理論力學(xué)周衍柏思考題習(xí)題答案

1、阿第一章思考題解答1.1答：平均速度是運動質(zhì)點在某一時間間隔內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿對應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時速度是運動質(zhì)點在某時刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時刻質(zhì)點所在點軌跡的切線方向。在的極限情況，二者一致，在勻速直線運動中二者也一致的。1.2答：質(zhì)點運動時，徑向速度和橫向速度的大小、方向都改變，而中的只反映了本身大小的改變，中的只是本身大小的改變。事實上，橫向速度方向的改變會引起徑向速度大小大改變，就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度的方向改變也引起的大小改變，另一個即為反映這種改變的加速度分量，故，。這表示質(zhì)點的徑向與橫向運動在相互影響

2、，它們一起才能完整地描述質(zhì)點的運動變化情況1.3答：內(nèi)稟方程中，是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于恒位于密切面內(nèi)，速度總是沿軌跡的切線方向，而垂直于指向曲線凹陷一方，故總是沿助法線方向。質(zhì)點沿空間曲線運動時，z何與牛頓運動定律不矛盾。因質(zhì)點除受作用力，還受到被動的約反作用力，二者在副法線方向的分量成平衡力，故符合牛頓運動率。有人會問：約束反作用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點的作用而對質(zhì)點產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會問：某時刻若大小不等，就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時刻質(zhì)點受合力的方向與原來不同，質(zhì)點的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來所在的方位，又

3、有了新的副法線，在新的副法線上仍滿足。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點的運動而變。1.4答：質(zhì)點在直線運動中只有，質(zhì)點的勻速曲線運動中只有；質(zhì)點作變速運動時即有。1.5答：即反應(yīng)位矢大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點運動某時刻的速度矢量，而只表示大小的改變。如在極坐標(biāo)系中，而。在直線運動中，規(guī)定了直線的正方向后，。且的正負可表示的指向，二者都可表示質(zhì)點的運動速度；在曲線運動中，且也表示不了的指向，二者完全不同。 表示質(zhì)點運動速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而只是質(zhì)點運動速度大小的改變。在直線運動中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點運動的加速度；在曲線運

4、動中，二者不同，。1.6答：不論人是靜止投籃還是運動投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6圖所示，故人以速度向球網(wǎng)前進時應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，（事實上要稍高一點，使球的運動有一定弧度，便于投籃）。1.7答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度的勻速水平直線運動的合成運動如題1.7圖所示，是固定于車的坐標(biāo)系，雨點相對車的加速度，其相對運動方程消去的軌跡如題圖，有人會問：車上的人看雨點的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內(nèi)側(cè)，垂直于方向的分量在改變著的方向，該軌跡上凹。1.8答：設(shè)人發(fā)覺干落水時，船已上行，上行時船的

5、絕對速度，則 船反向追趕竿的速度，設(shè)從反船到追上竿共用時間，則 又竿與水同速，則 +=得1.9答：不一定一致，因為是改變物體運動速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運動中外力與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運動二者的方向一致。1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運動。在曲線運動中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運動，以后各時刻既可沿初速度方向運動，也可沿力的方向運動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升過程中初速度的方向運動，到達最高點下落過程中沿力

6、的方向運動。在曲線運動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會沿初速度的方向也不會沿外力的方向運動，外力不斷改變物體的運動方向，各時刻的運動方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。1.11答：質(zhì)點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達到任意點的速度只和初末時刻的高度差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論假如曲線不是光滑的，質(zhì)點還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點到達

7、任一點的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。1.12答：質(zhì)點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點的運動方向，故約束力不做功，動能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能定理或能量積分可求出質(zhì)點在某位置的速度，從而得出，有牛頓運動方程便可求出，即為約束力1.13答：動量 動能1.14答：故1.15答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意味著動量也守恒。如質(zhì)點受有心力作用而運動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為零，但這質(zhì)點受的力并不為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。1.16答：若,在球坐標(biāo)系中

8、有由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中仍有的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中故 事實上據(jù)“”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡寫為這表明有心力場是無旋場記保守立場1.17答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能，其勢能曲線如題圖1.17圖所示，由。 若，其勢能曲線對應(yīng)于近日點和遠日點之間的一段。近日點處即為進入軌道需要的初動能若則質(zhì)點的運動無界，對應(yīng)于雙曲線軌道的運動；若位于有界和無界之間，對應(yīng)于拋物線軌道的運動；這兩種軌道的運動都沒有近日點，即對大的質(zhì)點的運動是無界的，當(dāng)很大時，還是選無限遠為零勢點的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運動比拋物軌道和橢圓軌道需要的進入軌道需要的動能要

