資金的等值計算

1、第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l第一節(jié) 利息公式l一、利息的種類l1，利息：占用資金一定時間后必須支付的補償額或報酬，是資金時間價值的具體體現(xiàn)l2，利率：表示單位資金在單位時間內(nèi)的利息l3，計算方式：單利和復利第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l4，等效值的概念：兩個不等額的資金在不同的時間點上，其價值是相等的，這兩個資金就互為等效值。引入等效值的概念就是為了對經(jīng)濟活動過程中發(fā)生在不同時間點的資金能進行比較。l現(xiàn)值P、終值F、折算利率（貼現(xiàn)率）i、等額年金A、計息周期數(shù)n第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l二、基于復利計息的等效值計算公式l1，一次支付系列的現(xiàn)值系數(shù)

2、和終值系數(shù)l一次支付系列的現(xiàn)金流量圖如下：12nn10P（現(xiàn)值）F（將來值）i第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l一次支付系列的終值公式：l其中：（F/P，i, n）=(1+i)n稱為一次支付系列稱為一次支付系列的終值系數(shù)。的終值系數(shù)。l一次支付系列的現(xiàn)值公式：), ,/()1 (niPFPiPFn),/()1 (niFPFiFPn第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l其中：（P/F，i, n）=(1+i)-n稱為一次支付系列稱為一次支付系列的現(xiàn)值系數(shù)。的現(xiàn)值系數(shù)。l計算時，一次支付系列的終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)計算時，一次支付系列的終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)可以通過查復利系數(shù)表得到（見附錄）

3、可以通過查復利系數(shù)表得到（見附錄）l例例1：現(xiàn)投資：現(xiàn)投資10萬元，年利率為萬元，年利率為10%，問，問10年年末可收回本利和為多少？末可收回本利和為多少？l解：解：10年末的本利和即為終值年末的本利和即為終值F：lF=P（F/P，i，n)=10（F/P，10%，10）l =102.5937=25.937(萬元萬元)第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l例2:如果銀行年利率為10%,若要在5年后從銀行取出10萬元,問現(xiàn)在至少需要存入銀行多少?l解:求現(xiàn)在要存入多少就是求與5年后10萬元等值的現(xiàn)值P:lP=10(P/F,i,n)=10(P/F,10%,5)l =100.6209=6.209

4、(萬元)第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l2，等額支付系列的現(xiàn)值系數(shù)和資金恢復系數(shù)l等額支付系列的現(xiàn)金流量圖：12nn10A A A A（等額年值）12nn10P（現(xiàn)值）等額年值與現(xiàn)值之間的等效換算現(xiàn)金流量圖ii第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l上圖中，設左圖的A，i,n為已知，求等效的P值：lP=P1+P2+P3+。+Pnl =A(1+i)-1+A(1+i)-2+A(1+i)-3+A(1+i)-nl =A(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+(1+i)-n=A(1+i)n - 1i(1+i)n第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l其中： l稱為等額支付系列

5、的現(xiàn)值系數(shù)l常用（P/A，i，n）表示，則：lP=A（P/A，i，n），該系數(shù)也可以通過查復利系數(shù)表求得。l若已知右圖中的P，求左圖中與之等效的A，則可由現(xiàn)值的計算公式變形得到：(1+i)n - 1i(1+i)n第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l即：l式中： l稱為等額支付系列的資金恢復系數(shù)，也稱為資金回收系數(shù)l用（A/P，i，n)表示，則：lA=P (A/P，i，n)=P i(1+i)n (1+i)n-1A i(1+i)n (1+i)n-1第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l例：已知銀行利率為10%，為了從第5年開始直到第10年，每年都能從銀行取出10000，問現(xiàn)在至少應存

6、入銀行多少錢？l解：這個問題的現(xiàn)金流量圖如下：12345678910010000i=10%P=?注意等額支付現(xiàn)值計算公式中現(xiàn)值注意等額支付現(xiàn)值計算公式中現(xiàn)值與等額支付系列的資金發(fā)生的時間與等額支付系列的資金發(fā)生的時間點間的關系點間的關系P=？第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l例：現(xiàn)存入銀行10萬元，到第四年取出5萬元，從第8年開始到第12年每年等額支取并正好將錢取完，年利率為10%，問等額支取額是多少？l解：此問題的現(xiàn)金流量圖如下：A=？123456789100i=10%P=10萬元5萬元1112P=？第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l3，等額支付系列的終值系數(shù)和儲存基金系

