高中數(shù)學(xué)典型例題解析立體幾何

1、高中數(shù)學(xué)典型例題分析6.1兩條直線之間的位置關(guān)系、知識導(dǎo)學(xué)1. 平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)公理2:如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面2. 空間兩條直線的位置關(guān)系，包括：相交、平行、異面3. 公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行定理4:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并

2、且方向相同，那么這兩個角相等推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等4. 異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離5. 反證法會用反證法證明一些簡單的問題二、疑難知識導(dǎo)析1 .異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)強(qiáng)調(diào)任何一個平面2 異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍3異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交，4.異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度求兩條異面直線的距離關(guān)鍵是找到它們

3、的公垂線.5異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果A.b,a-二A,則a與b異面三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,0是底面ABCD勺中心，MN分別是棱DD|、D1C1的中點(diǎn)，則直線0M（）.A.是AC和MN的公垂線B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN但不垂直于AC.D.與ACMN都不垂直錯解B錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影正解：A.例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn)，且GC二DC=2,求證：直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)錯解：證明：；E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，

4、.EF/BD,EF=2BD，又GC=DC=2GH/BD,GH=3BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,DC=2,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)正解：證明：E、F分別是AB,AD的中點(diǎn),EF/BD,EF=2BD,又GtGH/BD,GH=3BD,-四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,EG二平面ABC,FH平面ACD,.面ABC且面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,.TAC直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且僅有一個平面與a,b都平行.錯解：認(rèn)為正確.錯因：空間想像

5、力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行.正解：假命題.例4如圖，在四邊形ABCD中，已知AB/CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面a相交于點(diǎn)E,G,H,F.求證：E,F,G,H四點(diǎn)必定共線（在同一條直線上）.分析：先確定一個平面，然后證明相關(guān)直線在這個平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線.證明/AB/CD,AB,CD確定一個平面3-又TABAerE,ABU3，幾E匸a,E匸3,即E為平面a與3的一個公共點(diǎn).同理可證F,G,H均為平面a與3的公共點(diǎn).兩個平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線，E,F,GH四點(diǎn)必定共線.證明若干點(diǎn)共線時，先證

6、明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn),點(diǎn)評：在立體幾何的問題中，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論.例5如圖，已知平面a,B,且aA3=l設(shè)梯形ABCD中,AD/BC且A匪a,CD3,求證：AB,CDl共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）.分析：AB,CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M只要證明M在|上,而I是兩個平面a,3的交線，因此，只要證明Ma,且M3即可.證明：/梯形ABCD中,AD/BCABCD是梯形ABCD的兩條腰.AB,CD必定相交于一點(diǎn)，設(shè)ABACD=M.又TABa,CD3,Ma，且M3.-MaA3.又TaA3=1,M1,即AB,CDI共點(diǎn).點(diǎn)評：證明多條直線共點(diǎn)時，與證明多點(diǎn)共線是一樣的.

7、例6已知：a,b,c,d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a,b,c,d共面.分析：弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義：四條直線不共點(diǎn)，包括有三條直線共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內(nèi).證明1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn),不妨設(shè)a,b,c相交于一點(diǎn)A直線d和A確定一個平面a.又設(shè)直線d與a,b,c分別相交于E,F,G則A,E,F,Ga.TA,Ea,A,Ea,-aa.同理可證ba,CJa.a,b,c,d在同一平面a內(nèi).2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時，如圖.T這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a,b確定一個

8、平面a.設(shè)直線c與a,b分別交于點(diǎn)H,K,則H,Ka.又TH,Kc,-ca.同理可證da.a,b,c,d四條直線在同一平面a內(nèi).點(diǎn)評：證明若干條線（或若干個點(diǎn)）共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個平面，然后再證明其余的線（或點(diǎn)）均在這個平面內(nèi).本題最容易忽視三線共點(diǎn)”這一種情況.因此，在分析題意時，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義.例7在立方體ABCD-AiBQD中,(1) 找出平面AC的斜線BD在平面AC內(nèi)的射影;(2) 直線BD和直線AC的位置關(guān)系如何？(3) 直線BD和直線AC所成的角是多少度？解：連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)0DD_平面AC,.BD就是斜線BD1在平面AC上

