概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 魏宗舒 課后習(xí)題解答答案78章

1、第七章 假設(shè)檢驗(yàn)7.1 設(shè)總體，其中參數(shù)，為未知，試指出下面統(tǒng)計(jì)假設(shè)中哪些是簡單假設(shè)，哪些是復(fù)合假設(shè)： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）.解：（1）是簡單假設(shè)，其余位復(fù)合假設(shè)7.2 設(shè)取自正態(tài)總體，其中參數(shù)未知，是子樣均值，如對(duì)檢驗(yàn)問題取檢驗(yàn)的拒絕域：，試決定常數(shù)，使檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05解：因?yàn)椋试诔闪⒌臈l件下，所以=1.176。7.3 設(shè)子樣取自正態(tài)總體，已知，對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)，取臨界域，（1）求此檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤概率為時(shí)，犯第二類錯(cuò)誤的概率，并討論它們之間的關(guān)系；（2）設(shè)=0.05，=0.004，=0.05，n=9，求=0.65時(shí)不犯第二類錯(cuò)誤的概率。解：（1）在成立的條件

2、下，此時(shí)所以，由此式解出在成立的條件下，此時(shí)由此可知，當(dāng)增加時(shí)，減小，從而減??；反之當(dāng)減少時(shí)，則增加。（2）不犯第二類錯(cuò)誤的概率為7.4 設(shè)一個(gè)單一觀測(cè)的子樣取自分布密度函數(shù)為的母體，對(duì)考慮統(tǒng)計(jì)假設(shè)：試求一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)使犯第一，二類錯(cuò)誤的概率滿足，并求其最小值。解 設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)為（c為檢驗(yàn)的拒絕域）要使，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以檢驗(yàn)函數(shù)應(yīng)取，此時(shí)，。7.5 設(shè)某產(chǎn)品指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的根方差已知為150小時(shí)。今由一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了26個(gè)，測(cè)得指標(biāo)的平均值為1637小時(shí)，問在5%的顯著性水平下，能否認(rèn)為該批產(chǎn)品指標(biāo)為1600小時(shí)?解 總體，對(duì)假設(shè)，采用U檢驗(yàn)法，在為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量臨界值，故接受。7.

3、6 某電器零件的平均電阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改變加工工藝后，測(cè)得100個(gè)零件，其平均電阻為2.62，根方差不變，問新工藝對(duì)此零件的電阻有無顯著差異？去顯著性水平=0.01。解 設(shè)改變工藝后電器的電阻為隨機(jī)變量，則未知，假設(shè)為 ，統(tǒng)計(jì)量 由于，故拒絕原假設(shè)。即新工藝對(duì)電阻有顯著差異。7.7有甲乙兩個(gè)檢驗(yàn)員，對(duì)同樣的試樣進(jìn)行分析，各人實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果如下：實(shí)驗(yàn)號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 甲4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 試問甲乙兩人的實(shí)驗(yàn)分析之間有無顯著差異？解 此問題可以歸結(jié)

4、為判斷是否服從正態(tài)分布，其中未知，即要檢驗(yàn)假設(shè)。由t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量 取=0.10，又由于，故接受7.8 某紡織廠在正常工作條件下，平均每臺(tái)布機(jī)每小時(shí)經(jīng)紗斷頭率為0.973根，每臺(tái)布機(jī)的平均斷頭率的根方差為0.162根，該廠作輕漿試驗(yàn)，將輕紗上漿率減低20%，在200臺(tái)布機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果平均每臺(tái)每小時(shí)輕紗斷頭次數(shù)為0.994根，根方差為0.16，問新的上漿率能否推廣？取顯著性水平0.05。解 設(shè)減低上漿率后的每臺(tái)布機(jī)斷頭率為隨機(jī)變量，有子樣試驗(yàn)可得其均值和方差的無偏估計(jì)為0.994及，問新上漿率能否推廣就要分析每臺(tái)布機(jī)的平均斷頭率是否增大，即要檢驗(yàn)由于未知，且n較大，用t檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為查表知，故

5、拒絕原假設(shè)，不能推廣。7.9在十塊土地上試種甲乙兩種作物，所得產(chǎn)量分別為，假設(shè)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，并計(jì)算得，取顯著性水平0.01，問是否可認(rèn)為兩個(gè)品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別？解 甲作物產(chǎn)量，乙作物產(chǎn)量，即要檢驗(yàn)由于，未知，要用兩子樣t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)假設(shè)，由F檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為（取顯著性水平0.01）故接受假設(shè)，于是對(duì)于要檢驗(yàn)的假設(shè)取統(tǒng)計(jì)量又時(shí)，所以接受原假設(shè)，即兩品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別。7.10有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，加工同樣產(chǎn)品，從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干產(chǎn)品，測(cè)得產(chǎn)品直徑為（單位：mm）： 甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9 乙

