抽樣技術(shù) 2 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1、第第2章章 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（SRS）2.1 定義及其抽選方法定義及其抽選方法2.2 簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì)簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì)2.3 樣本量的確定樣本量的確定2.4 設(shè)計(jì)效應(yīng)設(shè)計(jì)效應(yīng)Simple Random Sampling (SRS)2.1定義與符號(hào)定義與符號(hào)n簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣也稱為單純隨機(jī)抽樣。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣也稱為單純隨機(jī)抽樣。n從含有從含有 N 個(gè)單元的總體中抽取個(gè)單元的總體中抽取 n 個(gè)單元組成個(gè)單元組成樣本，如果抽樣是不放回的，則所有可能的樣樣本，如果抽樣是不放回的，則所有可能的樣本有本有 個(gè)，若每個(gè)樣本被抽中的概率相同，都個(gè)，若每個(gè)樣本被抽中的概率相同，都為為 ，這種抽樣方法就是

2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。，這種抽樣方法就是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。n具體抽樣時(shí)，通常是逐個(gè)抽取樣本單元，直到具體抽樣時(shí)，通常是逐個(gè)抽取樣本單元，直到抽滿抽滿n n個(gè)單元為止。個(gè)單元為止。 CNnnNC1有限放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣n放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(SRS with replacement)n當(dāng)從總體當(dāng)從總體N個(gè)抽樣單元中抽取個(gè)抽樣單元中抽取n個(gè)抽樣單元時(shí)，如果依次抽取單元時(shí)，個(gè)抽樣單元時(shí)，如果依次抽取單元時(shí)，不管以前是否被抽中過，每次都從不管以前是否被抽中過，每次都從N個(gè)抽樣單元中隨機(jī)抽取，這時(shí)，個(gè)抽樣單元中隨機(jī)抽取，這時(shí)，所有可能的樣本為所有可能的樣

3、本為 個(gè)個(gè)(考慮樣本單元的順序考慮樣本單元的順序),n每個(gè)樣本被抽中的概率為每個(gè)樣本被抽中的概率為n放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在每次抽取樣本單元時(shí)，都將前一次抽取放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在每次抽取樣本單元時(shí)，都將前一次抽取的樣本單元放回總體，因此，總體的結(jié)構(gòu)不變，抽樣是的樣本單元放回總體，因此，總體的結(jié)構(gòu)不變，抽樣是進(jìn)行的，這一點(diǎn)是它與不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的主要不同進(jìn)行的，這一點(diǎn)是它與不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的主要不同之處。之處。n放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本量不受總體大小的限制，可以是任放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本量不受總體大小的限制，可以是任意的。意的。nN1nNn簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽取原則：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽取原則：n（1）按隨機(jī)

4、原則取樣；）按隨機(jī)原則取樣；n（2）每個(gè)抽樣單元被抽中的概率都是已知）每個(gè)抽樣單元被抽中的概率都是已知的或事先確定的；的或事先確定的；n（3）每個(gè)抽樣單元被抽中的概率都是相等）每個(gè)抽樣單元被抽中的概率都是相等的。的?！纠?.1】n設(shè)總體有設(shè)總體有5個(gè)單元（個(gè)單元（1、2、3、4、5），），按放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取按放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取2個(gè)單元，個(gè)單元，則所有可能的樣本為則所有可能的樣本為25個(gè)（考慮樣本單個(gè)（考慮樣本單元的順序）：元的順序）：1，12，13，14，15，11，22，23，24，25，21，32，33，34，35，31，42，43，44，45，41，52，53，54，

5、55，5(2)不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(SRS without replacement)n當(dāng)從總體當(dāng)從總體N個(gè)抽樣單元中依次抽取個(gè)抽樣單元中依次抽取n個(gè)抽樣個(gè)抽樣單元時(shí)，每個(gè)被抽中的單元不再放回總體，單元時(shí)，每個(gè)被抽中的單元不再放回總體，而是從總體剩下的單元中進(jìn)行抽樣。而是從總體剩下的單元中進(jìn)行抽樣。n不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本量要受總體大不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本量要受總體大小的限制。小的限制。n在實(shí)際工作中，更多的采用不放回簡(jiǎn)單隨在實(shí)際工作中，更多的采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。機(jī)抽樣。 【例例2.2】n設(shè)總體有設(shè)總體有5個(gè)單元（個(gè)單元（1、2、3、4、5），），按不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方

