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1、（22.3實際問題與一元二次方程）測試含解析解析【一】解答題1、某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛形，如下圖，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程Icm與時間ts滿足關(guān)系：l= t2+ tt >0，乙以4cm/s的速度勻速運動，半圓的長2 2度為21cm1甲運動4s后的路程是多少？2甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？3甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間？2、 某商場以每件280元的價格購進一批商品，當每件商品售價為360元時，每月可售出 60件，為了擴大銷售，商

2、場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每月就可以多售出 5件、1降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？2要使商場每月銷售這種商品的利潤達到7200元，且更有利于減少庫存，那么每件商品應降價多少元？3、 某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周假設(shè)按每個10元的價格銷售仍可售出 200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售根據(jù)市 場調(diào)查，單價每降低 1元，可多售出50個，但售價不得低于進價，單價降低x元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利1250元

3、，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？4、 小林準備進行如下操作實驗；把一根長為40c m的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形、1要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？2小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cnf、”他的說法對嗎？請說明理由、5、要在一塊長52m,寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路、下面分別是小亮和 小穎的設(shè)計方案、1求小亮設(shè)計方案中甬路的寬度x ；2求小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積相關(guān)提示小穎設(shè)計方案中的x與小亮設(shè)計方案中的 x取值相同裁道蠱牡為沁剩為 四塊環(huán) 迭面枳共站o評方米M>hA+sIx匱圖J黛盪計

4、的方案如査為肝亍. BC=HE=3l AB/ 匚 D .HG/E F 4B丄EF：山之孑6、如下圖，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形、1用a，b, x表示紙片剩余部分的面積；2當a=6, b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長、bli r口丨7、“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具、某運動商城的自行車銷售量 自2018年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城 1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了 100輛、1假設(shè)該商城前4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城4月份賣出多少輛自行車？2考慮到自行車需求不斷增加，該商城準備投入

5、3萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，A型車的進價為500元/輛，售價為700元/輛，B型車進價為1000元/輛，售價為1300元/輛、根據(jù)銷售經(jīng) 驗，A型車不少于B型車的2倍，但不超過B型車的2、8倍、假設(shè)所進車輛全部售完，為使利潤最 大，該商城應如何進貨？& 2017年底某市汽車擁有量為 100萬輛，而截止到2018年底，該市的汽車擁有量已達到144萬輛、1求2017年底至2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率；2該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到2018年底全市汽車擁有量不超過155、52萬輛，預計2018年報廢的汽車數(shù)量是 2018年底汽車擁有量的10%求2018年底

6、至2018年底該 市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達到要求、9、為響應區(qū)“美麗廣西清潔鄉(xiāng)村”的號召，某校開展“美麗廣西清潔校園”的活動，該校經(jīng)過精心設(shè)計，計算出需要綠化的面積為498卅，綠化15001后，為了更快的完成該項綠化工作，將每天的工作量提高為原來的1、2倍、結(jié)果一共用20天完成了該項綠化工作、1該項綠化工作原計劃每天完成多少m?，2在綠化工作中有一塊面積為170m的矩形場地，矩形的長比寬的2倍少3m,請問這塊矩形場地的長和寬各是多少米？10、 在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方 差公式和完全平方公式、這種利用面積關(guān)系解決問題的

7、方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化、JL【研究速算】提出問題：47X 43, 56X 54, 79X 71,是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47X 43為例：1畫長為47,寬為43的矩形，如圖3,將這個47X 43的矩形從右邊切下長 40,寬3的一條， 拼接到原矩形上面、2分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47 X 43的矩形面積或40+7+3X 40的矩形與右上角 3X 7 的矩形面積之和，即 47X 43=40+10X 40+3X 7=5X 4X 100+3X 7=2021、

