8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用(精講)(解析版)

1、8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（精講）3/13思維導(dǎo)圖3求回歸方程方法（1）利用公式求出回歸系數(shù)待定系教法：利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)*一元線性回歸模型及應(yīng)用最小二乘法公式常見考法考法樣本中心解小題）考法三非一元線性方程）一元線性回歸模型及應(yīng)用考法二一元線性方程考點(diǎn)一樣本中心解小題【例1】（2021江西贛州市）某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)x（元）與每天的銷售量y（個(gè)）統(tǒng)計(jì)如下表：x16171819y50m3431據(jù)上表可得回歸直線方程為y=-6.4x+151,則上表中的m的值為（）A38B39C40D41【答案】D【解析】由題意x=16+17+18+194=17.550+m+34+314

2、115+m4115+m嚴(yán)一一所以=一6.4x17.5+151，解得m=41.故選：D.4【一隅三反】1. （2021江西景德鎮(zhèn)市景德鎮(zhèn)一中）隨機(jī)變廖與y的數(shù)據(jù)如表中所列，其中缺少了一個(gè)數(shù)值，已知y關(guān)于x的線性回歸方程為y=09x+3，則缺少的數(shù)值為（）x23456y5679A.6B.6.6C.7.5D.8【答案】A=6.6【解析】設(shè)缺少的數(shù)值為m，由于回歸方程為y=°9x+3過(guò)樣本中心點(diǎn)（x，y）代入y=°.9x4+3=6.6，所以y=故選：A.2.（2021河南信陽(yáng)市）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):x23456y42.5-0.5-2-3得到的回歸方程為y=bx+a，則（）A.a0，b

3、0B.a0，b<0C.a<0，b0D.a<0，b<0【答案】B【解析】由圖表中的數(shù)據(jù)可得，變量y隨著x的增大而減小，則b<0，-2+3+4+5+64+2.5-0.5-2-3x=4，y=0.255又回歸方程y=bx+a經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,0.2），可得a0，故選：B3.（2021安徽六安市六安一中）蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫y（單位：C）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測(cè)人員根據(jù)下表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了y關(guān)于x的線性回歸方程y=0.25x+k.x（次數(shù)/分鐘）2030405060y(C)2527.52932.536則

4、當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫62次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（）D35.5CoA33CB34CC35C°oo【答案】D【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=20+30+40+50+605二4025+27.5+29+32.5+365二30由于回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)（訂），可得30=0.25x40+k，解得k=20.所以，回歸直線方程為y=0.25x+20.在回歸直線方程中，令x=62，可得y=0.25x62+20=35.5.故選：D.考點(diǎn)二一元線性方程【例2】（2021興義市第二高級(jí)中學(xué)）在2010年春節(jié)期間，某市物價(jià)部門，對(duì)本市五個(gè)商場(chǎng)銷售的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，五個(gè)商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y

5、件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格X99.51010.511銷售量y1110865通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系，求（1）銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x的回歸直線方程;2）若使銷售量為12，則價(jià)格應(yīng)定為多少.工xy-nxyii附：在回歸直線y=bx+a中b=芍，a=ybx乙x2nx2ii=1答案】(1)y=3.2x+40(2)8.75【解析】（1）由題意知x=10，y=8.b=99+95+80+63+55-5x10x8=-3.2，a=8-(-3.2)x10=40,81+90.25+100+110.25+121-5xlOO'丿二線性回歸方程是y=-3.2x+40(2)令y=-

6、3.2x+40二12，可得x=8.75-預(yù)測(cè)銷售量為12件時(shí)的售價(jià)是8.75元.一隅三反】1.（2020河南開封市）配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一個(gè)馬拉松跑者的心率y（單位：次/分鐘）和配速x（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.9/13171165ISO109100（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，求y與X的線性回歸方程;2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑

