高等數(shù)學(xué)曲線積分第2節(jié)

1、第二節(jié)第二節(jié) 第二類曲線積分第二類曲線積分第十章第十章 曲線積分曲線積分.),(),(),(),( 1 CCCdsyxdsyxfdsyxyxf 、).(),(),( 2為為常常數(shù)數(shù)、kdsyxfkdsyxkfCC 稱為可加性稱為可加性. , 4的的長長度度為為曲曲線線其其中中、CssdsC .) ,(),( ) ,( ,),( 6sfdsyxfCCyxfC 使使，則則存存在在一一點點上上連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線設(shè)設(shè)、.),(),(),(21 CCCdsyxfdsyxfdsyxf第一類曲線積分的性質(zhì)第一類曲線積分的性質(zhì)一、一、 則則兩兩段段曲曲線線弧弧組組成成，和和是是由由設(shè)設(shè)、 321CCC.的的

2、長長度度為為曲曲線線其其中中Cs理理第一類曲線積分中值定第一類曲線積分中值定.),(),( )5( ABBAdsyxfdsyxf的的方方向向無無關(guān)關(guān)，即即第第一一類類曲曲線線積積分分與與曲曲線線第一類曲線積分的計算第一類曲線積分的計算二、二、 則則，的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 )()()( 1 ttytxC.)()()( )() (22dtttttfdsyxfC ，則則，的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 )( )( 2bxaxyC .)(1)( ) (2dxxxxfdsyxfbaC ，則則，的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 )( )( 3dycyxC .)(1 )() (2dyyyyf

3、dsyxfdcC ，則則，的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為設(shè)設(shè)空空間間曲曲線線、 )( )()()( 4 ttztytxL.)()()()(),(),() (222dtttttttfdszyxfL ，)(化為一個定積分化為一個定積分. 小于上限小于上限以上定積分的下限一定以上定積分的下限一定說明：說明：平面曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)平面曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo))1(， CCdsyxdsyxxx),(),( .),(),( CCdsyxdsyxyy 質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo)、 1空間曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)空間曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo))2(,) ,() ,( LLdszyxdszyxxx， ,) ,() ,( LLdszyxdszyxyy， .

4、) ,() ,( LLdszyxdszyxzz， 第第一一類類曲曲線線積積分分的的應(yīng)應(yīng)用用三三、 軸及原點的轉(zhuǎn)動慣量軸及原點的轉(zhuǎn)動慣量軸、軸、平面曲線弧關(guān)于平面曲線弧關(guān)于yx )1(， CxdsyxyI),(2 ， LxdszyxzyI),()(22 ， CydsyxxI),(2 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量、 2軸軸及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸、軸軸、空空間間曲曲線線弧弧關(guān)關(guān)于于zyx )2(， LydszyxxzI),()(22 .),()(22 LzdszyxyxI .),()(22 COdsyxyxI .),()(222 LOdszyxzyxI 第二節(jié)第二節(jié) 第二類曲線積分第二類曲線積分第

5、十章第十章 曲線積分曲線積分與性質(zhì)與性質(zhì)第二類曲線積分的概念第二類曲線積分的概念一、一、 . ,) () () ( 如如何何求求其其做做的的功功點點點點移移動動由由沿沿平平面面曲曲線線，設(shè)設(shè)有有一一質(zhì)質(zhì)點點受受力力實實例例：BACjyxQiyxPyxF oxyABC1 nAiA1 iA2A1Aix iy . )1(1jyixAAinABiiii 個個弧弧段段對對應(yīng)應(yīng)的的向向量量第第個個小小弧弧段段，分分成成將將曲曲線線劃劃分分：iiiiiiiAAFWAAi11),( 所所做做功功的的近近似似值值為為段段有有向向弧弧變變力力沿沿第第.),(),(iiiiiiyQxP ,),(),(),(),(

