【數(shù)學(xué)】241拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件1（人教A版選修2-1）

1、第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程2.4.1 2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程生活中存在著各種形式的拋物線生活中存在著各種形式的拋物線我們對(duì)拋物線已有了哪些認(rèn)識(shí)？我們對(duì)拋物線已有了哪些認(rèn)識(shí)？yxo 二次函數(shù)是開口向上或向下的拋物線。二次函數(shù)是開口向上或向下的拋物線。C問題探究：?jiǎn)栴}探究：當(dāng)當(dāng)|MF|=|MH| ，點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡是什么？的軌跡是什么？探究？探究？ 可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn), ,點(diǎn)點(diǎn)M隨著隨著H H運(yùn)動(dòng)的過程中運(yùn)動(dòng)的過程中, ,始終始終| |MF|=|=|MH|,|,即點(diǎn)即點(diǎn)M與點(diǎn)與點(diǎn)F和定直線和定直線l的距離相等的距離相等. .點(diǎn)點(diǎn)M生成的軌跡是生成的軌跡是曲線曲

2、線C的形狀的形狀.( (如圖如圖) )MFle=1H我們把這樣的一條曲線叫做我們把這樣的一條曲線叫做拋物線拋物線. .CMFle=1H 在平面內(nèi)在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)F)的的距離相等距離相等的點(diǎn)的軌跡叫的點(diǎn)的軌跡叫拋拋物線物線.點(diǎn)點(diǎn)F叫拋物線的叫拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn),直線直線l 叫拋物線的叫拋物線的準(zhǔn)線準(zhǔn)線d 為為 M 到到 l 的距離的距離準(zhǔn)線準(zhǔn)線焦焦點(diǎn)點(diǎn)d拋物線的定義拋物線的定義:FFL若，則滿足到定點(diǎn) 和定直線L的距離相等的點(diǎn)的 軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線L注：的一條直線.拋物線的定義拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定

3、直線和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)F)_的的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的叫做拋物線的_，直線，直線l叫做叫做拋物線的拋物線的_ 試一試試一試：在拋物線定義中，若去掉條件在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)F”，點(diǎn)的，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？軌跡還是拋物線嗎？提示提示當(dāng)直線當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定且垂直于定直線直線l的一條直線；的一條直線；l不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線1距離相等距離相等焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線拋物線定義的理解拋物線定義的理解(2)在拋物線的定義中，在拋物線的定義中，定點(diǎn)定

4、點(diǎn)F不能在直線不能在直線l上，否則，動(dòng)點(diǎn)上，否則，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就不是拋物線，而是過點(diǎn)的軌跡就不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線垂直于直線l的一條直的一條直線線如到點(diǎn)如到點(diǎn)F(1，0)與到直線與到直線l：xy10的距離相等的的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的軌跡方程為xy10，軌跡為過點(diǎn)，軌跡為過點(diǎn)F且與直線且與直線l垂直垂直的一條直線的一條直線1如何建立直角坐標(biāo)系？如何建立直角坐標(biāo)系？想一想想一想探索研究推出方程求曲線方程求曲線方程的基本步驟的基本步驟FLl.FMd.FlxF如圖，以過 點(diǎn)垂直于直線 的直線為 軸，和垂足K的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.xOyK(,0),:22ppFl x = -則

5、焦點(diǎn)準(zhǔn)線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2222244ppxpxyxpx)0( ,22ppxy設(shè)|FK|=p(p0),M(x,y)由拋物線定義知：|MF|=d22()|22ppxyx 即：220ypx p. ，叫作焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.02p，2px說明： 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.x它所表示的拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸的正半軸上，坐標(biāo)是（ ），它的準(zhǔn)線方程是 .yoLFp的幾何意義幾何意義: 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程， 求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. . 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程2y =20 x 20 xy鞏固

6、練習(xí)鞏固練習(xí)1 12520 xy20yax a( 5 , 0 )5x 1(, 0 )414x , 04a4ax 5, 0858x 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程:關(guān)鍵：確定關(guān)鍵：確定P的值的值220ypx p. ，叫作焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.xyoLF一條拋物線，由于它在坐標(biāo)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式程還有其它形式. .想一想想一想: 拋物線的位置及其方程還有沒有其它拋物線的位置及其方程還有沒有其它的形式的形式？FlFl

7、FlFl 問題：仿照前面求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列后三幅圖中拋物線的方程嗎?(1)(2)(3)(4) 圖圖 形形焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程 不同位置的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程不同位置的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 x軸的軸的正方向正方向 x軸的軸的負(fù)方向負(fù)方向 y軸的軸的正方向正方向 y軸的軸的負(fù)方向負(fù)方向y y2 2=2=2pxpxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0 ,2(pF)0 ,2pF(-)2, 0(pF)2, 0(pF-2=px-2=px2=py2=py-（P P0 0）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程