9、的射影C1(2)BDi和AC是異面直線.過0作BDi的平行線交DDi于點(diǎn)M,連結(jié)MA、MC,則/MOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BDi所成的角不難得到MA=MC,而0為AC的中點(diǎn)，因此M0丄AC,即/MOA=90異面直線BDi與AC所成的角為90例8已知：在直角三角形ABC中，.A為直角，PAL平面ABCBDLPC垂足為D,求證：ADLPC證明：TPA丄平面ABUPALBA又BALACBAL平面PACAD是BD在平面PAC內(nèi)的射影又BDLPCADLPC(三垂線定理的逆定理)FBC1.如圖,P是厶ABC所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PAPBPC后,BCCA的六條棱所在的直線中，異面直線的對數(shù)為()A.2對

10、B.32. 兩個正方形所成角的大小為3. 在棱長為a所成的角是對C.4對D.6對ABCDABEF所在的平面互相垂直，則異面直線AC和BG在包括的正方體ABCD-A1B1C1D中，體對角線DB與面對角線，它們的距離是.:$2i44.長方體ABCD-AiBiGDi中,BC=牙，CD=，DD-5,則AiC和BiDi所成角的大小為5.關(guān)于直角AOB在定平面a內(nèi)的射影有如下判斷：可能是0可能是銳角；可能是直角；可能是鈍角；可能是其中正確判斷的序號是.(注：把你認(rèn)為正確的序號都填上)i806.在空間四邊形ABCDhAB1CDAHL平面BCD求證：BHLCD7.如圖正四面體中，DE是棱PC上不重合的兩點(diǎn)；F

11、、H分別是棱PAPB上的點(diǎn)，且與P點(diǎn)不重合.的角;的角四、典型習(xí)題導(dǎo)練求證：EF和DH是異面直線.6.2直線與平面之間的位置關(guān)系一、知識導(dǎo)學(xué)1. 掌握空間直線與平面的三種位置關(guān)系（直線在平面內(nèi)、相交、平行）2. 直線和平面所成的角，當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時所成的角是0當(dāng)直線與平面垂直時所成的角是90，當(dāng)直線與平面斜交時所成的角是直線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角3. 掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和平面平行）和性質(zhì)定理（如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行）4. 直線與平面垂直的定義是：如果

12、一條直線和一個平面內(nèi)所有直線垂直，那么這條直線和這個平面垂直；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面）和性質(zhì)定理（如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行）.5. 直線與平面的距離（一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離）6. 三垂線定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直）、逆定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直）7. 從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線

13、段中：射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短.二、疑難知識導(dǎo)析1. 斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.2. 在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.3. 在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用，同時還要注意三垂線定理及其逆定理的運(yùn)用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，如果用“無數(shù)”或“兩條”都是錯誤的.4. 直線與平面的距離一般是利用直線上某一點(diǎn)到平面的距離

14、.“如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)到平面的距離（大于0）相等，則經(jīng)過這兩點(diǎn)的直線與這個平面平行.”要注意“同一側(cè)”、“距離相等”.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知平面/平面一：，直線I平面，點(diǎn)P直線l,平面、間的距離為8,則在1內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10,且到I的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（）A.一個圓B.四個點(diǎn)C.兩條直線D.兩個點(diǎn)錯解：A.錯因：學(xué)生對點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系掌握不牢正解：B.例2a和b為異面直線，則過A有且只有一個BC.可能不存在Da與b垂直的平面（）.一個面或無數(shù)個可能有無數(shù)個錯解：A.錯因：過a與b垂直的平面條件不清正解：C.例3由平面：外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A

