數學分析課件：3-3 導數的運算法則

1、3 導數的運算法則 一、求導的四則運算定理3.1并且并且也可導也可導們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它可導可導在區(qū)間在區(qū)間如果函數如果函數,)(),(Ixvxu).0)()()()()()()()( )3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu);()()()( )()( )2(xvxuxvxuxvxu );()( )()( )1(xvxuxvxu ),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證 僅證僅證(3).(3).hxv

2、hxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf推廣：四則運算性質可推廣到有限項; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()()()()( )()3(21211xfxfxfxfxfxfxfnnnii ; )()(11 ninikkkixfxf例1.sin223的導數的導數求求xxxy 解23xy x4 例2.ln2sin的導數的導數求求xxy 解xxxylncos

3、sin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例3.tan的導數的導數求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得例4.sec的導數的導數求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、復合函數的求導法則定理3.2 鏈

4、式法則: 對中間變量的導數乘以中間變量對 自變量的導數.)(,)(ufvvu而函數而函數可導可導在點在點設函數設函數 在點在點則復合函數則復合函數可導可導在點在點)(,)(xfyvu 且且可導可導,v).()(vufdvdududydvdy 證,)(可可導導在在點點由由uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(則則vyv 0lim)(lim00vuvuufv vuvuufvvv 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 0, 0 uv時時不不妨妨設設可推廣到有限次復合，例如),(),(),(xvvuufy 設設的導數為的導數為則復合函數則

5、復合函數)(xfy 例5.sinln的導數的導數求函數求函數xy 解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .dxdvdvdududydxdy 例6.)1(102的導數的導數求函數求函數 xy解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例7.arcsin22222的導數的導數求函數求函數axaxaxy 解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例8.)(sin的導數的導數求函數求函數nnnxfy 解)(sin)(sin1nnnnnxf

6、xnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx )(sincos113nnnnnxfxxn ).(sin)(sin)(sin1nnnnnxxfx 三、反函數的導數定理3.3存在并且可導，滿足存在并且可導，滿足則它的反函數則它的反函數)(1yfx .)( 1)(1xyf ,0)( )( xfIxf內嚴格單調，且內嚴格單調，且區(qū)間區(qū)間設設yxyyfyyfyfyy 01101lim)()(lim)(證, 0, 0 xy時有時有由嚴格單調，由嚴格單調，.)( 11lim0 xfxyy 上式上式例9.arcsin的導數的導數求函數求函數xy 解,)2,2(sin內單調、可導內單調、可

7、導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內有內有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc 例10.log的導數的導數求函數求函數xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內有內有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解,),(內單調、可導內單調、可導在在 yyIax 四、小結axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數和基本初等函數的導數常數和基本初等函數的導數xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(