SARS傳播地數(shù)學(xué)模型39281

1、SARS專播的數(shù)學(xué)模型摘要通過對題目附件1的SARS真型進行分析和評價，加深了對SARS勺認識和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點，建立了關(guān)于SARSW人率和疑似病人率兩個常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù)，用Matlab軟件進行數(shù)值計算，與圖形模擬方法求得模型中的有關(guān)參數(shù)。當入1=1.5和入2=1時，理論圖形與實際圖形有良好的吻合，分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實際數(shù)據(jù)的變化圖，能正確地預(yù)測它們的發(fā)展趨勢。他們對于模型中的參數(shù)有非常強的靈感性，入1的值作微小的改變對于整個疫情的發(fā)展有很大的影響，所以政府采取對SARSgE情的有關(guān)措施是完全正確的。本文重點分析了關(guān)于SARSW人率的模型

2、一，根據(jù)求得的參數(shù)，利用相軌線理論對結(jié)果加以分析并對整個疫情作出預(yù)測，并推論出SAR朝人率關(guān)于t的表達式i(t),然后提出了對傳染病的控制方案，同時列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對模型進行檢驗，說明模型的參數(shù)有區(qū)域性。關(guān)鍵詞：SARS微分方程曲線擬合數(shù)學(xué)模型相軌線、問題的提出SARS谷稱非典型肺炎，是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。我國作為發(fā)展中大國深受其害：SARS勺爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民與SARS1強抗爭，取得了可喜的階段性勝利，并從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn)，認識到在沒有找出真正病因和

3、有效治愈方法前，政府采取的強制性政策對抑制SARS自然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個適當?shù)哪Ｐ蛯ARS專播規(guī)律進行定量地分析、研究，為預(yù)測和控制SARSK延提供可靠、足夠的信息，無論對現(xiàn)在還是將來都有其重要的現(xiàn)實意義。二、模型的假設(shè)1 .地總?cè)藬?shù)N可視為常數(shù)，即流入人口等于流出人口。2 .據(jù)人口所處的健康狀態(tài)，將人群分為：健康者，SARSW人，退出者(被治愈者、免疫者和死亡者)。3 .在政府的強制措施下，人口基本不流動，故無病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數(shù)。4 .隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系，不具有傳染性。5 .SARSS復(fù)者二度感染的概率為006 .國家完善了監(jiān)控

4、手段，加強了對SARSW毒監(jiān)控的力度，故可假設(shè)所有感染SARS病毒的人群都進入了SARSW人類和疑似類。7 .由于對SARSW原體的研究不夠深入，無有效藥物可以使人體免疫，同時SARSW毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統(tǒng)，故不可免疫。三、模型的建立(一)參數(shù)的設(shè)定和符號說明s(t):t時刻健康者在總體人群中的比例i(t):t時刻SARM人在總體人群中的比例l(t):t時刻疑似病人在總體人群中的比例r(t):t時刻被治愈者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和九：SARSW人日接觸率。為每個病人每天有效接觸(足以使健康者受感染變?yōu)椴∪?的平均人數(shù)。u:日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例。

5、u:日轉(zhuǎn)化率。為每天危險群體中的疑似病人被確診為SARSt者的比例。n:日死亡率。為每天SAR3W人死亡的數(shù)量和當天病人總數(shù)量的比值。7、2：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。(二)模型建立模型一感染為SARSS者情況由假設(shè)，每個病人每天可使九is(t)個健康者變?yōu)椴∪?，因為病人人?shù)為Ni(t),所以每天共有AiNs(t)i(t)個健康者被感染，于是入iNsi就是病人數(shù)Ni的增加率，又因為每天被治愈率為N,死亡率為”所以每天有NNi個病人被治愈，有Ni個病人死亡。那么病人的感染為由于di.NNsi-NiNidts(t)i(t)r(t)=1(1)對于退出者dr，一，一巴=N(中為所有退出者

6、比例之和)(2)dt由假設(shè)可知：.,=故SARSt者率模型一的方程建立如下：diisii-ui-ii(0)-i0出dsi%.二一，一1slis(0)=s0l.dtr(0)=0(4)模型二疑似患者的變化情況與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二:力1、=-2s21-1a*dtds2_.一二包1.dt(5)四、模型求解(一)參數(shù)的確定和分析:文案大全1 .巴明力的確定每天治愈的人數(shù)每天確診的人數(shù)n=每天死亡的人數(shù)當天病人總數(shù)當天疑似病人總數(shù)當天病人總數(shù)用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數(shù)據(jù)得:=0.055076,a=0.038183,刈=0.002443。（處理數(shù)據(jù)見附件）2. %,九2的確

