信息編碼習(xí)題答案或提示

1、第二章部分習(xí)題2.1 試問四進(jìn)制、八進(jìn)制脈沖所含信息量是二進(jìn)制脈沖的多少倍?答：2倍，3倍。2.2 一副充分洗亂了的牌(含52張牌)，試問(1) 任一特定排列所給出的信息量是多少？(2) 若從中抽取13張牌，所給出的點(diǎn)數(shù)都不相同, 能得到多少信息量？解：(1) (2) 任取13張，各點(diǎn)數(shù)不同的概率為，信息量：9.4793(比特/符號) 2.3 居住某地區(qū)的女孩子有是大學(xué)生，在女大學(xué)生中有是身高160厘米上的，而女孩子中身高160厘米以上的占總數(shù)的一半。假如我們得知“身高160厘米以上的某女孩是大學(xué)生”的消息，問獲得多少信息量？答案：1.415比特/符號。提示：設(shè)事件A表示女大學(xué)生，事件C表示1

2、60CM以上的女孩，則問題就是求p(A|C)， 2.4 設(shè)離散無憶信源，其發(fā)出的消息為，求(1) 此消息的自信息量是多少？(2) 在此消息中平均每個符號攜帶的信息量是多少？解：(1)87.81比特，(2)1.951比特。提示：先計算此消息出現(xiàn)的概率，再用自信息量除以此消息包含的符號總數(shù)(共45個)。2.5 從大量統(tǒng)計資料知道，男性中紅綠色盲的發(fā)病率為 ，女性發(fā)病率為，如果你問一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，問這兩個回答中各含有多少信息量?平均每個回答中含有多少信息量？如果問一位女士，則答案中含有的平均自信息量是多少？(1) 男性回答是的信息量為，回答否的信息量是

3、0.1047比特，平均每個回答含的信息量(即熵)是0.36596比特。(2) 0.045425比特2.6 設(shè)信源，求這信源的熵，并解釋為什么不滿足信源熵的極值性。提示：信源的概率之和大于1。2.7 同時擲兩個正常的骰子，也就是各面呈現(xiàn)的概率都為，求：(1) “3和5同時出現(xiàn)”這事件的自信息量；(2) “兩個1同時出現(xiàn)”這事件的自信息量；(3) 兩個點(diǎn)數(shù)的各種組合(無序?qū)?的熵或平均信息量；(4) 兩個點(diǎn)數(shù)之和(即構(gòu)成的子集)的熵；(5) 兩個點(diǎn)數(shù)中至少有一個是1的自信息量。解：(1) 4.17(比特/符號)，提示：3和5同時出現(xiàn)的概率為=1/18(2) 5.17(比特/符號)，提示：兩個1同時

4、出現(xiàn)的概率1/36(3) “兩個點(diǎn)數(shù)相同”的概率:1/36,共有6種情況;“兩個點(diǎn)數(shù)不同”的概率:1/18,共有15中情況.故平均信息量為:4.337比特/符號(4) 3.274(比特/符號)。提示：信源模型 (5) 1.711(比特/符號)。提示：至少有一個1出現(xiàn)的概率為2.8 證明提示：見教材式()和()2.9 證明，并說明等式成立的條件。提示：見教材第38頁2.10 對某城市進(jìn)行交通忙閑的調(diào)查，并把天氣分成晴雨兩種狀態(tài)，氣溫分成冷暖兩個狀態(tài)，調(diào)查結(jié)果得聯(lián)合出現(xiàn)的相對頻度如下：若把這些頻度看作概率測度，求： (1) 忙閑的無條件熵；(2) 天氣狀態(tài)和氣溫狀態(tài)已知時忙閑的條件熵；(3) 從天

5、氣狀態(tài)和氣溫狀態(tài)獲得的關(guān)于忙閑的信息。解：設(shè)X、Y、Z分別表示忙 閑、晴 雨和冷 暖，(1) 先求忙閑的概率分布，無條件熵0.964(比特/符號)(2) ，0.859(比特/符號)(3) I(X;YZ)=0.105比特/符號2.11 有兩個二元隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率為Y X 0 1011/8 3/83/8 1/8并定義另一隨機(jī)變量(一般乘積)。試計算：(1) ；(2) 和；(3) 。解：提示：的聯(lián)合概率分布 XZ的聯(lián)合概率分布 YZ的聯(lián)合概率分布Z的概率分布 (1) 1比特/符號，1比特/符號，0.543比特/符號，1.406比特/符號，1.406比特/符號，1.811比特/符號(2) 0.