7、完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)他能獲得的名次.工（x-x）（y-y）ii參考公式：線性回歸方程y=bx+a中，b=十，a=y-bx乙（x-x）2i參考數(shù)據(jù)：y=135【答案】（1）令=-25兀+285；（2）210分鐘，192名.【解析】（1）由散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得X=4.5+5+6+7+7.5=6100+109+130+165+171y=135工(x-X)(y-y)八iib=-r=1工(x-X)2ii=1-1.5x36+(-1)x30+0x(-5)+1x(-26)+1.5x(-35)(-1.5)2+(-1)2+02+12+1.52=-25，a=y-bx=135-(-25)x6=

8、285所以y與X的線性回歸方程為勺=-25X+285（2）將y=160代入回歸方程得x=5所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時(shí)間為42x5=210分鐘.從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績(jī)好于210分鐘的累積頻率為0.0008x50+0.0024x（210200）=0.064，有6.4%的跑者成績(jī)超過(guò)該跑者,則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064x3000=192名.2. （2020云南紅河哈尼族彝族自治州）隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物交易額也快速提升，特別是每年的“雙十一”，天貓的交易額數(shù)目驚人.2020年天貓公司的工作人員為了迎接天貓“雙十一”年度購(gòu)物狂歡節(jié)，加班加點(diǎn)做了大量準(zhǔn)備活動(dòng)

9、，截止2020年11月11日24時(shí)，2020年的天貓“雙十一”交易額定格在3700多億元，天貓總公司所有員工對(duì)于新的戰(zhàn)績(jī)皆大歡喜，同時(shí)又對(duì)2021年充滿了憧憬，因此公司工作人員反思從2014年至2020年每年“雙十一”總交易額（取近似值），進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代碼（：）1234567總交易額y（單位：百億）5.79.112.116.821.326.837（1）通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；=26.7，（2）利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）,預(yù)測(cè)2021

10、年天貓“雙十一”的總交易額.7參考數(shù)據(jù)：工(t-t)(y-y)=138.5，iii=1工(t-1)C-亍)ii參考公式：相關(guān)系數(shù)r=工（t-1）C_y）工回歸方程y=bt+a中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=i1工(t)ii=1tynxyiiI,工12nx2ii=1【答案】（1）答案見解析；（2）回歸方程為y=4.9tL2，預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.【解析】(1)t=4,工(tt)2=28ii=1£(tt)(yy)=138.5iii=1丈(y-y匕=26.7i=1r=所以r=138.5Q2x2.646x26.7°98因?yàn)榭偨灰最~y與年份代

11、碼t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98,說(shuō)明總交易額y與年份代碼t的線性相關(guān)性很強(qiáng),從而可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系.(2)因?yàn)閥=18.4,工(t門2=28ii=1工(t-1)(y-y)(i7“138.5/門所以b=4=沁4.9工(t-F)228ii=1八a=yb,b沁18.44.9x4=1.2所以y關(guān)于t的回歸方程為y=4.9t1.2又將2021年對(duì)應(yīng)的t=8代入回歸方程得：y=4.9x81.2=38所以預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.3. （2021湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量X(千

12、克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.樸(百千克)51斗屮十十3njiLL024568I(千克)(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說(shuō)明(若W0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)量的增加量約為多(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)少？附：相關(guān)系數(shù)公式參考數(shù)據(jù)：03q0.55，709q0.95.y(xx)(yy)回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=I入ii=1yxynxyiii=1yx2nx2ii=1入【答案】(1)0.95；答案見解析；(2)y=0.3x+2.5

13、610千克.【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)可得X=2+4+?+&+8=5所以(x-ii=1i=(-3)x(-1)+(-l)x0+0x0+lx0+3x1二613/13=K3匕+(-1)2+02+12+32=2慝：'y'y>=、：(+02+02+02+12=工(x-XXy-亍)ii所以相關(guān)系數(shù)r=、沁0.95E（戶:刃口J2出“2“°i=1Vi=1因?yàn)閞>0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.工C-x)C-y)6ii6(2)b=：一1為(=20=°-3，a=45x0.3=2.5ii=1所以回歸方程為y=0.3x+2.5當(dāng)x=12時(shí)，y=0

