實變函數(shù)論課件8、9外測度和可測集(選講)

1、1Lebesgue 外測度., , . . , ,11RR均指以后凡說到的數(shù)數(shù)有限無限數(shù)稱為看成是兩個固定的數(shù). )()( ;)()( ;)( )(1無意義但時aRai. )( )( )(ii. 0 ,; 0 , 0; 0 ,)( )(時當時當時當uuuuiii. 0 ; 00 )(無意義時但uuiv2. | ),( )( ) (,.,2 , 1;, 1IabaNibaINiiiiii記作邊長積為它的容度稱各邊長的乘積其中對于區(qū)間. ,| inf . ), ( Lebesgue , ), ( | , .)( 1 11*11EIIIEmEmEEIIEEnnnnnnnn為半開區(qū)間諸即記作的外測度稱

2、簡外測度的其下確界稱為組成一個數(shù)集一切這樣得到的數(shù)它是非負實數(shù)或之和的容度都求出其所有半開區(qū)間列半開區(qū)間覆蓋的每個可對于點集有界或無界是任一設定義區(qū)間的外測度外測度的定義 1 . 23. Lebesgue Jordan,Lebesgue Jordan )2( ., ) 1 ( :外測度外測度大于其其確有某些點集而且外測度外測度一定不小于中有界點集的它是非負實數(shù)或任何點集都有外測度注NR. 0* , 1* ,1 , 0 ; 1 , 0(:EmEmIEIJ中有理點的全體為如4. | * 1 IImI都等于其容度的外測度任何區(qū)間命題.,其他情況的作練習證明為半開區(qū)間的情況給出這里僅就I|* IIm由

3、外測度的定義立即知證明.|, 2 , 1,| , , 2 , 1,| , .1)()(1nnniininniiiIINibxaxIIINibxaxI來證其中的的任意半開區(qū)間串為復蓋設為此再證相反的不等式).( - | , 2 , 1,| , 0這是可以做到的使作取充分小的正數(shù)IJNibxaxJiii5).(2| , 2 , 1,| , ,)()(這是可以做到的使作取充分小的正數(shù)對每個自然數(shù)nnnnniininnIJNibxaxJn因此合起來復蓋出有限個開區(qū)間由有限復蓋定理知可選復蓋閉集于是開區(qū)間族 . , . 21JJJJJJnknnn, | kiniJJ1111|nnnnkinIJJJIi.

4、 | 01nnII得令. |* .*| , 1IImImIIIn所以由外測度的定義知的任意半開區(qū)間串是覆蓋由于6（隔距有限可加性）則兩兩距離大于若半有限可加性半可列可加性單調(diào)性則若并且非負性有對任何點集性質(zhì)：外測度有如下四條基本定理 ; 0, ,., iv)( )( ; )( ; iii)( )( . , ii)( . 0 )( ; 0 , ) i ( 1 1*1*211*1*1*1*2*1*21*niiniinniiniiiiiiAmAmAAAEmEmEmEmEmEmEEmEmE（隔距可列可加性）則兩兩距離大于若. 0, ,.,., 1*1*21iiiinAmAmAAA質(zhì)性本基的度測外 2

5、.27. |,| , , (ii)(i) 2*1*2*11*12EmEmEmIEmEIEInnnn的定義即知由故也覆蓋則的半開區(qū)間串為覆蓋若顯然成立證明：. 2| , , , 0 iii)(*111iininninininiEmIIEIE使半開區(qū)間串由外測度的定義知存在對每個111 ininniIE因此81*1*111*)2(|iiiiiininiiEmEmIEm1*1* , 0 iiiiEmEm得令得在上式中令 ,. 21nnEE. , 01*1*niiniiEmEm得令9.)(| , 0 .)( iii)( (1) .)( , 0),( .a iv)(*1*BAmIIBABmAmBAmBm

6、AmBAmBAdnnn使的半開區(qū)間覆蓋由外測度的定義知存在任給再證相反的不等式知由來證為此設）證隔距有限可加性（ . |), ,2/ ( iinnNiininnIINdRIIdI時并且這這是容易做到的的半開區(qū)間分解為的邊長利用之并的半開區(qū)間線長小于無交的對角都可以表成有限個兩兩每個半開區(qū)間10 . )(| | , , . , , , : . . *1)2()1(*)2()1()2()1(BAmIIIBmAmBIAIIIAIBAIdIInnjjiijjiijinnnn顯然記作其余的歸為一組記作的點的歸為一組凡是含有所有半開區(qū)間分成兩組中的把的點與顯然不能同時含有這樣的的對角線長都小于中的每個因此