6、811比特/符號，0.811比特/符號，0.863比特/符號，0.406比特/符號，0.863比特/符號，0.406比特/符號，0.405比特/符號(3) 0.189比特/符號，0.137比特/符號，0.137比特/符號，0.458比特/符號，0.406比特/符號，0.406比特/符號2.12 略2.13 設(shè)有一個信源，它產(chǎn)生序列的信息。它在任意時間而且不論以前發(fā)生過什么符號，均按的概率發(fā)出符號。(1) 試問這個信源是否是平穩(wěn)的？(2) 試計算；(3) 試計算并寫出信源中可能有的所有符號。 解：(1) 是(2) 信源熵0.971比特/信源符號，比特/信源符號，由題設(shè)知道這個信源是無記憶信源，因

7、此條件熵和極限熵都等于信源熵。(3)比特/信源符號，信源中可能的符號共16個。2.14 設(shè)是平穩(wěn)離散有記憶信源，試證明：。提示：見教材第44頁2.15 略2.16 一階馬爾可夫信源的狀態(tài)圖如題2.16圖所示。信源的符號集為。(1) 求平穩(wěn)后信源的概率分布；(2) 求信源的熵。題2.16圖解：(1)由圖得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，狀態(tài)極限概率 (2)2.17 黑白氣象傳真圖的消息只有黑色和白色兩種，即信源。設(shè)黑色出現(xiàn)的概率為p(黑)=0.3，白色的出現(xiàn)概率p(白)=0.7。(1) 假設(shè)圖上黑白消息出現(xiàn)前后沒有關(guān)聯(lián)，求熵；(2) 假設(shè)消息前后有關(guān)聯(lián)，其依賴關(guān)系為p(白/白)=0.9，p(黑/白)=0.1，

8、p(白/黑)=0.2，p(黑/黑)=0.8，求此一階馬爾可夫信源的熵；(3) 分別求上述兩種信源的剩余度，比較的大小，并說明其物理意義。解：(1) 0.881比特/信源符號; (2) =0.5533比特/符號; (3) 11.9%，44.67%2.18 每幀電視圖像可以認(rèn)為是由個像素組成的，所有像素均是獨(dú)立變化，且每像素又取128個不同的亮度電平，并設(shè)亮度電平是等概率出現(xiàn)，問每幀圖像含有多少信息量？若有一個廣播員，在約10000個漢字中選1000個漢字來口述這電視圖像，試問若要恰當(dāng)?shù)孛枋龃藞D像，廣播員在口述中至少需要多少漢字？解：(1)每幀圖象包含的信息量比特 (2)每1000個漢字提供的信息

9、量(3)需要個漢字。2.19 略2.20 連續(xù)變量的聯(lián)合概率密度為：，求。(提示：) 解： 令 ， 則 同理，由函數(shù)對稱性 利用分部積分法、三角函數(shù)性質(zhì)、習(xí)題提示并注意自然對數(shù)與以2 為底對數(shù)的換算關(guān)系可得： (比特/符號) (比特/符號) (比特/符號)2.21 略2.22 略第三章習(xí)題3.1 設(shè)信源 通過一干擾信道，接收符號為，信道傳遞矩陣為，求(1) 信源中事件分別含有的自信息量。(2) 收到消息后，獲得的關(guān)于的信息量。(3) 信源和信宿的信息熵。(4) 信道疑義度和噪聲熵。(5) 接收到信息后獲得的平均互信息量。解：(1) (比特/符號)，比特/符號，(2) ，(比特/符號), (比特

10、/符號), (比特/符號), (比特/符號)(3) 0.971(比特/符號)，0.971(比特/符號)，(4)(比特/符號)，(5) 0.2564比特/符號3.2 設(shè)二元對稱信道的傳遞矩陣為(1) 若；(2) 求該信道的信道容量及其達(dá)到信道容量時的輸入概率分布。解：(1) 0.8113比特/符號，0.7498比特/符號，0.9183比特/符號，0.0615比特/符號，(2) 0.0818比特/符號，p(0)=p(1)=1/23.3 設(shè)有一批電阻，按阻值分70%是，30%是；按瓦分64%是1/8W，其余是1/4W?，F(xiàn)已知阻值的電阻中80%是1/8W。問通過測量阻值可以得到的關(guān)于瓦數(shù)的平均信息量是