9、大。事實及理論都證明，平方反比引力場中質(zhì)點的軌道正是取決于進入軌道時初動能的大小由 得 即速度的大小就決定了軌道的形狀，圖中對應(yīng)于進入軌道時的達到第一二三宇宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故有一極小值，既相互作用的二質(zhì)點不可能無限接近，對于人造衛(wèi)星的發(fā)射其為地球半徑。為地面上發(fā)射時所需的初動能，圖示分別為使衛(wèi)星進入軌道時達到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動能。 .為進入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的

10、家教越大，運動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對地球的直接探測面積越大，其科學(xué)使用價值越高。1.19答：對庫侖引力場有，軌道是雙曲線的一點，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內(nèi)側(cè)；若，軌道橢圓或拋物線，盧瑟福公式不適用，仿照課本上的推證方法，在入射速度的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正，負粒子的對撞試驗可驗證這一結(jié)論的近似正確性。第一章習(xí)題解答1.1 由題可知示意圖如題圖:設(shè)開始計時的時刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運動設(shè)減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢.1.2 解 由題可知,以燈塔為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)

11、如題圖.設(shè)船經(jīng)過小時向東經(jīng)過燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過小時經(jīng)過燈塔任意時刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對時間求導(dǎo)船相距最近，即，所以即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離km1.3 解 如題圖由題分析可知，點的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運用由此可得得得化簡整理可得此即為點的軌道方程.（2）要求點的速度，分別求導(dǎo)其中又因為對兩邊分別求導(dǎo)故有所以1.4 解 如題圖所示，繞點以勻角速度轉(zhuǎn)動，在上滑動，因此點有一個垂直桿的速度分量點速度又因為所以點加速度1.5 解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對等式兩邊同時積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時，故

12、即又因為所以對等式兩邊同時積分，可得：1.6 解 由題可知質(zhì)點的位矢速度沿垂直于位矢速度又因為 ， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 把代入式中可得1.7 解 由題可知 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對求導(dǎo) 對于加速度，我們有如下關(guān)系見題圖即 -對倆式分別作如下處理：，即得 -+得 把代入 得同理可得1.8解 以焦點為坐標(biāo)原點，運動如題圖所示則點坐標(biāo)對兩式分別求導(dǎo)故 如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為對求導(dǎo)可得（利用）又因為 即 所以 故有 即 （其中為橢圓的半短軸）1.9證 質(zhì)點作平面運動，設(shè)速度表達式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以

13、 又因為速率保持為常數(shù)，即為常數(shù)對等式兩邊求導(dǎo)所以即速度矢量與加速度矢量正交.1.10解 由題可知運動軌跡如題圖所示，則質(zhì)點切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式 又因為 所以 聯(lián)立 又把兩邊對時間求導(dǎo)得又因為 所以 把代入既可化為對等式兩邊積分所以1.11解 由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖所示兩式相比得即 對等式兩邊分別積分即 此即質(zhì)點的速度隨時間而變化的規(guī)律.1.12證 由題1.11可知質(zhì)點運動有關(guān)系式 所以 ，聯(lián)立，有又因為所以 ，對等式兩邊分別積分，利用初始條件時，1.13 證（）當(dāng)，即空氣相對地面上靜止的，有.式中質(zhì)點相對靜止參考系的絕對速度， 指向點運動參考系的速度， 指運動參考系相對

14、靜止參考系的速度.可知飛機相對地面參考系速度：=，即飛機在艦作勻速直線運動.所以飛機來回飛行的總時間 .（）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機向東飛行時速度飛行時間 當(dāng)飛機向西飛行時速度飛行時間故來回飛行時間即 同理可證，當(dāng)空氣速度向西時，來回飛行時間（c）假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題圖所以來回飛行的總時間 同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為1.14解 正方形如題圖。由題可知設(shè)風(fēng)速,當(dāng)飛機，故飛機沿此邊長6正方形飛行一周所需總時間 1.15 解 船停止時，干濕分界線在蓬前3，由題畫出速度示意圖如題.15.1圖 故又因為，所以由圖可知所以=81.16解 以一岸邊為軸，垂直岸的方向為軸.建

