高等代數(shù)之二次型

1、LOVE二次型二次型 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 唯一性唯一性 正定二次型正定二次型二次型很重要！二次型很重要！LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示一一. .定義定義 設(shè)設(shè)P 是一個數(shù)域是一個數(shù)域, , 是變量是變量, , 1,nxx2121111212112222222(,)222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa x 稱為數(shù)域稱為數(shù)域P上的一個上的一個n元元二次型二次型，簡稱二次型，簡稱二次型. .21112nnniiiijijiij ia xa x x 例例1 1 2222123411223344(,)22f

2、x x x xxx xxxx xx 注注: : , ,1,2,ijaP i jn n元二次齊次多項式元二次齊次多項式LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二二. .矩陣表示矩陣表示 因為因為 的系數(shù)，的系數(shù)，1211(,)nnnijijijf x xxa x x 由矩陣乘法由矩陣乘法1112112122221212(,) nnnnnnnnaaaxaaaxfxxxaaax輊輊驏驏琪琪犏犏琪琪琪琪犏犏琪琪犏犏琪琪= =琪琪犏犏琪琪琪琪犏犏琪琪琪琪犏犏琪琪桫桫犏犏臌臌ijjiijaax x , ,1,2,ij i jn 令令 系數(shù)的一半，系數(shù)的一半，2iiiax 1,2,in 則則簡記

3、簡記12(,),nijn nXx xxAa ,fX AX LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示例例2 2 寫出下列二次型的矩陣表示寫出下列二次型的矩陣表示22221234112233441. (,)22f x x x xxx xxxx xx 1123123231222. (,),033815xf x x xx x xxx輊輊輊輊- - -犏犏犏犏犏犏犏犏= =- -犏犏犏犏犏犏犏犏- -臌臌臌臌解解2:2:22211213223326345fxx xx xxx xx 112323113,132325xx x xxx LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示fX AX

4、 注注2:2: 二次型二次型 與對稱矩陣與對稱矩陣A相互唯一確定相互唯一確定. .注注1:1: 矩陣矩陣A為為P上的上的對稱對稱矩陣矩陣, ., .AA 注注3:3:若矩陣若矩陣 不對稱不對稱, ,則則 的對稱矩陣為的對稱矩陣為 BfX BX 2BB 三三. .線性替換線性替換設(shè)設(shè) 為兩組變量為兩組變量, ,關(guān)系式關(guān)系式 11,;,nnxxyy11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y = =+ + + + = =+ + + + = =+ + + + 稱為由稱為由 到到 的一個的一個線性替換線性替換. . 1,nx

5、x1,nyyLOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示由矩陣乘法由矩陣乘法, , 0C 1111211221222212nnnnnnnnxcccyxcccyxcccy 簡記簡記 , ,其中其中 為方陣為方陣. XCY ijCc 當(dāng)當(dāng) 即即C可逆時可逆時, ,稱稱 X=CY 為為非退化非退化線性替換線性替換. . 當(dāng)當(dāng) 即即C不可逆時不可逆時, ,稱稱X=CY為為退化退化線性替換線性替換. . 0C 注注: :線性替換把二次型變成二次型線性替換把二次型變成二次型. .LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示例例3 3輊輊輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌臌1122

6、33441100010000110001xyxyxyxy令令2213.fyy 2222123411223344221234(,)22()()f x x x xxx xxxx xxxxxx =+= =+= 1122233444xyyxyxyyxy, ,即即 為非退化的為非退化的. .此時此時 , ,得得=-= =-= 1122233444yxxyxyxxyxLOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示四四. .矩陣的合同矩陣的合同12(,),nf x xxXAX AA 設(shè)設(shè)()()(). fX AXCYA CYY C ACYYC AC YY BY問題問題: :非退化線性替換把二次型變成二

7、次型非退化線性替換把二次型變成二次型, ,替換后的二替換后的二次型與原來的二次型之間有什么關(guān)系次型與原來的二次型之間有什么關(guān)系? ?即找出替換后的即找出替換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣之間的關(guān)系二次型的矩陣與原二次型的矩陣之間的關(guān)系. . 得得作非退化線性替換作非退化線性替換 可逆，可逆， ,XCY C 顯然顯然 為對稱矩陣為對稱矩陣, ,則則 C AC BC AC LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示1.1.定義定義 設(shè)設(shè)A, ,B為數(shù)域為數(shù)域P上的兩個上的兩個n階方陣階方陣, ,又又證證: :由由 , ,得得 .AAE 所以所以 與與 合同合同. . BC AC，例例3