11、多少？解：設(shè)隨機(jī)變量X表示電阻的瓦數(shù)，Y表示電阻的阻值，則其概率分布為，已知，由概率的歸一性：由，得 再由, 得: .代入條件熵計算公式得: (比特/符號) 3.4 參見教材第二章相關(guān)內(nèi)容。3.5 參見教材第二章相關(guān)內(nèi)容。3.6 有一個二元對稱信道，其信道矩陣為。設(shè)該信源以1500的速度傳輸輸入符號?，F(xiàn)有一消息序列共有14000個二元符號，并設(shè)，問從信息傳輸?shù)慕嵌葋砜紤]，10秒鐘內(nèi)能否將這消息序列無失真地傳遞完？解：信道容量C=0.8586比特/信道符號，則每秒鐘可傳送的信息量為15000.859=1288.5比特，10秒鐘最大可傳送的信息量為12885比特，而待傳送的信息量為14000比特，

12、因此，10秒鐘內(nèi)不能無失真的傳送完畢。3.8 已知一個高斯信道，輸入信噪比(比率)為3。頻帶為3kHz，求最大可能傳送的信息率。若信噪比提高到15，理論上傳送同樣的信息率所需的頻帶為多少？提示：由式()可得。(1) 最大可能傳送的信息率是比特/秒 (2) 1.5kHZ3.9 略3.10 略3.11 已知離散信源，某信道的信道矩陣為試求： (1) “輸入，輸出”的概率； (2) “輸出”的概率； (3) “收到的條件下推測輸入”的概率。解：由信道矩陣的概念和概率論可得(1) ；(2) =0.19；(3) 3.12 略3.13 試證明：當(dāng)信道每輸入一個值，相應(yīng)有幾個值輸出，且不同的值所對應(yīng)的值不相

13、互重合時，有。證明：因?yàn)?，并且由已知可得，所以?.14 試求以下各信道矩陣代表的信道的容量：(1) (2)(3)解：2比特/信道符號，1.585比特/信道符號，1.585比特/信道符號3.15 此題很簡單，略。3.16 參見教材相關(guān)問題的證明過程。3.17 見教材證明。3.18 設(shè)加性高斯白噪聲信道中，信道帶寬3kHz，又設(shè)(信號功率+噪聲功率)/ 噪聲功率=10dB。試計算該信道的最大信息傳輸速率。提示：的dB 數(shù):。解: 由題意, ,故=9.96kbit/s。3.19 略3.20 略第四章習(xí)題4.1 一個四元對稱信源，接收符號，其失真矩陣為求函數(shù)，并畫出其曲線(取4至5個點(diǎn))。解：，。4

14、.2 若某無記憶信源，接收符號，其失真矩陣為求信源的最大失真度和最小平均失真度，并求選擇何種信道可達(dá)到該的失真度。解：4.3 某二元信源 其失真矩陣為求這信源的函數(shù)。提示：見公式()。4.4 已知信源，信宿。設(shè)信源輸入符號為等概率分布，而且失真函數(shù)為，求信源的率失真函數(shù)。解：。提示：注意參量S0, 求4.5 略，4.6 略4.7 參見教材p110.4.8 略4.9 設(shè)某地區(qū)的“晴天”概率，“雨天”概率，把“晴天”預(yù)報為“雨天”，把“雨天”預(yù)報為“晴天”造成的損失均為元。又設(shè)該地區(qū)的天氣預(yù)報系統(tǒng)把“晴天”預(yù)報為“晴天”，“雨天”預(yù)報為“雨天”的概率均為0.9；把“晴天”預(yù)報為“雨天”，把“雨天”

15、預(yù)報為“晴天”的概率均為0.1。試計算這種預(yù)報系統(tǒng)的信息價值率(元/比特)。解：，預(yù)報結(jié)果：，提示：天氣信源：，預(yù)報信道矩陣：，失真矩陣：4.10 設(shè)離散無記憶信源 其失真度為漢明失真度。(1) 求，并寫出相應(yīng)試驗(yàn)信道的信道矩陣；(2) 求，并寫出相應(yīng)試驗(yàn)信道的信道矩陣；(3) 若允許平均失真度，試問信源的每一個信源符號平均最少由幾個二進(jìn)制碼符號表示？解：(1)(2)(3)由教材例題可知，因此每個信源符號最少要用0.331個二進(jìn)制碼表示。4.11 見教材例題。第五章習(xí)題5.1 設(shè)有信源(1) 求信源熵；(2) 編二進(jìn)制香農(nóng)碼；(3) 計算其平均碼長及編碼效率。解：(1) 2.609比特/信源符