7、我們不妨設.) 1 ().( , 0*式成立所以得令BAmBmAm11式式便便得得到到逐逐次次運運用用知知兩兩兩兩距距離離大大于于由由 )1( ).1,.,1(0),( 0 ,., 1121 nkAAAAAkikin . 1*1* nniniiAmAm1*1* iii)( . )( niiiAmAmb知由證隔距可列可加性（隔隔距距可可列列可可加加性性）則則兩兩兩兩距距離離大大于于若若. 0, ,.,., 1*1*21 niiinAmAmAAA121*1*1*1*1*1*1*. . , , , .iiiiiiiiniiniiiiAmAmAmAmnAmAmAmn所以得令性及隔距有限可加性由外測度的

8、單調(diào)對任意自然數(shù)再證相反的不等式).()(, , 2*1*21*21從第五節(jié)可看出未必有無交時注：當兩個點集EmEmEEmEE13外外測測度度的的開開集集逼逼近近 3 . 2. , , 2 的外測度下確界恰等于這個數(shù)集的個非空數(shù)集的開集的外測度組成一則所有包含點集是任一（有界或無界）設定理EEE.2| , , .2| , . , 0 :. , 1*1*nnnnnnnnnIJIJIEmIIEEmGmEGEmGmEG使顯然可以作開區(qū)間對每個使的半開區(qū)間串存在覆蓋由外測度的定義知使存在開集對任下面來證由外測度的單調(diào)性知證明：若開集14.2| | 1 , , *111*1EmIJJmGmEGGJGnn

9、nnnnnn知半可列可加性及命題由外測度的是開集則令 證畢證畢15有界有界Lebesgue 可測集可測集有界可測集的定義 有界開、閉集的可測性. . Lebesgue Lebesgue , Lebesgue .( Lebesgue |,|)( , , 1 *mEEEEEEIEImEmEIE的測度）記作（簡稱測度的度為外測的稱可測的點集對于簡稱可測）可測的是就稱使若存在開區(qū)間是有界點集設定義。即測度與外側(cè)度的區(qū)別的區(qū)別與意注; *GmGm16. | , 1 ImII 并并且且是是可可測測的的開開區(qū)區(qū)間間例例. 1 ( Jordan Lebesgue , Jordan Lebesgue Jorda

10、n , Lebesgue Jordan ）中的第一節(jié)例如可測的可測的但不是但是存在著某些點集是度測測度恰等于它的可測集的并且可測的可測集都是中的注：ERN易易知知中中有有理理點點的的全全體體為為設設例例 , (0,1;0,1, 1 IEI *| 1, 1, ( )1; | 1, 0,( )1JJJm IIm EmIEm IIm EmIE17. |)( , , 1 *IGImGmIGGG恒有的開區(qū)間并且對任何包含可測則是有界開集若命題. |* ), ( .|)( 1P, , , 1*69nnnnIGmIGIIImGImGmGIGG由外測度的定義知不妨認為諸覆蓋的一個半開區(qū)間是開集設再證相反的不等

11、式知命題性及由外測度的半有限可加設開區(qū)間的開區(qū)間故存在著包含有界證明18等性質(zhì)可加性以及外測度的隔距可列由第二節(jié)命題于有界閉集間的距離大無交而兩個無交的非空與閉集每個閉區(qū)間兩兩無交閉區(qū)間使顯然可以作閉區(qū)間對每個任給 1 0, , ,., .2| , , 0 321GIJJJJIJIJInnnnnnn).(*)(*|)(*|)(*)()()()(*|111P11*169GImGmGImIGImJGImJmGIJmGIImImInnnnnnnnnn命題19).(*| , 0GImGmI得令. ).(*| 可測于是GGImGmI. |)(* , , 2 IFImFmIFFF恒有的開區(qū)間并且對任何包含

12、可測則是有界閉集設命題. 2 1 . , . 成立立即知命題由命題的開集是含于則令設開區(qū)間證明GIFIGFIGFI20件件有有界界點點集集可可測測的的充充要要條條有有界界點點集集的的內(nèi)內(nèi)測測度度 2 . 3* 3 , inf | , =inf | ,.EmG GGEm Em G GGE命題設是有界點集 則為有界開集為有界開集. 3 1 2 , ).( , , . , *成立便知命題及本節(jié)命題由第二節(jié)定理據(jù)此并且的有界開集是包含則集的開是任一包含若故存在開區(qū)間有界證明：IGmGmEIGEGEIE).(| . |sup , , 4 *EImIEFFmFEIE是閉集則若開區(qū)間是有界點集設命題).(|