15、,B,C,0為ABC的外心，求證：0P_.錯解：因?yàn)?為ABC的外心，所以0A=0B=0C又因?yàn)镻A=PB=PCP0公用，所以P0AP0BP0C都全等，所以/P0A=/P0B=/P0C=二，所以O(shè)P_-2錯因：上述解法中.P0A=.P0B=.P0C=RT，是對的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄兀窟@里缺少必要的證明正解：取BC的中點(diǎn)D,連PD0DAI:PB=PC,0B=0C,BC_PD,BC_0D,.BC_面P0D,BC_P0,同理AB_P0,P0_：.例4如圖，在正三棱柱ABC-ABQ中，AB=3,AA=4,M為AA的中點(diǎn),血9，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N,P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CG

16、到M點(diǎn)的最短路線長為求：（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；（2）PC和NC的長；（3）平面NMF和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）錯因：（1）不知道利用側(cè)面BCCBi展開圖求解，不會找.29的線段在哪里;（2）不會找二面角的平面角正解：（1）正三棱柱ABC-ABC的側(cè)面展開圖是一個長為9,寬為4的矩形，其對角線長為ALH&42二、97（2）如圖，將側(cè)面BC旋轉(zhuǎn)120，使其與側(cè)面AC在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P1的位置，連接MP，貝UMP就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CG到點(diǎn)M的最短路線.設(shè)pc=X，則pc=X,在RtMAR中，（3+x）222=29,x=2AiCl竺J1C2

17、NC=4MARA55連接PR（如圖），則PR就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH丄PR于H,又CC丄平面ABC連結(jié)CH由三垂線定理的逆定理得，CH_PPi.NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角1在RtPHC中，；.PCHPCR=60CH=1NC4在Rt.NCH中，tan.NHC=CH5例5P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC/平面BDQ.分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了.證明：如圖所示，連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，四邊形ABCD是平行四邊形.AO=CO，連結(jié)OQ，貝UOQ在平面BDQ內(nèi)，且OQ是

18、APC的中位線，PC/OQ./PC在平面BDQ夕卜，PC/平面BDQ.點(diǎn)評：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行例6在正方體AiBCDABCD中,E、F分別是棱ABBC的中點(diǎn)，O是底面ABCD勺中點(diǎn).求證：EF垂直平面BBO.證明：如圖，連接AGBD貝UO為AC和BD的交點(diǎn)./E、F分別是ABBC的中點(diǎn)， EFABC的中位線，EF/AC./BiB丄平面ABCD,AC平面ABCD AC丄BB,由正方形ABCD知：AC丄BO,又BO與BB是平面BBO上的兩條相交直線,31AC丄平面BBO（線面垂直判定定理）/AC/EF,EF丄平面BBO.例7如圖，在正方體A

19、BCD-ABiCD中，E是BB的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心,求證：OE_平面ACD.分析：本題考查的是線面垂直的判定方法根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE_平面ACD，只要在平面ACD內(nèi)找兩條相交直線與OE垂直.證明：連結(jié)BD、AD、BD，在BBD中,/E,O分別是BB和DB的中點(diǎn)，EO/BiD./BA丄面AADiD,DA為DB在面AADD內(nèi)的射影.又AD_AD,-AD丄DB同理可證BiD_DiC.又ADOCDi=Di,ADQiCU面ACD,BD_平面ACD./BD/OE,OE_平面ACD.點(diǎn)評:要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法.在證明線線垂直時既要注

20、意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用.例8.如圖，正方體ABCD-ABCQ中，點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在BC上,且CM=DN求證:MN/平面AABiB.證明：證法一.如圖，作ME/BC,交BB于E,作NF/AD,交AB于F,連EF貝UEF=平面AABB.MEBCBiM=B；C,NF_BNADBD1MEBNBCBDNFAD,ME=NF又ME/BC/AD/NF,.MEFt為平行四邊形,二MN/EF.MN/平面AABB.證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點(diǎn)P,連BiP,貝UBPU平面AABiB.DNCN.NDCsNBP,麗NP-又CM=DN,