8、 3BA設(shè)設(shè)A, ,B為數(shù)域為數(shù)域P 上的兩個上的兩個n階方陣階方陣, ,AAE AB1AA ()BAAABAA AB A ABBA若若 , ,則則 與與 合同合同. .若存在若存在P上可逆矩陣上可逆矩陣C使得使得稱稱A與與B合同合同. .LOVE2.2.性質(zhì)性質(zhì) 合同是矩陣之間的一個等價關(guān)系，具有合同是矩陣之間的一個等價關(guān)系，具有: AA( (1 1) )反反身身性性與與 合合同同: ABBA(2)(2)對對稱稱性性與與 合合同同，則則 與與 合合同同()AE AE 11(,()BC ACACBC 11221212(,()()BC AC DC BCDC CA C C (3),ABBDAD傳傳

9、遞遞性性: : 與與 合合同同與與 合合同同，則則 與與 合合同同1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示LOVE1 1 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示注注1 1 非退化線性替換非退化線性替換 將將 變成變成 , ,XCY X AXY BY則則 , ,即即 與與 合同合同. .BC AC AB注注2 2 將將 還原成還原成 . .1YC X Y BYX AX注注3 3 若若 與與 合同合同, ,則則 . .AB( )( )r Ar B B注注4 4 若若 與與 合同且合同且 對稱對稱, ,則則 也對稱也對稱. .ABALOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 二次型中最簡單的一種是只包含平方項的

10、二次型，二次型中最簡單的一種是只包含平方項的二次型，其對應(yīng)的矩陣為對角矩陣，如其對應(yīng)的矩陣為對角矩陣，如 222121122(,) nnnf x xxd xd xd x1122120000(,)00 nnndxdxx xxdx一一. .二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形簡記簡記 , ,其中其中fXX 12(,)ndiag ddd LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形定理定理1 1 數(shù)域數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化線性上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化線性替換化成只含平方項的形式替換化成只含平方項的形式. .即設(shè)即設(shè)1211(,),nnnijijijjiijf xxxa x xX AX aa 總存在可

11、逆矩陣總存在可逆矩陣 使使 滿足滿足 CXCY 222121122,(*)nnnf x xxd yd yd y 稱稱 為為 的的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形. .此時此時(*)f12(,)nC ACdiag d dd 定理定理2 2 數(shù)域數(shù)域P上的任意一個上的任意一個對稱矩陣對稱矩陣都合同于一個都合同于一個對角矩對角矩陣陣. .即對任意對稱矩陣即對任意對稱矩陣A, ,總存在可逆矩陣總存在可逆矩陣C使得使得 成成對角矩陣對角矩陣. .C ACLOVE二二. .化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形通通過過配配平平方方的的方方法法將將二二次次型型中中的的混混合合項項的的系系數(shù)數(shù)化化為為零零. .1.1.配方法配方法(1

12、)(1)若存在某若存在某 , ,如如 先將含先將含 的項合在一起的項合在一起湊成完全平方湊成完全平方, ,此時此時0iia 110a 1x2(,)ng xx211212111221111(,)(,),nnnnaaf x xxaxxxg xxaa 2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形再將再將 重復(fù)以上步驟重復(fù)以上步驟. .LOVE(2)(2)若所有的若所有的 但但 , ,先作線性替換先作線性替換,1,2, , ,iijjijkkxyyxyyxy kn ki j 化成含平方項的化成含平方項的, ,再重復(fù)步驟再重復(fù)步驟(1)(1). .0iia 0,ijaij 例例1:1:將二次型將二次型 化成化成標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形,

13、,并寫出相應(yīng)的線性替換并寫出相應(yīng)的線性替換. .222112132233244585fxx xx xxx xx 例例2:2:將將 化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形, ,并寫出相應(yīng)的線性替換并寫出相應(yīng)的線性替換. .1223fx xx x 2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形222112132233244585 fxx xx xxx xx22212322332()343xxxxx xx 222123233252()3()33xxxxxx1123223332,3yxxxyxxyx 令令222123523,3fyyy 得得1122331 1120 1,30 01yxyxyx 即即1311223311

