第5章扭轉(zhuǎn)應(yīng)力、強(qiáng)度和剛體條件(4,5)

1、變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系 觀察變形觀察變形 提出假設(shè)提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式建立公式deformationgeometricrelation Distribution regularity of deformationDistribution regularity of stressEstablish the formulaExamine the deformationthen propose the hypothesis physicalrelationstaticrelation5-4 5-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的

2、應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件推導(dǎo)應(yīng)力公式的思路：推導(dǎo)應(yīng)力公式的思路：一、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力一、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力從三個(gè)方面從三個(gè)方面 1. 1. 變形幾何方面變形幾何方面來推導(dǎo)應(yīng)力：來推導(dǎo)應(yīng)力：2.2.物理方面物理方面 3. 3.靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面1.1.變形幾何方面變形幾何方面 觀察到下列現(xiàn)象觀察到下列現(xiàn)象: :(1)(1)各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒變化各圓周線的形狀、大小以及兩圓周線間的距離沒變化(2)(2)縱向線仍近似為直線縱向線仍近似為直線, , 但都傾斜了同一角度但都傾斜了同一角度(3(3）表面方格變?yōu)榱庑巍＃┍砻娣礁褡優(yōu)榱庑?。平面假設(shè)：平面

3、假設(shè)： 變形前為變形前為平面平面的橫截面變形后仍為的橫截面變形后仍為平面平面，它像剛性，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。CL5TU5ddrx 外表面 ddx xddxrdd橫截面上距形心為橫截面上距形心為 的任的任一點(diǎn)處應(yīng)變一點(diǎn)處應(yīng)變 剪應(yīng)力方向垂直于半徑。剪應(yīng)力方向垂直于半徑。根據(jù)剪切胡克定律根據(jù)剪切胡克定律, , 當(dāng)剪應(yīng)力不超當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)過材料的剪切比例極限時(shí)xGGdd2. 物理方面物理方面(a)(b)bbTTO1O2d GGDDaadxAEEAO1Dd DGGO2d/2dx結(jié)論：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)變與該結(jié)論：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)

4、變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比點(diǎn)到圓心的距離成正比。3.3.靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面TAAdTAxGAdddGxATAddd2pIGTxddIApA2d極慣性矩dAdAoT結(jié)論：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正結(jié)論：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。比。 GxddmaxmaxTIppIGTGpITpWTmaxpPIW 由由(b)(b)式：式：即圓截面的邊緣處。即圓截面的邊緣處。WP 稱為抗扭截面系數(shù)或抗扭截面模量，稱為抗扭截面系數(shù)或抗扭截面模量，單位：單位：m3、cm3、mm3。opp. 4WI 和抗扭截面模量圓與圓環(huán)的極慣性矩324pdImaxpPIW2/pdId316D圓

5、圓環(huán)4444p132 32 32DdDI43pmaxpP116 2DDIIWdD 例例5-35-3內(nèi)外徑分別為內(nèi)外徑分別為20mm20mm和和40mm40mm的空心圓截面軸，受的空心圓截面軸，受扭矩扭矩T=1kNT=1kNm m作用，計(jì)算橫截面上作用，計(jì)算橫截面上A A點(diǎn)的剪應(yīng)力及橫截點(diǎn)的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。面上的最大和最小剪應(yīng)力。解：解：AApTI)5 . 01 (3204. 0015. 0100044MPa66.63ApmaxWT)5 . 01 (1604. 0100043MPa88.84maxMPa44.422pminIdT 例例5-45-4一厚度為一厚度為30mm30m

6、m、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為230mm 230mm 的空心圓管，的空心圓管，承受扭矩承受扭矩T=180 kNT=180 kNm m 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)(1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論；(2)(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得trT2max216/)1 (34maxDT (2) (2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得16/29. 0 )290/230(1 1018034318010201300332. 565 . MPaMPa2 .62max %9

7、/ )(maxmaxmax M1M2ABCllMe1Me2ABCll1Me2CT12Me2CMe1BT2 4kNm2kNm+_T maxtmaxmaxWT M1M2ABCllMPa5 .34)1(1643max DT max二二. .斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力dxdyxn 0F0cossinsincosdAdAdA2sin 0F2cosmax45omin45omax0低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)演示低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)開始低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)結(jié)束低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)演示鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)過程鑄鐵扭

8、轉(zhuǎn)破壞斷口 思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖壞的斷口分別如圖a及圖及圖b所示，試問為什么它們所示，試問為什么它們的斷口形式不同？的斷口形式不同？三三. .強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件maxmaxWTp即(3)(3)確定許可載荷確定許可載荷: :已知桿的截面尺寸、許用切應(yīng)力，已知桿的截面尺寸、許用切應(yīng)力，確定許用荷載。確定許用荷載。(1)(1)校核桿的強(qiáng)度校核桿的強(qiáng)度: :已知荷載已知荷載、截面尺寸、許用切應(yīng)截面尺寸、許用切應(yīng)力，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿足強(qiáng)度條件；力，驗(yàn)算構(gòu)件是否滿足強(qiáng)度條件；(2)(2)設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面: :已知荷載、許用切應(yīng)力已知荷載、