21、BBD;Mi=DN_CNNP-NBMN/BiP.BPU平面AABiB,”MIN/平面AABiB.Cl證法三.如圖，作MP/BB,交BC于點(diǎn)P,連NP.MP/BB,牆BD=BC,DN=CM,BjM=BNAl.CM_DNCP_DNMB?_NB,PB_麗.ElD：ClNP/CD/AB.面MNP/面AABiB.MN/平面AABB.四、典型習(xí)題導(dǎo)練且b/平面i.設(shè)a,b是空間兩條垂直的直線，“a與相交”這三種情況中，能夠出現(xiàn)的情況有（:-.則在“a/平面”、“a:-”).A.0個B.iC.2個D.3個2.一個面截空間四邊形的四邊得到四個交點(diǎn)，如果該空間四邊形僅有一條對角線與這個截面平行，那么此四個交點(diǎn)圍

22、成的四邊形是（)A.梯形B.任意四邊形C.平行四邊形D.菱形3若一直線和一個平面平行，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置關(guān)系是（）.A.平行B.相交C.異面D.平行、相交或異面G、H，若兩條對角線BD、4. 空間四邊形的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別是E、FAC的長分別為2和4，則EG+HF2的值().A.5B.10C.20D.40AC_BD時，四邊形5. 點(diǎn)P、Q、R、S分別是空間四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，則：當(dāng)PQRS是形；當(dāng)AC=BD時，四邊形PQRS是形.6. 已知兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，M、N分別在它們的對角線AC,BF上，且CM=BN,

23、求證：MIN/平面BCE.7. 如圖，已知平行六面體ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形,且CQBn/GCDBCD=60.證明CC丄BD;CD(2)當(dāng)CC的值為多少時，能使AC_平面GBC?請給出證明.6.3平面與平面之間的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)1空間兩個平面的位置關(guān)系（有交點(diǎn)的是相交；沒交點(diǎn)的是平行）2理解并掌握空間兩個平面平行的定義；掌握空間兩個平面平行判定定理（如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行）和性質(zhì)定理（如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行）3理解并掌握空間兩個平面垂直的定義（一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角

24、，就說這兩個平面垂直）；判定定理（如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直）和性質(zhì)定理（如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面）.4.二面角的有關(guān)概念（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角）與運(yùn)算；:面角的平面角（以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常見作法（定義法、三垂線定理及逆定理法、垂面法等）.二、疑難知識導(dǎo)析1兩個平面的位置關(guān)系關(guān)系的判定關(guān)鍵看有沒有公共點(diǎn)2面面平行也是推導(dǎo)線面平行的重要手段；還要注意平行與垂直的相互聯(lián)系，如：如果兩個平面都垂

25、直于同一條直線，則這兩個平面平行；如果兩條直線都垂直于一個平面，則這兩條直線平行等.在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.3. 對于命題“三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線互相平行或者相交于同一點(diǎn).要會證明.4. 在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.5.注意二面角的范圍是0,二，找二面角的平面角時要注意與棱的垂直直線，這往往是二面角的平面角的關(guān)鍵所在.求二面角的大小還有公式COST=善，用的時候要進(jìn)行交代.在面角棱沒有給出的情況下求二面角大小方法一：補(bǔ)充棱；方法二：利用“如果ac0=1,且a丄？，B丄？，則丨

26、丄/”；方法三：公式COS日=善等，求二面角中解三角形時注意垂直（直角）、數(shù)據(jù)在不同的面上轉(zhuǎn)換三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為a,B,則a+B滿足（）A.a+390D.a+390錯解:A.錯因：忽視直線與二面角棱垂直的情況.正解：B.例2.如圖，ABC是簡易遮陽棚，A,B是南北方向上兩個定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）.A.90B.60C.50D.45錯解：A.正解：C例3已知正三棱柱ABC-ABC底面邊長是10,高是12,過底面一邊AB,作與底面ABC成600DEH0FGM0GB.面角D-A

