《振動力學(xué)》習(xí)題集(含答案)

1、振動力學(xué)習(xí)題集（含答案）1.1質(zhì)量為，的質(zhì)點由長度為人質(zhì)量為叩的均質(zhì)細桿約束:在鉛錘平而內(nèi)作微幅擺動，如圖ELI所示。求系統(tǒng)的固 有頻率。圖ELI解:系統(tǒng)的動能為：T = -m（xl +-Ix222其中/為桿關(guān)于較點的轉(zhuǎn)動慣量：I =（牛"x x2 =?x2dx =2則有：T =+ "“與2 = '(3"7 + y2X2系統(tǒng)的勢能為:U = mgl - cosx)+7g (1 -cosx)2=；"喏及 + ； g/r=；（2？ + 叫）g/Y利用£ = 和T = U可得：_ |3(27 + ?JgIJJ - I 2(37 + 叫丫1.2

2、質(zhì)量為八半徑為R的均質(zhì)柱體在水平面上作無滑動的微幅滾動，在CA=a的A點系有兩根彈性剛度系數(shù)為A的 水平彈簧，如圖EL2所示。求系統(tǒng)的固有頻率。解:圖EL2如圖，令8為柱體的轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的動能和勢能分別為：T = - mR2 + -mR2 o2 = -mR2022 "212 J 4U = 2,M(R + a=k(R + a)”22利用6 = q6和7 = U可得:4%(/? +力 恁=、3了13轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤由三段抗扭剛度分別為公，七和3的軸約束，如圖EL3所示。求系統(tǒng)的固有頻率。圖EL3解:系統(tǒng)的動能為：T = -J0224和4相當(dāng)于串聯(lián)，則有：6 = 3 + 4，=43。3以

3、上兩式聯(lián)立可得： kk k2 +k3k2 + k3系統(tǒng)的勢能為：''u =-kfi2 + -k,o； += _!_(& +蟲+人，2 12 2 '2k2+k3利用和r=u可得： X 幾+出)1.4在圖EL4所示的系統(tǒng)中，己知仁(i = l,2,3),加，和，橫桿質(zhì)量不計。求固有頻率。解:圖 E1.4答案圖EL4對機進行受力分析可得:如圖可得:x _ ” _ "3k1(a+ b)k1F? _ mgak2 (a + b)k2則等效彈簧剛度為:則固有頻率為:X=X+X = X +a(x2 - N ) _+ b-ka + b(ci + bkxk2a?k+b?h

4、 1- + mg = mg( + “"2右 k。k0k _3+【丹5#3e crkky + 以艮 + (a + bf k1k2k1k2k3(a + b)2"1卜/,(4 +(k/J + kJ)1.7質(zhì)量叫在傾角為a的光滑斜而上從高力處滑下無反彈碰撞質(zhì)量加2，如圖EL7所示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自 由振動。答案圖E1.7解:對叫由能量守恒可得（其中用的方向為沿斜而向下）:?勵=:后，即叫=展新對整個系統(tǒng)由動量守恒可得：mM = （? + 小貓，即 =2ghmx + m2令?2引起的靜變形為.，則有:； arl nhgsina"bg sin a = k%,即 X)=k令

5、網(wǎng)+恤引起的靜變形為和，同理有：（成 +7Jgsina2F一得:則系統(tǒng)的自由振動可表示為:X),x = x0 coscont H-sin cont0其中系統(tǒng)的固有頻率為:注意到%與X方向相反，得系統(tǒng)的自由振動為:v().x =玉)cos 0/ sin cont1.9質(zhì)量為叭 長為/的均質(zhì)桿和彈簧k及阻尼器。構(gòu)成振動系統(tǒng)，如圖EL9所示。以桿偏角6為廣義坐標(biāo)，建立系 統(tǒng)的動力學(xué)方程，給出存在自由振動的條件。若在彈簧原長處立即釋手，問桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何 時？最大角速度是多少？發(fā)生在何時？是否在過靜平衡位置時？圖EL9解:利用動量矩定理得:ml20 + 3cl20+3kcT0 = O93d