15、立如題圖所示坐標(biāo)系.所以水流速度又因為河流中心處水流速度為所以。當(dāng)時，即 -得，兩邊積分 聯(lián)立，得 同理，當(dāng)時，即 由知，當(dāng)時，代入得有 ，所以船的軌跡船在對岸的了；靠攏地點，即時有1.17 解 以為極點，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 -/得 ，對兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時，.設(shè)有得 1.18 解 如題圖質(zhì)點沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點下滑的加速度為.設(shè)豎直線，斜槽，易知，由正弦定理即 又因為質(zhì)點沿光滑面下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動.所以 有 欲使質(zhì)點到達點時間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對求導(dǎo)

16、極大值時，故有由于是斜面的夾角，即所以1.19 解 質(zhì)點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題圖，上升時 下降時題圖則兩個過程的運動方程為：上升 下降： 對上升階段:即 對兩邊積分所以 即質(zhì)點到達的高度.對下降階段：即 由=可得1.20解 作子彈運動示意圖如題圖所示.題圖水平方向不受外力，作勻速直線運動有 豎直方向作上拋運動，有 由得 代入化簡可得因為子彈的運動軌跡與發(fā)射時仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，所以要求的最大值.把對求導(dǎo)，求出極值點.即 所以，代入的表達式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離的最大值1.21 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在

17、變化，但都在軌道上沒點切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有： 軌道的法線方向上有： 由于角是在減小的，故 由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使變成關(guān)于的等式由即 把代入可得 用可得 即，兩邊積分得 代入初始條件時，即可得代入式，得 又因為所以 把代入積分后可得 1.22 各量方向如題圖.電子受力則電子的運動微分方程為 -由，即代入整理可得 對于齊次方程的通解非齊次方程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時，得 時，得,故同理，把代入可以解出把代入代入初條件時，得.所以）1.23證 （a）在1.22題中，時，則電子運動受力電子的運動微分方程

18、-對積分 對再積分 又故（為一常數(shù)）此即為拋物線方程.當(dāng)時則電子受力 則電子的運動微分方程為 -同1.22題的解法，聯(lián)立-解之，得于是 及電子軌道為半徑的圓.1.24 解以豎直向下為正方向，建立如題圖所示坐標(biāo)， 題圖 題1.24.2圖以開始所在位置為原點.設(shè)-處物體所處坐標(biāo)分別為，則3個物體運動微分方程為： -由于與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有，即 之間用倔強系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 由得 由得 代入，有 代入，有 此即為簡諧振動的運動方程.角頻率所以周期解得以初始時為原點，時，.所以 代入得聯(lián)立-得1.25解，選向下為正方向，滑輪剛停時物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點.建立如題.25.1圖所示

19、坐標(biāo)系.題圖原點的重力勢能設(shè)為0.設(shè)彈簧最大伸長.整個過程中，只有重力做功，機械能守恒： -聯(lián)立得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時的彈力，為最大張力，即1.26解 以繩頂端為坐標(biāo)原點.建立如題圖所示坐標(biāo)系.題圖設(shè)繩的彈性系數(shù)為,則有 當(dāng) 脫離下墜前，與系統(tǒng)平衡.當(dāng)脫離下墜前，在拉力作用下上升，之后作簡運.運動微分方程為 聯(lián)立 得 齊次方程通解非齊次方程的特解所以的通解代入初始條件：時，得；故有即為在任一時刻離上端的距離.1.27解對于圓柱凸面上運動的質(zhì)點受力分析如圖1-24.運動的軌跡的切線方向上有: 法線方向上有： 對于有（為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長）即又因為 即 設(shè)質(zhì)點剛離開圓柱面時

20、速度，離開點與豎直方向夾角，對式兩邊積分 剛離開圓柱面時即 聯(lián)立 得即為剛離開圓柱面時與豎直方向夾角.1.28解 建立如題圖所示直角坐標(biāo).橢圓方程 從滑到最低點，只有重力做功.機械能守恒.即 設(shè)小球在最低點受到橢圓軌道對它的支持力為則有： 為點的曲率半徑.的軌跡：得； 又因為 所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達橢圓最低點對橢圓壓力為方向垂直軌道向下.1.29 解質(zhì)點作平面直線運動，運動軌跡方程為 -由曲線運動質(zhì)點的受力分析，我們可以得到： -因為曲線上每點的曲率 所以 把代入曲率公式中所以 由即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以 把代入1.30 證當(dāng)題1.29所述運動軌跡的曲線不光滑時，質(zhì)點的運