6、式抽取按不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取2個(gè)單個(gè)單元，則所有可能的樣本為元，則所有可能的樣本為10個(gè)：個(gè)：1，22，33，44，51，32，43，5 1，42，5 1，5 符號(hào)符號(hào) n大寫符號(hào)表示總體的標(biāo)志值，大寫符號(hào)表示總體的標(biāo)志值，n用小寫符號(hào)表示樣本的標(biāo)志值用小寫符號(hào)表示樣本的標(biāo)志值 NNiiYYYYY211nniiyyyy211NYYYYNYNNii2111nyyyynynnii2111符號(hào)符號(hào) n大寫符號(hào)表示總體的標(biāo)志值，大寫符號(hào)表示總體的標(biāo)志值，n用小寫符號(hào)表示樣本的標(biāo)志值用小寫符號(hào)表示樣本的標(biāo)志值 NiiYNNAP1110或iYniiynnap1110或iyXYXYXYRNiiNii

7、11xyxyRniinii112122111NNYYNSNiiniiyyns12211n總體指標(biāo)值上面帶符號(hào)總體指標(biāo)值上面帶符號(hào)“ ”的表示由樣的表示由樣本得到的總體指標(biāo)的估計(jì)。本得到的總體指標(biāo)的估計(jì)。 n 稱稱 為抽樣比，記為為抽樣比，記為f f 。n估計(jì)量的方差用大寫的估計(jì)量的方差用大寫的V V表示表示, ,對(duì)對(duì) 的的樣本估計(jì)，不用樣本估計(jì)，不用 而用而用 表示。表示。 Nn Yv YV YV二、抽選方法二、抽選方法n1抽簽法抽簽法n2 2隨機(jī)數(shù)法隨機(jī)數(shù)法隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子( (利用利用隨機(jī)數(shù)骰子進(jìn)行隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)數(shù)骰子進(jìn)行隨機(jī)抽樣的方法) )、搖獎(jiǎng)機(jī)、搖獎(jiǎng)機(jī)、計(jì)

8、算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù) (SPSS, R)隨機(jī)數(shù)表隨機(jī)數(shù)表法：法：N=35 n5討論：討論： (1) 總體編號(hào)為總體編號(hào)為135，在，在0099中產(chǎn)生隨機(jī)中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，若數(shù)，若=00或或35，則拋棄重抽。，則拋棄重抽。 (2) 總體編號(hào)為總體編號(hào)為135，在，在0099中產(chǎn)生隨機(jī)中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，以除以數(shù)，以除以35，余數(shù)作為被抽中的數(shù)，如果余，余數(shù)作為被抽中的數(shù)，如果余數(shù)為數(shù)為0，則被抽中的數(shù)為，則被抽中的數(shù)為35。三、地位與作用三、地位與作用n優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)n簡(jiǎn)單直觀簡(jiǎn)單直觀n理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)n缺點(diǎn)缺點(diǎn)nN很大時(shí)難以獲得很大時(shí)難以獲得抽樣框抽樣框n樣本分散不易實(shí)施，調(diào)查費(fèi)用高樣本分散

9、不易實(shí)施，調(diào)查費(fèi)用高n很少單獨(dú)使用，一般結(jié)合其他方法使用很少單獨(dú)使用，一般結(jié)合其他方法使用n沒有其他信息時(shí)沒有其他信息時(shí)使用使用2.2 2.2 簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì)簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì)n 判斷下面要估計(jì)的總體目標(biāo)量分別屬于什么判斷下面要估計(jì)的總體目標(biāo)量分別屬于什么類型？類型？n調(diào)查城市居民家庭平均用電量。調(diào)查城市居民家庭平均用電量。n估計(jì)湖中魚的數(shù)量。估計(jì)湖中魚的數(shù)量。n測(cè)試日光燈的壽命。測(cè)試日光燈的壽命。n估計(jì)居民家庭用于做飯菜及飲用的用水量占家庭估計(jì)居民家庭用于做飯菜及飲用的用水量占家庭總用水量的比重?？傆盟康谋戎?。n估計(jì)嬰兒出生性別比。估計(jì)嬰兒出生性別比。n檢測(cè)食鹽中碘含量。檢測(cè)食鹽中碘含

