古典概型幾何概率

1、1 第第3-43-4節(jié)節(jié) 古典概型、幾何概型古典概型、幾何概型古典概型定義與計(jì)算公式古典概型定義與計(jì)算公式排列與組合排列與組合幾何概型幾何概型古典概型舉例古典概型舉例2 我們首先引入的概率模型，是在概率我們首先引入的概率模型，是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的概率模型，也論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的概率模型，也是最簡(jiǎn)單的概率模型是最簡(jiǎn)單的概率模型古典概型古典概型一、古典概型定義一、古典概型定義 3 古典概型古典概型 (1) (2) .若若隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)滿(mǎn)滿(mǎn)足足下下述述兩兩個(gè)個(gè)條條件件: :它它的的樣樣本本空空間間只只有有有有限限多多個(gè)個(gè)樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)；每每個(gè)個(gè)樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)出出現(xiàn)現(xiàn)的的定定：可可能能性

2、性相相同同義義等等可可能能隨隨機(jī)機(jī)這這種種隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)稱(chēng)稱(chēng)為為或或試試驗(yàn)驗(yàn)概概率率模模型型4記記 A=摸到摸到2號(hào)球號(hào)球=2 P(A)=? P(A)=1/10記記 B=摸到紅球摸到紅球= 1,2,3,4,5,6 P(B)=? P(B)=6/10 2 3479108615隨機(jī)試驗(yàn)：從中任取一個(gè)球，隨機(jī)試驗(yàn)：從中任取一個(gè)球，則則=1,2,105 ( ) kAP An 事事件件中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)樣樣本本空空間間中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)古典概型計(jì)算公式古典概型計(jì)算公式: 結(jié)論：若樣本空間中共有結(jié)論：若樣本空間中共有n n個(gè)樣本點(diǎn)，而事件個(gè)樣本點(diǎn)，而事件A A中含有中含有k k個(gè)樣本點(diǎn)

3、，則有個(gè)樣本點(diǎn)，則有6應(yīng)用實(shí)例：擲一個(gè)骰子，應(yīng)用實(shí)例：擲一個(gè)骰子，A=A=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù) ，B=B=點(diǎn)數(shù)大于點(diǎn)數(shù)大于33，C=C=點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于55，試求，試求A A，B B，C C的概率。的概率。解：解：樣本空間為樣本空間為=1,2,3,4,5,6,A =2,4,6=1,2,3,4,5,6,A =2,4,6B=4,5,6B=4,5,6，C=1,2,3,4C=1,2,3,4313142( ), ( ), ( )626263P AP BP C71. 加法原理與乘法原理加法原理與乘法原理 假設(shè)做一件事情可采用假設(shè)做一件事情可采用 A 或或 B 兩類(lèi)不同方式兩類(lèi)不同方式， A 方

4、式有方式有 n 種不同的方法可以完成這件事，種不同的方法可以完成這件事， B 方式有方式有 m 種不同的方法可以完成這件事。種不同的方法可以完成這件事。 則完成這件事情一共有則完成這件事情一共有 nm 種不同的方法種不同的方法 。 如果有若干類(lèi)方式，就把所有方式的如果有若干類(lèi)方式，就把所有方式的各種方法全部相加各種方法全部相加三、三、 排列組合有關(guān)知識(shí)排列組合有關(guān)知識(shí)加法原理加法原理8 則從?？诘轿錆h則從海口到武漢一共有一共有 243 = 9 種選擇種選擇 ：2 ：4 ：3?？诤？谖錆h武漢9 做一件事必須經(jīng)過(guò)做一件事必須經(jīng)過(guò) A 與與 B 兩個(gè)不同步驟兩個(gè)不同步驟，步驟步驟 A 包含了包含了

5、n 種不同的方法，步驟種不同的方法，步驟 B 包含包含 m 種不同的方法。種不同的方法。 則完成這件事情一共有則完成這件事情一共有 nm 種不同方法。種不同方法。 如果有若干個(gè)步驟，就把所有步驟的如果有若干個(gè)步驟，就把所有步驟的各種方法全部相乘各種方法全部相乘乘法原理乘法原理10 ：3海口?？谖錆h武漢鄉(xiāng)鎮(zhèn)鄉(xiāng)鎮(zhèn) 4 從海口到鄉(xiāng)鎮(zhèn)的交通選擇從?？诘洁l(xiāng)鎮(zhèn)的交通選擇一共有一共有3 4 種。種。11 從從 n 個(gè)不同的元素中個(gè)不同的元素中無(wú)放回?zé)o放回任意取出任意取出 r 個(gè)個(gè) (1 r n) 排成有順序的一列排成有順序的一列，稱(chēng)為稱(chēng)為 n 取取r 的不可重復(fù)排列的不可重復(fù)排列 (又稱(chēng)為又稱(chēng)為選排列選排列

