與極板面積相同；右底面在介質(zhì)內(nèi)仍與極板面積相同同；右底面在介質(zhì)內(nèi)仍與極板面積相同 qqq)(10qqsdEs 側(cè)0sdE 左底0sdE)(10qqESsdEsdEs 右底-+-+S充滿均勻介質(zhì)充滿均勻介質(zhì)r,極化極化q（） )(10qqSE 而對平行板電容器而對平行

18、板電容器 rUU 0 000 E有介質(zhì)時有介質(zhì)時q0 即q 、比較比較 qqqr dUE rE 0 Sqr001 Sq00 dUr 0 srqsdE 0代入 qsdESr 0 sqsdD可以證明：可以證明：在靜電場中（有、在靜電場中（有、無介質(zhì)），通過任一閉合曲面無介質(zhì)），通過任一閉合曲面S S的的 通量等于該閉合曲面包圍通量等于該閉合曲面包圍的自由電荷的代數(shù)和，與外的的自由電荷的代數(shù)和，與外的電荷無關(guān)電荷無關(guān) D sqsdD內(nèi)內(nèi)自自指出：指出：通量只與面S內(nèi)內(nèi)自由電荷有關(guān)，但并不等于S內(nèi)無束縛電荷，也不等于 只由曲面內(nèi)自由電荷產(chǎn)生。D)(qqsdEs 01 )(qqSE 01 SqEdUEr

19、r0001 四、高斯定理的應(yīng)用四、高斯定理的應(yīng)用 例例1、無限大平行板電容器，自由電荷面密無限大平行板電容器，自由電荷面密0 , 充滿兩層各向同性、均勻介質(zhì)，介質(zhì)截面平充滿兩層各向同性、均勻介質(zhì)，介質(zhì)截面平行于極板，相對介電常數(shù)行于極板，相對介電常數(shù) 、 ，厚，厚 、求求:各介質(zhì)層中場強(qiáng)各介質(zhì)層中場強(qiáng) 兩板電勢差兩板電勢差1r 2r 1d2dABr2r1+0-0d1d2s1解：解： 場均勻，且場強(qiáng)場均勻，且場強(qiáng)板面板面過介質(zhì)過介質(zhì)1作以作以 底底的圓柱面的圓柱面1s 10111ssDsdDs 01 DrrDE 00011 ABr2r1+0-0d1d2s2同理同理 20222ssDsdDs 02

20、 D 2200022rrDE 可見：可見： （與自由電荷有關(guān)）（與自由電荷有關(guān)）21DD 21EE 1r1D1E2D2E22111R2R3R1r2r1例例2、半徑、半徑 、 的同心球形電容器的同心球形電容器,充滿充滿 、 兩層均勻兩層均勻介質(zhì)，分界面為介質(zhì)，分界面為 的同心圓球的同心圓球,求電容器的電容求電容器的電容1R3R1r 2r 2R解：解：由于兩層介質(zhì)均勻，且球由于兩層介質(zhì)均勻，且球?qū)ΨQ，故場強(qiáng)為球?qū)ΨQ，方向仍對稱，故場強(qiáng)為球?qū)ΨQ，方向仍沿經(jīng)向。沿經(jīng)向。 同同理理 QrDsdDs 2141 214 rQD 20011114rQDErr 20224rQEr +Q-QD1D2 312132

21、21RRRRRRrdErdEl dEu 213221RRRRdrEdrE )()(32210111111421RRRRQrr )()(32210111111421RRRRuQcrr 兩例可看出：兩例可看出：在求電介質(zhì)中場強(qiáng)時，因在求電介質(zhì)中場強(qiáng)時，因束縛電荷預(yù)先不知，可以先求電位移束縛電荷預(yù)先不知，可以先求電位移（僅用自由），然后用（僅用自由），然后用 求得求得DEDr 0 ER2R3R1r2r1+Q-QD1D25 電場的能量電場的能量 一、帶電系統(tǒng)的能量一、帶電系統(tǒng)的能量 (electrostatic energyelectrostatic energy)1 1、帶電、帶電Q Q 的帶電體具