16、號(2) 碼字：(3) 平均碼長3.14比特/符號，編碼效率83.09%5.2 對題5.1的信源編二進(jìn)制費(fèi)諾碼，計算其編碼效率。解：(1) 碼字：，(2) 平均碼長2.74比特/符號，編碼效率95.22%5.3 對題5.1的信源分別編二進(jìn)制和三進(jìn)制赫夫曼碼，計算各自的平均碼長及編碼效率。解：二進(jìn)制碼碼字：，平均碼長2.72比特/符號，編碼效率95.92%三進(jìn)制碼碼字：，平均碼長1.8比特/符號，編碼效率91.45% 5.4 設(shè)信源(1) 計算信源熵；(2) 編二進(jìn)制香農(nóng)碼和二進(jìn)制費(fèi)諾碼；(3) 計算二進(jìn)制香農(nóng)碼和費(fèi)諾碼的平均碼長和編碼效率；(4) 編三進(jìn)制費(fèi)諾碼；(5) 計算三進(jìn)制費(fèi)諾碼的平均

17、碼長和編碼效率。解：(1) (比特/符號) (2) 二元香農(nóng)碼：信源符號概率累加概率累加概率小數(shù)表示碼字1/20110.001/41/2220.10101/83/4330.1101101/167/8440.111011101/3215/16550.11110111101/6431/32660.1111101111101/12863/64770.111111011111101/128127/128770.11111111111111 (3) (比特/符號)，編碼效率：二元費(fèi)諾碼碼字與香農(nóng)碼相同，顧二者平均碼長和編碼效率相同。 (4) 三元費(fèi)諾碼：信源符號概率碼字1/2001/4111/82020

18、1/161211/32202201/6412211/1282022201/12812221 (5) ，(比特/符號)，編碼效率： 5.5 略5.6 有二元平穩(wěn)馬氏鏈，已知，求它的符號熵。用三個符號合成一個來編二進(jìn)制哈夫曼碼，求新符號的平均碼字長度和編碼效率。（略）5.7 對題5.6的信源進(jìn)行游程編碼。若“0”游程長度的截止值為16，“1”游程長度的截止值為8，求編碼效率。（略） 5.8 選擇幀長=63(1) 對碼；(2) 對編碼，再譯碼； (3) 對000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000編碼；(4) 對碼；

19、(5) 對上述結(jié)果進(jìn)行討論。解：(1) 值：2；的長度：，的編碼：000010, ；的長度：的編碼：01000010010碼： (2) (a)編碼：值：15；的長度：，的編碼：001111 1234567891011121314151611131424273234374647485463 的長度： 的編碼：010,1011,0111, 1110,1011,1111,1110,0000,0000,0000,0000,0000 L-D碼：0,0111,1010,1011,0111, 1110,1011,1111,1110,0000,0000,0000,0000,0000 (b) 譯碼：Q碼0011

20、11，Q=15 ， 顯然，故， ，所以QK1562631453541347190,039,465,350192,928,249,26948124649,362,616,90552,251,400,85147114510,451,999,25013,340,783,196461036301,403,340348,330,1363793347,216,48452,451,256348318,649,38410,518,30032726760,659888,03027623102,859134,596245131,9122,00214412625715133101301651125101561000

21、11譯碼： (3) 的編碼：000000；的編碼：無。L-D碼：000000 (4) 略 (5) L-D編碼適合于冗余位較多或較少的情況。N一定,Q的長度確定。T的長度取決于，當(dāng)Q=1/2N時，最大，T的位數(shù)最長。5.9 將幅度為3.25、頻率為800的正弦信號輸入采樣頻率為8采樣保持器后通過一個如題圖5.1所示量化數(shù)為8的中升均勻量化器。試畫出均勻量化器的輸出波形。題圖5.1解：采樣頻率是正弦信號頻率的10倍，每個正弦周期內(nèi)有10個采樣點(diǎn)，采樣值及其量化值如下表所示：012345678901.913.093.091.910-1.91-3.09-3.09-1.910.51.53.53.51.5

