高數(shù)第二章2.1

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一、實(shí)例二、導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度0t,0tt 的的時(shí)時(shí)刻刻取取一一鄰鄰近近于于, t 運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)間間tt,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得一、實(shí)例設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線做變速直線運(yùn)動(dòng)設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線做變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)(tss 求時(shí)刻求時(shí)刻 的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度.0ttsvttstts)()(00平均速度平均速度瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度ttsttsvvtt)()(limlim00002. 細(xì)胞的增殖速度細(xì)胞的增殖速度 設(shè)增殖細(xì)胞在某一時(shí)刻設(shè)增殖細(xì)胞在某

2、一時(shí)刻t的總數(shù)為的總數(shù)為N,顯然顯然N是時(shí)間是時(shí)間t的函數(shù)的函數(shù))(tNN 求細(xì)胞在時(shí)刻求細(xì)胞在時(shí)刻 的瞬時(shí)增長(zhǎng)率的瞬時(shí)增長(zhǎng)率.0t從從 變化到變化到 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi),細(xì)胞的平均增長(zhǎng)率為細(xì)胞的平均增長(zhǎng)率為0ttt0ttNttNtN)()(00,0時(shí)當(dāng)t取極限得取極限得瞬時(shí)增長(zhǎng)率瞬時(shí)增長(zhǎng)率=ttNttNtNtt)()(limlim0000定義定義2-1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量當(dāng)自變量x在在x0處有增量處有增量x(x0+x仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi))，函數(shù)相應(yīng)地有增量函數(shù)相應(yīng)地有增量y=f(x0+x)-f(x0)，如果極限，如果極限

3、000)()(0 xxxxxxdxxdfdxdyyxf、, )()(limlim0000 xxxxfxxfxy 存在，存在，則稱函數(shù)則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，此極限值稱為處可導(dǎo)，此極限值稱為函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)(derivative)，記作，記作二、導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即注意注意 若極限不存在若極限不存在,就稱函數(shù)就稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo);)(xf0 x由導(dǎo)數(shù)定義由導(dǎo)數(shù)定義變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 的瞬時(shí)速度為的瞬時(shí)速度為)(0tsv0t細(xì)胞在時(shí)刻細(xì)胞

4、在時(shí)刻 的瞬時(shí)增殖速度為的瞬時(shí)增殖速度為0t)(0tN若不可導(dǎo)若不可導(dǎo),且極限為無(wú)窮大且極限為無(wú)窮大,為方便起見(jiàn)為方便起見(jiàn),記為記為 .也也)(0 xf0 x)(xf稱函數(shù)稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000注意注意 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為充分必要條件為：)()(00 xfxf導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(1) 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都可內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)導(dǎo)，就稱

5、函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)xxfxxfyx )()(lim0即即很明顯很明顯0)()(0 xxxfxf 對(duì)于任一對(duì)于任一xI，都對(duì)應(yīng)著，都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作的導(dǎo)函數(shù)，記作dxxdfdxdyyxf)()(、 (2) 如果如果f(x)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 及及 都存在，就說(shuō)都存在，就說(shuō)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)。上可導(dǎo)。)(af)(bf注意注意: :0)()(0 xxxfxf )(0 xf0 例：設(shè)下列各極限均存在，求各式是否成立？例：設(shè)下列

6、各極限均存在，求各式是否成立？)()()(lim)(0010fxfxfx)0()0()0(lim)2(0fxfxfx)()()(lim)(00003xfxxxfxfx解：成立，這是點(diǎn)x=0的導(dǎo)數(shù)的表示式。解：左式是左導(dǎo)數(shù),右式是導(dǎo)數(shù),不一定成立。解：成立，作變換令-x =h，可化為標(biāo)準(zhǔn)式。解解222)(2)()()(xxxxxxxfxxfyxxxxfxxfxy2)()(xxxxyyxx2)2(limlim00已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求例例2-12xy y例例2-2已知函數(shù)已知函數(shù) 求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù) 及及xxf)(y1xyxxxy解解xxxxxxxxxxxxxxxxxxy1)()(xxxxxyyx