27、CB為直二面角,錯解：50、3.用面積射影公式求解：s底-冷3100-25.,3,S截-COS60-503.錯因：沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形正解：48.3.角的截面面積是例4點(diǎn)0是邊長為4的正方形ABCD的中心，點(diǎn)E,F分別是AD,BC的中點(diǎn).沿對角線AC把正方形ABCD折成直二面角D-ACB.(1)求EOF的大小；(2)求二面角E-OF-A的大小.錯解：不能認(rèn)識折疊后變量與不變量.不會找二面角的平面角.正解：(1)如圖，過點(diǎn)E作EGLAC垂足為G,過點(diǎn)F作FH丄AC,垂足為H,則EG=FH=&,GH二22.EF2二GH2EG2FH2-2EGFHcos90C=（2、2）2（2）2

28、（、2）2-0=12.又在EOF中，OE=OF=2,cosEOFOE2OF2-EF2_2222-（2；3）22OEOF一222EOF=120.(2)過點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長線于點(diǎn)M連EM二面角D-ACB為直二面角，平面DACL平面BAQ交線為AC,又tEGLAC,/EG丄平面BAC/GMLOF,由三垂線定理，得EMLOF.EMG就是二面角E-OF-A的平面角.在RtEGMKEGM=90,EG八、2,GMrOE=1,2tanEMG=EGGM=：;2EMG=arctan2.所以，二面角E-OF-A的大小為arctanj2例5如圖，平面a/平面3平面Y,且B在a、Y之間，若a和3的距離是5,3和

29、丫的距離是3,直線I和a、3、Y分別交于A、B、C,AC=12，貝HAB=,BC=.解：作I丄a,a/3/Y,二I與3、丫也垂直，iI與a、3、丫分別交于Ai、Bi、Ci.因此，A1B1是a與3平面間的距離，B1C1是3與丫平面間的距離，A1C1是a與丫之間的距離.A1B1=5,B1C1=3,A1C1=8,又知AC=12AB_ABi5X12_15ACAiG，AB=8_2AB_AB,BCB1C1BC=153159答：AB=,BC=2例6如圖，線段PQ分別交兩個平行平面a、3于A、B兩點(diǎn)，線段PD分別交a、3于C、D兩點(diǎn)，線段QF分別交a、3于F、E兩點(diǎn)，若PA=9,AB=12,BQ=12,ACF

30、的面積為72,求厶BDE的面積.解：平面QAFAa=AF，平面QAFA3=BE又Ta/3,.AF/BE同理可證：AC/BD./FAC與/EBD相等成互補(bǔ)1由FA/BE,得：BE:AF=QB:QA=12:24=1:2,.BE=-AF由BD/AC，得：AC:BD=PA:PB=9:21=3：7,BD=AC又acf的面積為72，即2AFAC-sinFAC=72S.dbe=?BEBDsinEBD=21AF3ACsinFAC,?AFACsinFAC=軟72=84,答：BDE的面積為84平方單位例7如圖，B為二ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為厶ABC、丄ABD、二BCD的重心.(1)求證：平面MNG/

31、平面ACD（2）求S.IMNG:S.ADC解：(1)連結(jié)BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于P、HG分別為ABC、ABD、BCD的重心,BM貝V有：IMpBNNFBGGH=2連結(jié)PF、FH、PH有MN/PF又PF二平面ACDMN/平面ACD同理：MG/平面ACD,MGAMN=MF、c平面MNG/平面ACD.MG_(2)由(1)可知：phBGBHMG=IPH，又PH=*ADMG=占AD,同理：ng=3AC,MNCD,MNGACD，其相似比為1：3SMNG:S.ADC=1：9例8如圖，平面EFGH分別平行于CDABE、F、GH分別在BDBGACAD上，且CD=a,AB=b,CDLAB.(