14、012001xyxyxy 1,YCX 記記,XCY 則則即即,fX AX 記記532222254 ,324 5A .C AC 則則解例解例1:1:LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形11221233, xyyxyyxy令令221212123121323()()()fyyyyyyyyyy yy y 得得11221331101-10,001xyxyXC Yxy 即即記記222221111242213322 31323()()()yyyyy yyyyy 121131222333,zyyzyyzy 再再令令2212,fzz 得得121112222331001,001zyzyZC Yzy 記記1112,XCYC

15、 C Z 此此時時解例解例2:2:LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形-111221112221010-01= 01-,001001C 又又12311-11-10001zXzz 所所以以注注: :不能隨意配方不能隨意配方, ,一定要保證線性替換為一定要保證線性替換為可逆的可逆的線性替換線性替換例例3:3:二次型二次型222112132233222222fxx xx xxx xx=-+-+222121323()()()xxxxxx 令令112213323,yxxyxxyxx 得得222123fyyy 此結(jié)論是此結(jié)論是不對不對的，因為此線性替換為不可逆的的，因為此線性替換為不可逆的LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)

16、準(zhǔn)形2.2.初等變換法初等變換法,fX AX A 設(shè)設(shè)為為對對稱稱矩矩陣陣(1)A可可以以經(jīng)經(jīng)過過相相同同的的初初等等行行、列列變變換換化化成成對對角角矩矩陣陣, , ( , )( , )( , )( , ),P i j AP i jP i jAP i j ( (2 2) )由由于于ACOC AC ACCCECOEEC ( (3 3) )由由分分塊塊矩矩陣陣乘乘法法AEC 相相同同的的初初等等行行、列列變變換換方方法法：構(gòu)構(gòu)造造CC AC 因因此此存存在在可可逆逆矩矩陣陣 使使得得， ( ( )( ( )( ( )( ( ),P i kAP i kP i kAP i k ( , ( )( ,

17、( )( , ( )( , ( ),P i j kAP j i kP j i kAP j i k LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形222112132233244585 ffxx xx xxx xx用用初初等等列列變變換換法法將將 化化成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型. .222,254245 fX AX A 222254245100010001AE 構(gòu)構(gòu)造造: :2131200032023111010001cccc 2131222032023100010001rrrr 例例4 4 解：解： LOVE2 2 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形32253320003200111010001rr 1323532113,01,001C 222

18、123,5233XCYfyyy 令令得得3225331323200030001101001cc LOVE3 3 唯一性唯一性上例上例2 2中中 , ,令令1223fx xx x 11221233,xyyxyyxy 222211114444132311(2)(2)fyyyyzz 得得1132233322,zyyzyyzy 再再令令問題問題: :二次型經(jīng)過非退化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形二次型經(jīng)過非退化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形, ,標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形是不是唯一的是不是唯一的?答答: :在一般數(shù)域內(nèi)在一般數(shù)域內(nèi), ,標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的的, ,與所作的非退與所作的非退化線性替換有關(guān)化線性替換有關(guān); ;但標(biāo)準(zhǔn)形

19、中系數(shù)不為但標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)不為0 0的平方項的個的平方項的個數(shù)是唯一確定的數(shù)是唯一確定的. .LOVE12,(,) nfYYdiag d dd則則12()(),nr Ard dd 稱稱 為為二次型二次型 的秩的秩. . 設(shè)設(shè) , ,令令 使得使得fX AX XCY ()r Af定義定義: :中非零數(shù)的個數(shù)中非零數(shù)的個數(shù). . , C AC3 3 唯一性唯一性LOVE3 3 唯一性唯一性一一. .復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形設(shè)設(shè)1211(,),nnnijijijjiijf xxxa x xX AX aa 非退化線性替換非退化線性替換 為復(fù)矩陣為復(fù)矩陣) )使使,(XCY C 2

20、22121122,( )nrrf x xxd yd yd yrr A 再令再令11111,rrrrrnnzd yzd yzyzy 11111(1) ,(1) ,rrrrrnnyd zyd zyzyz 即即得得22212,rfzzz 稱為稱為復(fù)二次型的規(guī)范形復(fù)二次型的規(guī)范形( ),rr A ,(XCY C ,(XCY C LOVE3 3 唯一性唯一性定理定理3 3 任意一個復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性任意一個復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的. . 用矩陣的語言用矩陣的語言: :任一任一復(fù)復(fù)數(shù)的數(shù)的對稱對稱矩陣合同

