第六章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、2 (脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法) 34 5)()()(jjjeeHeH () 反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況的延時(shí)情況 )(jeH6n理想濾波器是理想濾波器是非因果非因果的，物理上的，物理上不可實(shí)不可實(shí)現(xiàn)現(xiàn)。n為了物理上可實(shí)現(xiàn)，在通帶與阻帶之間為了物理上可實(shí)現(xiàn)，在通帶與阻帶之間應(yīng)設(shè)置一定寬度的應(yīng)設(shè)置一定寬度的過(guò)渡帶過(guò)渡帶，并且在通帶，并且在通帶和阻帶都允許一定的和阻帶都允許一定的誤差容限誤差容限，即通帶，即通帶不一定是完全水平的，阻帶不一定都絕不一定是完全水平的，阻帶不一定都絕對(duì)衰減到零。對(duì)衰減到零。 7n通帶通帶

2、n阻帶阻帶 0p1(1)()1jH es2()jH e8n通帶內(nèi)允許的最大衰減通帶內(nèi)允許的最大衰減n阻帶內(nèi)允許的最小衰減阻帶內(nèi)允許的最小衰減 n3dB通帶截止頻率通帶截止頻率 當(dāng)幅度下降到當(dāng)幅度下降到 時(shí)，即時(shí)，即 下降為下降為0.707, ，對(duì)應(yīng)的頻率，對(duì)應(yīng)的頻率 dBeHeHgapjjp)()(2010dBeHeHgasjjs)()(2010dBeHgapjp)(201dBeHgasjs)(2012/2()jH e3adBc歸一化歸一化9n數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題就是尋找一組系數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題就是尋找一組系數(shù)數(shù)ai和和bi，使得其性能在某種意義上，使得其性能在某種意義上逼近逼近所要求的特性

3、。所要求的特性。n數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟:n給出所需要的濾波器的技術(shù)指標(biāo)；給出所需要的濾波器的技術(shù)指標(biāo)； n設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)H(z)使其逼近所需要的技術(shù)指標(biāo)；使其逼近所需要的技術(shù)指標(biāo)； n用數(shù)字硬件或在計(jì)算機(jī)上編寫(xiě)算法實(shí)現(xiàn)所設(shè)用數(shù)字硬件或在計(jì)算機(jī)上編寫(xiě)算法實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的計(jì)的H(z)。 10n先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。n很方便很方便，這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很，這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，它不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖成熟，它不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完

4、善的圖表供查閱。表供查閱。n設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟 n將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；術(shù)指標(biāo)；n根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬原型濾波器；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬原型濾波器；n按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 11n直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)n這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。n由于要解聯(lián)立方程，因此需要計(jì)算機(jī)輔由于要解聯(lián)立方程，因此需要計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行設(shè)計(jì)。助進(jìn)行設(shè)計(jì)。 12n模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) n脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不

5、變法 n雙線性變換法雙線性變換法 n數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法13n常用的模擬濾波器常用的模擬濾波器n巴特沃斯巴特沃斯（ButterworthButterworth）濾波器）濾波器 具有單調(diào)下降的幅頻特性具有單調(diào)下降的幅頻特性 n切比雪夫切比雪夫（ChebyshewChebyshew）濾波器）濾波器 幅頻特性在通帶或者阻帶內(nèi)有波動(dòng)，幅頻特性在通帶或者阻帶內(nèi)有波動(dòng)，可以提高選擇性；可以提高選擇性； n橢圓橢圓（EllipseEllipse）濾波器）濾波器 在通帶和阻帶內(nèi)都有紋波在通帶和阻帶內(nèi)都有紋波 n貝塞爾貝塞爾（BesselBessel）濾波器等