14、.3x12+2.5=6.1即當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為610千克考點(diǎn)三非一元線性方程【例3】（2020全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得5個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷J=a+bx與y=c+k-x-1哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立y與x的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）（3）在（2）的條件下，設(shè)z=y+x且x自4,+8），試求z的最小值.工(x-X)(y亍)工i參考公式：回歸方程ybx+a中，bT工（-）ii1xy一nxyii-i=y-2x2一nx2ii14【答案】(1)yc+

15、k-x-1；(2)y+1；(3)6x【解析】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，yc+k-x-1適宜作為y關(guān)于x的回歸方程;t4210.50.25y1612521（2）令tX-1，則yc+kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)橛杀砜芍獃與t近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得t4+2+1+°5+0.251.55-16+12+5+2+1y7.2k-4X16+2212+1X5+°5X2+°25X1一5“55X72空二49.342+22+12+0.52+0.252一5x1.552所以，cy一kt7.2一4x1.551，貝ijy4t+1入所以y關(guān)于x的回歸方程是y-+1x(3)由(2)得zy+x-+x+1，x

16、et4,+a)xz:土+x+1:f4+x+1-(x-x)+:4-421x11丿1x2J212J斤U丿可得z1一任取x1、x2>4，且x1>x2，即x1>x2>4)4(x-x)一x+22xx12(x一x)(xx一4)1212xx12因?yàn)閤>>4，則x一?>0xx12>16所以，z1>z244所以，函數(shù)Z=+X+1在區(qū)間4,+8）上單調(diào)遞增，則z二+4+1=6xmin4【一隅三反】1. （2020江蘇省如皋中學(xué)高二月考）某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)一段時(shí)間后，經(jīng)過(guò)調(diào)研獲得了時(shí)間x（天數(shù)）與銷售單價(jià)y（元）的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），并作出了

17、散點(diǎn)圖（如圖）.亍1石i-Lj-11Ci-iID另（叫-町-刃E-11_6337.80_890.92.-20.618_4011爐表中w=,w=乙wix10i（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx，與y=c+d哪一個(gè)更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間X的回歸方程類型？（不必X入說(shuō)明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（3）若該產(chǎn)品的日銷售量g（x）（件）與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系為g（x）=二型+120（x&N），求該產(chǎn)品投放x市場(chǎng)第幾天的銷售額最高？最高為多少元？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u，v），（u，v），（u，v），（u，v），其回歸直線v=a+卩u的斜率和截距的最小二乘法112233nn

18、為(v-v)(u-u)ii為(uu)2ii=1【答案】（l）y=c+-更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間X的回歸方程；（2）y=20（1+-）；（3）第10天，最高銷xx售額為2420元；【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知y=c+d更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型;x1(2)令W=；，則y=c+dwx藝(w-w)(y-y)iii=1c=y-dW=37.8-20x0.89=20，即有y=20(1+丄)x3）由題意結(jié)合（2）知：日銷售額為f(x)=y-g(x)=20(1+-)(120-100xx110015f(x)=20(1+_)(120-)=400(6+_-)xxxx211121若t=-，令h(t)=6+t5

19、t2=-5(t-)2+x102011121121t=1時(shí)，h(t)=h()=，即x=10天,f(x)=f(10)=400x=2420元10max1020max20所以該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第10天的銷售額最高，最高銷售額為2420元.2. （2021江蘇蘇州市）我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對(duì)年盈利額y（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額x和年盈利額y.的數(shù)據(jù).通過(guò)對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：iiy=x+px2，y=e+t，其中x，卩，九，t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).令u>x2，iiv=InyC=1,2,10），經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù):iix藝(x-x)2ii=1蘭(y-y)2ii=1uv262156526805.36蘭(u-uii=1)2蘭(u-u)(y-y)iii=1近(v-Jii=1b昱(x-x)(v-v)iii=1112501302.6121）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好?（2）（i）根據(jù)