10、量。 一、對(duì)總體均值的估計(jì)一、對(duì)總體均值的估計(jì) 以樣本均值作為總體均值的估計(jì)以樣本均值作為總體均值的估計(jì)n性質(zhì)性質(zhì)1 1：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣， 是是 的無偏估計(jì)。的無偏估計(jì)。 ynyiin11yY YyE例設(shè)總體為例設(shè)總體為0，1，3，5，6，計(jì)算總體均值，計(jì)算總體均值 =3、總體方差、總體方差 =5.2和和 =6.5；給出全部給出全部 的樣本，并驗(yàn)證的樣本，并驗(yàn)證 及及 。Y22S2n E yY22E sSyY 1010.5-2.50.52031.5-1.54.53052.5-0.512.540630185132-126153087163.50.512.5835412936

11、4.51.54.510平均565.52.50.5 306.5 方差方差1.951.95 樣本編號(hào)單元1單元2樣本均值-樣本方差 證明證明 性質(zhì)性質(zhì)1 1 n對(duì)于固定的有限總體，估計(jì)量的期望是對(duì)所有可能樣本求平均得對(duì)于固定的有限總體，估計(jì)量的期望是對(duì)所有可能樣本求平均得到的，到的，因此因此n總體中每個(gè)特定的單元總體中每個(gè)特定的單元 在不同的樣本中出現(xiàn)的次數(shù)。在不同的樣本中出現(xiàn)的次數(shù)。 nNnnNnCyyyCyyE21iy11nNCNiinNnYCnyyyny111211111)!()!1()!1()!( !nNnNCnNnNnNnNnNnNC YYNnCYCCyyENiinNNiinNnN111

12、11證明 性質(zhì)性質(zhì)1 1n由于每個(gè)單元出現(xiàn)在總體所有可能樣本由于每個(gè)單元出現(xiàn)在總體所有可能樣本中的次數(shù)相同，因此中的次數(shù)相同，因此 一定是一定是 的倍數(shù)，且這個(gè)倍數(shù)的倍數(shù)，且這個(gè)倍數(shù)就是就是 ， nyyyE21NYYY21Nn YYNnnyEnyENiinii1111性質(zhì)性質(zhì)2：n對(duì)于有限總體的方差定義對(duì)于有限總體的方差定義 ：n性質(zhì)性質(zhì)2：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣， 的方差的方差式中：式中： 為抽樣比，為抽樣比， 為有限總體校正系數(shù)。為有限總體校正系數(shù)。 2211NYYiiNSNYYiiN22111y 221SnfSNnnNyVfn N1 f證明性質(zhì)性質(zhì)2 2： n 中的求和是對(duì)

13、 項(xiàng)的，n 中的求和是對(duì) 項(xiàng)的 2121YynEYyEyVnii)( )(1)(1)(12212212YyYyEnYyEnYyEnjjiiniinii2121)()(YYNnYyENiinii)( )() 1() 1()( )(YYYYNNnnYyYyEjjiijjii)( )(YyYyEjjii)( )(YYYYjjii2) 1( nn2) 1(NN )( )(1)(12212YyYyEnYyEnyVjjiiniijijiNiiYYYYNNnnnYYNnn)() 1() 1(1)(12212jijiNiiYYYYNnYYnN)(11)(1212121)(11)(11YYNnYYNnNiiNi

14、i2121)(11)(1111YYNnYYNnnNNiiNii2121)(111)(11YYNNnNnYYNnNnNNiiNii221SnfSnNnN Mean =iNYNY1i01sisi隨機(jī)變量NnEEii)()(2NnPi ) 1(NiiniYnyny11證明性質(zhì)性質(zhì)2)1 (11)1 ()()()(),cov(2NnNnNNnNnNnEEEjijiji)11() 1&1()(NnNnpEjiji )1 ()() 1(1)1 (1)() 1() 1(1)1 (111)1 (111)1 ()1 (1),(cov)(112121211221211221122112212NnnSYYN

15、NNNnnYYYNNNNnnYYNYNnNnnNNnNnYYYNnNnnVYYVYnYVnyVNiNiiNiNiiNiiNiNijNijiNiNijNijiNiNijijNijiiNiiiiiiii)1 ()()()(222NnNnNnNnEEViii簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，簡(jiǎn)單估計(jì)量簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，簡(jiǎn)單估計(jì)量估計(jì)精度影響因素：估計(jì)精度影響因素： n估計(jì)量的方差估計(jì)量的方差 是衡量估計(jì)量精度是衡量估計(jì)量精度的度量。影響估計(jì)量方差的的度量。影響估計(jì)量方差的因素因素主要是樣本量主要是樣本量 。n通常通常N N很大，當(dāng)很大，當(dāng)f0.05f0.05時(shí)，可將時(shí)，可將 近似取為近似取為1 1。 總體方差是我們無法