32、1)求證：EFGH是矩形求當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時，EFGH勺面積最大(1)證明：TCD/面EFGH而面EFGA面BCD=EF.CD/EF同理HG/CD.EF/HG同理HE/GF；.四邊形EFGH為平行四邊形由CD/EF,HE/AB/HEF為CD和AB所成的角或其補(bǔ)角，又CDLAB.HE!EF.四邊形EFGH為矩形解：由可知在BCD中EF/CD其中DE=mEB=n.EFBEn,EFaCDDBmn由HE/AB住二氏HE二旦bABDBmn又四邊形EFGH為矩形S矩形efghFHE-EF=,nmn,b-a=2abmn(mn)/m+n2.mn,(m+n)4mnw丄，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號，即E為BD的中點(diǎn)時

33、，(mn)4S矩形EFG=mn2(mn)ab-abACBD分別是在這個AB=4cm,AC=6cmBD1矩形EFGH的面積最大為一ab.4點(diǎn)評：求最值時經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值、不等式求最值、導(dǎo)數(shù)求最值、線性規(guī)劃求最值等四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 山坡面a與水平面成30的角，坡面上有一條公路AB與坡角線BC成45的角，沿公路向上去1公里時，路基升高米.2. 過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PAL平面ABCD且PA=AB則平面ABP與平面CDP所成二面角(小于或等于90)的度數(shù)是.3. 在60二面角的棱上，有兩個點(diǎn)AB,二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段已知：=8cm,求CD長.4. 如圖，過S引三條長度相等但

34、不共面的線段SASBSC且/ASB2ASC=60，/BSC=90.求證：平面ABCL平面BSC.5. 已知：如圖，SU平面ABCAB1BCDE垂直平分SC,且分別交ACSC于D、E,又SA=ABSB=BC求二面角E-BD-C的度數(shù).6.4空間角和距離一、知識導(dǎo)學(xué)1. 掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作法及運(yùn)算.2掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點(diǎn)到直線（或平面）的距離、直線與平面的距離及兩平行平面間距離的求法.二、疑難知識導(dǎo)析1.求空間角的大小時，一般將其轉(zhuǎn)化為平面上的角來求，具體地將其轉(zhuǎn)化為某三角形的一個內(nèi)角.2求二面角大小時，關(guān)鍵是找二面角的平

35、面角，可充分利用定義法或垂面法等3.空間距離的計(jì)算一般將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.求點(diǎn)到平面距離時，可先找出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影（可用兩個平面垂直的性質(zhì)），也可用等體積轉(zhuǎn)換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得d二R2-r24球面上兩點(diǎn)間的距離是指經(jīng)過這兩點(diǎn)的球的大圓的劣弧的長，關(guān)鍵在于畫出經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓以及小圓5要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1平面外有兩點(diǎn)A,B，它們與平面:的距離分別為a,b，線段AB上有一點(diǎn)P,且AP:PB=m:n,則點(diǎn)P到平面ot的距離為錯解：nambmn錯因：只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面

36、兩測的情況.正解：nambmb-na,或|.mnmn例2與空間四邊形ABCD四個頂點(diǎn)距離相等的平面共有個.錯解：4個.錯因：只分1個點(diǎn)與3個點(diǎn)在平面兩側(cè).沒有考慮2個點(diǎn)與2個點(diǎn)在平面兩側(cè)正解：7個.例3一個盛滿水的三棱錐形容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞DE、F,且知SDDA=SEEB=CFFS=2:1,若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（）2329錯解：A、B、193023B.C.D.273127C.由過D或E作面ABC的平行面，所截體計(jì)算而得.正解：D.當(dāng)平面EFD處于水平位置時，容器盛水最多VF丄DEVC_SABSSDEh1=3：SSABh23:1SDSEsinDSEg31.SA