7、定確定九i很明顯從我們建立的模型是無法得到s、i、i。、S0的解析解。為了解決這個問題我們用MATLA歆件中龍格一庫塔方法求出他們的數(shù)值解。先通過實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)算出每一天的s、i、i0、S0做出它們與時間的函數(shù)圖象圖1,然后我們再對九i取一組數(shù)，分別畫出由通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象圖2,將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較，調(diào)試。我們發(fā)現(xiàn)當九i電1.5時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：圖1：根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合的圖象（畫圖程序見附件）圖2通過數(shù)值解作出的i關(guān)于時間t的變化（畫圖程序見附件）分析兩個圖形可知，它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當符合，具有相同的發(fā)展趨勢。但是在0,

8、10的SAR創(chuàng)期范圍內(nèi)，曲線變化不相同。這主要是因為在4月24日之前，沒有相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和報道，由于數(shù)據(jù)的不全，根據(jù)邊界值畫出來的曲線與通過數(shù)值解得到的it曲線相比較，不能準確反映SARS產(chǎn)生初期時的趨勢，所以邊界值應(yīng)該去掉，而通過數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢。并且通過對SARS!延期特點的分析，圖2在符合所給數(shù)據(jù)反映的規(guī)律基礎(chǔ)上，還能夠模擬缺乏數(shù)據(jù)的SARS初始狀態(tài)，所以曲線是合理的。(2)確定九2與確定時類似，先根據(jù)實際數(shù)據(jù)畫出圖形圖3實際數(shù)據(jù)圖形然后再對z2取一組數(shù)，分別畫出通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象，將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得圖象相比較，調(diào)試。發(fā)現(xiàn)當Z2-1.0時，

9、理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：在0,10的初期范圍內(nèi)，曲線趨勢不同，原因同前。整個曲線反映了疑似患者在SARS的過程中的變化規(guī)律。五、結(jié)果分析與檢驗（一）討論i（t）s（t）的性質(zhì)si平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域（s,i）wD為D=l（s,i）|s0,i_0,siM1）從模型（一）中消去dt,利用。的定義，可得di1?=-1，i|s3=i。（6）ds0.s由（6）式解得1s,、i=底+i0）s+*ln（一）（7）二So（二）對于合理確定的兒1=1.5,我們可以畫出is圖，圖形如下：（畫圖程序見附件文案大全由于在這個SARS病毒發(fā)展過程中，仃=/是變化的，故可以畫出。取不

10、同值時的圖形，如下取1/仃=0.4192,0.2858、0.1858時的圖形。分析（3）式和（7）式，可知：1 .不論初始條件so/。如何，病人終會消失，即SARSft終會被消滅，亦即日=0證明省略。從圖形上看，相軌線終將與s軸相交(t充分大)。2 .設(shè)最終未被感染的健康者的比例是s丈,在(7)式中令i=0得到方程1s.s0+i0-ln=0(8)二Sos屋(8)在(0,1/仃)內(nèi)的根，在圖形上S史是相軌線與s軸在(0,1/仃)內(nèi)交點的橫坐標。對于確定下來的1/仃=0.0383,可以代入(8)式解出頭03. SARS(病傳染過程分析整個傳染過程，隨著政府和公眾對SARS勺重視程度的變化，可知接觸

11、數(shù)o=%/N隨著治愈率N、死亡率”和接觸率心的不斷變化而變化。(1)在SARS發(fā)的初期，由于潛伏期的存在，社會對SARSW毒傳播的速度和危害程度認識不夠，所以政府和公眾沒有引起重視。治愈率N和死亡率”很小，而接觸率兒1相對較大，所以1/仃很小。當曲1/仃，則i(t)開始增加，可認為是疾病蔓延階段。(2)當s0=1/仃時，i(t)達到最大值1 -im=s0+i0-一(1+lns。)(9)a對于我們確定的=1.5,可以求出im=0.8368,可認為是疾病傳染到達了高峰期。(3)當s01-（10）所以只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例r。滿足（10）,就可以制止SARS勺蔓延。5.數(shù)值驗證與估量