6、 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。試比較甲乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無顯著差異？顯著性水平為。解：假定甲產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計(jì)算得，。乙產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀察值計(jì)算得，。要比較兩臺(tái)機(jī)床加工的精度，既要檢驗(yàn)由 F-檢驗(yàn)時(shí)查表得：，由于，所以接受，即不能認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床的加工精度有顯著差異。7.11 隨機(jī)從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長度為（cm）2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11設(shè)釘長服從正態(tài)分布，分別對(duì)下面兩個(gè)情況求出總體

7、均值的90%的置信區(qū)間（1）；（2）未知解 （1）由子樣函數(shù)，可求的置信區(qū)間置信下限 置信上限 （2）在未知時(shí)，由子樣函數(shù)，可 求得置信區(qū)間為置信下限 置信上限 7.12 包糖機(jī)某日開工包糖，抽取12包糖，稱得重量為 9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3 假定重量服從正態(tài)分布，試由此數(shù)據(jù)對(duì)該機(jī)器所包糖的平均重量 求置信水平為95%的區(qū)間估計(jì)。解 由于未知，用統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算各數(shù)據(jù)值后可以得到均值的置信區(qū)間，置信上限為，下限為7.13 隨機(jī)取9發(fā)炮彈做實(shí)驗(yàn)，得炮口速度的方差的無偏估計(jì)（米/秒）2，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，分別求

8、出炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差和方差的置信水平為90%的置信區(qū)間。解 選取統(tǒng)計(jì)量， 可得的置信區(qū)間為：因?yàn)楣?，?biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間取方差的根方即可。7.14 假設(shè)六個(gè)整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機(jī)地選擇，重復(fù)60次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。問在5%的顯著性水平下是否可以認(rèn)為下列假設(shè)成立：。解：用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，如果成立列表計(jì)算的觀察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07由于，所以拒絕。即等概率的假設(shè)不成立。7.15 對(duì)某型號(hào)電纜進(jìn)行耐壓測(cè)試實(shí)驗(yàn)，記錄43根電纜

9、的最低擊穿電壓，數(shù)據(jù)列表如下：測(cè)試電壓 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對(duì)電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗(yàn)（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)）。解：用正態(tài)概率紙檢驗(yàn)出數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布，下面擬合優(yōu)度檢驗(yàn)假設(shè)其中為和的極大似然估計(jì)，其觀察值所以要檢驗(yàn)的假設(shè)分組列表計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值。組 距 頻數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間 4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265 -1.25-1.25 -0.79-0.79 -0.34-0.34 0.570.57 1.030.31 0.105

10、60.10870.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設(shè)。7.16 用手槍對(duì)100個(gè)靶各打10發(fā)，只記錄命中或不命中，射擊結(jié)果列表如下 命中數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 頻 數(shù)： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在顯著水平下用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法檢驗(yàn)射擊結(jié)果所服從的分布。解 對(duì)每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點(diǎn)分布描述，而對(duì)一個(gè)靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項(xiàng)分布來描述，

11、其中未知，可求其極大似然估計(jì)為設(shè)是十發(fā)射擊中射中靶的個(gè)數(shù)，建立假設(shè)用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法列表如下：01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.0097650.0009770.0980.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.098取 ，=由于，所以接受。7.17 在某細(xì)紗機(jī)上

12、進(jìn)行斷頭率測(cè)定，試驗(yàn)錠子總數(shù)為440，測(cè)得斷頭總次數(shù)為292次只錠子的斷頭次數(shù)紀(jì)律于下表。問每只錠子的紡紗條件是否相同？每錠斷頭數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 9錠數(shù)（實(shí)測(cè)） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各個(gè)錠子的紡紗條件元差異，則所有錠子斷頭次數(shù)服從同一個(gè)普哇松分布，所以問題是要檢驗(yàn)每只錠子的斷頭數(shù)。其中未知，求其極大似然估計(jì)為，建立假設(shè)，由擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。列表斷頭數(shù)1234501234-8268112381980.51690.34110.11260.02470.0047227.41150.0949.5310.8972.0685.5689.6682.6846.0

13、2617.016取，=，取 ，=由于，所以拒絕。即認(rèn)為每只錠子紡紗條件不相同。第八章 方差分析和回歸分析8.1 考察溫度對(duì)某一化工產(chǎn)品得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下做了三次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得其得率如下，試分析溫度對(duì)得率有無顯著影響。溫度6065707580得率909288919392969693848383848982解 把原始數(shù)據(jù)均減去90后可列出如下計(jì)算表和方差分析表，表示因子水平數(shù)，為重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)。溫度606570758005-2132663-6-7-2-6-4-80615-15-18 計(jì)算表方差分析表來源平方和自由度均方和F比溫度e260.43841065.13.817.1總和2