6、 ) 。(1) 不可重復(fù)的排列不可重復(fù)的排列2. 基本排列公式基本排列公式 不同的排列方法一共有：不同的排列方法一共有： Anr =Pnr = n(n 1)(n r+1) 例如從例如從 26 個(gè)英文字母中任取個(gè)英文字母中任取2 個(gè)排列，個(gè)排列，所有不同方式一共有所有不同方式一共有 P262 = 2625 = 650。12(2) 可以重復(fù)的排列可以重復(fù)的排列 從從 n 個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中允許放回允許放回任意取任意取 r 個(gè)個(gè)出來(lái)排成有順序的一列出來(lái)排成有順序的一列( 即取出的這些元素即取出的這些元素可以相同可以相同 )。所有不同的排列方式一共有。所有不同的排列方式一共有 nnn = nrr

7、 例如一個(gè)城市的電話(huà)號(hào)碼是例如一個(gè)城市的電話(huà)號(hào)碼是 8 位數(shù)字，位數(shù)字，那么理論上這個(gè)城市可以容納那么理論上這個(gè)城市可以容納 108 個(gè)個(gè)不同的電不同的電話(huà)，即一億門(mén)電話(huà)。話(huà)，即一億門(mén)電話(huà)。13(3)n個(gè)不同元素的全排列個(gè)不同元素的全排列(1)(2)3 2 1!nPn nnn 14(1) 二項(xiàng)式組合二項(xiàng)式組合 從從 n 個(gè)不同元素中無(wú)放回的任意取個(gè)不同元素中無(wú)放回的任意取 r 個(gè)個(gè)(r n)構(gòu)成一個(gè)集合，稱(chēng)為構(gòu)成一個(gè)集合，稱(chēng)為n 取取 r 的組合。的組合。 構(gòu)成這個(gè)集合的不同的組合方法一共有構(gòu)成這個(gè)集合的不同的組合方法一共有 Cnr 。幾個(gè)基本組合公式：幾個(gè)基本組合公式： Cnr = Cn n

8、 r ， Cn0 = Cnn = 1 ， Cnr = = n ! Pnrr !( n r ) ! r !例如：從一副撲克牌中任取例如：從一副撲克牌中任取6張，共有張，共有C546 種不同的取法種不同的取法3. 基本組合公式基本組合公式15 例如把例如把 15 個(gè)學(xué)生平均分到個(gè)學(xué)生平均分到 3 個(gè)班里，個(gè)班里，每班每班 5 個(gè)，則所有不同的分配方案有：個(gè)，則所有不同的分配方案有： (2) 多項(xiàng)式組合多項(xiàng)式組合 把把 n 個(gè)不同元素分成個(gè)不同元素分成 k 個(gè)部分，各個(gè)部分個(gè)部分，各個(gè)部分包含的元素個(gè)數(shù)分別是：包含的元素個(gè)數(shù)分別是：r1，r2，rk ；則全部不同的分配方式一共有：則全部不同的分配方式

9、一共有：1212!.!.!kknnrrrrrr 15 !5 !5 !5 !16(3)1212122,kkiknnnnknnnnrirrrrr若若 個(gè)個(gè)元元素素中中有有個(gè)個(gè)帶帶下下標(biāo)標(biāo)1 1、個(gè)個(gè)帶帶下下標(biāo)標(biāo) ，個(gè)個(gè)帶帶下下標(biāo)標(biāo)且且，從從中中取取出出 個(gè)個(gè)，使使得得帶帶有有下下標(biāo)標(biāo) 的的元元素素有有 個(gè)個(gè)，且且這這時(shí)時(shí)不不同同的的方方法法數(shù)數(shù)為為：1212kkrrrnnnC CC17(2) 以上以上 所有排列組合方式都具有等可能性。所有排列組合方式都具有等可能性。注意：注意：(1) 排列與組合的區(qū)別在于：排列與組合的區(qū)別在于： 排列必須考慮順序，而組合不考慮順序排列必須考慮順序，而組合不考慮順序

10、。(3) 排列與組合都可以用來(lái)構(gòu)造樣本空間。排列與組合都可以用來(lái)構(gòu)造樣本空間。 古典概率的計(jì)算一般是先計(jì)算樣本空間里古典概率的計(jì)算一般是先計(jì)算樣本空間里 的樣本點(diǎn)總數(shù)，再?gòu)闹刑暨x出隨機(jī)事件的樣本點(diǎn)總數(shù)，再?gòu)闹刑暨x出隨機(jī)事件 包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。 18四、四、 古典概率計(jì)算舉例古典概率計(jì)算舉例1 1、抽球問(wèn)題、抽球問(wèn)題例例1:設(shè)盒中設(shè)盒中有有3個(gè)白球，個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從中任個(gè)紅球，現(xiàn)從中任抽抽2個(gè)個(gè)球，求取到一紅一白的概率。球，求取到一紅一白的概率。解解:設(shè)設(shè)A-取到一紅一白取到一紅一白25( )NC 1213)(CCAN53)(251213CCCAP答答:取到一紅一白的概率

11、為取到一紅一白的概率為3/519練習(xí)：練習(xí)：一幅撲克牌有一幅撲克牌有5252張，不放回抽樣牌，每次一張，連續(xù)張，不放回抽樣牌，每次一張，連續(xù)4 4張，張，求求4 4張花色各異的概率張花色各異的概率111113131313452C C C CPC311141313133521C C C CPC 練習(xí)：練習(xí)：一幅撲克牌有一幅撲克牌有5252張，從中任取張，從中任取3 3張（不重復(fù)），計(jì)算取出張（不重復(fù)），計(jì)算取出的的3 3張牌中至少?gòu)埮浦兄辽? 2張花色相同的概率張花色相同的概率1312141341339352C CC C CPC或20 5 , 4 , 有有雙雙不不同同型型號(hào)號(hào)的的鞋鞋子子 從從中

12、中任任取取只只例例求求4 4 ; 4 1只鞋恰好為兩雙只鞋恰好為兩雙取出的取出的 下下列列各各事事件件的的概概率率 ; 4 2只鞋都是不同型號(hào)的只鞋都是不同型號(hào)的取出的取出的 . 4 3雙雙只鞋恰好有兩只配成一只鞋恰好有兩只配成一取出的取出的 解解 , 4 A只鞋恰好為兩雙只鞋恰好為兩雙取出的取出的設(shè)設(shè) , 4 B只鞋都是不同型號(hào)的只鞋都是不同型號(hào)的取出的取出的 . 4 C雙雙只鞋恰好有兩只配成一只鞋恰好有兩只配成一取出的取出的 , 4 10 5 取法總數(shù)為取法總數(shù)為只只中任取中任取只只雙鞋子雙鞋子從從 . 410C21 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)A . 25C 為為中所含有

13、的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)B . 1212121245CCCCC 為為中所含有的基本事件數(shù)中所含有的基本事件數(shù)C . 1212242215CCCCC 于是可得于是可得 AP 1 41025CC 1234789101245 . 211 BP 2 4101212121245CCCCCC 21080 . 218 CP 3 4101212242215CCCCCC 210120 . 74 22例例1 1：將：將3 3個(gè)球隨機(jī)的放入個(gè)球隨機(jī)的放入5 5個(gè)盒子中去，問(wèn)：個(gè)盒子中去，問(wèn)：某指定某指定3 3個(gè)盒子中恰有一球的概率是多少？個(gè)盒子中恰有一球的概率是多少？解解: :設(shè)設(shè)A:A:指定指定3 3個(gè)盒

14、子恰有一球個(gè)盒子恰有一球3( )5N ( )3N A ！33( )5P A ！2 2、分球入盒問(wèn)題、分球入盒問(wèn)題23一般地，把一般地，把n n個(gè)個(gè)球隨機(jī)地分配到球隨機(jī)地分配到m m個(gè)盒子中去個(gè)盒子中去(n(n m)m)，則則某指定某指定n n個(gè)個(gè)盒盒恰有一恰有一球的概率是：球的概率是：!nnpm2425練習(xí)練習(xí)：一個(gè)宿舍共有：一個(gè)宿舍共有6名學(xué)生，試求至少名學(xué)生，試求至少有一個(gè)人的生日是星期日的概率有一個(gè)人的生日是星期日的概率我們班有我們班有23 23 個(gè)個(gè)，問(wèn)至少有兩個(gè)人的問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？生日在同一天的概率有多大？26許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型許多表