6、）濾波器等 通帶內(nèi)有較好的線性相位特性通帶內(nèi)有較好的線性相位特性 14巴特沃斯型濾波器幅度特性巴特沃斯型濾波器幅度特性15切比雪夫型濾波器幅度特性切比雪夫型濾波器幅度特性16橢圓濾波器幅度特性橢圓濾波器幅度特性17貝塞爾濾波器幅度特性貝塞爾濾波器幅度特性1819n幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)n模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)n通帶截止頻率通帶截止頻率n通帶最大衰減通帶最大衰減 n阻帶截止頻率阻帶截止頻率n阻帶最小衰減阻帶最小衰減 2*()( )()()()aaaaasjHjHs HsHjHj psps20n由給定的由給定的 、 、 和和 求出求出n由由 得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)得到濾波

7、器的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）與的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）與Ha(-s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）具有（或零點(diǎn)）具有象限對(duì)稱性象限對(duì)稱性。為了保證設(shè)計(jì)的。為了保證設(shè)計(jì)的濾波器穩(wěn)定，將濾波器穩(wěn)定，將|Ha(s)|2的的左半平面左半平面的極點(diǎn)賦的極點(diǎn)賦給給Ha(s)。ppss2)( jHa2)( jHa)(sHa21n巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：nN為濾波器階數(shù)為濾波器階數(shù)nc為為3dB截止頻率截止頻率221()1()aNcHj 22巴特沃斯低通濾波器幅度特性與階數(shù)關(guān)系 23n幅度特性隨著幅度特性隨著增加增加單調(diào)下降單調(diào)下降，下降的，下降的速度與階數(shù)速度與階

8、數(shù)N有關(guān)。有關(guān)。n隨著隨著N增大，幅度下降的速度越快，過(guò)渡增大，幅度下降的速度越快，過(guò)渡帶越窄，在通帶內(nèi)更接近于帶越窄，在通帶內(nèi)更接近于1，在阻帶內(nèi)，在阻帶內(nèi)迅速接近于零，因而幅度特性更接近于迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形頻率特性。理想的矩形頻率特性。n不管不管N的取值是多少，都經(jīng)過(guò)的取值是多少，都經(jīng)過(guò) 點(diǎn)。點(diǎn)。 1224n幅度平方函數(shù)有幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)n這這2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為c的圓上的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是 /Nrad。n這些極點(diǎn)以虛軸為對(duì)稱軸，而且不會(huì)落在虛這些極點(diǎn)以虛軸為對(duì)稱軸，而且不

9、會(huì)落在虛軸上。軸上。n當(dāng)當(dāng)N是奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)；是奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)；n當(dāng)當(dāng)N是偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸沒(méi)有極點(diǎn)。是偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸沒(méi)有極點(diǎn)。 21( )()1()aaNcHs Hss j12122 0,1,2,21kjNkcsekN 返回返回25三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖26n為了保證所設(shè)計(jì)的濾波器是穩(wěn)定的，將為了保證所設(shè)計(jì)的濾波器是穩(wěn)定的，將s平面左半平面的平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給個(gè)極點(diǎn)分配給Ha(s)，而將右半平面的而將右半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給個(gè)極點(diǎn)分配給Ha(-s) 10( )NcNkkaSSHs（）27n將所有的頻率對(duì)將所有的頻率對(duì)c歸一化，歸一化頻率歸一化，歸一化頻率 ：n歸一

10、化的幅度平方函數(shù)為：歸一化的幅度平方函數(shù)為： c 221()1aNHj28n由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)p、 p 、 s和和s確定巴確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率和頻率c 。102110pNp102110sNs1010101lglg101psspN 1102(101)pNcp 1102(101)sNcs )1lg(10)(lg102NajjH返回返回29n求濾波器的極點(diǎn)，并由求濾波器的極點(diǎn)，并由s平面左半平面的平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。n幅度平方函數(shù)極點(diǎn)為：幅度平方函數(shù)極點(diǎn)為： n將將s平面左半平面的平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給個(gè)極點(diǎn)分配給Ha(s) 1