9、許用切應(yīng)力 , ,按強(qiáng)度條按強(qiáng)度條件，確定截面尺寸；件，確定截面尺寸；強(qiáng)度條件解決三問題強(qiáng)度條件解決三問題 例例5-6 5-6 如圖所示階梯狀圓軸，如圖所示階梯狀圓軸，AB段直徑段直徑d1=120mm，BC段直徑段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩為。扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN.m，MB=36kNm，Mc=14kNm。已知材料的許用剪應(yīng)。已知材料的許用剪應(yīng)力力 ，試校核該軸的強(qiáng)度。試校核該軸的強(qiáng)度。MPa80解：解： 求得兩段的扭矩，求得兩段的扭矩，并繪出扭矩圖。并繪出扭矩圖。ABAB段之扭矩比段之扭矩比BCBC段之扭段之扭矩大，但兩段軸的直徑矩大，但兩段軸的直徑不同，需要分別校核兩不同，需要分

10、別校核兩段軸的強(qiáng)度。段軸的強(qiáng)度。ABAB段段)(1084.6416/12. 010226max33maxPaWTpBCBC段段)(103 .7116/1 . 010146max33maxPaWTp該軸滿足強(qiáng)度條件的要求。該軸滿足強(qiáng)度條件的要求。2max1max ll(a)(b)2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW()3341211616 dD 194. 18 . 0113412 dD512. 0)8 . 01(194. 1)1(4)(4222122221222212 dDddDAA 例5-8 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)

11、/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：求扭矩及扭矩圖計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT例 5-9 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試試根據(jù)強(qiáng)度條根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與 = = 0.9 的空心圓軸，并進(jìn)行比較。的空心圓軸，并進(jìn)行比較。解：1. 確定確定實(shí)心圓軸直徑實(shí)心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d取?。簃 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16

12、363 max 163pmaxdTWT 2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑確定空心圓軸內(nèi)、外徑 )1(161643odT mm 3 .76)1 (1634o Tdmm7 .68oi dd mm 68 mm 76 io dd，取取：3. 重量比較重量比較%5 .394)(422i2o ddd 空心軸遠(yuǎn)比空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕實(shí)心軸輕 43op116 dW解：1. 扭矩分析扭矩分析例 5-9 R050 mm的的薄壁圓管，左、右薄壁圓管，左、右段的壁厚段的壁厚分別分別為為 1 1 5 5 mm， 2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，試校核圓管強(qiáng)度。試校核圓管強(qiáng)

13、度。2. 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核危險(xiǎn)截面：危險(xiǎn)截面：1202 RTAA 2202 RTBB 截面截面 A與與 BMPa 6 .442120 RmlMPa 9 .2722220 Rml練習(xí)：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為練習(xí)：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強(qiáng)徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一，面積

14、增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)楸逗髢?nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為最大許可扭矩為1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得思考：思考：實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時(shí)，橫截面的最實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時(shí)，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來的大剪應(yīng)力是原來的 倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來的 倍？倍？163maxdTWTnT lG IT lGdp432816思考：思考：圖示鑄鐵圓軸受扭時(shí)，在圖示鑄鐵圓軸受扭時(shí)，在 面上發(fā)生斷裂，其面上發(fā)生斷裂，其破壞是由破壞是由 應(yīng)力引起

15、的。在圖上畫出破壞的截面。應(yīng)力引起的。在圖上畫出破壞的截面。45 螺旋螺旋最大拉最大拉5-5 5-5 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形圓軸的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件剛度條件一一. .扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形dddxTGIpddTGIxplpxGITdpIGlTT則則若若，constant公式適用條件：公式適用條件：1 1）當(dāng)）當(dāng)p p（剪切比例極限）公式才成立（剪切比例極限）公式才成立2 2）僅適用于圓桿（平面假設(shè)對圓桿才成立）僅適用于圓桿（平面假設(shè)對圓桿才成立）TGIxpld討論：討論：1、2、多外力偶的圓軸：、多外力偶的圓軸：ipiiGIlT注意：算扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，變形公式中的扭矩要考慮正負(fù)號注意：算扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，變形公式中的扭

16、矩要考慮正負(fù)號。二二. .圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件剛度條件：maxmaxpIGTxdd180maxmaxpGITrad m/m。稱為許可單位長度扭角稱為許可單位長度扭角 單位長度的扭角稱為扭角率，用單位長度的扭角稱為扭角率，用 表示。表示。對于精密機(jī)械對于精密機(jī)械)/(3 . 015. 0mo一般機(jī)械一般機(jī)械)/(2moACB122(1)(1)繪扭矩圖繪扭矩圖kN.m212ABABTMMTkN.m41 mTBCTX4-2(2)計(jì)算計(jì)算IP：5-10空心圓軸，外徑空心圓軸，外徑mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑mm，AB=lmm，M4.m，M6.m,，求求C截面對截面對A、B截面的相對扭轉(zhuǎn)角。截面