8、標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程_2y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)拋物線方程左右左右型型標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 =2px(p0)開口向右:y2 =2px(x 0)開口向左:y2 = -2px(x 0)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 =2py(p0)開口向上:x2 =2py (y 0)開口向下:x2 = -2py (y0)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程上下上下型型1 1、一次項(xiàng)的變量如為、一次項(xiàng)的變量如為x x（或（或y y），則），則x x軸（或軸（或y y軸）為拋物線的對(duì)稱軸，焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸上。軸）為拋物線的對(duì)稱軸，焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸上。2 2、一次、一次項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)符

9、號(hào)決定了開口方向。的系數(shù)符號(hào)決定了開口方向?！拘〗Y(jié)小結(jié)】練習(xí)1：請(qǐng)判斷下列拋物線的開口方向yx322yx22xy252yx492xy25122xy 0322xy練習(xí)2：請(qǐng)判斷下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)yx322yx22xy322xy22082 xy082 yxF(0,8)F(0, )21F(-8,0)F( , 0)21F(0, )321F( , 0)32114是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系數(shù)的練習(xí)3：請(qǐng)判斷下列拋物線的準(zhǔn)線方程yx322yx22xy322xy22082 xy082 yxF(0,8)F(0, )21F(-8,0)F( , 0)21F(0, )321F( , 0)321是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系

10、數(shù)的的相反數(shù)的相反數(shù)14如何確定如何確定各曲線的焦點(diǎn)位置各曲線的焦點(diǎn)位置？拋物線：拋物線：1.看一次項(xiàng)看一次項(xiàng)(X或或Y)定焦點(diǎn)定焦點(diǎn) 2. 一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)定開口一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)定開口橢圓：看分母大小橢圓：看分母大小雙曲線：看符號(hào)雙曲線：看符號(hào) 二次函數(shù)二次函數(shù) 的圖像為什的圖像為什么是拋物線？么是拋物線？ 2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦點(diǎn)（ ，準(zhǔn)線y=-當(dāng)當(dāng)a0時(shí)與當(dāng)時(shí)與當(dāng)a0時(shí)，結(jié)論都為：時(shí)，結(jié)論都為：12pa 例1 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2 = 6x， 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；解解: 2P=6,P=3 拋物線的

11、焦點(diǎn)坐標(biāo)是（拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0） 準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是x=232314是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系數(shù)的的相反數(shù)的相反數(shù)14例2 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0 0，-2-2）求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。22P解: 因?yàn)榻裹c(diǎn)在因?yàn)榻裹c(diǎn)在y的負(fù)半軸上的負(fù)半軸上,所以設(shè)所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以設(shè)所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= -2py 由題意得由題意得 ， 即即p=4 所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= -8y（課本（課本67頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)1）根據(jù)下列條件寫）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（1）焦點(diǎn)是（）焦點(diǎn)是（3，0）；）；（2

12、）準(zhǔn)線方程是）準(zhǔn)線方程是x= - ；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；41y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4yF（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-81（課本（課本67頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)2）求下列拋物線的焦）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：（1）y2=20 x （2）x2= y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0F（0， ）81x=85F（- ，0）8521題型一題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(3)過點(diǎn)過點(diǎn)A(2，3)；【例例1】 思路

13、探索思路探索 式求拋物線方程要先確定其類型，并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方式求拋物線方程要先確定其類型，并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)已知求出系數(shù)程，再根據(jù)已知求出系數(shù)p.若類型不能確定，應(yīng)分類討論若類型不能確定，應(yīng)分類討論(3)由題意，拋物線方程可設(shè)為由題意，拋物線方程可設(shè)為y2mx(m0)或或x2ny(n0)，將點(diǎn)將點(diǎn)A(2，3)的坐標(biāo)代入，得的坐標(biāo)代入，得32m2或或22n3， 如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3，2)，求求|PA|PF|的最小值，并求此時(shí)的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo) 題型題型二二拋物線定義的應(yīng)用拋物線定義的

14、應(yīng)用【例例2】思路探索思路探索 解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義得到解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義得到|PA|PF|PA|PQ|，由圖可知當(dāng)，由圖可知當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取最小三點(diǎn)共線時(shí)取最小值值解解如圖，作如圖，作PQl于于Q，由定義知，拋物線上點(diǎn)，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線到準(zhǔn)線l的距離的距離d，由圖可知，求，由圖可知，求|PA|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|d的最小值的問題的最小值的問題規(guī)律方法規(guī)律方法 拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進(jìn)行拋拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，另外要注意物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，