D7_5線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

1、第七節(jié)第七節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一階線性方程)()(xQyxPy其通解為yxdxPe)(CxdexQxdxP)()(xdxPe)(xdexQxdxP)()(xdxPeC)(非齊次方程特解齊次方程通解推廣高階線性微分方程情形Yy )()(2xyxQ0定理得證定理得證 .一. 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 定理定理 1 若函數(shù))(,)(21xyxy是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解, 則)()(2211xyCxyCy也是該方程的解.證證: 將)()(2211xyCxyCy代入方程左邊 , 得 )(11 xyC)(22xyC )()(11xyCxP)(22xyC

2、)( )(11xyCxQ)(22xyC )(11xyC)()(1xyxP )()(1xyxQ )(22xyC)()(2xyxP疊加原理說明: 解中形式上含兩個(gè)任意常數(shù)時(shí)不一定是通解例如,)(1xy是齊次方程的解 ,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 ,)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解 .但是定義定義: 設(shè))(,)(,)(21xyxyxyn是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù), 若存在不全為不全為 0 的常數(shù)nkkk,21使得當(dāng)Ix時(shí)有0)()()(2211xykxykxyknn則稱這 n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I 上線性相關(guān)線性相關(guān) , 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如 ,x

3、x22sin,cos,1在 ( , )上都有0sincos122xx故在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān) ;又如 ,12xx若在某區(qū)間 I 上02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見故2,1xx在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān)線性無關(guān) .兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相 (無)關(guān)的充要條件)(,)(21xyxy線性相關(guān)存在不全為0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(,)(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考: 若)(, )(21xyxy中有一個(gè)恒為 0 , 則)(, )(

4、21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)定理定理 2 若)(,)(21xyxy是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解 , 則)()(2211xyCxyCy是該方程例如, 方程0 yy有特解,cos1xy xysin2且xyytan12常數(shù)則方程的通解為xCxCysincos21的通解.二. 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu))(* xy是二階非齊次方程的一個(gè)特解 , )(*)(xyxYy是相應(yīng)齊次方程的通解.定理定理 3 設(shè))()()(xfyxQyxPy )(xY則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端 , 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQY

5、xPY )(xf0)(xf故)(*)(xyxYy是非齊次方程的解 , 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù) , 從而也是通解 .)*( )(yYxQ例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21對(duì)應(yīng)定理定理 4 設(shè))(*xyk分別是方程的特解 , 則是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1*的特解 .)()()(1xfyxQyxPynkk )(, )(, )(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn性無關(guān)的特解, 定理定理 5 (

6、推廣 ) 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxPyxPynnn)(xY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為),2, 1(nk)(* xy321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解 , 21,CC是任意常數(shù) , 則該方程的通解是 ( ) .;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC;)1()(3212211yCCyCyCDD例1 .提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且線性無關(guān), 因?yàn)榧僭O(shè)它們線性相關(guān) , 則有kyyyy3231

7、即0) 1(321ykyky從而推出321,yyy線性相關(guān) , 與已知條件矛盾.xixexisincosxixexisincos（ 歐拉公式 ）2cosxixieex（ 也稱歐拉公式 ）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式rxxyyoyixzyixzsincosirier則ieexxixi2sin第八節(jié)第八節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程方程qpyqypy,(0 為常數(shù) )稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程 .xrey 求將它代入方程得xre q ) (rp2r002qrpr稱此代數(shù)方程為微分方程的特征方程特征方程 .1. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根21r ,r則微分方程有

8、兩個(gè)線性無關(guān)的特解xrey11xrey22因此方程的通解為.2121xrxreCeCy( r 為待定常數(shù) ) 形式的解 .2. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解1y)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定),2y 2y代入方程1xre)(1urup0uq02qrpr特征方程特征方程 :則)2(211ururu 0)()2(1211 uqrprupru因?yàn)?r是特征方程的重根 , 故0 yqypy,0121qrpr021 pr0 u不防取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.1xre)(1xuexr

9、xre1, )(1uru xre1)2(211ururu 3. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,21irir這時(shí)原方程有兩個(gè)解xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 為了得到實(shí)數(shù)解, 利用解的疊加原理 , 得原方)(21211yyy)(21212yyiyxexcosxexsin故原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx程的線性無關(guān)特解:若特征方程含 k 重復(fù)根,ir小結(jié)小結(jié)qpyqypy,(0 為常數(shù) )02qrpr特征方程特征方程;2121xrxreCeCy根21, rr21rr 實(shí)根 21rr ;)(121xrexCCy,2pir

10、,21)sincos(21xCxCeyx推廣到高階方程推廣到高階方程若特征方程含 k 重實(shí)根 r ，則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng);)(121xrkkexCxCCxxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解則其通解中必對(duì)對(duì)應(yīng)項(xiàng)例例1. 求方程032 yyy的通解 . 解解: 特征方程0322rr有根,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例例2. 求解初值問題0222stdsdtdsd,40ts20ttdsd解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為,)(21tetCCs利用初始條件得,41C于是所求初值問題的解為

11、.)24(tets22C例例3. 求方程052)4( yyy的通解. 解解: 特征方程052234rrr有根 :irrr21,04,321因此原方程通解為:xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例4. 解方程0)4()5( yy解解: 特征方程045rr有根 :1,054321rrrrr原方程通解 :1CyxC223xC34xCxeC5( 不難看出, 原方程有特解),132xexxx22222442)(rrr例例5. 解方程)0(0444wxdwd解解: 特征方程044r即0)2)(2(2222rrrr其根為,)1(22,1ir,)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2c

12、os(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC例例6. 解方程.02)4( yyy解解: 特征方程01224rr即0)1(22r其根為,2,1ir,4,3ir則方程通解 :yxxCCcos)(31xxCCsin)(42內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二階線性微分方程)()()(xfyxQyxPy 通解結(jié)構(gòu))(* )()(2211xyxyCxyCy齊次通解非齊次特解2. 方程qpyqypy,(0 為常數(shù))對(duì)應(yīng)特征根:21, rr(1) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當(dāng)時(shí), 通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當(dāng)時(shí), 通解為)sincos(21xCxCeyx

13、ir2, 1可推廣到高階線性齊次方程求通解 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知方程)()()(xfyxQyxPy 有三個(gè)解,2321xxeyeyxy求方程的通解.答案答案: 通解為)(xex)(2xex1Cy 2Cx2. 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaeCeCy213. 求一個(gè)以,2cos,2,321xyexyeyxxxy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程 , 并求其通解 .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程為2) 1( r0)4(2r即048

14、52234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為其通解為xCxCexCCyx2sin2cos)(4321特征根為特征根為,irrirrr543211故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy4 4思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln2