

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文檔簡介
1、8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用(精講)3/13思維導(dǎo)圖3求回歸方程方法(1)利用公式求出回歸系數(shù)待定系教法:利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)*一元線性回歸模型及應(yīng)用最小二乘法公式常見考法考法樣本中心解小題)考法三非一元線性方程)一元線性回歸模型及應(yīng)用考法二一元線性方程考點一樣本中心解小題【例1】(2021江西贛州市)某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價x(元)與每天的銷售量y(個)統(tǒng)計如下表:x16171819y50m3431據(jù)上表可得回歸直線方程為y=-6.4x+151,則上表中的m的值為()A38B39C40D41【答案】D【解析】由題意x=16+17+18+194=17.550+m+34+314
2、115+m4115+m嚴(yán)一一所以=一6.4x17.5+151,解得m=41.故選:D.4【一隅三反】1. (2021江西景德鎮(zhèn)市景德鎮(zhèn)一中)隨機變廖與y的數(shù)據(jù)如表中所列,其中缺少了一個數(shù)值,已知y關(guān)于x的線性回歸方程為y=09x+3,則缺少的數(shù)值為()x23456y5679A.6B.6.6C.7.5D.8【答案】A=6.6【解析】設(shè)缺少的數(shù)值為m,由于回歸方程為y=°9x+3過樣本中心點(x,y)代入y=°.9x4+3=6.6,所以y=故選:A.2.(2021河南信陽市)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):x23456y42.5-0.5-2-3得到的回歸方程為y=bx+a,則()A.a0,b
3、0B.a0,b<0C.a<0,b0D.a<0,b<0【答案】B【解析】由圖表中的數(shù)據(jù)可得,變量y隨著x的增大而減小,則b<0,-2+3+4+5+64+2.5-0.5-2-3x=4,y=0.255又回歸方程y=bx+a經(jīng)過點(4,0.2),可得a0,故選:B3.(2021安徽六安市六安一中)蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂,殊不知蟋蟀鳴叫的頻率(每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫y(單位:C)存在著較強的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)下表的觀測數(shù)據(jù),建立了y關(guān)于x的線性回歸方程y=0.25x+k.x(次數(shù)/分鐘)2030405060y(C)2527.52932.536則
4、當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫62次時,該地當(dāng)時的氣溫預(yù)報值為()D35.5CoA33CB34CC35C°oo【答案】D【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=20+30+40+50+605二4025+27.5+29+32.5+365二30由于回歸直線過樣本中心點(訂),可得30=0.25x40+k,解得k=20.所以,回歸直線方程為y=0.25x+20.在回歸直線方程中,令x=62,可得y=0.25x62+20=35.5.故選:D.考點二一元線性方程【例2】(2021興義市第二高級中學(xué))在2010年春節(jié)期間,某市物價部門,對本市五個商場銷售的某商品一天的銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查,五個商場的售價x元和銷售量y
5、件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:價格X99.51010.511銷售量y1110865通過分析,發(fā)現(xiàn)銷售量y對商品的價格x具有線性相關(guān)關(guān)系,求(1)銷售量y對商品的價格x的回歸直線方程;2)若使銷售量為12,則價格應(yīng)定為多少.工xy-nxyii附:在回歸直線y=bx+a中b=芍,a=ybx乙x2nx2ii=1答案】(1)y=3.2x+40(2)8.75【解析】(1)由題意知x=10,y=8.b=99+95+80+63+55-5x10x8=-3.2,a=8-(-3.2)x10=40,81+90.25+100+110.25+121-5xlOO'丿二線性回歸方程是y=-3.2x+40(2)令y=-
6、3.2x+40二12,可得x=8.75-預(yù)測銷售量為12件時的售價是8.75元.一隅三反】1.(2020河南開封市)配速是馬拉松運動中常使用的一個概念,是速度的一種,是指每公里所需要的時間,相比配速,把心率控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.圖1是一個馬拉松跑者的心率y(單位:次/分鐘)和配速x(單位:分鐘/公里)的散點圖,圖2是一次馬拉松比賽(全程約42公里)前3000名跑者成績(單位:分鐘)的頻率分布直方圖.9/13171165ISO109100(1)由散點圖看出,可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系,求y與X的線性回歸方程;2)該跑者如果參加本次比賽,將心率控制在160左右跑
7、完全程,估計他跑完全程花費的時間,并估計他能獲得的名次.工(x-x)(y-y)ii參考公式:線性回歸方程y=bx+a中,b=十,a=y-bx乙(x-x)2i參考數(shù)據(jù):y=135【答案】(1)令=-25兀+285;(2)210分鐘,192名.【解析】(1)由散點圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得X=4.5+5+6+7+7.5=6100+109+130+165+171y=135工(x-X)(y-y)八iib=-r=1工(x-X)2ii=1-1.5x36+(-1)x30+0x(-5)+1x(-26)+1.5x(-35)(-1.5)2+(-1)2+02+12+1.52=-25,a=y-bx=135-(-25)x6=
8、285所以y與X的線性回歸方程為勺=-25X+285(2)將y=160代入回歸方程得x=5所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時間為42x5=210分鐘.從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績好于210分鐘的累積頻率為0.0008x50+0.0024x(210200)=0.064,有6.4%的跑者成績超過該跑者,則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064x3000=192名.2. (2020云南紅河哈尼族彝族自治州)隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)購物交易額也快速提升,特別是每年的“雙十一”,天貓的交易額數(shù)目驚人.2020年天貓公司的工作人員為了迎接天貓“雙十一”年度購物狂歡節(jié),加班加點做了大量準(zhǔn)備活動
9、,截止2020年11月11日24時,2020年的天貓“雙十一”交易額定格在3700多億元,天貓總公司所有員工對于新的戰(zhàn)績皆大歡喜,同時又對2021年充滿了憧憬,因此公司工作人員反思從2014年至2020年每年“雙十一”總交易額(取近似值),進(jìn)行分析統(tǒng)計如下表:年份2014201520162017201820192020年份代碼(:)1234567總交易額y(單位:百億)5.79.112.116.821.326.837(1)通過分析,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;=26.7,(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1),預(yù)測2021
10、年天貓“雙十一”的總交易額.7參考數(shù)據(jù):工(t-t)(y-y)=138.5,iii=1工(t-1)C-亍)ii參考公式:相關(guān)系數(shù)r=工(t-1)C_y)工回歸方程y=bt+a中,斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:b=i1工(t)ii=1tynxyiiI,工12nx2ii=1【答案】(1)答案見解析;(2)回歸方程為y=4.9tL2,預(yù)測2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.【解析】(1)t=4,工(tt)2=28ii=1£(tt)(yy)=138.5iii=1丈(y-y匕=26.7i=1r=所以r=138.5Q2x2.646x26.7°98因為總交易額y與年份代
11、碼t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98,說明總交易額y與年份代碼t的線性相關(guān)性很強,從而可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系.(2)因為y=18.4,工(t門2=28ii=1工(t-1)(y-y)(i7“138.5/門所以b=4=沁4.9工(t-F)228ii=1八a=yb,b沁18.44.9x4=1.2所以y關(guān)于t的回歸方程為y=4.9t1.2又將2021年對應(yīng)的t=8代入回歸方程得:y=4.9x81.2=38所以預(yù)測2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.3. (2021湖北省武昌實驗中學(xué)高二期末)根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量X(千
12、克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.樸(百千克)51斗屮十十3njiLL024568I(千克)(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(若W0.75,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)量的增加量約為多(2)求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)少?附:相關(guān)系數(shù)公式參考數(shù)據(jù):03q0.55,709q0.95.y(xx)(yy)回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=I入ii=1yxynxyiii=1yx2nx2ii=1入【答案】(1)0.95;答案見解析;(2)y=0.3x+2.5
13、610千克.【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)可得X=2+4+?+&+8=5所以(x-ii=1i=(-3)x(-1)+(-l)x0+0x0+lx0+3x1二613/13=K3匕+(-1)2+02+12+32=2慝:'y'y>=、:(+02+02+02+12=工(x-XXy-亍)ii所以相關(guān)系數(shù)r=、沁0.95E(戶:刃口J2出“2“°i=1Vi=1因為r>0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.工C-x)C-y)6ii6(2)b=:一1為(=20=°-3,a=45x0.3=2.5ii=1所以回歸方程為y=0.3x+2.5當(dāng)x=12時,y=0
14、.3x12+2.5=6.1即當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為610千克考點三非一元線性方程【例3】(2020全國高二課時練習(xí))在一次抽樣調(diào)查中測得5個樣本點,得到下表及散點圖.(1)根據(jù)散點圖判斷J=a+bx與y=c+k-x-1哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程;(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果試建立y與x的回歸方程;(計算結(jié)果保留整數(shù))(3)在(2)的條件下,設(shè)z=y+x且x自4,+8),試求z的最小值.工(x-X)(y亍)工i參考公式:回歸方程ybx+a中,bT工(-)ii1xy一nxyii-i=y-2x2一nx2ii14【答案】(1)yc+
15、k-x-1;(2)y+1;(3)6x【解析】(1)由題中散點圖可以判斷,yc+k-x-1適宜作為y關(guān)于x的回歸方程;t4210.50.25y1612521(2)令tX-1,則yc+kt,原數(shù)據(jù)變?yōu)橛杀砜芍獃與t近似具有線性相關(guān)關(guān)系,計算得t4+2+1+°5+0.251.55-16+12+5+2+1y7.2k-4X16+2212+1X5+°5X2+°25X1一5“55X72空二49.342+22+12+0.52+0.252一5x1.552所以,cy一kt7.2一4x1.551,貝ijy4t+1入所以y關(guān)于x的回歸方程是y-+1x(3)由(2)得zy+x-+x+1,x
16、et4,+a)xz:土+x+1:f4+x+1-(x-x)+:4-421x11丿1x2J212J斤U丿可得z1一任取x1、x2>4,且x1>x2,即x1>x2>4)4(x-x)一x+22xx12(x一x)(xx一4)1212xx12因為x>>4,則x一?>0xx12>16所以,z1>z244所以,函數(shù)Z=+X+1在區(qū)間4,+8)上單調(diào)遞增,則z二+4+1=6xmin4【一隅三反】1. (2020江蘇省如皋中學(xué)高二月考)某種新產(chǎn)品投放市場一段時間后,經(jīng)過調(diào)研獲得了時間x(天數(shù))與銷售單價y(元)的一組數(shù)據(jù),且做了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),并作出了
17、散點圖(如圖).亍1石i-Lj-11Ci-iID另(叫-町-刃E-11_6337.80_890.92.-20.618_4011爐表中w=,w=乙wix10i(1)根據(jù)散點圖判斷y=a+bx,與y=c+d哪一個更適合作價格y關(guān)于時間X的回歸方程類型?(不必X入說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)若該產(chǎn)品的日銷售量g(x)(件)與時間x的函數(shù)關(guān)系為g(x)=二型+120(x&N),求該產(chǎn)品投放x市場第幾天的銷售額最高?最高為多少元?附:對于一組數(shù)據(jù)(u,v),(u,v),(u,v),(u,v),其回歸直線v=a+卩u的斜率和截距的最小二乘法112233nn
18、為(v-v)(u-u)ii為(uu)2ii=1【答案】(l)y=c+-更適合作價格y關(guān)于時間X的回歸方程;(2)y=20(1+-);(3)第10天,最高銷xx售額為2420元;【解析】(1)根據(jù)散點圖知y=c+d更適合作價格y關(guān)于時間x的回歸方程類型;x1(2)令W=;,則y=c+dwx藝(w-w)(y-y)iii=1c=y-dW=37.8-20x0.89=20,即有y=20(1+丄)x3)由題意結(jié)合(2)知:日銷售額為f(x)=y-g(x)=20(1+-)(120-100xx110015f(x)=20(1+_)(120-)=400(6+_-)xxxx211121若t=-,令h(t)=6+t5
19、t2=-5(t-)2+x102011121121t=1時,h(t)=h()=,即x=10天,f(x)=f(10)=400x=2420元10max1020max20所以該產(chǎn)品投放市場第10天的銷售額最高,最高銷售額為2420元.2. (2021江蘇蘇州市)我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家,制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召,匯聚科研力量,加強科技創(chuàng)新,準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額x(單位:億元)對年盈利額y(單位:億元)的影響,研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額x和年盈利額y.的數(shù)據(jù).通過對比分析,建立了兩個函數(shù)模型:iiy=x+px2,y=e+t,其中x,卩,九,t均為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).令u>x2,iiv=InyC=1,2,10),經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):iix藝(x-x)2ii=1蘭(y-y)2ii=1uv262156526805.36蘭(u-uii=1)2蘭(u-u)(y-y)iii=1近(v-Jii=1b昱(x-x)(v-v)iii=1112501302.6121)請從相關(guān)系數(shù)的角度,分析哪一個模型擬合程度更好?(2)(i)根據(jù)
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