37、SBsinASBh23SDSEhi1TfSASBh22 1_三3 3-27423最多可盛原來水得1-二二仝2727例4斜三棱柱ABC-A1BC的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長等于b,一條側(cè)棱AA與底面相鄰兩邊ABAC都成45角，求這個三棱柱的側(cè)面積錯解：一是不給出任何證明，直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過BC作平面與AA垂直于M”三是由條件“/AAB=/AAC-/AA在底面ABC上的射影是/BAC的平分線”不給出論證正解：過點(diǎn)B作BM丄AA1于M，連結(jié)CM，在ABM和厶ACM中，tAB=AC,ZMAB=/MAC=45,MA為公共邊，ABMAACM，/AMC=ZAMB=90,.A

38、A1丄面BHC,即J2歷L平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin45=a,.BMC周長為2xa+a=(1+.2)a，且棱22長為b,S側(cè)=(1+2)ab例5已知CA丄平面a，垂足為A；AB-a，BD丄AB，且BD與a成30角；AC=BD=bAB=a.求C,D兩點(diǎn)間的距離.解：本題應(yīng)分兩種情況討論：(1)如下左圖.C,D在a同側(cè)：過D作DF丄a，垂足為F連BF,則，DBF二30，根據(jù)三垂線定理BD丄AB得BF丄AB.在RtABF中,AF=.AB2BF2二a3b2bbb過D作DE丄AC于E,貝UDE=AFAE=DF=2.所以EC=AC-AE=b-=故CD才EC2DEiEC2AF2=；(；)2

39、a2；b2=.a2b2如上右圖.c,d在a兩側(cè)時：同法可求得cda23b2點(diǎn)評：本題是通過把已知量與未知量歸結(jié)到一個直角三角形中，應(yīng)用勾股定理來求解例6(06年湖北卷)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A-|BiCiDi中，p是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP二m.(1)試確定m，使得直線AP與平面BDD.B,所成角的正切值為3.2；(2)在線段AiCi上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的m,DiQ在平面APDi上的射影垂直于AP.解：解法(1)連AC,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面BDDiBi相交于點(diǎn),，連結(jié)0G,因?yàn)镻C/平面BDD1B1，平面BDD1B1門平面APC=0G,1 m故OG/PC,

40、所以，0G=丄PC=2 2又A0丄BD,AO丄BB1,所以A0丄平面BDD1B1,故/AG0是AP與平面BDD1B1所成的角.42.在RtAA0G中，tanNAG0=空=丄=，即m=-G0m32所以，當(dāng)m=-時，直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為3.2.3(2)可以推測，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AC的中點(diǎn)01，因?yàn)镈1O1丄A1C1,且D1O1丄A1A，所以D1O1丄平面ACCA1,又APU平面ACCA1,故D1O1丄AP并證明你的結(jié)論.那么根據(jù)三垂線定理知，DiOi在平面APDi的射影與AP垂直。解法二：（i）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則m），0（0,i，0），D（0,0，0），Bi（i，i

41、，i），Di（0，0，A(i,0,i)0),B(1,1,0),P(0,1,B=(又由ACBD=0,ACBE=0知,面BBiDiD的一個法向量。yxAP與平面BBiDiD所成的角為則sin二ACAPAC22。依題意有血（2+m22,2m2解得。故當(dāng)時，直線33AP與平面BBiDiD所成的角的正切值為（2）若在AiCi上存在這樣的點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，貝UQ（x，ix,i）,DQ=（X,i-X,0）。依題意，對任意的m要使DiQ在平面APDi上的射影垂直于AP,1等價(jià)于DiQ丄APUAPDiQ=0=-x(i-x)=0ux.即Q為AiCi的中點(diǎn)時,2滿足題設(shè)要求。例7在梯形ABCD中,/ADC=