21、動方程為： 由1.29題可知 由數(shù)學(xué)知識知 把代入 這是一個非齊次二階微分方程.解為當(dāng)時，得即當(dāng)，時，即故有1.31證：單擺運動受力分析如圖圖所示。因為即所以又單擺擺角很小，有=上式即化為：此即為一個標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動方程。設(shè)為固有頻率，又由于，即阻力很小的情況。方程的解為所以單擺振動周期結(jié)論得證。1.32 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運動，如圖圖。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來分析此題，則質(zhì)點受到一個大小為的非慣性力，方向與相反。質(zhì)點在楔子這個非慣性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析：垂直斜面受力平衡： 聯(lián)立得此即楔子相對斜面的加速度。對斜面的壓力與斜面對的支持力等大反方向

22、。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運動時，質(zhì)點的和楔子對斜面的壓力為綜上所述可得1.33解 設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運動如題圖，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個非慣性系里來分析此題。圓圈上的小環(huán)會受到一個大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運動到圓圈上某點，切線方向受力分析：法線方向受力分析有：對兩邊同乘以即兩邊同時積分把代入可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運動時小環(huán)的相對速度綜上所述，小環(huán)的相對速度圈對小環(huán)的反作用力1.34證：（1）當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時，因為功率與牽引力有如下關(guān)系：所以即對兩邊積分 （2） 當(dāng)阻力和速度成正比時，設(shè)=，為常數(shù)。同理由（1）可知即

23、對兩邊積分1.35 解 錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得，所以，即故兩邊同時積分得，又因為當(dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時有為常數(shù)，所以即由得整個過程壓力所做功又因為即對上式兩邊分段積分得136 解 （a）保守力滿足條件對題中所給的力的表達式 ，代入上式即 所以此力是保守力，其勢為 (b)同（a），由所以此力是保守力，則其勢能為1.37 解 （a）因為質(zhì)子與中子之間引力勢能表達式為故質(zhì)子與中子之間的引力（b）質(zhì)量為的粒子作半徑為的圓運動。動量矩由（a）知提供粒子作圓周運動的向心力，方向是沿著徑向，故當(dāng)半徑為的圓周運動兩式兩邊同乘以即又因為有做圓周運動的粒子的能量等于粒子的

24、動能和勢能之和。所以1.38 解 要滿足勢能的存在，即力場必須是無旋場，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢能存在。勢能為：1.39 證 質(zhì)點受一與距離成反比的力的作用。設(shè)此力為又因為即當(dāng)質(zhì)點從無窮遠處到達時，對式兩邊分別積分：當(dāng)質(zhì)點從靜止出發(fā)到達時，對式兩邊分別積分：得所以質(zhì)點自無窮遠到達時的速率和自靜止出發(fā)到達時的速率相同。1.40 解由題可知（因為是引力，方向與徑向相反所以要有負號）由運動微分方程即 對上式兩邊積分故又因為與的方向相反，故取負號。即1.41證 畫出有心力場中圖示如題1.41.圖，我們采用的是極坐標(biāo)。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動能定理沿方向得1

25、.42 證 （）依據(jù)上題結(jié)論，我們?nèi)匀蝗O坐標(biāo)如題圖。質(zhì)點運動軌跡為一圓周，則其極坐標(biāo)方程為 由得即故即力與距離5次方成正比，負號表示力的方向與徑向相反。（）質(zhì)點走一對數(shù)螺旋線，極點為力心，我們?nèi)圆捎脴O坐標(biāo)。對數(shù)螺旋線為常數(shù)。有根據(jù)題1.41，常數(shù)，有故得證。1.43證 由畢耐公式 質(zhì)點所受有心力做雙紐線運動故故1.44證 由畢耐公式將力帶入此式因為所以即令上式化為這是一個二階常系數(shù)廢氣次方程。解之得微積分常數(shù)，取，故有令所以1.45 證 由題意可知，質(zhì)點是以太陽為力心的圓錐曲線，太陽在焦點上。軌跡方程為在近日點處在遠日點處由角動量守恒有所以1.46解 因為質(zhì)點速率所以又由于即又因為所以兩邊積