6、)2(1jQiPFAAiiiiiiiiii 則則，任取任取近似：近似：. ),(),( )3(11 niiiiiiiniiyQxPWW 作作和和：，令令取取極極限限：0 max )4(21 nsss . ),(),(lim 10 niiiiiiiyQxPW 則則第二類曲線積分的定義第二類曲線積分的定義、 1上的有界函數(shù)，上的有界函數(shù)，是有向光滑曲線是有向光滑曲線，設(shè)設(shè))() (ABCyxPoxyABC1 nAiA1 iA2A1Aix iy . )1(1jyixAAinABiiii 個個弧弧段段對對應(yīng)應(yīng)的的向向量量第第個個小小弧弧段段，分分成成將將曲曲線線劃劃分分：.),(),( )2(1iii

7、iiiixPAA 作作積積，任任取取作作積積：.) ( )3(1iiinixP ，作和：作和：.) ( ) ( ) (lim10曲線積分曲線積分上的第二類上的第二類在曲線在曲線，則稱該極限為則稱該極限為取法無關(guān)，取法無關(guān)，的的，的劃分及的劃分及且與且與存在，存在，若極限若極限CyxPCxPiiiniii ，令令取取極極限限：0 max )4(21 nsss .) ( CdxyxP，記記為為.) (lim) ( 10 niiiiCxPdxyxP ，即即.) (lim) ( 10 niiiiCxPdxyxP ，即即.) ( ) (稱稱為為積積分分路路線線稱稱為為被被積積表表達達式式，稱稱為為被被積

8、積函函數(shù)數(shù)，其其中中CdxyxPyxP.) (lim) (10 niiiiCyQdyyxQ ，類曲線積分：類曲線積分：類似可定義另一個第二類似可定義另一個第二幾點說明：幾點說明：.),(),()3( CdyyxQdxyxPW變變力力沿沿曲曲線線所所做做功功.) ( ) ( ) ( ) ()4(存在存在，、，則則上連續(xù)，上連續(xù)，在有向光滑曲線在有向光滑曲線，、，設(shè)設(shè) CCdyyxQdxyxPCyxQyxP.)1(對對坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲線線積積分分第第一一類類曲曲線線積積分分也也稱稱為為.),(),(),(),()2(dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPCCC 積積分分為為：上上的的第第二二類類

9、曲曲線線空空間間曲曲線線類類似似地地， )5(L幾點說明：幾點說明：.),(),()3( CdyyxQdxyxPW變變力力沿沿曲曲線線所所做做功功.) ( ) ( ) ( ) ()4(存在存在，、，則則上連續(xù)，上連續(xù)，在有向光滑曲線在有向光滑曲線，、，設(shè)設(shè) CCdyyxQdxyxPCyxQyxP.)1(對對坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲線線積積分分第第一一類類曲曲線線積積分分也也稱稱為為.),(),(),(),()2(dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPCCC .),(lim),(10iiiniiLxPdxzyxP .),(lim),(10iiiniiLyQdyzyxQ .),(lim),(10iiin

10、iiLzRdzzyxR . LLLLRdzQdyPdxRdzQdyPdx且且.) () () () () () (21 CCCdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP， CCCdxyxPdxyxPdxyxPyxP) () () () ()1(2121.) () () () (2121 CCCdyyxQdyyxQdyyxQyxQ， CCdxyxPkdxyxkP) () ()2(.) () ( CCdyyxQkdyyxkQ，第二類曲線積分的性質(zhì)第二類曲線積分的性質(zhì)、 2則則兩段有向曲線弧組成，兩段有向曲線弧組成，和和是由是由設(shè)設(shè) )3(21CCC稱為可加性稱為可加性.),(),

11、(),(),( )4(dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPABBA 即即的方向有關(guān)，的方向有關(guān)，第二類曲線積分與曲線第二類曲線積分與曲線則則，終終點點的的起起點點對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 )()( ),(),( 1CtytxC 第二類曲線積分的計算第二類曲線積分的計算二、二、 dttttQtttPdyyxQdxyxPC)()(),()()(),() () ( ，事實上，事實上，dttdx)( .)( dttdy . 上述公式包含兩個公式上述公式包含兩個公式說明：說明：，dttttPdxyxPC)()( )() ()1( .)()( )() ()2(dttttQdyyx

12、QC ，則則終終點點的的起起點點對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線，的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 ),()( )( 2CbaxyC .)()( )( ) () (dxxxxQxxPdyyxQdxyxPbaC ，. 上述公式包含兩個公式上述公式包含兩個公式說明：說明：，dxxxPdxyxPbaC )( ) ()1( .)()( ) ()2(dxxxxQdyyxQbaC ，第二類曲線積分的計算第二類曲線積分的計算二、二、 則則終終點點的的起起點點對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線，的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 ),()()( 3CdcyxC . )()( )() () (dyyyQyyyPdyyxQdxyxPbaC ， 則則終終

13、點點的的起起點點對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線，的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 ),()()( 3CdcyxC . )()( )() () (dyyyQyyyPdyyxQdxyxPbaC ， . 上述公式包含兩個公式上述公式包含兩個公式說明：說明：.)( )() ()1(dyyyyPdxyxPbaC ，. )() ()2(dyyyQdyyxQbaC ， 第二類曲線積分的計算第二類曲線積分的計算二、二、 則則，終終點點的的起起點點對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 )()( ,)()()( 4LtztytxL 則則，終終點點的的起起點點對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線、 )()( ,)

14、()()( 4LtztytxL .)()( )( )( )()( )( )()()( )( )() () () (dtttttRttttQttttPdzzyxRdyzyxQdxzyxPL ，第二類曲線積分的計算第二類曲線積分的計算二、二、 .公公式式同同理理上上述述公公式式包包含含三三個個說說明明：.)1(積積分分類類曲曲線線積積分分化化為為一一個個定定以以上上計計算算公公式式是是把把第第二二)(化為一個定積分化為一個定積分. )2(上上限限對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線終終點點曲曲線線起起點點，以以上上定定積積分分的的下下限限對對應(yīng)應(yīng).)1 1()1 1( 12的的一一段段弧弧，到到，自自為為拋拋物物線線

15、其其中中，計計算算曲曲線線積積分分、例例BAxyCxydxIC . 的定積分的定積分化為對化為對解：解：x OBAOxydxxydxI 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(BxyAO 的的方方程程為為曲曲線線xyOB 的方程為的方程為曲線曲線 10dxxx，到到從從)01(x，到到從從)10(x102554x 01)( dxxxI故故. 的定積分的定積分化為對化為對另解：另解：y2yxC 的的方方程程為為曲曲線線 1122 ydyyyI故故，到到從從)11( y 1044dyy.54 ，yxy2 10554y ).1 1()0 0( )3()1 1()0 0( )2(

16、)1 1()1 0()0 0( 10)1( )( 2222，到到，從從點點，拋拋物物線線；，到到，從從點點，直直線線；，再再到到，到到，從從點點，及及折折線線為為：其其中中，計計算算曲曲線線積積分分、例例BOxyBOxyBAOxyCxydydxyxIC OABxy ABOAxydydxyxxydydxyxI)()( )1( 2222解解： 102dxx 10ydy1021032131yx .65 102 )2(dxxI10331x .31 102422)( )3(dxxxxxxI1051035131xx .158 . 曲曲線線積積分分不不同同積積分分路路線線不不同同，說說明明：).1 1()0

17、 0( )3()1 1()0 0( )2()1 1()1 0()0 0( 10)1( 2 322，到到，從從點點，拋拋物物線線；，到到，從從點點，直直線線；，再再到到，到到，從從點點，及及折折線線為為：其其中中，計計算算曲曲線線積積分分、例例BOxyBOxyBAOxyCdyxxydxIC OABxy ABOAdyxxydxdyxxydxI2222 )1( 解解： 100dx 101dy. 1 1022)2( )2(dxxxI103x . 1 1022)22( )3(dxxxxxI104x . 曲曲線線積積分分相相同同積積分分路路線線不不同同，說說明明：. 1 .)4 3 2()1 1 1( 4