11、 2122 0,1,2,21kjNkcsekN10( )NcNkkaS SHs（）下頁(yè)下頁(yè)舉例舉例30 例例 6-1 導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 設(shè)設(shè)c2 rad/s。 解解 幅度平方函數(shù)是幅度平方函數(shù)是 62)2/(11| )(|jH令令2=-s2即即s=j，則有，則有 )2/(11)()(66ssHsHaa各極點(diǎn)滿足式（各極點(diǎn)滿足式（5-10） 612212kjkesk=1, 2, , 6 31 而按要求，前面三個(gè)而按要求，前面三個(gè)sk（k=1, 2, 3）就是）就是Ha(s)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。 所所給給出的六個(gè)出的六個(gè)sk為為: 3

12、122231231222312316053543432321jesesjesjesesjesjjjjjj由由s1, s2, s3三個(gè)極點(diǎn)構(gòu)三個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為成的系統(tǒng)函數(shù)為 8848)()()(233213csssssssssHca32 例例 6-2 設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器： (1) 通帶截止頻率：通帶截止頻率：p=0.2；通帶最大衰減：；通帶最大衰減：ap=7 dB。 (2) 阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：s=0.3；阻帶最小衰減：；阻帶最小衰減：as=16dB。 解解 379. 2)3 . 0/2 . 0lg(2)110

13、/() 110lg(6 . 17 . 0N為了準(zhǔn)確在為了準(zhǔn)確在p滿足指標(biāo)要求，可滿足指標(biāo)要求，可式子式子得得 4985. 01102 . 067 . 0cQ33為了準(zhǔn)確在為了準(zhǔn)確在S滿足指標(biāo)要求，可得滿足指標(biāo)要求，可得5122. 01103 . 066 . 1cQ 現(xiàn)在在上面兩個(gè)數(shù)之間可任選現(xiàn)在在上面兩個(gè)數(shù)之間可任選c值?，F(xiàn)選值。現(xiàn)選c=0.5，這樣就必，這樣就必須設(shè)計(jì)一個(gè)須設(shè)計(jì)一個(gè)N=3和和c=0.5 的巴特沃思濾波器，模擬濾波器的巴特沃思濾波器，模擬濾波器Ha(s)的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)類似于上例類似于上例6-1；也可以查表（；也可以查表（P157）（）（p=s/c ）最后）最后可得可得 )25.

14、05 . 0)(5 . 0(125. 0)(2ssssHa34n切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋特性特性 n在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的，在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的，稱為切比雪夫稱為切比雪夫型濾波器；型濾波器； n在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫稱為切比雪夫型濾波器。型濾波器。 35 N 為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù) n切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx11( )2( )( )NNNCxxCx

15、Cx36n切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)在切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)在 區(qū)間內(nèi)；區(qū)間內(nèi)；n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，曲線具有等紋波特性；時(shí)，曲線具有等紋波特性；n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，曲線按雙曲余弦函數(shù)單調(diào)上升。時(shí)，曲線按雙曲余弦函數(shù)單調(diào)上升。 1x 1x 1x 37n是小于是小于1的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通帶內(nèi)紋波大小的一個(gè)參數(shù)，示通帶內(nèi)紋波大小的一個(gè)參數(shù)， 愈大，愈大，紋波也愈大。紋波也愈大。np稱為有效通帶截止頻率。稱為有效通帶截止頻率。n頻率通常對(duì)頻率通常對(duì)p歸一化，歸一化， 2221()1()aNpHjCp 38去去4139n在通帶內(nèi)，在在通帶內(nèi)，在1和和 之間起伏變化；在之間起伏變化；在阻帶內(nèi)是