15、面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型： 有有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有間房中各有一人的概率一人的概率.人人房房27許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型： 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365. 求這求這n (n 365)個(gè)人的生日互不相同的概率個(gè)人的生日互不相同的概率.人人任一天任一天28許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型：許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型

16、： 有有n個(gè)旅客，乘火車(chē)途經(jīng)個(gè)旅客，乘火車(chē)途經(jīng)N個(gè)車(chē)個(gè)車(chē)站，設(shè)每個(gè)人在站，設(shè)每個(gè)人在每站下車(chē)的概率為每站下車(chē)的概率為1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n個(gè)站各個(gè)站各有一人下車(chē)的概率有一人下車(chē)的概率.旅客旅客車(chē)站車(chē)站29例例1 1：從：從1 1到到200200這這200200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), , (1) (1)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被6 6整除的概率整除的概率(2)(2)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被8 8整除的概率整除的概率(3)(3)求取到的數(shù)既能被求取到的數(shù)既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解解:N(:N()=200,)=200,N(3

17、)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分別為的概率分別為:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/253 3、隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題、隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題30 12000 , 6 , 8 ? 在在的的整整數(shù)數(shù)中中隨隨機(jī)機(jī)地地取取一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 問(wèn)問(wèn)取取到到的的整整數(shù)數(shù)既既不不能能被被整整除除也也不不能能被被整整除除的的概概率率是是多多少少例例 解解 6 8 . AB 設(shè)設(shè)取取到到的的數(shù)數(shù)能能被被整整除除取取到到的的數(shù)數(shù)能能被被整整除

18、除 又又 AP , 2000333 BP , 2000250 所求概率為所求概率為 BAP BAP 1BAP 1ABPBPAP ABP , 200083 故所求概率為故所求概率為200083200025020003331 p . 43 31 這一講，我們介紹了古典概型這一講，我們介紹了古典概型. 古典概型古典概型雖然比較簡(jiǎn)單，但它有多方面的應(yīng)用雖然比較簡(jiǎn)單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見(jiàn)的幾種模型是常見(jiàn)的幾種模型 .箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱隨機(jī)取數(shù)隨機(jī)取數(shù)32110：某某人人午午覺(jué)覺(jué)醒醒來(lái)來(lái)，發(fā)發(fā)覺(jué)覺(jué)表表停停了了，他他打打開(kāi)開(kāi)收收音音機(jī)機(jī)，想想聽(tīng)聽(tīng)整整點(diǎn)點(diǎn)報(bào)報(bào)時(shí)時(shí)，求求他他等等待待時(shí)時(shí)間間

19、短短于于分分鐘鐘例例的的概概率率。4222kmkm ：如如果果在在一一個(gè)個(gè)5 105 10的的海海域域里里有有表表面面積積4040的的大大陸陸架架儲(chǔ)儲(chǔ)藏藏著著石石油油，假假如如在在這這海海域域隨隨意意選選定定一一點(diǎn)點(diǎn)鉆鉆探探，問(wèn)問(wèn)鉆鉆例例到到石石油油的的概概率率。4003ml：在在自自來(lái)來(lái)水水中中有有一一個(gè)個(gè)大大腸腸桿桿菌菌，今今從從中中隨隨機(jī)機(jī)取取2ml2ml水水樣樣放放在在顯顯微微鏡鏡下下觀觀察察，求求發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)大大腸腸例例桿桿菌菌的的概概率率。33：如如果果一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)滿(mǎn)滿(mǎn)足足如如下下定定義義兩兩個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)：1 ( ) 樣樣本本空空間間是是一一個(gè)個(gè)可可測(cè)測(cè)區(qū)區(qū)域域( (可可求求長(zhǎng)長(zhǎng)度度、面面積積、體體積積) )2( )樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)落落在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一個(gè)個(gè)地地方方的的可可能能性性相相同同。稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的概概型型為為幾幾何何概概型型。34幾何概型概率求解幾何概型概率求解( )AP A 事事件件 所所占占區(qū)區(qū)域域的的測(cè)測(cè)度度的的測(cè)測(cè)度度這這里里的的測(cè)測(cè)度度代代表表長(zhǎng)長(zhǎng)度度、面面積積、體體積積等等35p = = = 7/16=0.4375 .解解. 以小時(shí)為單位，一晝夜