7、x211limlim00211xy 例例2-3 據(jù)據(jù)1985年人口調(diào)查年人口調(diào)查, ,我國(guó)有我國(guó)有10.15億人口億人口, ,人人口平均年增長(zhǎng)率為口平均年增長(zhǎng)率為1.489, ,根據(jù)馬爾薩斯根據(jù)馬爾薩斯( (Malthus) )人人口理論口理論, ,我國(guó)人口增長(zhǎng)模型為我國(guó)人口增長(zhǎng)模型為xexf01489. 015.10)(其中，其中，x代表年數(shù)代表年數(shù)(0,1,2,),并定義并定義1985年為這個(gè)模型年為這個(gè)模型的起始年的起始年x=0. .按照此模型可以預(yù)測(cè)我國(guó)在按照此模型可以預(yù)測(cè)我國(guó)在2005年人口年人口將有將有13.6710億億. .求我國(guó)人口增長(zhǎng)率函數(shù)？怎樣控制人求我國(guó)人口增長(zhǎng)率函數(shù)？怎

8、樣控制人口增長(zhǎng)速度？口增長(zhǎng)速度？解解) 1(15.1015.1015.10)()(01489. 001489. 001489. 0)(01489. 0 xxxxxeeeexfxxfyxeexyxx) 1(15.1001489. 001489. 0 xeexeexeexyxxxxxxxxxx01489. 01lim01489. 015.1001489. 0101489. 015.10lim115.10limlim01489. 0001489. 001489. 001489. 0001489. 001489. 000解解xeexyxxxx01489. 01lim01489. 015.10lim01

9、489. 0001489. 00)1ln(01489. 0101489. 0yxeyx，則令111)1ln(lim1)1ln(lim01489. 01lim/10001489. 00yyyxxyyyxe于是于是xexf01489. 015.1001489. 0)( 讓人口年增長(zhǎng)率讓人口年增長(zhǎng)率0.01489變小變小,人口的增長(zhǎng)速度就變?nèi)丝诘脑鲩L(zhǎng)速度就變小小,故可控制人口的增長(zhǎng)故可控制人口的增長(zhǎng).xxxxxexeexy01489. 001489. 0001489. 0015.1001489. 001489. 01lim01489. 015.10lim由導(dǎo)數(shù)定義，人口增長(zhǎng)率函數(shù)為：由導(dǎo)數(shù)定義，人口

10、增長(zhǎng)率函數(shù)為：由定義求導(dǎo)數(shù)三個(gè)步驟由定義求導(dǎo)數(shù)三個(gè)步驟);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線：切線：割線的極限割線的極限 割線割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)而趨向極限趨向極限位置位置MT,直線直線MT就稱為曲就稱為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)M處的處的切線切線.MTyoxNNNN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線 MN00tanxxyy xxfxxf)()(00的的斜斜率率為為切切線線 MT)()()(limtan0000 xfxxfxxfkx0,xMNC沿沿曲曲線

11、線當(dāng)當(dāng)所以所以 T0 xxxx0oxy)(xfy CNxyM T0 x切線方程為切線方程為).)(000 xxxfyy 法線方程為法線方程為).0)()(10000(xf ( xxxfyy所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為:處處的的在在)(,(00 xfxoxy)(xfy M.tan)(,()()(000處的切線的斜率在點(diǎn)表示曲線xfxMxfyxf例例2-5.)9 , 3(2程程處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線xy )3(69xy096 xy即即法線方程為法線方程為)3(619xy0576 xy即即63xyk根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為

12、得切線斜率為 解解 由例由例2-1有有, ，63xyxy2處的切線方程為處的切線方程為在點(diǎn)在點(diǎn)故曲線故曲線)9 , 3(2xy 可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的證明證明則可導(dǎo)在點(diǎn)設(shè)函數(shù),)(xxf)(lim0 xfxyx.)(連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)xxfy 三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系于是于是00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx比如比如處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù)0)( xxxfxy xyo解解xxxfxfxy)0()0(1limlimlim000 xxxxxyxxx1limlimlim000 xxxxxyhxx)0()0(ff即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)在函數(shù)xxfy反