14、98.417由于，所以在上水平上認(rèn)為溫度對(duì)得率有顯著影響。8.2 下面記錄了三位操作工分別在四臺(tái)不同機(jī)器上操作三天的日 產(chǎn)量：機(jī) 器操 作 工甲乙丙151715181517172017171622171518151915171616151617161918171822181721221817試在顯著性水平下檢驗(yàn)：（1） 操作工之間有無顯著性差異？（2） 機(jī)器之間的差異是否顯著？（3） 操作工與機(jī)器的交互作用是否顯著？ 解 用表示機(jī)器的水平數(shù)，表示操作工的水平數(shù)，表示重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)，列出計(jì)算表和方差分析表：甲乙丙4751486054455148556354511561591531592061982

15、23627， ， ， 方差分析表來源平方和自由度均方和F比機(jī)器操作工交互作用2.7527.1773.5041.33326240.9213.5912.251.7217.907.12總和144.7535由于，所以在水平上，操作工有顯著差異，機(jī)器之間無顯著差異，交互作用有顯著差異。8.3通過原點(diǎn)的一元線性回歸模型時(shí)怎樣的？通過原點(diǎn)的二元線性回歸模型是怎樣的？分別寫出結(jié)構(gòu)矩陣，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng)矩陣，并寫出回歸系數(shù)的最小二乘法估計(jì)公式。解 通過原點(diǎn)的一元線性回歸模型：，的最小二乘估計(jì)為通過原點(diǎn)的二元線性回歸模型：，的最小二乘估計(jì)為：8.4 對(duì)不同的元麥堆測(cè)得如下數(shù)據(jù)：堆 號(hào)123456重量跨

16、度28133.2527053.20111035.0725903.1421312.9051814.02試求重量對(duì)跨度的回歸方程，并求出根方差的估計(jì)值。解 設(shè)所求回歸方程為，由數(shù)據(jù)可以求出：由最小二乘法估計(jì)公式可知故可得回歸方程：的估計(jì)是則的估計(jì)為6558.5 設(shè)相互獨(dú)立同服從于。（1） 寫出矩陣（2） 求的最小二乘估計(jì)（3） 證明當(dāng)時(shí)，的最小二乘估計(jì)不變 解 （1）（2），則，的最小二乘估計(jì)是（3）若，此時(shí)模型成為： ，則對(duì)應(yīng)的，的最小二乘估計(jì)是8.6 若與有下述關(guān)系：其中從中獲得了n組獨(dú)立觀測(cè)值，能否求出的最小二乘估計(jì)，試寫出最小二乘估計(jì)的公式，能否檢驗(yàn)假設(shè)試寫出檢驗(yàn)的拒絕域。解 若記則的最小

17、二乘估計(jì)為下述方程組的解： （*）的最小二乘估計(jì)為：若把方程組（*）的系數(shù)矩陣記為，則，又記，則在顯著性水平上檢驗(yàn)的拒絕域是：其中，8.7 某醫(yī)院用光色比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蜇晻r(shí)，得尿貢含量與肖光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如下：尿貢含量246810肖光系數(shù)64138205285360已知它們之間有下述關(guān)系式：各相互獨(dú)立，均服從分布，試求的最小二乘估計(jì)，并給出檢驗(yàn)假設(shè)的拒絕域。解 由數(shù)據(jù)可以求得，n=5 ，則，最小二乘估計(jì)為：檢驗(yàn)假設(shè)可用統(tǒng)計(jì)量因此，拒絕原假設(shè)。8.8 研究同一地區(qū)土壤中所含植物可給態(tài)磷的情況，得到18組數(shù)據(jù)如下，其中，土壤內(nèi)所含無機(jī)磷濃度土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有機(jī)磷濃度土壤內(nèi)溶于K

18、2CO3溶液但不溶于溴化物的有機(jī)磷濃度載在土壤內(nèi)的玉米中可給態(tài)磷的濃度已知與之間有下述關(guān)系：各相互獨(dú)立，均服從分布，試求出回歸方程，并對(duì)方程及各因子的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。土壤樣本1234567891011121314151617180.40.43.10.64.71.79.410.111.612.610.923.123.121.623.11.926.829.9532319342465443129583746504456362851158163371575912346117173112111114134731681432021246460716154778193935176967793955416899由上述數(shù)據(jù)可以求得下面的結(jié)果：所求得的回歸方程為記對(duì)方乘作檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：故在的水平上方程是顯著的。對(duì)各因子作檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量分別為故在的水平上，是顯著的，與是不顯著的。8.8 某種膨脹合金含有兩種主要成分，做了一批試驗(yàn)如表所示，從中發(fā)現(xiàn)這兩種成分含量和與