26、分即1.47 證（）設(shè)地球軌道半徑為。則彗星的近日點距離為。圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為彗星軌道為拋物線，即。近日點時。故近日點有即 又因為所以（彗星在單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積）掃過扇形面積的速度又因為故兩邊積分 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點為地球軌道半徑處。即即又因為所以把代入（ 式代入時取“+”即可）故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時間為設(shè)地球繞太陽運動一周的時間為。因為假定地球運動軌道為圓形，所以又由于，有地球繞太陽運動單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積。掃過扇形速度 （）由證明（）知彗星在地球軌道內(nèi)停留時間對此式求極大值，即對求導(dǎo)，使即即 得驗證故為極大值，代入式可知1.48 解 由§1.9給出的

27、條件：人造地球衛(wèi)星近、遠點距離分別為地球半徑有橢圓運動中的能量方程可知： 為衛(wèi)星運行的橢圓軌道的長軸把代入有近地點速率遠地點速率運動周期（參見1.47）其中為運動軌道的半長軸所以1.49 證 由行星繞太陽作橢圓運動的能量方程為為橢圓的半長軸。令又因為，上式化為：因為即所以又因為行星橢圓軌道運動周期即常數(shù)，故又因為 為正焦弦的一半所以 由題意可知 即 把代入可得化簡可得即 兩邊積分，由題設(shè)即1.50解 質(zhì)點在有心力場中運動，能量和角動量均守恒。無窮遠處勢能為零。所以 任意一處 由代入所以第二章 質(zhì)點組力學(xué)第二章思考題解答2.1.答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出

28、各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點組，然后求質(zhì)點組的質(zhì)心即為整個物體的質(zhì)心。對被割去的部分，先假定它存在，后以其負質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2.答：物體具有三個對稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點即為該物體的幾何對稱中心，又該物體是均勻的，故此點即為質(zhì)心的位置。2.3.答：對幾個質(zhì)點組成的質(zhì)點組，理論上可以求每一質(zhì)點的運動情況，但由于每一質(zhì)點受到周圍其它各質(zhì)點的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點可列出三個二階運動微分方程，各個質(zhì)點組有個相互關(guān)聯(lián)的三個二階微分方程組，難以解算。但對于二質(zhì)點組成的質(zhì)點組，每一質(zhì)點的運動還是可以解算的。若質(zhì)點組不受外力作用，由于

29、每一質(zhì)點都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點的作用力，每一質(zhì)點的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。這表明，內(nèi)力不改變質(zhì)點組整體的運動，但可改變組內(nèi)質(zhì)點間的運動。2.4.答：把碰撞的二球看作質(zhì)點組，由于碰撞內(nèi)力遠大于外力，故可以認為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動量發(fā)生改變。2.5.答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對船的阻力），且開船時系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對地面的位置不變。當(dāng)人向船尾移動時，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動，這是符合質(zhì)心運動定理

30、的。2.6.答：碰撞過程中不計外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能（分子間的結(jié)合能），故動量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時，即相撞物體的形變可以完全恢復(fù)或不發(fā)生形變時，能量也守恒，但這只是理想情況。2.7.答：設(shè)質(zhì)心的速度，第個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度，則，代入質(zhì)點組動量定理可得這里用到了質(zhì)心運動定理。故選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動量定理中要計入慣性力。但質(zhì)點組相對質(zhì)心的動量守恒。當(dāng)外力改變時，質(zhì)心的運動也改變，但質(zhì)點組相對于質(zhì)心參考系的動量不變，即相對于質(zhì)心參考系的動量不受外力影響，這給我們解決問題帶來不少方便

31、。值得指出：質(zhì)點組中任一質(zhì)點相對質(zhì)心參考系有 ，對質(zhì)心參考系動量并不守恒。2.8.答不對.因為人拋球前后球與船和人組成的系統(tǒng)的動量守恒，球拋出后船和人的速度不再是。設(shè)船和人的質(zhì)量為，球拋出后船和人的速度為，則 球出手時的速度應(yīng)是。人做的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的改變，不是只等于小球動能的改變，故人做的功應(yīng)為顯然與系統(tǒng)原來的速度無關(guān)。2.9.答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運動中繩的拉力提供圓弧運動的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)秋千蕩到鉛直位置向上去的過程中，人站起來提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢能增加；當(dāng)達到最高點向豎直位置折回過程中，人