16、單調(diào)下降的；阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的； n當(dāng)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，濾波器在為奇數(shù)時(shí)，濾波器在 處的幅度處的幅度響應(yīng)為響應(yīng)為1；當(dāng)；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，濾波器在為偶數(shù)時(shí)，濾波器在 處的幅度響應(yīng)為處的幅度響應(yīng)為 。n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 2110 0 211p 21()1aHj 40n設(shè)允許的通帶紋波為設(shè)允許的通帶紋波為，那么，那么 22max2min()10lg10lg(1)()aaHjHj210101412221()1()assNpHjC1211()()1()ssNppasCch NchHj12111()()asspchHjNch42其中其中iiisj 21sin221cos2ipipishNichN 111( )sh

17、N43n2N個(gè)等角度間隔（間隔為個(gè)等角度間隔（間隔為 /N）分布在）分布在 為長(zhǎng)半軸，為長(zhǎng)半軸， 為短半軸的橢圓為短半軸的橢圓 上的點(diǎn)。上的點(diǎn)。 schssh2222221iiccshch44n系數(shù)系數(shù)A由由s=0時(shí)濾波器幅度響應(yīng)的值確定時(shí)濾波器幅度響應(yīng)的值確定:n當(dāng)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，n當(dāng)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， 1( )()aNiiAHsss(0)1aH21(0)1aH45n由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定切比雪夫?yàn)V波器由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定切比雪夫?yàn)V波器的參數(shù)的參數(shù)、N和和p21010112111()()asspchHjNch46n求濾波器的極點(diǎn)，并由求濾波器的極點(diǎn)，并由s s平面左半平面的平面左

18、半平面的極點(diǎn)構(gòu)成極點(diǎn)構(gòu)成Ha(sHa(s) )。2121sincos22kppiisshjchNN 1( )()aNiiAHsss47n從模擬濾波器設(shè)計(jì)從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器就是按數(shù)字濾波器就是按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將s平面上的平面上的Ha(s)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換成換成z平面上的平面上的H(z)。脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法48n使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)與相與相應(yīng)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t)的的取樣值完全一樣取樣值完全一樣 ( )()ah nh nT49( )aHs( )ah t( )h

19、 n( )H z1( )NkakkAHsss1( )( )kNs takkh tA e u t1( )()( )kNs nTakkh nh nTA eu n0111( )( ) 1kkNs nTnnknnkNks TkH zh n zA ezAez( )()ah nh nT50STeZ TjTSTjTSTeeejZjeZeZZ)(TeZTS Z 穩(wěn)定穩(wěn)定左半左半平面平面單位園單位園內(nèi)內(nèi)虛軸虛軸單位園單位園5112( )sTaz ekH zHsjkTTs平面上每一條寬為平面上每一條寬為2 /T的橫的橫帶重復(fù)地映射到整個(gè)帶重復(fù)地映射到整個(gè)z平面平面上上每一橫條的左半部分映射每一橫條的左半部分映射到

20、到z平面的單位圓以內(nèi)平面的單位圓以內(nèi)右半部分映射到右半部分映射到z平面平面的單位圓以外的單位圓以外 s平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到z平面的單位圓上平面的單位圓上 虛軸上每一段長(zhǎng)為的線虛軸上每一段長(zhǎng)為的線段段2 /T都映射到都映射到z平平面單位圓上一周。面單位圓上一周。52n例例6.3 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)。解解22( )43aHsss2211( )4313aHsssss1(1)ks Tezkss131( )11TTTTH zezez將將Ha(s)展開(kāi)成部分分式得展開(kāi)成部分分式

21、得用用 代換代換 得到得到53取取T=1，得到，得到1120.3181( )1 0.41770.01831zH zzz20.3181()1 0.41770.01831jjjjeH eee數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為54 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn) 從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系之間呈線性關(guān)系=T。 因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝

22、塞爾濾波因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)器）通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾字濾波器。波器。 55 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 所以，所以， 脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，例如， 衰減特性很衰減特性很好的低通或帶通濾波器好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。 至于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，至于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟?/p>