13、)(| 2 , , .:*EImIFImImFEIFIEF外測度的單調(diào)性知及由命題則若閉集第一步證明21.2| , , .2)( , 2 $2 ;)(| , , 0 .*JIIJIEImGmEIGEImImFEF使顯然可以作出閉區(qū)間不妨設使知存在開集定理由使來證存在閉集對任第二步.)( . , . *GmFmGFmJmGFJEGIFGJFGJF知由是閉集則令證畢因此 .)(*| 2)(*2| *EImIEImIGmJmmF.2)( * EImGm2|* .2| IJJmJI22. )(| , , , *是不變的數(shù)如何選取無論包含只要開區(qū)間注：對有界點集EImIIEIE. )( Lebesgue

14、 , | sup . 2 *EmEEEFFmFEE記作的內(nèi)測度簡稱內(nèi)測度的稱為為閉集測度之上確界的閉集的所有包含于是任一有界點集設定義)supinf ( 1 *mFmGEmEmEEFEG閉集有界點集或可測的充要條件是：有界點集定理23. 5 任何區(qū)間均可測命題* . . 0. . | | | 1 *., , Im Im IIJIJIm Jm IFImFm IJ證明 設為任一區(qū)間來證不妨設對任意顯然可作出閉區(qū)間使由命題知上式即另一方面 對任何閉集由外測度的單調(diào)性知注意到是*(), . *, * () * 1 .m Im Im ImJm Jm ImJm ImJm Im Im ImJm Im Im

15、II定義閉集 由的定義即知事實上的任意性根據(jù)定理知可測24. , )iv( . , iii)(. , , , )ii(. 0 ; 0 , (i) *2*1*2121*EmEmEEmEmEEEEmEmEEEEmEmEiiiii則是有界點集若則之并點集無交的是有限個或可列個兩兩若有界點集則是有界點集若有對任意有界點集. (ii)i),( 成立知由內(nèi)測度的定義立即可證明定定理理 2. , , , 0 . (iii)*1nEmmFEFEEEiiiiinii使度的定義知存在閉集由內(nèi)測對每個任給的情況先看25niiniiniiniiEmFmFmFmEm1*111*. , 0 1*niiEmEm得令性知度的

16、隔距有限可加由內(nèi)測度的定義及外測為有界閉集空集除外）從而兩兩距離大于兩兩無交有界閉集 . ,(0 , ,., 121EFFFFniin. , , ii)( , , 1*1*1*1iiniiniiiiEmEmnEmEmEmnEE得令及剛證得的結(jié)論由對任意自然數(shù)的情況再看. |sup . , )iv(*EmEFmFEmEmmFEF閉集所以由外測度的單調(diào)性知若閉集26算算性性質(zhì)質(zhì)有有界界可可測測及及其其測測度度的的運運 3 . 3. , , 3 iiiiimEmEEEEE并且可測則之并有界可測集無交的是有限個或可列個兩兩若有界集定理iiiiiiiiiimEEmmEEEmEmmEEmEmEmEmmE*

17、 , , 1 并且可測因此定理由內(nèi)、外測度的性質(zhì)及證明27. , , 4 2121也也可可測測則則都都可可測測若若有有界界集集定定理理EEEE).( )()(3 , .4 )2( , , , , ) 1 ( , , , 0, 1 , ,2 , 1 *212121FGmmFFGmmFmFFGFmmFmGFGmFmGmGEmEmmFGEFGFGGGFFFEEEmEmGmFmEGEFFGEiiiiiiiiiii，由定理故可測是有界開集下證并且為有界開集界閉集為有則令使及有界閉集存在有界開集對知由定理可測對每個證明28. ,40 )2( .4 ,2 ) 1 ( )()( )()()( ),()( )()()( . 21*2211221122112121可測所以的任意性即知由可得根據(jù)上式及于是于知上式后端的兩項都小由所以由于同理可證EEEEmEmEmEmmFmGmFmGmFmGFGmFGmFGmmFmGFGFGFGFGFGGFGFGmmFmGiiii29. , , 5 也可測則開區(qū)間可測若有界集定理EEIEI. |,|)( )(| 4 . , *可測故所以知由命題故可測證明EIEIEImEmEImIEmEmEmEI. , , 6 2121也可測則可測若有界集定理EEEE. 6 5 , 4 ).()( , 21212121成