12、根據(jù)上面的分析，阻止SARS蔓延有兩種手段，一是提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平，即降低日接觸率，提高日治愈率N,二是群體免疫，即提高移出者比例的初值r。我們以最終未感染的健康者的比例s汜和病人比例達到最大值im,作為傳染病蔓延程度的度量指標。給定不同的九，s。，i。，用（8）式計算為，用（9）式計算im九1/仃S0i。soOim1.00.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.084

13、00.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200從計算得到的s4口除可以看出：（1）對于一定的s。，降低九，提高N,使閾值1/。變大，會使Sc變大，im變小于是驗證了群體免疫和預(yù)防中提出的提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平，可以使SARSR終的患者比例縮小，健康群體增加。（2）對于一定的九，提高r。，會使s汜變大，im變小。所以實行群體免疫，降低受感染的基數(shù),可以有效地減緩SARSS延的速度。在（8）式中略去很小的i0,即有l(wèi)ns0-lns-cr=so-s二(11)

14、6.模型驗證首先，由方程（1）和（3）可以得到s（t）=soe31.6000、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函數(shù)：Y=polyconf(p,t,2)和plot(t,y,t,Y)作出如下曲線圖9再由2003年各月實際量推算出9月到12月的游客量分別為15.4127、20.1860、26.1721、33.3709。同樣我們作出圖10為便于直觀分析我們將兩組數(shù)據(jù)所作出的圖形移到圖11中:模型分析：從圖中我們可以看到，1月份實際游客量與預(yù)測數(shù)據(jù)較吻合，因為SARS剛出現(xiàn)，沒有引起人們重視；而以后各月差值先逐漸增大，到6月份后又開始

15、漸漸縮小，這是因為SARS8E情逐漸攀升到六月份達到高峰后漸漸的得到有效控制。人們在這段時期內(nèi)的出行受到SARS勺影響，所以在2月到6月游客量不斷的大量減少，但是隨著SARSgE情得到控制，以及公共衛(wèi)生系統(tǒng)的進一步完善，人們生活又漸漸的恢復(fù)到SARSB的一般規(guī)律，在圖形中反映為6月中下旬，隨著抗擊SAR繳得初步成效，游客量開始逐步增加，旅游業(yè)也重新回升到常態(tài)。但是由于用以預(yù)測未知量的已知量較少，我們?yōu)榱耸沟妙A(yù)測值真實可信，只考慮預(yù)測到11月份，這樣做同時還因為時間越長要考慮的不定因素也就越多。從模型及模型分析說明我們所預(yù)測的數(shù)據(jù)是基本合理、符合實際的。九、參考文獻1姜啟源等，數(shù)學(xué)模型（第三版）

16、，北京；高等教育出版社，2003.82李海濤等，MATLAB6.1基礎(chǔ)及應(yīng)用技巧，北京；國防工業(yè)出版社，2002.33趙靜等，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗，北京；高等教育出版社，2002.94王沫然，MATLAB5.X與科學(xué)計算，北京；清華大學(xué)出版社，2000.55幺煥民等，數(shù)學(xué)建模，哈爾濱；哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003.4短文SARSW數(shù)學(xué)模型2003年春天，SARSi一突發(fā)疫情襲擊了世界上20多個國家和地區(qū)，給全球經(jīng)濟的發(fā)展以及人們的正常生活等帶來了很大的影響，在經(jīng)過與SARSL個回合的較量之后，我們終于贏了。當SARSE在慢慢淡出我們身邊，我們的工作和生活漸漸回歸正常時，那曾經(jīng)經(jīng)歷的恐懼、困擾、

17、焦慮、無奈和痛苦，那曾深深擊中過我們軟肋，使我們的弱點暴露無遺的SARS將會成為烙在我們心靈上一塊永遠抹不去的印。不過，令人欣慰的是我們并沒有被擊倒，尤其是我們的白衣天使們，他們在與SARS勺較量中，充分展現(xiàn)了職業(yè)道德和人性的光輝，書寫出了最壯麗的人生篇章?，F(xiàn)在這個時刻，我們有必要梳理和總結(jié)過去的日子，將我們對SARS對病毒、對疾病、對危機的認識、責(zé)任以及處理方法推向前進。因為我們將不得不面對將有可能和SARS共存相當長時間的現(xiàn)實。在我們還不能完全認識它、戰(zhàn)勝它并最終消滅它時，我們必須時刻警覺，將SARS寸我們的侵害降低到最小。使得若當它卷土重來時，我們能夠聚集起更強大的力量，快速而從容地與它