22、-0.5-1.5-3.5-3.5-1.5均勻量化器輸出如下圖示：5.10 已知某采樣時刻的信號值的概率密度函數(shù)如題圖5.2所示，將通過一個量化數(shù)為4的中升均勻量化器得到輸出。試求：(1) 輸出的平均功率；(2) 量化噪聲的平均功率；(3) 量化信噪比。題圖5.2解：依題意，均勻量化器的4個量化區(qū)間是、，4個量化電平是、。由圖示概率密度函數(shù)可知，采樣值落入4個區(qū)間的概率是、因此(1) 輸出的平均功率(2) 量化噪聲的平均功率在第一個積分中令，在第二個積分中令，得(3) 量化信噪比換算成分貝值5.11 在CD播放機(jī)中，假設(shè)音樂是均勻分布，采樣頻率為44.1，采用16比特的中升均勻量化器進(jìn)行量化。試

23、確定50分鐘音樂所需要的比特數(shù)，并求量化信噪比。解：(1) (2) 量化級數(shù)，對于均勻量化器，當(dāng)輸入為均勻分布時，其量化信噪比換算成分貝值5.12 采用13折線A律非均勻量化編碼，設(shè)最小量化間隔為，已知某采樣時刻的信號值。(1) 試求該非均勻量化編碼，并求其量化噪聲；(2) 試求對應(yīng)于該非均勻量化編碼的12位均勻量化編碼。解：(1) 由于，極性碼；取第1段與第8段的中位第5段進(jìn)行比較，由于，所以；取第5段與第8段的中位第7段進(jìn)行比較，由于，所以；取第7段與第8段的中位第8段進(jìn)行比較，由于，所以，段落碼；第7段的起始量化值為，量化間隔為；與段內(nèi)碼最高位權(quán)值比較，由于，所以；與段內(nèi)碼次高位權(quán)值比較

24、，由于，所以；與段內(nèi)碼次高位和第三位權(quán)值之和比較，由于，所以；與段內(nèi)碼次高位和最低位權(quán)值之和比較，由于，所以，段內(nèi)碼；因此，非均勻量化編碼；量化噪聲；(2) 12位均勻量化編碼。5.13 將正弦信號輸入采樣頻率為8采樣保持器后通過A律13折線非均勻量化編碼器，設(shè)該編碼器的輸入范圍是-1，1。試求在一個周期內(nèi)信號值的非均勻量化編碼。解：采樣頻率是正弦信號頻率的10倍，每個正弦周期內(nèi)有10個采樣點(diǎn)，采樣值及其非均勻量化編碼如下表所示：絕對值的量化單位極性碼段落碼段內(nèi)碼非均勻量化編碼000100000001000000010.58782048111100101111001020.9511389611

25、1111101111111030.95113896111111101111111040.5878240811110010111100105-0000000000000000006-0.5878204801110010011100107-0.9511389601111110011111108-0.9511389601111110011111109-0.5878240801110010011100105.14 將正弦信號進(jìn)行增量調(diào)制，量化增量和采樣頻率的選擇既要保證不過載，又要保證不致因振幅太小而無法工作。試證明。證：為保證不過載，即為保證振幅足以分辨，故，即5.15 將正弦信號輸入采樣頻率為4采

26、樣保持器后通過增量調(diào)制器，設(shè)該調(diào)制器的初始量化，量化增量。試求在半個周期內(nèi)信號值的增量調(diào)制編碼和量化值。解：采樣頻率是正弦信號頻率的20倍，半個周期內(nèi)有10個采樣點(diǎn)，采樣值、增量調(diào)制編碼及量化值如下表所示：預(yù)測值量化增量調(diào)制編碼量化值000-0.1250-0.12510.0773-0.1250.1251020.146900.12510.12530.20230.1250.12510.2540.23780.25-0.12500.12550.250.1250.12510.2560.23780.25-0.12500.12570.20230.1250.12510.2580.14690.25-0.1250

27、0.12590.07730.125-0.125005.16 將正弦信號輸入采樣頻率為4采樣保持器后通過差分脈沖編碼調(diào)制器，設(shè)該調(diào)制器的初始值，采用碼長為4的均勻量化編碼，量化間隔。試求在半個周期內(nèi)信號值的差分脈沖編碼和量化值。解：采樣頻率是正弦信號頻率的20倍，半個周期內(nèi)有10個采樣點(diǎn)，采樣值、差分調(diào)制編碼及量化值如下表所示：預(yù)測值量化差分調(diào)制編碼量化值00001000010.077300.062510100.062520.14690.06250.093810110.156330.20230.15630.031310010.187640.23780.18760.062510100.250150