32、蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動能增大，這樣循環(huán)往復(fù)，系統(tǒng)的總能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時能量的增長是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。2.10.答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變，然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運動問題的特例，故§2.7（2）中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運動問題的公式。2.11.答：由知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度或增大質(zhì)量比。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問題的限制，不能過大；又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量相當(dāng)大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級火箭，一級火箭的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級火箭開始工

33、作后便于提高火箭的速度。若各級火箭的噴射速度都為，質(zhì)量比分別為，各級火箭的工作使整體速度增加，則火箭的最后速度因每一個都大于1，故可達到相當(dāng)大的值。但火箭級數(shù)越多，整個重量越大，制造技術(shù)上會帶來困難，再者級越高，質(zhì)量比越減小，級數(shù)很多時，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級數(shù)不能過多，一般三至四級火箭最為有效。第二章習(xí)題解答2.1 解 均勻扇形薄片，取對稱軸為軸，由對稱性可知質(zhì)心一定在軸上。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因為所以對于半圓片的質(zhì)心，即代入，有2.2 解 建立如圖圖所示的球坐標(biāo)系把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。設(shè)均勻球體的密度為

34、。則 由對稱性可知，此球帽的質(zhì)心一定在軸上。代入質(zhì)心計算公式，即2.3 解 建立如題圖所示的直角坐標(biāo)，原來與共同作一個斜拋運動。當(dāng)達到最高點人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運動。由此可知，兩次運動過程中，在達到最高點時兩次運動的水平距離是一致的（因為兩次運動水平方向上均以作勻速直線運動，運動的時間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運動：從最高點運動到落地，水平距離 第二次運動:在最高點人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動量守恒，有可知道 水平距離跳的距離增加了=2.4 解 建立如圖圖所示的水平坐標(biāo)。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上

35、系統(tǒng)不受外力，動量守恒，有 對分析；因為 在劈上下滑，以為參照物，則受到一個慣性力（方向與加速度方向相反）。如圖圖所示。所以相對下滑。由牛頓第二定律有 所以水平方向的絕對加速度由可知 聯(lián)立，得 把代入，得 負號表示方向與軸正方向相反。求劈對質(zhì)點反作用力。用隔離法。單獨考察質(zhì)點的受力情況。因為質(zhì)點垂直斜劈運動的加速度為0，所以把代入得， 水平面對劈的反作用力。仍用隔離法。因為劈在垂直水皮方向上無加速度，所以 于是 2.5 解 因為質(zhì)點組隊某一固定點的動量矩所以對于連續(xù)物體對某一定點或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。如圖圖所示薄圓盤，任取一微質(zhì)量元， 所以圓盤繞此軸的動量矩=2.6 解炮彈

36、達到最高點時爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個部分，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻?，并一此速度分別作平拋運動。由前面的知識可知，同一高處平拋運動的物體落地時的水平距離之差主要由初速度之差決定。進而轉(zhuǎn)化為求，。炮彈在最高點炮炸時水平方向上無外力，所以水平方向上的動量守恒： 以質(zhì)點組作為研究對象，爆炸過程中能量守恒： 聯(lián)立解之，得所以落地時水平距離之差=2.7 解 建立如題圖所示的直角坐標(biāo)系。 當(dāng)沿半圓球下滑時，將以向所示正方向的反向運動。以、組成系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒，即相對于地固連的坐標(biāo)系的絕對速度為相對的運動速度 故水平方向豎直方向 在下滑過程中，

37、只有保守力（重力）做功，系統(tǒng)機械能守恒：（以地面為重力零勢能面） =把代入 =把代入2.8 證 以連線為軸建立如題圖所示的坐標(biāo)。 設(shè)初始速度為與軸正向夾角碰撞后，設(shè)、運動如題圖所示。、速度分別為、，與軸正向夾角分別為、。以、為研究對象，系統(tǒng)不受外力，動量守恒。方向：垂直軸方向有：可知整個碰撞過程只有系統(tǒng)內(nèi)力做功，系統(tǒng)機械能守恒：由得 即兩球碰撞后速度相互垂直，結(jié)論得證。2.9 解 類似的碰撞問題，我們一般要抓住動量守恒定理和機械能守恒定理得運用，依次來分析條件求出未知量。設(shè)相同小球為，初始時小球速度，碰撞后球的速度為，球的速度以碰撞后球速度所在的方向為軸正向建立如題圖所示的坐標(biāo)(這樣做的好處是