16、改變的總體方差是我們無法改變的；因此，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的條件下，只有通過加大樣本因此，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的條件下，只有通過加大樣本量來提高估計(jì)量的精度。量來提高估計(jì)量的精度。 V yS21 f 性質(zhì)性質(zhì)3 3： 的樣本無偏估計(jì)為： n證明 : V y v yfns12niiyyns122)(11212)()(11YynYynnii21212) 1()()(SNNnYYNnYyENiinii2221SnNnNSnfYyE2122)()(11)(YynEYyEnsEnii22) 1(11SnNnNnSNNnn)() 1() 1(2nNNnnNS2Sn大樣本下，抽樣調(diào)查估計(jì)量漸進(jìn)正態(tài)大樣本下，抽樣調(diào)查估計(jì)

17、量漸進(jìn)正態(tài) 置信區(qū)間置信區(qū)間) 1 , 0()(NS1)(|(SP)(S【例例2.32.3】n我們從某個(gè)我們從某個(gè)N N=100=100的總體中抽出一個(gè)大小的總體中抽出一個(gè)大小為為n n=10=10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，要估計(jì)總體平的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，要估計(jì)總體平均水平并給出置信度為均水平并給出置信度為95%95%的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。iiy序號(hào)序號(hào)12345678910452046615085105011niiyny1111.199172)(11122niiyynsn由置信度由置信度95%對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 ，因此，可，因此，可以以以以95%的把握說總體平均水平大約在的把握說總體平均水平大約在 之間，即之

18、間，即2.4295和和7.5705之間。之間。5 yY 72. 11111.19101 . 0112snfYv 3115. 1YvYs96. 1t3115. 196. 15二、對(duì)總體總量的估計(jì) YNYYiiN1niiynNyNY1 YYE V YN V yNfnS()2221 v YN v yNfns()2221【例例2.42.4】續(xù)例續(xù)例2.32.3。估計(jì)總體總量，并給。估計(jì)總體總量，并給出在置信度出在置信度95%95%的條件下，估計(jì)的極限相對(duì)的條件下，估計(jì)的極限相對(duì)誤差。誤差。n在置信度在置信度95%下，下， 的極限相對(duì)誤差為：的極限相對(duì)誤差為：5005100Y 172001111.191

19、01 . 011002Yv 1488.131YvYs %41.515141. 05001488.13196. 1YYstY三、對(duì)總體比例的估計(jì) n某一類特征的單元占總體單元數(shù)中的比某一類特征的單元占總體單元數(shù)中的比例例P.P.n將總體單元按是否具有這種特征劃分為將總體單元按是否具有這種特征劃分為兩類，設(shè)總體中有個(gè)單元具有兩類，設(shè)總體中有個(gè)單元具有A這個(gè)特征，這個(gè)特征，如果對(duì)每個(gè)單元都定義指標(biāo)值如果對(duì)每個(gè)單元都定義指標(biāo)值n Yii10，第 個(gè)單元具有所考慮的特征；，否則PANNYYiiN11n總體方差：總體方差： SNYYiiN22111PQNNPANPAN1)()1 (1122估計(jì)量 n n性

20、質(zhì)性質(zhì)5 5：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣， 是是 P P 的的無偏估計(jì)。無偏估計(jì)。 的方差為：的方差為： panpp V pPQnNnN1 v pfnpq11證明PQNNPANPANS1)()1 (11222pqnns1221)(snfpv v pfnpq11 【例例2.52.5】 n某超市新開張一段時(shí)間之后，為改進(jìn)銷售服務(wù)某超市新開張一段時(shí)間之后，為改進(jìn)銷售服務(wù)環(huán)境，欲調(diào)查附近幾個(gè)小區(qū)居民到該超市購(gòu)物環(huán)境，欲調(diào)查附近幾個(gè)小區(qū)居民到該超市購(gòu)物的滿意度，該超市與附近幾個(gè)小區(qū)的居委會(huì)取的滿意度，該超市與附近幾個(gè)小區(qū)的居委會(huì)取得聯(lián)系，在總體中按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)得聯(lián)系，在總體中按簡(jiǎn)單隨