28、.250.2501-000000.250160.23780.2501-000000.250170.20230.2501-0.062500100.187680.14690.1876-0.031300010.156390.07730.1563-0.093800110.06255.17 的子帶編碼如題圖5.3所示。試證明要求的低通濾波器和高通濾波器滿足：題圖5.3證：設(shè)、如圖：由抽取，得由內(nèi)插，得令 故第六章習(xí)題6.1 奇校驗(yàn)碼碼字是,其中奇校驗(yàn)位滿足方程證明奇校驗(yàn)碼的檢錯能力與偶奇校驗(yàn)碼的檢錯能力相同，但奇校驗(yàn)碼不是線性分組碼。證明提示：奇數(shù)個差錯的發(fā)生總導(dǎo)致校驗(yàn)方程不滿足。全0向量不是奇校驗(yàn)碼碼

29、字。6.2 一個線性分組碼的一致校驗(yàn)矩陣為(1)求使該碼的最小碼距。(2)求該碼的系統(tǒng)碼生成矩陣及其所有4個碼字。解題提示：(1)對H作行初等變換得要使最小碼距等于3，有中任意兩項(xiàng)為1，其余為零。當(dāng)要使最小碼距大于3，有中三項(xiàng)或四項(xiàng)均為1，其余為零。有上述關(guān)系可以求得一組或多組關(guān)于的解。(2)對作行初等變換得6.3 一個糾錯碼消息與碼字的對應(yīng)關(guān)系如下： (00)(00000)，(01)(00111)，(10)(11110)，(11)(11001)(1)證明該碼是線性分組碼(2)求該碼的碼長，編碼效率和最小碼距。(3)求該碼的生成矩陣和一致校驗(yàn)矩陣。(4)構(gòu)造該碼BSC上的標(biāo)準(zhǔn)陣列。(5)若在轉(zhuǎn)

30、移概率的BSC上，消息等概發(fā)送，求用標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼后的碼字差錯概率和消息比特差錯概率。(6)若在轉(zhuǎn)移概率的BSC上消息0發(fā)送概率為，消息1發(fā)送概率為，求用標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼后的碼字差錯概率和消息比特差錯概率。(7)若傳送消息0出錯的概率為，傳送消息1出錯的概率為，消息等概發(fā)送，求用標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼后的碼字差錯概率和消息比特差錯概率。解題提示：(1)任意兩個碼字的和是另一個碼字且全零向量為碼字。(2)碼長為向量長，即。碼字?jǐn)?shù)為4，故。最小非零碼字的重量為。(3)因?yàn)榇a字?jǐn)?shù)為4，任意兩非零碼字構(gòu)成生成矩陣的行向量。按G與H正交的條件，解得H的一種可能情況等于。(4)標(biāo)準(zhǔn)陣列見題表(3.1)。題表(3.1) 標(biāo)

31、準(zhǔn)陣列0000000111111101100100000000000011111110110010000100001001101111111000000100001000101111001101100100001000001111010111010100001000011111011010001100001000010111011100100110010100101010101100010111010010100100110101001101(5)按題解(4)的標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼，記是標(biāo)準(zhǔn)陣列中碼字c對應(yīng)的列，是包括無錯圖案和全部可糾正差錯圖案的集合，那么碼字差錯概率為 記消息比特差錯概率為，消息向

32、量差錯概率為，注意到該碼是非系統(tǒng)碼以及消息向量長為2，則應(yīng)有(6)碼字差錯概率計算中，消息比特差錯概率：(7)碼字差錯概率計算中消息比特差錯概率：碼字差錯概率和消息比特差錯概率相等。6.4 證明最大長度碼(simplex碼)可以由1階Reed-Muller碼縮短(shortening)構(gòu)成。證明提示：證明一階RM縮短碼是極長碼等價于證明一階RM縮短碼是漢明碼的對偶碼。漢明碼的校驗(yàn)矩陣是其對偶碼的生成矩陣，可表為H，在漢明碼的對偶碼基礎(chǔ)上構(gòu)造一階RM碼生成矩陣為G， 顯然RM碼的一位縮短碼就是對偶漢明碼的校驗(yàn)矩陣，所以命題得證。6.5 證明線性分組碼的碼字重量或者為偶數(shù)(包括0)或者恰好一半為偶