6、2 ，女 1- = 2f, = - - <1/,八八 ?g/1.12而積為S、質(zhì)量為m的薄板連接于彈簧下端，在粘性流體中振動，如圖EL12所示。作用于薄板的阻尼力為Fd = jli2Sv , 2s為薄板總面積，I，為速度。若測得薄板無阻尼自由振動的周期為7；,在粘性流體中自由振動 的周期為4。求系數(shù)“0解：平面在液體中上下振動時:圖 E1.12nix + 2/iSx + kx=O% =型=2包 =六叵，口宇mmconk2 k 因?圖 E2.12.1圖E2.2所示系統(tǒng)中，已知小，c,卜,k?,乙和0。求系統(tǒng)動力學(xué)方程和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案圖E2.1 答案圖E2.l(b) 解：等價于分別為玉和超的

7、響應(yīng)之和。先考慮為，此時右端固結(jié)，系統(tǒng)等價為圖(a),受力為圖(b), 故：nix + (kx + 公卜+ (q + c2)x = kx + cx(1)mx + cx + kx=kxA. sin co. + c.AdJ. cos6y.k+k）c = q + g , k = k、+ k、, con =-m(l)的解可參照釋義(256),為:加=竽sin（紳 - g） +cos（紳 - q）J（l-療+函卜JD+W（2）其中:+(2為2 =CCD、v _+（q+c2Y 討k +k2故為:gra*黑（q+，2 地_ J僅i +k+ （q + c2）%；k#k2«）_ 勺4 sin（卬-q）

8、+ qA陽 cos（州一百） 、/（占 +k? 一畫 f +（q +。2）23；=4,， *> *>k+ cq（匕 + k2 _ ma +（q + ,2） 病sin （紂- g +冬）1-5-ca）J&i+kJ = tg-1(G +。2)例攵I + & 一 CDm"g箋考慮到工2(。的影響，則疊加后的為：T（4+。2性if,-",'長 + 公一 arm ， k, I X1I /W)=t 期行”方，產(chǎn)(卬Tg/=1+(q +c2)2ty；圖T2lamg2.1 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜而作自由振動，如圖T 2-1所示。已知，a = 30

9、6;, ,n = 1 kg, k = 49 N/cm,開始運動時彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運動規(guī)律。答案圖T2l解:._ Ix9.8xl機g sin a? n i?gsina =%，x0 =49-=0.1 cmXl=70rad/s1x = X。cos cont = -0.1cos70r cm2.2 如圖T2-2所示，重物明懸掛在剛度為上的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物I匕從高度為/?處自由下落到上而無 彈跳。求W?下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動規(guī)律。平衡位m圖 T2-2答案圖T22解：動量守恒:平衡位置:故：故：叫=。，叱+叱=依2,1，2=“前叱+w、&2 = F工0=內(nèi)2

10、一2=丁M+wj/'gkgwt+w2x = -Aq cosJ + sin cont=" coscoj + sin coj%2.4在圖E2.4所示系統(tǒng)中，已知機，k、, k2, F0和口，初始時物塊靜止且兩彈簧均為原長°求物塊運動規(guī)律,圖 E2.4X2答案圖E2.4(1)(2)(3)（，）=心+網(wǎng)）（冠 一，） CD . sinasin cont解:取坐標(biāo)軸巧和看，對連接點A列平衡方程：-攵內(nèi) + k2（x2 一 5 ）+與 sin 由=0即：一& + 3）叫=k2x? + F（） sin cot對，列運動微分方程：-mx2 =一攵2（工2 -再）KP：.,伉

