用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(優(yōu)秀課件))

1、12.2.2 2.2.2 用樣本的用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征體的數(shù)字特征1.1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2 2. . 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差2v眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)3一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念 中位數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 眾數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)

2、的眾數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.121()nxxxn 平均數(shù)平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即即 x=4頻率頻率組距組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)例如，在上一節(jié)調(diào)查的例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可

3、以看出，月均用水量的眾數(shù)是出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：如圖所示： 一一 、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系頻率分布直方圖的關(guān)系 1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。5 2、在樣本中，有、在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有位數(shù)，也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位

4、數(shù)的由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2.02t. 頻率頻率組距組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)6說明說明: 2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本與樣本的中位數(shù)值的中位數(shù)值2.0不一樣不一樣,這是因?yàn)闃颖緮?shù)這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明只是直觀地表明分布的形狀分布的形狀,但是但是從直方圖本身得不出從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直

5、方所以由頻率分布直方圖得到的圖得到的中位數(shù)估計(jì)值中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致實(shí)際中位數(shù)值不一致.7下圖顯示了居民月均用下圖顯示了居民月均用水量的平均數(shù)水量的平均數(shù):x=1.973頻率頻率組距組距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t) 3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心重心”.是直方圖的平衡點(diǎn)是直方圖的平衡點(diǎn). n 個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式由公式: 給出給出121()nxxxxn 8 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用1 某工廠人員及

6、工資構(gòu)成如下：某工廠人員及工資構(gòu)成如下：人員人員經(jīng)理經(jīng)理管理人員管理人員高級技工高級技工工人工人學(xué)徒學(xué)徒周工資周工資2200250220200100人數(shù)人數(shù)165101（1）指出這個(gè)問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)）指出這個(gè)問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個(gè)問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠）這個(gè)問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？的工資水平嗎？為什么？ 解解：眾數(shù)為眾數(shù)為200，中位數(shù)為，中位數(shù)為220，平均數(shù)為，平均數(shù)為300。 因平均數(shù)為因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，

7、只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。92. 右面是某校學(xué)生右面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間的抽樣日睡眠時(shí)間的抽樣頻率分布表（單位：頻率分布表（單位：h），試估計(jì)該校學(xué)），試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)生的日平均睡眠時(shí)間。間。睡眠時(shí)間睡眠時(shí)間 人數(shù)人數(shù)頻率頻率6, 6.5)50.056.5, 7)170.177, 7.5)330.337.5, 8)370.378, 8.5)60.068.5, 920.02100110解解1：總睡眠時(shí)間約為：總睡眠時(shí)間約為 6.255+6.7517+7.2533+7.753

8、7+8.256+8.752 =739(h) 故平均睡眠時(shí)間約為故平均睡眠時(shí)間約為7.39h解解2：求各組：求各組中值與對應(yīng)頻率之積中值與對應(yīng)頻率之積的和，的和，6.250.05+6.750.17+7.250.33+7.7537+8.250.06+8.750.02 =7.39(h) 估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為7.39h113.若若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是個(gè)數(shù)的平均數(shù)是x，N個(gè)數(shù)的平均數(shù)個(gè)數(shù)的平均數(shù)是是y，則這，則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 . MxNyMN，12,ny yy12,nx xx1122,nnxy xxy 和和的樣本平均數(shù)分別是的樣本平均數(shù)分別是

9、 x 和和 y，那么一組數(shù)那么一組數(shù)的平均數(shù)是的平均數(shù)是4. 如果兩組數(shù)如果兩組數(shù) .12v眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)并不能非常準(zhǔn)確反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)特征。13v標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差14(1)方差方差：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，x1，x2，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平方的差的平方分別是分別是22212() ,() ,()nxxxxxx2222121()()() nsxxxxxxn 來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的叫做這組數(shù)據(jù)的方差方差，一組數(shù)據(jù)方差越，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。大，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。 那么我們用它們的

10、平均數(shù)，即那么我們用它們的平均數(shù)，即15（2）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量。量。222121()()() nsxxxxxxn16標(biāo)準(zhǔn)差和頻率直方圖的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)差和頻率直方圖的關(guān)系 從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，如果樣本各數(shù)據(jù)都相等，從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，如果樣本各數(shù)據(jù)都相等，則標(biāo)準(zhǔn)差得則標(biāo)準(zhǔn)差得0，這表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有，這表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；若個(gè)體的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，離散性；若個(gè)體的值與平均數(shù)

11、的差的絕對值較大，則標(biāo)準(zhǔn)差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也很大，數(shù)則標(biāo)準(zhǔn)差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也很大，數(shù)據(jù)的離散程度很高，因此據(jù)的離散程度很高，因此標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)對平均標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度數(shù)的離散程度。用來判斷數(shù)據(jù)波動(dòng)性和穩(wěn)定性的大。用來判斷數(shù)據(jù)波動(dòng)性和穩(wěn)定性的大小。小。想一想：標(biāo)準(zhǔn)差得大小由什么決定？想一想：標(biāo)準(zhǔn)差得大小由什么決定？17AB樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)3 3 3 3 31 1 3 5 5平均數(shù)平均數(shù)33標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差01.79頻率分布頻率分布直方圖直方圖數(shù)據(jù)沒有離散度數(shù)據(jù)沒有離散度數(shù)據(jù)離散程度很高數(shù)據(jù)離散程度很高18例一甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)例一甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種

12、連續(xù)5年年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種品種第第1年年第第2年年第第3年年第第4年年第第5年年甲甲9.89.910.11010.2乙乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差，樣本方差為為 (9.810)2 +(9.910)2+(10.110)2+ (1010)2+(10.210)25=0.02.19乙品種的樣本平均數(shù)也為乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差，樣本方差為為 (9.410)2+(

13、10.310)2+(10.810)2+ (9.710)2+(9.810)25=0.24. 因?yàn)橐驗(yàn)?.240.02， 所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。 20S3 算出算出 （i=1，2，n）；）；2()ixxS4 算出算出 （i=1，2，n）這）這n個(gè)個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；2()ixxS5 算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差s。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的算法：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的算法： S1 算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x；S2 算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差算出每個(gè)

14、樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差 （i=1，2，n）；）；ixx21的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，12,nax axaxax（2）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)方差為方差為 22a s，方差仍為，方差仍為 12,nxb xbxbxb2s（1）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為，方差為，方差為 12,naxb axbaxbaxb22a s的平均數(shù)為的平均數(shù)為（3）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)12,nx xxx2s如果數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，方差為方差為，則，則方差的運(yùn)算性質(zhì)：方差的運(yùn)算性質(zhì)：221有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)后，計(jì)算出樣本方差分別為株的分蘗數(shù)后，計(jì)算出樣本方差分別為 =11， =3.4，由此可以估計(jì)（，由此可以估計(jì)（ ）（A）甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊）甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊 （B）乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊）乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊 （C）甲、乙種水稻分蘗整齊程度相同）甲、乙種水稻分蘗整齊程度相同 （D）甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能）甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較比較B2甲S2乙S233數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)差是的標(biāo)準(zhǔn)差是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1C240D.0 xxC.xxxx .B0A.x0 x,x,x. 6._3X5231. 5.D.C.B.A. 4n21n2