33、數(shù)(包括0)另一半為奇數(shù)。證明提示：若碼字重量全為奇數(shù)，則碼不含全零碼字，故不是線性碼。若碼字重量全為偶數(shù)，則任意兩偶數(shù)重量的碼字c與相加仍為偶數(shù)重碼字，故所有碼字均可以是偶數(shù)重碼字。若個偶數(shù)重量的碼字集合c和個奇數(shù)重量碼字為集合，則根據(jù)二元線性分組碼的任意碼字重量滿足可得：對固定的奇數(shù)重碼字有，所以。又對任意奇數(shù)重碼字，由而有，所以，由此證明。6.6一個通信系統(tǒng)消息比特速率為，信道為衰落信道，在衰落時間(最大為)內(nèi)可以認(rèn)為完全發(fā)生數(shù)據(jù)比特傳輸差錯。(1)求衰落導(dǎo)致的突發(fā)差錯的突發(fā)比特長度。(2)若采用Hamming碼和交織編碼方法糾正突發(fā)差錯，求Hamming碼的碼長和交織深度。(3)若用分

34、組碼交織來糾正突發(fā)差錯并限定交織深度不大于256，求合適的碼長和最小碼距。(4)若用BCH碼交織來糾正突發(fā)差錯并限定交織深度不大于256，求合適的碼長和BCH碼生成多項(xiàng)式。解題提示：(1)突發(fā)長度為bits。(2)漢明碼可糾正t1個差錯，所以交織深度為。由于沒有延遲限制，所以任何碼長漢明碼均可。(3)由，以及設(shè)計。6.7 若循環(huán)碼以為生成多項(xiàng)式，則(1)證明可以構(gòu)成任意長度的循環(huán)碼；(2)求該碼的一致校驗(yàn)多項(xiàng)式；(3)證明該碼等價為一個偶校驗(yàn)碼。解題提示：(1)由， 總是的因子。(2)一致效驗(yàn)多項(xiàng)式為。(3)對生成矩陣作行初等變換總能獲得偶校驗(yàn)碼的生成矩陣形式。6.8 已知循環(huán)碼生成多項(xiàng)式為，

35、分別做(1)求該碼的最小碼長，相應(yīng)的一致校驗(yàn)多項(xiàng)式和最小碼距；(2)求該碼的生成矩陣，一致校驗(yàn)矩陣，系統(tǒng)碼生成矩陣；(3)畫出該碼的級系統(tǒng)碼編碼電路圖，給出編碼電路的編碼工作過程；(4)若消息為，分別由編碼電路和代數(shù)計算求其相應(yīng)的碼式；(5)畫出該碼的伴隨式計算電路圖，給出伴隨式計算電路的工作過程；(6)若錯誤圖樣為，分別由伴隨式計算電路和代數(shù)計算求其相應(yīng)的伴隨式；(7)若消息長度大于，由(2)小題給出的編碼電路產(chǎn)生的輸出是什么？仍可以用(5)小題給出的伴隨式計算電路判斷是否有傳輸差錯嗎？解題提示：(1)最小碼長為15。最小碼距為3。(3)電路圖題圖(8.1)所示。題圖(8.1)工作時序題表(

36、8.1)所示。題表(8.1)時鐘t門控信號G1/G2輸入m(x)輸出c(x)1/00/1m(x)0(6)代數(shù)計算得。6.9 已知線性分組碼的生成矩陣為，(1)證明該碼為循環(huán)碼；(2)求該碼的生成多項(xiàng)式，一致校驗(yàn)多項(xiàng)式和最小碼距。解題提示：(1)行等價生成矩陣為(2)生成多項(xiàng)式為，校驗(yàn)多項(xiàng)式為，最小碼距為2。6.10 已知Hamming碼生成多項(xiàng)式為，證明用此碼進(jìn)行交織深度為3的交織后為生成多項(xiàng)式為的循環(huán)碼。證明提示：交織后的碼字為以及多項(xiàng)式。6.11一通信系統(tǒng)信道為轉(zhuǎn)移概率的BSC，求下列各碼的重量分布和不可檢差錯概率。(1)Hamming碼。(2)最大長度碼(simplex碼)。(3)擴(kuò)展H