8、用文字表述47X 43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100,加上個位數(shù)字 3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果、歸納提煉：兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是用文字表述、【研究方程】提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0x> 0？幾何建模：1變形:x x+2=35、2畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖43分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，x+x+22或四個長x+2,寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積、即x+x+2 2=4x x+2 +22/ x x+2=35 x+x+22=4X 35+22 2x+22=14

9、4二 x=5歸納提煉：求關(guān)于 x的一元二次方程 xx+b=cx>0, b>0, c>0的解、要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線 段的長【研究不等關(guān)系】提出問題：怎樣運用矩形面積表示y+3 y+2與2y+5的大小關(guān)系其中 y >0？幾何建模：1畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割2變形:2y+5= y+3+y+23分析：圖5中大矩形的面積可以表示為y+3 y+2丨；陰影部分面積可以表示為y+3x 1, 畫點部分的面積可表示為 y+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知y+3y+2> y+3+y+2丨，即y+3 y+2

10、> 2y+5歸納提煉：當a>2, b>2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系、根據(jù)題意，設(shè)a=2+m b=2+n m> 0, n> 0，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建 模步驟用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長圖團®圖11、 “4?20”雅安地震后，某商家為支援災區(qū)人民，計劃捐贈帳篷16800頂，該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運送帳篷、計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完、1求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？2因地震導致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運200m頂，每輛

11、小貨車每次比原計劃少運 300頂，為了盡快將帳篷運送到災區(qū)，大貨車每天比原計劃多跑 -4：次，小貨車每天比原計劃多跑 m次，一天恰好運送了帳篷 14400頂，求m的值、12、雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動、第一天 收到捐款10000元，第三天收到捐款 12100元、1如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；2按照1中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？13、某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2月份增加10% 5月份的營業(yè)額達 到633、6萬元、求3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率、14、 某漁船出海捕魚

12、，2017年平均每次捕魚量為 10噸，2018年平均每次捕魚量為 & 1噸，求2017 年-2018年每年平均每次捕魚量的年平均下降率、15、 如圖，要建造一個直角梯形的花圃、要求AD邊靠墻，CDLAD, AB: CD=5: 4,另外三邊的和為20米、設(shè)AB的長為5x米、1請求出AD的長用含字母x的式子表示；2假設(shè)該花圃的面積為 50米2,且周長不大于30米，求AB的長、R16、銅仁市某電解金屬錳廠從今年1 月起安裝使用回收凈化設(shè)備安裝時間不計，這樣既改善了環(huán)境，又降低了原料成本，根據(jù)統(tǒng)計，在使用回收凈化設(shè)備后的1至x月的利潤的月平均值 w萬元滿足 w=10x+90、1設(shè)使用回收凈化設(shè)

13、備后的1至x月的利潤和為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式、2請問前多少個月的利潤和等于1620 萬元？22、3實際問題與一元二次方程參考答案與試題解析【一】解答題1、某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛形，如下圖，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程Icm與時間ts滿足關(guān)系：l= t2 ' tt > 0，乙以4cm/s的速度勻速運動，半圓的長2 2度為21cm1甲運動4s后的路程是多少？2甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？3甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間？

14、【分析】1根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t=4s代入求得I的值即可；2根據(jù)圖可知，二者第一次相遇走過的總路程為半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解 即可；3根據(jù)圖可知，二者第二次相遇走過的總路程為一圈半，也就是三個半圓，分別求出甲、乙走的 路程，列出方程求解即可、【解答】解：1當t=4s時，-2l t +t=8+6=14 cm，£u答：甲運動4s后的路程是14cm2由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓21cm,甲走過的路程為t2 t，乙走過的路程為 4t ,2 2那么 寺2兮+4t=21 ,解得：t=3或t= - 14不合題意，舍去，答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運