23、頻部分不衰減， 因此將完因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，不變法， 就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。濾波器。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。由由P44可見(jiàn)可見(jiàn)fTT22/sff 混疊混疊56STeZ 混疊原因混疊原因57n采用非線性頻率壓縮方法將整個(gè)

24、采用非線性頻率壓縮方法將整個(gè)s平面壓縮平面壓縮變換到變換到s1平面平面/T之間的一條橫帶里之間的一條橫帶里; 然后再用然后再用 將此橫帶變換到整個(gè)將此橫帶變換到整個(gè)z平面上平面上 去，這樣就使去，這樣就使s平面到平面到z平面是一一映射的關(guān)平面是一一映射的關(guān)系，從系，從而消除了頻譜混疊現(xiàn)象。而消除了頻譜混疊現(xiàn)象。STez 58TT1即即:o2tan2T59TSTSeeTTSTS1111221tan21121tan2TT 112 11zsTz22sTzsT雙線性變雙線性變換的映射換的映射關(guān)系關(guān)系 S60nz平面的平面的與與s平面的平面的之間呈非線性關(guān)系。之間呈非線性關(guān)系。 21tan2T n這種非

25、線性關(guān)系導(dǎo)致雙線性變換法的頻率標(biāo)度的這種非線性關(guān)系導(dǎo)致雙線性變換法的頻率標(biāo)度的 非線性失真，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真地模非線性失真，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真地模 仿模擬濾波器的頻響。仿模擬濾波器的頻響。 61n例例6.4 6.4 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 采用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波采用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)T=2sT=2s21( )231aHsss11212,2111111 2121 221 211( )( ) 1123111(1)12 2(1)3(1)(1)62zasTTzH zHszzzzzzzzzzz解解 將

26、式將式(6.38)代入代入Ha(s)可得可得62 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)槊饬祟l率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與平面與Z平面是單值的一平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)平面整個(gè)j軸單值地對(duì)應(yīng)于軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，平面單位圓一周， 即頻即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（5-45）所示，重寫(xiě)）所示，重寫(xiě)如下：如下： 2tan2T上式表明，上式表明，S平面上平面上與與Z平面的平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖成非線性的

27、正切關(guān)系，如圖6-13所示所示。 63 由圖由圖6-13看出，在零頻率附近，模擬角頻率看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時(shí)，進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)?shù)迷絹?lái)越慢，最后當(dāng)時(shí)，時(shí)，終止在折疊頻率終止在折疊頻率=處，因而雙處，因而雙線性變換就不會(huì)線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 64圖圖6-13 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 o2t

28、an2T65 需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)為低通濾波器，應(yīng)用用變換得到的數(shù)字濾波器變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是低通濾波器；也是低通濾波器； 若若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用為高通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 11112zzTs11112zzTs 在在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好; 而在其余

29、情況下，大多采用雙線而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。性變換法。66 例例 6-5 設(shè)計(jì)一個(gè)一階數(shù)字低通濾波器，設(shè)計(jì)一個(gè)一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止截止頻率為頻率為c=0.25，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數(shù)字低通濾波器的截止頻率為數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(yīng)的巴特，相應(yīng)的巴特沃沃思模擬濾波器的思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是截止頻率是c，就有，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )828. 0/(11)/(11)(s

30、TssHca67將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，由上題可知，T不參與設(shè)計(jì)，即雙線性變換法中用不參與設(shè)計(jì)，即雙線性變換法中用 設(shè)計(jì)與用設(shè)計(jì)與用 設(shè)計(jì)得到的結(jié)設(shè)計(jì)得到的結(jié)果一致。果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs68 例例6-6 用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為（即采樣周期為T(mén)=250

31、 s），其），其3dB截止頻率為截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解 首先，確定數(shù)字域截止頻率首先，確定數(shù)字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式（第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式（6-46），確定預(yù)畸變），確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻的模擬濾波器的截止頻率率 TTTcc225 . 0tan22tan269第三步，將第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙線