37、amming碼。(4)重復(fù)碼。(5)偶校驗(yàn)碼。解題提示：(1)二元Hamming碼的重量分布多項(xiàng)式為：(2)最大長度碼是等重碼，。(3)擴(kuò)展Hamming碼擴(kuò)展后，(4)因?yàn)橹挥袃蓚€碼字00000000和11111111所以。(5)因?yàn)槭桥夹ｒ?yàn)，可知碼字重量為偶數(shù)6.12 證明循環(huán)碼可以檢測出所有長度不大于的突發(fā)差錯。證明提示：假設(shè)錯誤圖樣, ,次數(shù)等于或小于，則除不盡。又和互素。所以不能被除盡。6.13 Fire(法爾)碼是常用于檢測或糾正突發(fā)差錯的循環(huán)碼，其生成多項(xiàng)式為其中為次數(shù)(次數(shù)與互素)的不可約多項(xiàng)式，即不能分解為次數(shù)更低的多項(xiàng)式的乘積。(1)證明Fire碼碼長，這里表示兩數(shù)的最小公

38、倍數(shù)。(2)證明Fire碼可以檢測出長度的單個突發(fā)差錯。證明提示(參考第12題)。6.14 以太網(wǎng)協(xié)議所用的CRC碼是生成多項(xiàng)式如下的二進(jìn)制碼(1)估計該碼的不可檢差錯概率。(2)如果分組長度限制為1024，如何改造此碼最佳？解題提示：(1)不可檢錯概率。6.15 ATM協(xié)議對幀頭4字節(jié)(32比特)地址和路由信息校驗(yàn)所用的8比特CRC碼生成多項(xiàng)式為在實(shí)際應(yīng)用中是以此碼構(gòu)造一個最小碼距為的碼，討論其構(gòu)造方法。解題提示：利用循環(huán)碼縮短方法。6.16 對如下由子生成元或生成序列確定的(A)(B)(C)(D)4個卷積碼，(A)，(B)，(C)，(D)，分別做(1)求多項(xiàng)式生成矩陣，生成矩陣，漸進(jìn)編碼效

39、率，約束長度，狀態(tài)數(shù)。(2)畫出簡化型的編碼電路圖。(3)畫出開放型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，柵格圖。(4)求自由距離。(5)求消息的卷積碼碼字序列。(6)在柵格圖上畫出消息的編碼路徑。解題提示：(1)(A)，=1/2， (B)，=1/2， (2)簡化型的編碼電路圖見題圖(16-1A)和題圖(16-1B) 題圖(16-1A) 題圖(16-1B)(3)開放型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和柵格圖見題圖(16-2A1)、圖(16-2A2)和題圖(16-2B1)圖(16-2B2)。題圖(16-2A1)題圖(16-2A2)題圖(16-2B1)題圖(16-2B2)(4)自由距離分別為：A-3，B-4，C-8，D-2。(5)考慮補(bǔ)零，

40、A：11 01 00 11 10 01；B：11 10 01 11 01 11 01。6.17 舉例說明(16)題(B)碼是一個惡性碼，即少數(shù)差錯可能導(dǎo)致無窮多差錯。解題提示：考查寄存器狀態(tài)為全1時輸入導(dǎo)致的輸出。6.18 對題圖(18)中的(A)，(B)兩卷積碼分別做碼字碼字消息消息碼字題圖(6.18-A) 題圖(6.18-B)(1)求卷積碼的生成序列，多項(xiàng)式生成矩陣，生成矩陣，漸進(jìn)編碼效率，約束長度，狀態(tài)數(shù)。(2)求自由距離。(3)畫出開放型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，柵格圖。(4)求消息的卷積碼碼字序列。(5)在柵格圖上畫出消息的編碼路徑。(6)若消息的相應(yīng)碼字序列在BSC上傳送，差錯圖案是，給出Vi

41、terbi譯碼的譯碼過程和輸出與。(7)判斷是否是惡性碼。解題提示：(1-A)，。(2-A)自由距離為2。6.19 第三代移動通信(3GPP)建議的碼率，約束長度的卷積碼(八進(jìn)制表示)為(1)寫出此碼的正規(guī)多項(xiàng)式表示式，求狀態(tài)數(shù)。(2)畫出此碼的電路圖。(3)求此碼的標(biāo)準(zhǔn)Viterbi譯碼在一個時隙內(nèi)要做的ACS操作數(shù)。(4)若信道為轉(zhuǎn)移概率的BSC，估計采用此碼和Viterbi譯碼后的誤碼率。(5)若信道采用的調(diào)制方式為雙極PSK，估計信道轉(zhuǎn)移概率為時的編碼增益。解題提示：(1)(2)(3)譯碼深度比特6.20 解釋卷積碼譯碼(如Viterbi譯碼)為什么在譯碼端所用的記憶單元數(shù)越多(大大于發(fā)送端的記憶單元數(shù))，則獲得的譯碼