7、數(shù)l即：l及：l也可以表示為：A=F（A/F，i，n）及l(fā) F=A （F/A，i，n）11niiFAiiAFn11第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l式中：l稱為等額支付系列的儲存基金系數(shù)，也稱積累基金系數(shù)或償債基金系數(shù)l而：l稱為等額支付系列的終值系數(shù)。l注意：A是從第一年年末直到第n年年末每年都等額發(fā)生的，F(xiàn)是發(fā)生在n年年末的。11nii（A/F，i，n）=iin11（F/A，i，n）=第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l例：從現(xiàn)在開始。連續(xù)5年，每年內(nèi)均存入銀行一筆等額的錢，為了能在第十年年末的時候取出10萬元，年利率為6%，問每年存入的等額的錢是多少？l解：畫出這個問題

8、的現(xiàn)金流量圖如下：123456789100i=6%F=10萬元A=？F=？第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算lF=10（P/F，6%，5）l而A=F（A/F，6%，5）l =10（P/F，6%，5）（A/F，6%，5）l =100.74730.1774l =1.3257(萬元)l例:從現(xiàn)在開始,連續(xù)5年,每年內(nèi)均存入銀行1萬元,第七年取出了2萬元,年利率為10%,問到第10年末還能一次性取出多少?第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l解:畫出該問題的現(xiàn)金流量圖如下:lF=F(F/P,10%,5)-20000(F/P,10%,3)l =A(F/A,10%,5)(F/P,10%,5)

9、-20000(F/P,10%,3)l =100006.10511.6105-200001.3310l =71702(元)123456789100i=10%F=?A=1000020000F=?第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l4,均勻梯度系列的現(xiàn)值系數(shù)和年費用系數(shù)l均勻梯度系列的現(xiàn)金流量如下圖所示:G為相鄰計算周期末的現(xiàn)金收入或支出的等差變化值12345n0A1A1+GA1+2GA1+3GA1+4GA1+(n-1)G第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l上述現(xiàn)金流量圖可分解成下面兩個現(xiàn)金流量的和:12345n0A1n123450G2G3G4G(n-1)G+第二章第二章 資金的等值

10、計算資金的等值計算l其中第一部分為等額支付系列,其現(xiàn)值為:lP1=A1(P/A,i, n)l而其中第二部分的現(xiàn)值計算如下:lP2=G(1+i)-2+ 2G(1+i)-3+(n-1) G(1+i)-nl =G(1+i)-2+ 2(1+i)-3+(n-1) (1+i)-n)l而l(1+i)P2=G(1+i)-1+ 2(1+i)-2+(n-1) (1+i)-(n-1)l兩式相減得:第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算liP=G (1+i)-1+ (1+i)-2+ (1+i)-(n-1)-(n-1)(1+i)-n)l經(jīng)整理后得到:l式中:l稱為均勻梯度系列的現(xiàn)值系數(shù),用(P/G,i,n)表示。注

11、意用這個系數(shù)求出來的是第二部分的現(xiàn)值，總現(xiàn)值還要加上第一部分的，即：P2=(1+i)n - 1i(1+i)nGi(-n(1+i)n)(1+i)n - 1i(1+i)n1i(-n(1+i)n)第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算lP=P1+P2=A1（P/A，i,n）+G（P/G，i,n）l而要把均勻梯度系列換算成等效的等額支付系列，則：lA=A1+P2（A/P，i,n）l =A1+G（P/G，i,n)(A/P,i,n)l =A1+G(A/G,i,n)l系數(shù)(A/G,i,n)稱為均勻梯度系列的年費用系數(shù)l同樣,對于均勻梯度系列求終值時,有:第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算lF=F

12、1+F2l而F1=A1(F/A,i,n)l F2=P2(F/P,i,n)l =G(P/G,i,n)(F/P,i,n)l =G(F/G,i,n)l(F/G,i,n)稱均勻梯度系列的終值系數(shù).l重點：一定要注意各個相關量的時間點之間的位置關系。第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l各個復利系數(shù)之間存在的關系：l(F/P,i,n)=1/ (P/F,i,n);l(A/P,i,n)=1/ (P/A,i,n);l(A/F,i,n)=1/ (F/A,i,n);l(F/A,i,n)= (P/A,i,n) (F/P,i,n);l(F/P,i,n)= (A/P,i,n) (F/A,i,n);l(A/P,i,