21、于一個形式為矩陣合同于一個形式為1100 rEOOO 的的對角對角矩陣矩陣, ,即對復(fù)對稱矩陣即對復(fù)對稱矩陣A,存在一個可逆矩陣存在一個可逆矩陣C使得使得 ,( )rEOC ACrr AOO 結(jié)論結(jié)論 (1)(1)任意兩個復(fù)對稱矩陣任意兩個復(fù)對稱矩陣A, ,B合同合同( )( )r Ar B (2)(2)在合同意義下在合同意義下, ,n階復(fù)對稱矩陣共有階復(fù)對稱矩陣共有n+1+1類類. .LOVE3 3 唯一性唯一性二二. .實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形設(shè)設(shè)1211(,),nnnijijijjiijf xxxa x xX AX aa 非退化線性替換非退化線性替換X=CY (C

22、為實矩陣為實矩陣) )使使22221 111,( ),0,1,pppprrifd yd ydyd y rr A dir 再令再令11111,rrrrrnnzd yzd yzyzy 11111(1) ,(1) ,rrrrrnnyd zyd zyzyz 即即得得222211,pprfzzzz 稱為稱為實二次型的規(guī)范形實二次型的規(guī)范形( ),rr A LOVE3 3 唯一性唯一性定理定理4(4(慣性定理慣性定理) )任意一個實系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)任意一個實系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的的非退化線性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的. . 規(guī)范形規(guī)范形 中中

23、 的不變性稱為的不變性稱為慣性慣性. . 定義定義實二次型規(guī)范形實二次型規(guī)范形 中中, ,稱稱例例5 5: :已知已知 222211pprfzzzz p222211pprfzzzz p為為正慣性指數(shù)正慣性指數(shù), , 為為負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù), , 為為符號差符號差()prp 1221234212(,)nnnf x xxx xx xxx 確定確定f 的秩、正慣性指數(shù)及符號差的秩、正慣性指數(shù)及符號差. .顯然規(guī)范形由秩顯然規(guī)范形由秩 和正系數(shù)平方項的個數(shù)和正系數(shù)平方項的個數(shù) 所確定；所確定；rprp LOVE3 3 唯一性唯一性注注1 1 實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一, ,但標(biāo)準(zhǔn)形

24、中系數(shù)的為但標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)的為正的平方項的個數(shù)為正的平方項的個數(shù)為p, ,系數(shù)為負(fù)的平方項的個數(shù)為系數(shù)為負(fù)的平方項的個數(shù)為r-p. .1XCY ,fX AX A 即即設(shè)設(shè)為為實實對對稱稱矩矩陣陣，若非退化線性變換若非退化線性變換 和和 分別使分別使2XCW 22221111,pppprrfd yd ydyd y 和和22221111,qqqqrrfl wl wlwl w 則則 .p q 進(jìn)一步進(jìn)一步 f 的規(guī)范形為的規(guī)范形為222211,qqrfzzzz LOVE3 3 唯一性唯一性注注2 2 任一實數(shù)域上的對稱矩陣合同于對角矩陣任一實數(shù)域上的對稱矩陣合同于對角矩陣即存在一個實可逆矩陣即存在一個

25、實可逆矩陣 使得使得 1C1111(,0,0)pprC ACdiag dddd 11(,0,0),0,1,2, ,( )ppridiag dddddir rr A 注注3 3 任一實數(shù)域上的對稱矩陣合同于對角矩陣任一實數(shù)域上的對稱矩陣合同于對角矩陣即存在一個實可逆矩陣即存在一個實可逆矩陣 使得使得 2C22(1,1, 1, 1,0,0)C ACdiag (1,1, 1, 1,0,0)pr pEdiagEO LOVE3 3 唯一性唯一性結(jié)論結(jié)論 (1)(1)任意兩個實對稱矩陣任意兩個實對稱矩陣A, ,B合同合同(2)(2)在合同意義下在合同意義下, ,n階實對稱矩陣共有階實對稱矩陣共有 類類.