17、的相對扭轉(zhuǎn)角。4644Pm108 . 532)1 (DI解解: :(3)(3)算相對扭角算相對扭角02693124. 0)(10216. 0108 . 5108010)42(5 . 0)(radTTGIlGIlTGIlTBCABPPBCBCPABABCBBACA02693247.0)(10431.0108 .510801045 .0radGIlTPBCBCCB“+”“+”號表示面向號表示面向C C截面觀察時(shí)，該截面相對于截面觀察時(shí)，該截面相對于A A（或（或B B）截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。 例例5-115-11水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，ABAB段為圓軸，直徑為段為圓軸，直徑為

18、 d d，在端點(diǎn)在端點(diǎn)C C受鉛垂力受鉛垂力P P作用，材料的剪切彈性模量為作用，材料的剪切彈性模量為G G，不，不計(jì)計(jì)BCBC段變形。求段變形。求C C點(diǎn)的鉛垂位移。點(diǎn)的鉛垂位移。解：解：aABCvppCvIGlPaaIGPal2PABGIPalABAB桿的轉(zhuǎn)角桿的轉(zhuǎn)角C C點(diǎn)位移點(diǎn)位移CvdxxmlmT0解：計(jì)算扭矩、繪扭矩圖解：計(jì)算扭矩、繪扭矩圖：mxmlTT 例例5-125-12圓截面桿圓截面桿ABAB左端固左端固定，承受均布力偶定，承受均布力偶作用，其力偶矩作用，其力偶矩 集度（單集度（單位長度上的力偶矩位長度上的力偶矩）為為m=20N.m/m，已知直徑，已知直徑D=20mm，l=2

19、m，材料，材料G=80MPa G=80MPa =300MPa=300MPa。單位。單位長度的許用扭角長度的許用扭角 =2=20 0/m/m，試進(jìn)行強(qiáng)度和剛度校核，并試進(jìn)行強(qiáng)度和剛度校核，并計(jì)算計(jì)算A A、B B兩截面的相對扭角。兩截面的相對扭角。mml2）校核強(qiáng)度：）校核強(qiáng)度：3）校核剛度：）校核剛度：mNTTx400maxMPaWTP5.252.016403maxmaxmGITP/82.118002.03210804018049maxmax 3 3）計(jì)算）計(jì)算 B-AB-A： 取微段取微段dxdx研究研究dxxmlmTdxGIxTdP)(lPlpABxlGImdxGImxml020)(2ra

20、dGImlPAB221018. 32“+”號表示面向號表示面向B截面觀察時(shí)，該截面相對于截面觀察時(shí)，該截面相對于A截面逆截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。 由由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比之比 = 0.5 。已知材料的許用切應(yīng)力。已知材料的許用切應(yīng)力 = 40 MPa，切變模量切變模量G= 80 GPa。軸的最大扭矩。軸的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角 =0.3 ()/m。試選。試選擇軸的直徑。擇軸的直徑。例例 5-131. 按強(qiáng)度條件求所需外直徑按強(qiáng)度條件求所需外直徑D 有有由由因因 ,1615161

21、16pmaxmax343p WTDDW109mmm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33 TD例例 5-13解：解：2. 按剛度條件求所需外直徑按剛度條件求所需外直徑D 有有由由因因180 ,161532132pmax444p GITDDI125.5mmm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44 GTD例例 5-13mm75.62 d3. 空心圓截面軸所需外直徑為空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛由剛度條件控制度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)，內(nèi)直徑則根據(jù) = d

22、/D = 0.5知知例例 5-13例例5-14：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB與與MC 作用，試計(jì)作用，試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC(即截面即截面C對截面對截面A的相對轉(zhuǎn)角的相對轉(zhuǎn)角)，并校核軸的，并校核軸的剛度。剛度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭轉(zhuǎn)變形分析扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分別為：段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMllrad1050. 1)m1010Pa)(3.0

23、10(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為AB和和BC，則：，則： 各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。 由此得軸由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為的總扭轉(zhuǎn)角為rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 剛度校核剛度校核 軸軸AC為等截面軸，而為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變

24、化率為：段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx 例例5-15：某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 N2 = 200馬力及馬力及 N3 = 300馬力，已馬力，已知：知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？

25、 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB解：解：圖示狀態(tài)下圖示狀態(tài)下, ,扭矩如圖扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：，由強(qiáng)度條件得：m)(kN024. 7nNm16 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632Td mm80107014. 3702416163631Td Tx7.024 4.21(kNm) mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 3180702432 3249241 GTd mm75 ,mm8521 dd綜上：綜上：全軸選同一直徑時(shí)全軸選同一直徑時(shí) mm851 dd 32 4 GTdIp由剛度條件得：由剛度條件得： 軸上的軸上的絕對值絕對值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)輪應(yīng)該該換換位。位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時(shí)此時(shí), ,軸的最大直徑才為軸的最大直徑才為7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814練