38、可以減少未知量的分解，簡化表達式)。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過程中無外力做功，系統(tǒng)動量守恒。方向上有： 方向上有： 又因為恢復(fù)系數(shù) 即=用- 用代入得 求在各種值下角的最大值，即為求極致的問題。我們有得即=0所以 即由因為= 故=所以2.10 以為研究對象。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，隨即在不可伸長的繩約束下作圓周運動。以的連線為軸建立如題圖所示。碰撞過程中無外力做功，動量守恒：隨即在的約束下方向變?yōu)檠剌S的正向，速度變?yōu)楣?方向上有故恢復(fù)系數(shù)定義有：= 即 聯(lián)立得 2.11 解 如圖所示， 有兩質(zhì)點，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開始時靜止。現(xiàn)在有一沖量作用與，則作用后，得到速度，仍

39、靜止不動：。它們的質(zhì)心位于原點，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因為系統(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運動。由于質(zhì)心系是慣性系，且無外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運動，因而他們作的事圓滾線運動。經(jīng)過時間后，如圖所示：于是在系中的速度的速度：因此2.12 解 對于質(zhì)心系的問題，我們一般要求求出相對固定參考點的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運動情況，由此去計算物體相對或絕對物理量及其間的關(guān)系。由題可知，碰前速度為，速度。碰后速度，分別設(shè)為。碰撞過程中無外力做功，動量守恒。有恢復(fù)系數(shù)聯(lián)立得再由質(zhì)點組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對固定點位矢，分別為 ，對同一固定點的位矢所以（

40、質(zhì)點組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。）設(shè)兩球碰撞后相對質(zhì)心的速度，。（負號表示與相反）同理，碰撞前兩球相對質(zhì)心的速度（負號表示方向與相反）所以開始時兩球相對質(zhì)心的動能：=2.13 用機械能守恒方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機械能守恒。以桌面所平面為重力零勢能面。有2.14 此類題為變質(zhì)量問題，我們一般研究運動過程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系以豎直向上我軸正向建立如題圖所示坐標(biāo)。繩索離地面還剩長時受重力則所以 求地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對繩索的支持力即可，它們是一對作用力與反作用力。這是我們以快要落地的一小微元作為研究對象。它的速度由變?yōu)?。用動量守恒，有=又因

41、為=2.15 解 這是一道變質(zhì)量的問題，對于此類問題，我們由書上p.137的（）式來分析。以機槍后退方向作為軸爭先，建立如題圖的坐標(biāo)。豎直方向上支持力與重力是一對平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力單位時間質(zhì)量的變化由式所以2.16解 這是一個質(zhì)量增加的問題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書上p.138的（）式分析雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問題。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。對于雨滴我們常看成球形，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即為常數(shù)。我們對式兩邊求導(dǎo)由于=，所以對式兩邊

42、積分以雨滴下降方向為正方向，對式分析 （為常數(shù)）當(dāng)時，所以2.17 證 這是變質(zhì)量問題中的減質(zhì)量問題，我們?nèi)杂脮蟨.137()式來分析。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。以向上為正方向，則火箭任一時刻的質(zhì)量噴氣速度2074是指相對火箭的速度，即。有式化簡 對兩邊積分 此既火箭速度與時間的關(guān)系。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時間，由題意知代入可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時，恒成立，即為的增函數(shù)。又當(dāng)時，=11.25而要用此火箭發(fā)射人造太陽行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。故所攜帶燃料重量至少是空火箭重量的300倍。2.18證 要使火箭上升，必須有發(fā)動機推力火箭的重量，即即火箭才能

43、上升，結(jié)論得證。由于噴射速度是常數(shù)，單位時間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線性規(guī)律火箭飛行速度又因為燃料燃燒時間代入得火箭最大速度=又因為式又可以寫成積分可得從開始到燃燒盡這一段時間內(nèi)火箭上升高度。把代入得之后火箭作初速度為的豎直上拋運動?？蛇_高度故火箭能達到的最大高度=2.19證 假設(shè)該行星做橢圓運動，質(zhì)量為，周期為。某一時刻位置為，速度為，則=-又因為于是=第三章 剛體力學(xué)第三章思考題解答3.1 答：確定一質(zhì)點在空間中得位置需要3個獨立變量，只要確定了不共線三點的位置剛體的位置也就確定了，故須九個獨立變量，但剛體不變形，此三點中人二點的連線長度不變，即有三個約束方程，所以確定剛體的一般運動不需3n個