18、的線段的線段，和和，為連接為連接其中其中，計算曲線積分計算曲線積分、例例BALzdzydyxdxIL ,3 2 1 ，解解 AB,312111 zyxL的的方方程程為為線線段段),10( 3121 1到到從從，的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為ttztytxL dttttI 103)31(2)21(1故故dtt 10)146(102)76(tt .13 兩類曲線積分的關(guān)系兩類曲線積分的關(guān)系三、三、 ，、 CCdsQPQdyPdx)coscos( 1 .) ( 處處切切向向量量的的方方向向角角，在在點點為為曲曲線線，其其中中yxC dxdy dsxy如圖所示如圖所示證：證： ， cos dsdx.cos

19、dsdydsdsdyQdsdxPQdyPdxCC)( .)coscos( CdsQP ，、 LLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos( 2 .) ( 處處切切向向量量的的方方向向角角，在在點點為為曲曲線線，其其中中zyxL CCdsQPQdyPdxW)coscos( . 分分來來表表示示做做功功可可用用第第一一類類曲曲線線積積沿沿曲曲線線，變變力力后后，有有了了兩兩類類曲曲線線積積分分關(guān)關(guān)系系CQPF ，dsFC cos .cos cos的的夾夾角角，與與切切向向量量為為其其中中 F，如如果果記記cos cosdsdsds CCdsFQdyPdxW 則則做功可表示為：做功可表示為：

20、沿空間曲線沿空間曲線，變力變力類似，類似，LRQPF . LLdsFRdzQdyPdxW.cos cos cosdsdsdsds ，其其中中 ).1 1()0 0( 52，到到點點，上上從從點點為為拋拋物物線線其其中中曲曲線線化化為為第第一一類類曲曲線線積積分分，把把、例例xyCQdyPdxC 2 ，解解xy ，2411cosx ，2412cosxx CCdsxxQPQdyPdx.412 2故故,2 1) ( xTyxC，處的切向量處的切向量，在點在點曲線曲線 .)0 3(3 )2 1(1)0 1( ,)(1()(3( 1的的折折線線段段，到到點點沿沿直直線線再再，到到沿沿直直線線，是是由由點

21、點其其中中曲曲線線計計算算、CyxBxyACdyyxyxdxxyyxIC .1 1 )1 1 0()0 0 0(., 0 242所做的功所做的功，求此過程力求此過程力，移動到點移動到點，從點從點一質(zhì)點沿曲線一質(zhì)點沿曲線、yxFAOtztyxL .21 )()()( 322軸負(fù)向看為順時針軸負(fù)向看為順時針軸正向往軸正向往，方向為從，方向為從是曲線是曲線其中其中，計算曲線積分計算曲線積分、zzzyxyxLdzyxdyzxdxyzIL ABC BCdyyxyxdxxyyx)(1()(3( ABdyyxyxdxxyyxI)(1()(3( 解解：dxx 11)22(dxx)1(3)22(31 02203

22、)24()42( dyydyyI或或112)1( x312)1(3 x124 . 8 022202)2(3)2(yy 124 . 8 .)0 3(3 )2 1(1)0 1( ,)(1()(3( 1的的折折線線段段，到到點點沿沿直直線線再再，到到沿沿直直線線，是是由由點點其其中中曲曲線線計計算算、CyxBxyACdyyxyxdxxyyxIC dzydydxxWL 41 所所做做功功解解：10221t .21 .1 1 )1 1 0()0 0 0(., 0 242所做的功所做的功，求此過程力求此過程力，移動到點移動到點，從點從點一質(zhì)點沿曲線一質(zhì)點沿曲線、yxFAOtztyxL dttt 10)2(，的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為曲線曲線解：解： ttztytxLsincos2 sin cos . 02 到到從從其中其中 tdttttttttttI)cos)(sinsin(cos cos)sin2cos2()sin)(cos2(02 dttt