32、性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa70 應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實(shí)際濾波器，它只是一個(gè)的實(shí)際濾波器，它只是一個(gè)“樣樣本本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個(gè)函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個(gè)中間變換階段。中間變換階段。 圖圖6-16給出了采用雙線性變換法得到的

33、三階巴特沃思數(shù)字給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越來(lái)越快。最后在折疊頻率處形成一個(gè)三階使截止區(qū)的衰減越來(lái)越快。最后在折疊頻率處形成一個(gè)三階傳輸零點(diǎn)。這個(gè)三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在傳輸零點(diǎn)。這個(gè)三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在c=處的三階傳處的三階傳輸零點(diǎn)通過(guò)映射形成的。輸零點(diǎn)通過(guò)映射形成的。 71圖圖 6-16 用雙線性變換法設(shè)計(jì)得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設(shè)計(jì)得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0

34、f / kHz72n數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法 模擬原模擬原型低通型低通濾波器濾波器模擬（高模擬（高通、帶通通、帶通或帶阻）或帶阻）濾波器濾波器數(shù)字（高數(shù)字（高通、帶通通、帶通或帶阻）或帶阻）濾波器濾波器頻率頻率變換變換脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法模擬原模擬原型低通型低通濾波器濾波器數(shù)字?jǐn)?shù)字低通低通濾波器濾波器數(shù)字（高數(shù)字（高通、帶通通、帶通或帶阻）或帶阻）濾波器濾波器脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法頻率頻率變換變換To P8273設(shè)設(shè)為低通濾波器歸一化頻率，為低通濾波器歸一化頻率， p=j， 為高通濾波

35、器歸一化頻率為高通濾波器歸一化頻率 ，q=j，74n模擬低通到模擬高通的頻率變換關(guān)系模擬低通到模擬高通的頻率變換關(guān)系 ：n模擬低通到模擬高通的系統(tǒng)函數(shù)映射關(guān)系為：模擬低通到模擬高通的系統(tǒng)函數(shù)映射關(guān)系為：n模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為 ： 11()()H jG j( )( )ppsH sG p75nsl：下阻帶上限頻率下阻帶上限頻率n1：通帶下限通帶下限n3：通帶上限通帶上限nsh：上阻帶下限頻率上阻帶下限頻率nB= 3- 1 :帶通濾波器的帶寬，并以此帶通濾波器的帶寬，并以此作為參考頻率對(duì)軸作為參考頻率對(duì)軸作歸一化處理作歸一化處理 76n通帶中心頻率通帶中心頻率 n歸一

36、化中心頻率歸一化中心頻率 213 21377n和和的對(duì)應(yīng)關(guān)系：的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 78222222qpq222spsBqs Bn模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ： 222( )( )spsBH sG p79n1：通帶下限通帶下限n3：通帶上限通帶上限nsl：阻帶下限阻帶下限nsh：阻帶上限阻帶上限n B= 3- 1 : 阻帶帶寬，并以此作為參考阻帶帶寬，并以此作為參考頻率對(duì)軸頻率對(duì)軸作歸一化處理作歸一化處理 80n通帶中心頻率通帶中心頻率 213 歸一化中心頻率歸一化中心頻率21381n和和的對(duì)應(yīng)關(guān)系：的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 82n模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為模擬帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:

37、222222sBps222( )( )sBpsH sG p83n由模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字帶通、由模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字帶通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟：高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟：n將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。n利用頻率變換關(guān)系將模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)利用頻率變換關(guān)系將模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。n設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。n將模擬低通濾波器通過(guò)頻率變換法，轉(zhuǎn)換成將模擬低通濾波器通過(guò)頻率變換法，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。所需類型的