11、 + k,x）= k,Xi由（1） , （2）消去用得：kk, F。 .+ =-sin cotk+k 一 K + k2故：由（3）得:2.5在圖E2.3所示系統(tǒng)中，己知小，c, k,尸。和且仁0時，x =£ = %,求系統(tǒng)響應(yīng)。驗證系統(tǒng)響應(yīng)為對初值的響應(yīng)和零初值下對激勵力響應(yīng)的登加。逐一SAMIf f fl lit*圖 E2.3Fy cos cot解:x(/) =(C cos codt + Dsincodt)+ A cos(&-6)a = S-j e =亞7及/丫+函 i-s-.v(0)= x0 = C + AcosO => C = x0 - Acos。珀)=-4q)c

12、-RM'(Ccosdy + Osino/)v() + 物 oC AcosinO+ 物"(-Ccod sin codt + Dcod cos。/) Aa)sin(cot - 0)x(0)= % = -珈()C + Dcod + Acosin 0 => D =求出C，。后，代入上而第一個方程即可得,2.7由一對帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構(gòu)成的振動機械安裝在彈簧和阻尼器構(gòu)成的支承上，如圖E2.7所示。 當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動角速度為0時，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向大小為mea)2 shy cot。已知偏心重卬=125.5 N,偏心距e=15.0支承彈簧總剛度系數(shù)=967.7N/cm,測得

13、垂直方向共振振幅Xm=1.07c？，遠離共振時垂直振幅趨近常值Xo=O.32c？。求支承阻尼器 的阻尼比及在0 = 300 “min運行時機器的垂直振幅。解:x«) =me ar sin cot圖 E2.7me'sin(a_6), 0 = tgJ(l 4+(2%y1一一41時共振，振幅為:me“ tne 1. cra.=1.07 cm1 M 2g遠離共振點時，振幅為:X?=me=0.32cm(1)(2)/八 , me由(2) => M =X) 由=> 4 =-M1 me 12X, meiX2 2Xl 2X- = 0.15co = 300 r/ nin ,9)k 5

14、以,j故:X =竺.$= 3.8 x IO、加M 2八(2為22.7求圖T2-7中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點的剛度分別是勺及砥，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計。%- hr" yAAAA-q-AAAAJtl圖 T2-7答案圖T27解:k k3%為串聯(lián)，等效剛度M ky, （因為總變形為求和）占2和3為并聯(lián)（因為勺2的變形等于心的變形），則：k =卜 _ W _ 5 + 3 +13K23 - K2 + £3 一 ；T +氏3；8 +k2kx + k2占23和儲為串聯(lián)（因為總變形為求和），故：k1k 及 + kkk& +423 + 攵 4k/2 + k& + k2k3 +

15、kyk4 + k2k4故:2.9如圖T2-9所示，一質(zhì)量?連接在一剛性桿上，桿的質(zhì)量忽略不計，求下列情況系統(tǒng)作垂直振動的固有頻率：（1）振動過程中桿被約束:保持水平位置：（2）桿可以在鉛錘平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動；（3）比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由。解:(1)保持水平位置:(2)微幅轉(zhuǎn)動:12mg(什/抽12mg-內(nèi)+、,=?+ 4 . IK -，2：2 (什/再(4+/砧_/人/+/+/火-/人吆(/1/)攵凡/+/泳飛+中"“故:kel汰+l；k?叱=2.10求圖T2-10所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質(zhì)量忽略不計。解:T T T T TTT T T T T T 1 留幽

16、工留爾:答案圖T2-10機的位置：x = x1+xA= + Qk2.廠 廠 mglmg Imgl = "a , F、=,. x =aak%.a?g/一4 /I a hmg ml2 ( I I2 .Xy卜* / k +八” 八Cl A j、八1C4 rv j /crkA +/%,=dk&Fg人二子華廣，0=自 crkf +1 k2 m2.11圖T 2-11所示是一個倒置的擺。擺球質(zhì)量為，*剛桿質(zhì)量可忽略,!?每個彈簧的剛度為七, 2（1）求倒擺作微幅振動時的固有頻率；（2）擺球質(zhì)量機為0.9 kg時，測得頻率 （/“） 為15 Hz,問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡

17、狀態(tài)？（V1-零平衡位置k/2k/2Q CiilwwwwHH-Y.rI!/。0：X /Hz, /為1.8kg時，測得頻率為0.75QL«_z9 t ! / /IcosO/ / / t i j,，mBBBBB零平富位置圖 T2-1解：U =利用 Znax = Umax，Hnax =叫氣（2）若取下面為平衡位置，求解如下答案圖T 2-11(1)答案圖T 2/1(2)r = -ie- =-mi1e1 222一磔(1 一 cose)|kcrO2 -mg!02 =3(府 -msl)02akcr - mg I _ Ika2 g _ g( kcrml2l ml2 I / I mgl )1 ，0mg

18、lcos0 = kcrO + mgl l-2sin" 22,=kcrO + mgl -mgl 02 = (k(r - mgl )2 + mgl 222(T + U)= O, 2ml100 + 20(ka2 -mgl卜=0ml20 + (ka2 - mgl» = 0kcr - mglml22.17圖T2-17所示的系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力，k=b=k3=k4=k,試問:（1）若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？（2）若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？解:圖 T2-171234 =勺憶23 =2攵h + k” 3k 123k 4 _ 1 k占23 +32=2等(2)

19、 x(t) = XQ COS CDnt f%ax= 2%=華K2.19如圖T2-19所示，質(zhì)量為小的均質(zhì)圓盤在水平而上可作無滑動的滾動，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為/，忽略繩子的彈性、 質(zhì)量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)動能為:系統(tǒng)動能為:圖 T2/91一孫廠+ -231221 7?; 21.2 =”廠212V=-k.x2+-k.2 22 11 .，=.kx2根據(jù):7"13 7 t 3 丫1 max v max ' ，'niaK 卬人max,i R：, h+kR(fjT =” I 3叫+產(chǎn)+5嗎IV Z2.20如圖T2-20所示，剛性曲臂繞支點的轉(zhuǎn)動慣量為/

20、。，求系統(tǒng)的固有頻率。解:系統(tǒng)動能為:圖 T 2-20T ="式 +- + /乩4）2=；（/o + 6/J + m2l： ,2系統(tǒng)動能為:根據(jù):1/=:4（）2+1自（例）2+：&（仍）2乙乙乙，iax max 9 max可©max2 _ k,J + k+八 ；575-/（）+ mAci + m2l2.24 一長度為人質(zhì)量為，的均勻剛性桿較接于O點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖T2-24所示。寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率的表達式。圖T寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。2-解：利用動量矩方程，有:J0 = k&Cl. J

21、=-ml232.2525所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計,解:cOakeb答案圖T225mOl -/ + cOci a + k6b Z? = 0ml20 + ca20 + kb20 = Oklr b) *> <)ca -, ccr ca- = 2y. 4 =5-=ml"2?/-q 2mlb-c%但k四.竺=_L1 m 4"F/%2 k 2ml2,匕2bl i7由4=1 = % = -y/niK2.26 圖T 2-26所示的系統(tǒng)中，機=1 kg, k = 144 N / m, c = 48 Ns / m, /i = /= 0.49 m, h = 0.5 I, h = 0

22、.25 /,不計剛桿質(zhì)量，求無阻尼固有頻率q及阻尼4 0圖T 2-26答案圖T225解：受力如答案圖T2-26。對。點取力矩平衡，有：m0tl+ c0l3 -13 + k0l2 /2 =0加衿+ "衿+ k/冶=0+ c3 + k0 = 0162 1=3" = 4= 0=614k gmrad! s武=2他mc 1nC = 0.2516/?/ 2con4.7答案圖E4.7(D圖 E4.7兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點系于具有張力E的弦上，如圖E4.7所示。忽略振動過程中弦張力的變化寫出柔度矩陣, 建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計算主質(zhì)量、主剛度、簡正模態(tài)，確定主坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)。解:sin, sin。、三仇= '二一1 ",sin0, = 0, =根據(jù)4和?，的自由體動力平衡關(guān)系，有：其=-Fsin q +尸sin冬三一尸:+ .盤:一=，(%-2%)= 一/ sin % - Fsin