21、機(jī)抽樣抽取了一個(gè)大小為大小為=200人的樣本，調(diào)查發(fā)現(xiàn)對(duì)該超市購(gòu)人的樣本，調(diào)查發(fā)現(xiàn)對(duì)該超市購(gòu)物環(huán)境表示滿意或基本滿意的居民有物環(huán)境表示滿意或基本滿意的居民有130位，位，要估計(jì)對(duì)該超市購(gòu)物環(huán)境持肯定態(tài)度居民的比要估計(jì)對(duì)該超市購(gòu)物環(huán)境持肯定態(tài)度居民的比例，并在置信度例，并在置信度95%下，給出估計(jì)的近似置下，給出估計(jì)的近似置信區(qū)間、極限絕對(duì)誤差。假定這時(shí)的抽樣比可信區(qū)間、極限絕對(duì)誤差。假定這時(shí)的抽樣比可以忽略。以忽略。n95%近似置信區(qū)間為近似置信區(qū)間為 58.37%，71.63% %65200130nap 001143. 035. 051200111pqnfpv 0338. 0pvps0338

22、. 096. 165. 02.3 樣本量的確定n費(fèi)用費(fèi)用n 總費(fèi)用總費(fèi)用 固定費(fèi)用固定費(fèi)用 可變費(fèi)用可變費(fèi)用n nccC10設(shè)計(jì)費(fèi)設(shè)計(jì)費(fèi)分析費(fèi)分析費(fèi)辦公費(fèi)辦公費(fèi)管理費(fèi)管理費(fèi)場(chǎng)租費(fèi)場(chǎng)租費(fèi)等等訪問員費(fèi)訪問員費(fèi)交通費(fèi)交通費(fèi)禮品費(fèi)禮品費(fèi)電話費(fèi)電話費(fèi)等等STEPSn所需要的精度所需要的精度n找出樣本量與精度之間的關(guān)系找出樣本量與精度之間的關(guān)系n估計(jì)所需的數(shù)值，求解估計(jì)所需的數(shù)值，求解 nn如超出預(yù)算，調(diào)整精度值重新計(jì)算如超出預(yù)算，調(diào)整精度值重新計(jì)算精度精度margin of errorn對(duì)精度的要求通常以允許最大絕對(duì)誤差對(duì)精度的要求通常以允許最大絕對(duì)誤差（絕對(duì)誤差限）或允許最大相對(duì)誤差（絕對(duì)誤差限）或允

23、許最大相對(duì)誤差（ 相對(duì)誤差限）來表示。相對(duì)誤差限）來表示。 drPd 1Pr 1樣本量足夠大時(shí)，可用正態(tài)分布近似樣本量足夠大時(shí)，可用正態(tài)分布近似 tCvStVtr tSVtd變異系數(shù) 樣本量設(shè)計(jì)中的誤區(qū)樣本量設(shè)計(jì)中的誤區(qū) 1. 估計(jì)精度越高越好嗎？估計(jì)精度越高越好嗎？ 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)比例簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)比例P的樣本量與誤差（當(dāng)?shù)臉颖玖颗c誤差（當(dāng)P=0.5時(shí)）時(shí)） 樣本量樣本量 誤差誤差d 50 0.14 100 0.10 500 0.045 1000 0.032 10000 0.0098 對(duì)精度要求的判斷十分重要。為得到最小誤差而選擇最對(duì)精度要求的判斷十分重要。為得到最小誤差而選擇最大樣本量不是好的選擇。大樣本量不是好的選擇。2. 樣本量與總體規(guī)模樣本量與總體規(guī)模N有關(guān)嗎？按照總體比例確定樣本量合有關(guān)嗎？按照總體比例確定樣本量合適嗎？適嗎？例：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)例：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣估計(jì)P，置信度，置信度95%，允許誤差，允許誤差5%，在，在P=0.5條件條件下下 總體規(guī)模（總體規(guī)模（N） 所需樣本量（所需樣本量（n） 50 44 100 80 500 222 1000 286 5000 370 10000 385 100000 398 1000000 400 10000000 400 由此可知，在精度要求相同條件下，在北由此可知，在精度要求相同條件下，在