38、模擬濾波器。n采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。 84n例例6.7 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶下限頻率通帶下限頻率 ，阻帶上限頻率，阻帶上限頻率為為 ，通帶衰減不大于，通帶衰減不大于3dB，阻帶，阻帶衰減不小于衰減不小于15dB。n解解 數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)為模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，取模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，取T=10.8p0.44s0.8 ,30.44 ,15ppssdBdB 12tan6.155/212tan1.655/2

39、ppssrad srad s 85對(duì)對(duì) p歸一化，歸一化，模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器1,0.269spsp11,3.71pss1010101lglg1.31101psspN 86取取N=2，歸一化模擬低通濾波器為，歸一化模擬低通濾波器為去歸一化，去歸一化，將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通21( )21G ppp222( )2pppG sss2222( )21pppsH sss87用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通111 2121210.0653(1)( )( )|1

40、1.1990.349azszzH zHszz88n頻率最小均方誤差設(shè)計(jì)頻率最小均方誤差設(shè)計(jì) n時(shí)域直接設(shè)計(jì)時(shí)域直接設(shè)計(jì) 89 理想濾波器的頻率響應(yīng)：理想濾波器的頻率響應(yīng)：Hd(ej) 設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)：設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)： H(ej) 21|()|()|iiNjwjwdiEH eHe 頻率最小均方誤差設(shè)計(jì)方法就是尋找濾波器頻率最小均方誤差設(shè)計(jì)方法就是尋找濾波器的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)H(ej)，使，使 最小最小90n設(shè)濾波器的頻率響應(yīng)為：設(shè)濾波器的頻率響應(yīng)為：2211()()1jjNjjiijjiiiaebeH eAAG eced e11112,TNNNNa b c d aabcd (

41、,)EEA 那么那么 共有（共有（4N+1）個(gè)待定系數(shù)）個(gè)待定系數(shù)設(shè)設(shè)91n取取E對(duì)每一個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令這些導(dǎo)對(duì)每一個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令這些導(dǎo)數(shù)為零，得到數(shù)為零，得到4N+1個(gè)方程個(gè)方程( , )0EAA ( ,)0 0,1,4nEAnN To p8992121(, )()(, )iiiNjjddefigNjiG eHeAAG e 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG eba zb z 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG ecc zd z 212(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG edc z

42、d z 112(, )(, ) Re1iijiijjinkikizeG ezG eaa zb z 93n在設(shè)計(jì)過(guò)程中，對(duì)系數(shù)函數(shù)零極點(diǎn)位置未給任在設(shè)計(jì)過(guò)程中，對(duì)系數(shù)函數(shù)零極點(diǎn)位置未給任何約束，零極點(diǎn)可能在單位圓內(nèi)，也可能在單何約束，零極點(diǎn)可能在單位圓內(nèi)，也可能在單位圓外。位圓外。n由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，零極點(diǎn)均以共軛由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，零極點(diǎn)均以共軛成對(duì)的形式存在。成對(duì)的形式存在。n如果極點(diǎn)在單位圓外，那么濾波器不是因果穩(wěn)定如果極點(diǎn)在單位圓外，那么濾波器不是因果穩(wěn)定的，因此需要對(duì)這些單位圓外的極點(diǎn)進(jìn)行修正。的，因此需要對(duì)這些單位圓外的極點(diǎn)進(jìn)行修正。94n如果將極點(diǎn)如果將極點(diǎn)z1和它的共軛極點(diǎn)和它的共軛極點(diǎn) 均以其倒數(shù)均以其倒數(shù) 和和 代替后，代替后， 幅度特性的形狀不變化，幅度特性的形狀不變化，僅是幅度的增益變化了僅是幅度的增益變化了 。*1z11z1*1z21z11z設(shè)設(shè)z1為極點(diǎn)為極點(diǎn)n極點(diǎn)位置重新分配后，濾波器就變成因果穩(wěn)定的。極點(diǎn)位置重新分配后，濾波器就變成因果穩(wěn)定的。 11211111zezezzezejjjj95n設(shè)