22、有的能量的帶電體具有的能量設(shè)想建立：不斷把設(shè)想建立：不斷把dq從從移至該帶電體上移至該帶電體上Qdq移第一個dq時，不受力，外力不需作功。移第二個dq時，外力克服第一個dq作功。假設(shè)帶電體已帶q，電勢u，再將從移至帶電體上時，外力作的功為：udqdA 全過全過程中程中 QudqdAA0dq dqdqdqdqdqdqqu外力克服靜電力的功，應(yīng)該等于帶電外力克服靜電力的功，應(yīng)該等于帶電體所具有的電勢能：體所具有的電勢能：2 2、電容器所具有的電量、電容器所具有的電量 +Q-QABdq 設(shè)電容器兩極板帶電設(shè)電容器兩極板帶電Q Q，板，板間電勢差間電勢差U,U,設(shè)電容為設(shè)電容為C C 設(shè)想帶電過程：不

23、斷從原來中性的板設(shè)想帶電過程：不斷從原來中性的板上取正電荷移到板上而逐漸建立的。上取正電荷移到板上而逐漸建立的。移第一個移第一個dqdq時，不受力，外力時，不受力，外力不需作功。不需作功。移第二個移第二個dqdq時，外力克服第一時，外力克服第一個個dqdq作功。作功。 QudqAW0dqdqdqdqdqdq設(shè)q,u,再移再移dqdqCqdqudAtt)()( 全過程外力的功全過程外力的功CQdqCqdAAQt2021 )(QUCU21212 電容器具有的能量應(yīng)等于電容器具有的能量應(yīng)等于外力所做的功外力所做的功QUCUCQW2121222 (普遍適用) ABdqdqdqdq+q-q-dq-dq-

24、dq-dqdq二、電場的能量二、電場的能量 從電場的觀點(diǎn)來看，帶電體（系）的從電場的觀點(diǎn)來看，帶電體（系）的能量也就是電場的能量。能量也就是電場的能量。平行板電容器平行板電容器dSCr 0 22022121dEdSCUWr VESdErr20202121 忽略邊緣效應(yīng)，內(nèi)部電場均勻分布，儲能均勻，忽略邊緣效應(yīng)，內(nèi)部電場均勻分布，儲能均勻，單位體積內(nèi)所儲存電場能量單位體積內(nèi)所儲存電場能量 能量密度能量密度 DEEVWr212120 U=Ed 可見可見 ：只要空間任一處存在著只要空間任一處存在著E E，該處單，該處單位體積電場中就儲存著位體積電場中就儲存著 的能量。的能量。2021Er 可以證明可

25、以證明，此結(jié)果對一般電場照樣適用。，此結(jié)果對一般電場照樣適用。設(shè)想不均勻電場中：設(shè)想不均勻電場中：221E dvEdvdWr2021 dvEdWWrV2021 式式表明，能量的存表明，能量的存在是由于電荷的存在，在是由于電荷的存在，電荷是能量的攜帶者。電荷是能量的攜帶者。 QudqAW0QUCUCQW2121222 在在靜電場靜電場中，電場總是隨著電荷而中，電場總是隨著電荷而存在，因此無法用實(shí)驗(yàn)來證明電能究竟存在，因此無法用實(shí)驗(yàn)來證明電能究竟是以那種方式儲存的。但在是以那種方式儲存的。但在交變電磁場交變電磁場的實(shí)驗(yàn)中，已經(jīng)證明了電場可以脫離電的實(shí)驗(yàn)中，已經(jīng)證明了電場可以脫離電荷而存在，因此必須

26、承認(rèn)，能量是儲存荷而存在，因此必須承認(rèn)，能量是儲存在電場中，電場是能量的真正攜帶者。在電場中，電場是能量的真正攜帶者。 但但表明，電能是表明，電能是儲存于電場中的，電儲存于電場中的，電場是能量的攜帶者場是能量的攜帶者 。 DEEVWr212120 dvEdWWrV2021 例例1 1、半、半a a，帶，帶Q Q 的孤立金屬球，求其所產(chǎn)的孤立金屬球，求其所產(chǎn)生的電場中儲藏的能量生的電場中儲藏的能量 drdrr ra ao oQ Q解：解： 電場是能量的攜帶者電場是能量的攜帶者場強(qiáng)分布：場強(qiáng)分布：電荷僅分布于表面，電荷僅分布于表面，其內(nèi)沒有未被抵消的電荷其內(nèi)沒有未被抵消的電荷 )(4)0(020arrQarEdrrdv24 drrEdvdw220421 drrE2202 分段積分分段積分 dvEdvWVV2021 drrEdrrEaa220022022外外內(nèi)內(nèi) aQdrrrQa02222008)4(2 電荷系是能量的