13、n)= (A/F,i,n)+il(F/G,i,n)=(F/A,i,n)-n/i第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l(P/G,i,n)=(P/A,i,n)-n (P/F,i,n)/il(A/G,i,n)=1-n (A/F,i,n)/il應用公式應注意的事項應用公式應注意的事項:l1,本期末即是下期初本期末即是下期初;l2,P是在第一計息周期開始時發(fā)生的是在第一計息周期開始時發(fā)生的;l3,F是在第是在第n計息周期末發(fā)生的計息周期末發(fā)生的,也就是項目的也就是項目的終點時發(fā)生的終點時發(fā)生的;l4,A是連續(xù)發(fā)生在考察期內(nèi)各期期末的是連續(xù)發(fā)生在考察期內(nèi)各期期末的第二章第二章 資金的等值計算資金的等

14、值計算l5,當問題包括當問題包括P與與A時時,等額系列的第一個等額系列的第一個A與與P在時間上差一個計息周期在時間上差一個計息周期,即即P發(fā)生在期初發(fā)生在期初,第一第一個個A發(fā)生在期末發(fā)生在期末;l6,當問題包括當問題包括F與與A時時,F與系列的最后一個與系列的最后一個A同同時發(fā)生時發(fā)生;l7,當問題包括當問題包括P與與G時時,P發(fā)生在第一個發(fā)生在第一個G的前兩的前兩個計算周期個計算周期,第一個第一個A1發(fā)生在第一個發(fā)生在第一個G的前一期的前一期,而如果是而如果是F,則則F與最后一個與最后一個G同時發(fā)生同時發(fā)生.第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l三、名義利率和有效利率（實際利率）l在

15、復利計算中,當表示利率的時間單位與計息周期采用的時間單位不一致時,就出現(xiàn)了所謂的名義利率、有效利率(實際利率)l如有這樣的問題，利率為年利率12%，但計息方式為每月計息一次（復利計算），此時對應的計息周期內(nèi)采用的利率，即月利率為12%/12=1%，若本金為P，則到年底時本利和則為F=P（1+1%）12第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l則在一年里得到的利息I為：lI=F-P=P（1+1%）12-1l這里，年利率12%不是在計算中采用的真實利率，因此稱為名義利率；1%為計息周期利率（這里是月利率），而（1+1%）12-1相當于本金在一年內(nèi)的實際利息與本金的比值，稱為年實際利率。l下面用通

16、用的方式表達：第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l若名義利率為r，在表示r的時間單位內(nèi)一共計息m次，則實際計息周期內(nèi)的利率為r/m；而對應于r所表示的時間單位內(nèi)的實際利率則為：i實實=(1+rm)m-1第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l在進行分析計算時，對名義利率一般有兩種處對名義利率一般有兩種處理方法理方法：l1,將其換算為實際利率后，再進行計算,計息周期調(diào)整為與利率的時間單位相同；l2，換算為計息周期利率，直接按計息周期利率來計算。l前面介紹的都是間斷計息，都有一定的計息周期，當計息周期無限小的時候，一年內(nèi)的計息次數(shù)就會無限大，這時候就出現(xiàn)了所謂的“連續(xù)復利”第二章第二章

17、 資金的等值計算資金的等值計算l四、四、 連續(xù)利率連續(xù)利率l計息周期無限縮短（即計息次數(shù)m）時得實際利率：11111)1 (limlimrrrmrmmmmemri連第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l五、幾種特殊情況的復利計算l1，計息周期小于資金收付周期的等值計算，計息周期小于資金收付周期的等值計算l例：每半年存款1000元，年利率8%，每季計息一次，復利計息。問五年末存款金額為多少？l解法解法1：按收付周期實際利率計算l半年期實際利率i實半(18%4)214.04%lF1000(F/A，4.04%，25)100012.02912029元第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l解

18、法解法2：按計息周期利率，且把每一次收付看作一次支付來計算lF1000(18%4)181000(18%4)16100012028.4元l解法解法3：按計息周期利率，且把每一次收付變?yōu)榈戎档挠嬒⒅芷谀┑牡阮~年金來計算lA1000（AF，2，2）495元lF495（FA，2，20）12028.5元第二章第二章 資金的等值計算資金的等值計算l2，計息周期大于資金收付周期的等值計算，計息周期大于資金收付周期的等值計算l當計息周期大于收付周期時，一般將發(fā)生的計當計息周期大于收付周期時，一般將發(fā)生的計息期內(nèi)的支出計入期初息期內(nèi)的支出計入期初,而將收益計入期末而將收益計入期末l下面的例子是從銀行的角度而繪制的一個財務下面的例子是從銀行的角度而繪制的一個財務活動的過程活動的過程.如果是每季度計息一次如果是每季度計息一次,并假設年并假設年利率為利率為8%,求這個現(xiàn)金流量過程在年底時的等求這個現(xiàn)金流量過程