閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)73273PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)73273一、最大值和最小值定理定義:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 , 2max y; 0min y,sgn xy ,),(上上在在, 1max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy第1頁/共15頁定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.).

2、()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若xyo)(xfy ab2 1 注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.第2頁/共15頁xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf第3頁/共15頁二、介值定理定義:.)(, 0)(000的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx 定理定

3、理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零的一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. .),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf 第4頁/共15頁幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 定理定理

4、4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . . 第5頁/共15頁證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf xyo)(

5、xfy abABMm1x2xC1 2 3 幾何解釋:.)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 第6頁/共15頁例1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.Mm.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx第7頁/共15頁例2.)(),(.)(,)

6、(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 bbfbF )()(, 0 由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fF.)( f即即第8頁/共15頁例3 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)證則則記記)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的定義域的定義域即即上連續(xù)上連續(xù)在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff

7、 若若即為所求即為所求則則0 )()0(aff 若若0)()0( aFF則則由零點(diǎn)定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即總之)()(), 0affa 使使第9頁/共15頁注方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)， 再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的(或x0或c)改寫成x（2）移項(xiàng)使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求第10頁/共15頁 區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。第11頁/共15頁三、小結(jié)四個(gè)定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理;第12頁/共15頁思考題下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(x