推理與證明 新人教A選修thancyPPT教案

1、推理與證明推理與證明 新人教新人教A選修選修thancy推推理理與與證證明明推推理理證證明明合情推合情推理理演繹推演繹推理理直接證直接證明明數(shù)學(xué)歸納數(shù)學(xué)歸納法法間接證間接證明明 比較法比較法類(lèi)比推類(lèi)比推理理歸納推歸納推理理 分析法分析法 綜合法綜合法 反證法反證法知識(shí)結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)第1頁(yè)/共15頁(yè)b bc c + + c ca ac ca a + + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1: : a a、b

2、 b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab bc c證證為為數(shù)數(shù)例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + + c c + + +. .a ab bc c為為數(shù)數(shù)證證.1 11 11 1a a + +b b + +c c + + +成成立立a ab bc c一一.綜合法綜合法第2頁(yè)/共15頁(yè)1 11 11 11 11 11 1+ + + +b bc cc

3、 ca aa ab b + + +2 22 22 2111111=+.=+.abcabc 法法2 2: :a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c= =1 1，1 11 11 1 a a + +b b+ + c c = =+ + +b bc cc ca aa ab b證證為為數(shù)數(shù).111111 a +b +c +成a +b +c +成立立abcabc例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c 5 5， 求求 ：a a - - 5 5 - -a a

4、- - 3 3 a a - - 2 2 - -a a . .證證證明證明: :要證要證只需證只需證只需證只需證只需證只需證只需證只需證因?yàn)橐驗(yàn)?成立成立. .所以所以 成立成立. .a a- -5 5 - - a a- -3 3 a a- -2 2 - - a a a a- -5 5a a a a- -2 2 + + a a- -3 3a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )0 0 6 60 0 6 6a a- -5 5 - - a a-

5、-3 3 ,1,2 211111+1,1+1,2323111111311111131+,1+,23456722345672111111111111111+21+22345671523456715你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明。你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明。第9頁(yè)/共15頁(yè)例例: :平面內(nèi)有平面內(nèi)有n n條直線(xiàn)條直線(xiàn), ,其中任何兩條不平行其中任何兩條不平行, ,任何三條任何三條不過(guò)同一點(diǎn)不過(guò)同一點(diǎn), ,證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)f(n)等于等于n(n-1)/2.n(n-1)/2.證證:(1):(1)當(dāng)當(dāng)n=2n=2時(shí)時(shí), ,兩條直線(xiàn)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)只有的交點(diǎn)只有1 1個(gè)個(gè)

6、, ,又又f(2)=2f(2)=2(2-1)/2=1,(2-1)/2=1,因此因此, ,當(dāng)當(dāng)n=2n=2時(shí)命題成立時(shí)命題成立. .(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)n=k(k2)時(shí)命題成立時(shí)命題成立, ,就是說(shuō)就是說(shuō), ,平面內(nèi)滿(mǎn)足平面內(nèi)滿(mǎn)足 題設(shè)的任何題設(shè)的任何k k條直線(xiàn)條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.以下來(lái)考慮平面內(nèi)有以下來(lái)考慮平面內(nèi)有k+1k+1條直線(xiàn)的情況條直線(xiàn)的情況. .任取其任取其中中的的1 1條直線(xiàn)條直線(xiàn), ,記作記作l.l.由歸納假設(shè)由歸納假設(shè), ,除除l l以外的其他以外的其他k k條直線(xiàn)的條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)f

7、(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.另外另外, ,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線(xiàn)不平行因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線(xiàn)不平行, ,所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)l l必與平面內(nèi)其他必與平面內(nèi)其他k k條直線(xiàn)都相交條直線(xiàn)都相交, ,有有k k個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn). .第10頁(yè)/共15頁(yè)又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn)又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn), ,所以上面的所以上面的k k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同, ,且與平面內(nèi)其他的且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2k(k-1)/2個(gè)個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同交點(diǎn)也兩兩不相同. .從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1

8、)(k+1)-1/2.k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.這就是說(shuō)這就是說(shuō), ,當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,k+1k+1條直線(xiàn)的條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為交點(diǎn)個(gè)數(shù)為: :f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.根據(jù)根據(jù)(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,命題對(duì)一切大于命題對(duì)一切大于1 1的正整數(shù)都成的正整數(shù)都成立立. .說(shuō)明說(shuō)明: :用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題, ,重難點(diǎn)是處理好當(dāng)重難點(diǎn)是處理好當(dāng) n=k+1n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成

9、立. .第11頁(yè)/共15頁(yè)注注: :在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論: :(1)(1)設(shè)這設(shè)這n n條直線(xiàn)互相分割成條直線(xiàn)互相分割成f(n)f(n)條線(xiàn)段或射線(xiàn)條線(xiàn)段或射線(xiàn), ,-則則: f(n)=n: f(n)=n2 2. .(2)(2)這這n n條直線(xiàn)把平面分成條直線(xiàn)把平面分成(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域. .練習(xí)練習(xí)1:1:凸凸n n邊形有邊形有f(n)f(n)條對(duì)角線(xiàn)條對(duì)角線(xiàn), ,則凸則凸n+1n+1邊形的對(duì)角線(xiàn)邊形的對(duì)角線(xiàn) -的條數(shù)的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.n-1n-1練習(xí)練習(xí)2:2:設(shè)有通過(guò)一點(diǎn)的設(shè)有通過(guò)一點(diǎn)的k k個(gè)平面?zhèn)€平面, ,其中任何三個(gè)平面其中任何三個(gè)平面或或 三個(gè)以上的平面不共有一條直線(xiàn)三個(gè)以上的平面不共有一條直線(xiàn), ,這這k k個(gè)平面?zhèn)€平面將將 空間分成空間分成f(k)f(k)個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域, ,則則k+1k+1個(gè)平面將空間分個(gè)平面將空間分成成 f(k+1)=f(k)+_f(k+1)=f(k)+_個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域. .2k2k第12頁(yè)/共15頁(yè)