44、獨立變量，有6個獨立變量就夠了.若剛體作定點轉(zhuǎn)動，只要定出任一點相對定點的運動剛體的運動就確定了，只需3個獨立變量；確定作平面平行運動剛體的代表平面在空間中的方位需一個獨立變量，確定任一點在平面上的位置需二個獨立變量，共需三個獨立變量；知道了定軸轉(zhuǎn)動剛體繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)角，剛體的位置也就定了，只需一個獨立變量；剛體的平動可用一個點的運動代表其運動，故需三個獨立變量。3.2 答物體上各質(zhì)點所受重力的合力作用點即為物體的重心。當(dāng)物體的大小遠小于地球的線度時物體上各質(zhì)點所在點的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力場為均勻場，此時質(zhì)心與重心重合。事實上但物體的線度很大時各質(zhì)點所在處的大小是嚴格相等，且各

45、質(zhì)點的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心與質(zhì)心不和。3.3答 當(dāng)物體為均質(zhì)時，幾何中心與質(zhì)心重合；當(dāng)物體的大小遠小于地球的線度時，質(zhì)心與重心重合；當(dāng)物體為均質(zhì)且大小遠小于地球的線度時，三者都重合。3.4 答 主矢是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨簡化中心的位置而改變，故而也稱之為力系的主矢；簡化中心的位置不同，各力對簡化中心的位矢也就不同則各力對簡化中心的力矩也就不同，故主矩隨簡化中心的位置而變，被稱之為力系對簡化中心的主矩。分別取和為簡化中心，第個力對和的位矢分別為和，則=+，故即主矢不變，表明剛體的平動效應(yīng)不變，主矩隨簡化中心的位置改變，表明力系的作用對剛

46、體上不同點有不同的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，但不改變整個剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律或者說不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。設(shè)和對質(zhì)心的位矢分別為和，則=+，把點的主矢，主矩移到點得力系對重心的主矩把為簡化中心得到的主矢和主矩移到點可得簡化中心的改變引起主矩的改變并不影響剛體的運動。事實上，簡化中心的選取不過人為的手段，不會影響力系的物理效應(yīng)。3.5 答 不等。如題3-5圖示，繞軸的轉(zhuǎn)動慣量這表明平行軸中沒有一條是過質(zhì)心的，則平行軸定理是不適應(yīng)的3.6不能，如3-5題。但平行軸定理修改后可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如題3-6圖所示，均質(zhì)棒上二點到質(zhì)心的距離分別為和由平行軸定理得：則，此式即可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如上題用此式即可求得

47、：3.7 答 任一瞬時，作平面平行運動的剛體上或與剛體固連且與剛體一起運動的延拓平面總有也僅有一點的瞬時速度為零（轉(zhuǎn)動瞬心）從運動學(xué)觀點看由（）式知選此點的基點較好，這樣選基點，整個剛體僅繞此點作瞬時轉(zhuǎn)動從（）式可知，求加速度時選加速度為零的點為基點較方便，但實際問題中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。從動力學(xué)角度考慮，選質(zhì)心為基點較好，因質(zhì)心的運動可由質(zhì)心運動定理解決；而且質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理于對固定點的動量矩定理具有相同的形式，亦即剛體繞過質(zhì)心與平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動可用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的定律去解決。因剛體上不同點有不同的速度和加速度，基點選取的不同，則（）和（）式中不同，即和與基點有關(guān)；又任一點相對基點的位矢于基點的選取有關(guān)。故任一點繞基點轉(zhuǎn)動速度，相對基點的切線加速度和相對基點的向心加速度與基點選取有關(guān)；角速度為剛體各點所共有與基點選取無關(guān)，故也與基點選取無關(guān)；基點選取的不同是人為的方法，它不影響剛體上任一點的運動，故任一點的速度與基點的選取無關(guān)。這也正是基點選取任意性的實質(zhì)所在。3.8 答 轉(zhuǎn)動瞬心在無窮遠處，標(biāo)志著此瞬時剛體上各點的速度