42、90,AB/DCAB=i,DC=2,AD=2,P為平面ABCD外一點(diǎn)，PAD是正三角形，且PA丄AB求：（i）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小;（2）D點(diǎn)到平面PBC的距離.解：（i）設(shè)ADABC=E可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設(shè)條件得PA=AD=AE則/EPD=90,PD丄PE又PA丄ABDALAB故AB丄平面PAD/DC/ABDC丄平面PAD由PELPC得PELPD/DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角.PD=、.2,DC=2217點(diǎn)評:本題若注意到H是厶ABC的外心，可通過解厶ABC和AHO得OH或利用體積法.tanDPC二=2，/DPC=arctan2

43、.PD(2)由于PEPD,PEPC,故PE丄平面PDC因此平面PDC丄平面PBC作DHLPCH是垂足，貝UDH是D到平面PBC的距離.在RtPDC中,PD2,DC=2PC=.、6,DH二PDDC=空PC323平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan.2，D到平面PBC的距離為3例8半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，A與B和A與C的球面距離都是2，B與C的球面距離是3，求過AB、C三點(diǎn)的截面到球心0距離.分析：轉(zhuǎn)化為以球心0為頂點(diǎn)，ABC為底面的三棱錐問題解決.由題設(shè)知厶OBC是邊長為1的正三角形，AOBDAOC是腰長為1的全等的等腰三角形.取BC中點(diǎn)D,連AD0D易得BCL面AOD進(jìn)

44、而得面AODL面ABQ過0作OH!AD于H,則OHL面ABCOH的長即為所求，在RtADB中,AD=#,故在Rt：AOD,OH=A(AOD二四、典型習(xí)題導(dǎo)練3的距離分別為PC=2cm1.在平面角為600的二面角:內(nèi)有一點(diǎn)P,P到a、PD=3cm貝yP到棱I的距離為.2. 異面直線a,b所成的角為60,過空間一定點(diǎn)P,作直線I,使I與a,b所成的角均為60,這樣的直線I有條3在棱長為1的正方體ABCD-ABQD中，E,F分別是AB和AD的中點(diǎn)，A/a則點(diǎn)Ai到平面EFBD的距離為4. 二面角:-l1內(nèi)一點(diǎn)P,分別作兩個面的垂線PAPB,A、B為垂足.已知PA=3,PB=2,/APB=60求：I的

45、大小及P到I的距離.5. ABCD是邊長為4的正方形，CGL面ABCDCG=2.E、F分別是ADAB的中點(diǎn).求點(diǎn)B到面EFG的距離.6. 如圖：二面角a-I-B為銳角，P為二面角內(nèi)一點(diǎn)，P到a的距離為2.2，到面3的距離為4,到棱|的距離為4._2，求二面角a-I-3的大小.7. 如圖，已知三棱柱ABC-ABC的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱AA與ABAC均成45角，且AE丄BB于E,AF丄CC于F.（1）求點(diǎn)A到平面BBCC的距離；當(dāng)AA多長時，點(diǎn)A到平面ABC與平面BBCC的距離相等.6.5空間幾何體及投影一、知識導(dǎo)學(xué)1. 了解投影（投影線通過物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法

46、）、中心投影（投射線交于一點(diǎn)的投影稱為中心投影）、平行投影（投影線互相平行的投影稱為平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正對著投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正對著投影面的投影）的概念.2. 了解三視圖的有關(guān)概念（視圖是指將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結(jié)構(gòu)，稱之為三視圖）；了解三視圖畫法規(guī)則，能作出物體的三視圖3. 注意投影和射影的關(guān)系，以及在解題中的作用二、疑難知識導(dǎo)析1三視圖間基本投影關(guān)系的三條規(guī)律：主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長對正，高平齊，寬相等”；看不見的畫虛線2.主視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的后、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的上、下、后、前三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1如圖，該物體的俯視圖是（）.龜口出H田ABCD錯解：B.錯因：投影方向不對.正解：C.例2如圖所示的正方體中，E、F分別是AA,DQ的中點(diǎn)，G是正方形BDBD的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是（）AB錯解：C.正解：D例3水平放置的ABC有一邊在水平線上，它