26、.( )( )r Ar B 1(1)(2)2nn 且且A的正慣性指數(shù)等于的正慣性指數(shù)等于B的正慣性指數(shù)的正慣性指數(shù). .LOVE4 4 正定二次型正定二次型一一. .定義定義 設(shè)設(shè) 是實二次型是實二次型, ,稱稱f 為為正定的正定的, , 12(,)nf x xx12,nc cc12( ,)0. nf c cc等價定義等價定義 設(shè)設(shè)12(,), nf x xxX AX12(,), nXx xx0fX AX 若實二次型若實二次型 正定正定, , 實對稱實對稱, ,則稱則稱A 正定正定. .fX AX n nA 若對任意一組不全為零的實數(shù)若對任意一組不全為零的實數(shù) 都有都有A為實對稱矩陣為實對稱矩

27、陣, ,若對任意若對任意n維非零實向量維非零實向量使使稱實二次型稱實二次型 f 正定正定. . LOVE例例6 6 根據(jù)定義判斷下列實二次型是否正定根據(jù)定義判斷下列實二次型是否正定. .2221212(1) (,)nnf x xxxxx 2221234123(2) (,)25f x x x xxxx 222123123(3) (,)23f x x xxxx 結(jié)論結(jié)論1 1 對實二次型對實二次型 2221122nnfd xd xd x= =+ + + +f=0,1,2,idin正定正定4 4 正定二次型正定二次型LOVE4 4 正定二次型正定二次型二二. .實二次型正定的判斷實二次型正定的判斷結(jié)

28、論結(jié)論2 2 實非退化線性替換保持實二次型的正定性不變實非退化線性替換保持實二次型的正定性不變. . 即實數(shù)域上的合同不改變實對稱矩陣的正定性即實數(shù)域上的合同不改變實對稱矩陣的正定性. . 1.1.正慣性指數(shù)法正慣性指數(shù)法: :12(,)nf x xxn元實二次型元實二次型 f 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為n. .f 正定正定 即即n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A正定正定A合同于對角矩陣合同于對角矩陣12(,),0,1,2,nidiag d dddin = =LOVE4 4 正定二次型正定二次型結(jié)論結(jié)論3 3 正定二次型的規(guī)范形為正定二次型的規(guī)范形為 22212nxxx+ + + +結(jié)論結(jié)論4 4

29、(1) (1) A為實對稱矩陣為實對稱矩陣, ,即即n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A正定正定A合同于單位矩陣合同于單位矩陣E.n階矩陣階矩陣A正定正定, ,則則A滿足滿足AA=(2) (2) A與單位矩陣合同與單位矩陣合同, ,即即 , ,C 為實可逆矩陣為實可逆矩陣ACC=(3)(3)20ACCC= = = (4) (4) A可逆可逆, ,( )r An= =LOVE4 4 正定二次型正定二次型,ijn nAa 輊輊= =犏犏臌臌稱子式稱子式111212122212,kkkkkkkaaaaaaPaaa=為為A的的 k 階順序主子式階順序主子式. .定理定理 n元實二次型元實二次型A的所有順序主子

30、式大于零的所有順序主子式大于零. .f 正定正定12(,),nf x xxX AX AA=1,2,kn=4 4 正定二次型正定二次型2 2 順序主子式法順序主子式法設(shè)方陣設(shè)方陣LOVE例例7 7 確定確定t的取值范圍使二次型的取值范圍使二次型 f 正定正定. .222( , , )5224f x y zxyztxyxzyz= =+ + + +- -+ +解解 f 對應(yīng)的矩陣為對應(yīng)的矩陣為11121 25tt ，110,P 22110,1tPtt 由由2311125401 25tPttt 解得當(dāng)解得當(dāng)405t 時時 f 正定正定. .LOVE例例8 8 判斷二次型判斷二次型 是否正是否正定定.

31、.1212111(,)nnniiiiif x xxxx x- -+ += = = =+ +邋邋解解 f 對應(yīng)的矩陣為對應(yīng)的矩陣為11 21 21,11 21 21n nA 11 21 211(1)0211 21 21kk kPk ，因為因為所以所以 f 正定正定. .LOVE4 4 正定二次型正定二次型3 3 主子式法主子式法主子式主子式: :方陣的行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式方陣的行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式ijn nAa 輊輊= =犏犏臌臌設(shè)設(shè) , ,取行指標(biāo)取行指標(biāo), ,列指標(biāo)均為列指標(biāo)均為 的子式的子式12, ,ki ii1 11 212 12 2212kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaPaaa= =為為A的一個的一個k階主子式階主子式. .顯然順序主子式是主子式顯然順序主子式是主子式. .LOVE結(jié)論結(jié)論5 5n元實二次型元實二次型A的所有主子式大于零的所有主子式大于零. .f 正定正定12(,),nf x xxX AX AA=總結(jié)總結(jié) 設(shè)實二次型設(shè)實二次型 , ,則則12(,),nf x xxX AX AA=(1) fX AX= = 正正定定實對稱矩陣實對稱矩陣A正