18、過招。我們都知道SARS勺傳播，在沒能找到真正的藥物治療方法前，只能依靠政府采取強制性政策去預(yù)防、控制疫情。人類對傳染病的研究長期以來還都只是通過不斷的試驗來獲取數(shù)據(jù)，而且相關(guān)試驗只能在動物身上做，而不可能在活人體上做類似試驗，另外有關(guān)傳染病的數(shù)據(jù)也只能從爆發(fā)后的相關(guān)報道與文字材料中獲得，不但不能快速得到信息，連其數(shù)據(jù)的全面性都很難達到。因而，在對傳染病流行的控制研究問題上，迫切需要有一種行文案大全之有效、簡便易行的辦法來代替它。而數(shù)學(xué)模型恰恰是通過采用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具以及計算機模擬等手段從非醫(yī)學(xué)中的病理分析研究角度去進行科學(xué)描述，所以我們可以根據(jù)以前總結(jié)的一些經(jīng)驗和統(tǒng)計的實際數(shù)據(jù)，從數(shù)學(xué)角度建立

19、SARS專染病模型，通過科學(xué)、合理的分析和推論，提供足夠的可靠數(shù)據(jù)、信息給政府用以制定相關(guān)政策。這是一項艱巨的任務(wù)，不但需要我們的努力，也更需政府和媒體的大力支持。附件已確診病例W現(xiàn)有疑似病例死亡累計治愈出院累計當天退出數(shù)當天病人數(shù)當天病例退出率治愈率3394021833174310.0394430.076566482610254365200.0115380.0826925886662846166190.0258480.0743136937823555136840.0190060.0804097748633964127740.0155040.082687877954427398730.0103

20、090.0836298810934876109900.0101010.076768111412555678310650.0028170.0732391199127559781212100.0099170.0644631347135866831612910.0123930.0642911440140875901713880.0122480.06484115531415821001814540.012380.06877616361468911091115410.0071380.0707331741149396115715920.0043970.07223618031537100118616790.

21、0035740.07028189715101031211717360.0097930.0697196015231071341018080.0055310.074115204915141101411318850.0068970.074801213614861121521819130.0094090.07945621771425114168919450.0046270.086375222713971161751519740.0075990.088652226514111201863119980.0155160.093093230413781292084120100.0203980.10348323

22、4713381342441319920.0065260.1224923701308139252619970.0030050.126189238813171402571720080.0084660.127988240512651412733820060.0189430.136092242012501453072719820.0136230.154894243412501473322019580.0102150.169561243712491503495019450.0257070.179434244412251543955418950.0284960.2084432444122115644783

23、18530.0447920.24123245612051585285617790.0314780.296796246511791605828817480.0503430.332952249011341636674116690.0245660.399641249911051677044416330.0269440.431108250410691687478515970.0532250.467752251210051728284115140.0270810.54689625149411758666314760.0426830.58672125178031769287914160.0557910.6

24、55367252076017710068513380.0635280.7518682521747181108797512530.7781320.86751825217391902053672780.2410077.38489225217341902120352110.16587710.0473925217241912154171760.09659112.2386425217181912171181590.11320813.6540925217161912189421410.29787215.524822521713191223126990.26262622.535352521550191225

25、720730.27397330.9178125214511912277-116354-21.53742.16667252235118111243312170.0271160.92358325227118111573211840.0270270.9771962522418111897411520.0642361.0321182522318112635810780.0538031.171614252266818113218410200.0823531.295098252225718314031419360.1506411.498932252215518415431107950.1383651.94

26、0881252231841653966850.1401462.4131392522518617471985890.3361632.966044252241871944523910.1329924.971867252231891994213390.0619475.882006252231892015-575319-1.802516.3166142523218314463788940.4228191.61745252321861821565160.1085273.52907252321871876-0.289883.118497求病人變化(數(shù)值解)functiony=ill(t,x)w=1.5;z=0.0575;y=w.*x(1).*x(2)-z.*x(1),-w.*x(1).*x(2);ts=0:0.01:70;x0=402/13000000,1-402/13000000;t,x=ode45(ill,ts,x0);t,x;plot(t,x(:,1),grid,pause(按實際數(shù)據(jù)模擬)t=1:64;z=Columns1through141431061058110311112685148931138310562Columns15through289463898741503839432318171514Columns29through423701292595823310Co