15、動了3s;3由圖可知，甲乙第二次相遇時走過的路程為三個半圓：3X 2仁63cm,那么,.t2<.t+4t=63 ,解得：t=7或t= - 18不合題意，舍去，答：甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了7s、【點評】此題考查了一元二次方程的應用，試題比較新穎、解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形分析相遇問題，第 一次相遇時二者走的總路程為半圓，第二次相遇時二者走的總路程為三個半圓，此題難度一般、2、某商場以每件 280元的價格購進一批商品，當每件商品售價為 360元時，每月可售出 60 件，為 了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價 1 元，那么商場 每月就可以多售出

16、5 件、 1降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？2要使商場每月銷售這種商品的利潤達到7200 元，且更有利于減少庫存，那么每件商品應降價多少元？【考點】一元二次方程的應用、【專題】銷售問題、【分析】 1先求出每件的利潤、再乘以每月銷售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤；2設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200 元，且更有利于減少庫存，那么每件商品應降價x 元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可、【解答】解：1由題意，得60 360 - 280=4800元、答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是4800 元；2設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200 元，且更有利于減少庫存，那么

17、每件商品應降價x元，由題意，得360 - x- 280 5x+60=7200,解得：x1=8, x2=60丁有利于減少庫存，/ x=60、答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200 元，且更有利于減少庫存，那么每件商品應降價60 元、【點評】 此題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系利潤 =售價-進價的運用， 列一元二次方程解實際問題的運 用，解答時根據(jù)銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵、3、某商店購進 600 個旅游紀念品，進價為每個 6 元，第一周以每個 10元的價格售出 200個，第二 周假設(shè)按每個 10 元的價格銷售仍可售出 200 個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售根據(jù)市 場調(diào)查，單價

18、每降低 1 元，可多售出 50 個，但售價不得低于進價，單價降低 x 元銷售，銷售一周 后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理， 以每個 4元的價格全部售出， 如果這批旅游紀念品共獲利 1250 元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？【考點】一元二次方程的應用、【專題】銷售問題、【分析】根據(jù)紀念品的進價和售價以及銷量分別表示出兩周的總利潤，進而得出等式求出即可、【解答】解：由題意得出： 20010- 6 +10-x- 6 200+50x +4- 6 600- 200 - 200+50x =1250， 即 800+4- x 200+50x- 2200- 50x =1250，整理得： x2- 2

19、x+1=0，解得： x1=x2=1 ，10- 1=9、答：第二周的銷售價格為 9 元、【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)表示出兩周的利潤是解題關(guān)鍵、4、 小林準備進行如下操作實驗；把一根長為40c m的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形、1要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？2小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cnf、”他的說法對嗎？請說明理由、【考點】一元二次方程的應用、【專題】幾何圖形問題、【分析】1設(shè)剪成的較短的這段為xcm,較長的這段就為40 - xcm、就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方

20、程求出其解即可；2設(shè)剪成的較短的這段為 mcm較長的這段就為40 -cm、就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于48cmf建立方程，如果方程有解就說明小峰的說法錯誤，否那么正確、【解答】解：1設(shè)剪成的較短的這段為xcm,較長的這段就為40- xcm,由題意，得2+_2=58,44解得：Xi=12, X2=28,當x=12時，較長的為 40 - 12=28cm,當x=28時，較長的為 40 - 28=12< 28舍去較短的這段為12cm,較長的這段就為 28cm；2設(shè)剪成的較短的這段為 mcm較長的這段就為40 -cm,由題意，得2+八2=48,44變形為：m 40m

21、+416=Q/ =- 402 - 4 X 416= - 64< 0,原方程無實數(shù)根，小峰的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于48cnf、【點評】此題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式 的運用，解答此題時找到等量關(guān)系建立方程和運用根的判別式是關(guān)鍵、5、要在一塊長52m,寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路、下面分別是小亮和 小穎的設(shè)計方案、1求小亮設(shè)計方案中甬路的寬度x ；相關(guān)提示小穎設(shè)計方案中的x與小亮設(shè)計方案中的 x取2求小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積 值相同W-52 >h+S1團BC=HE=XAB/CD.HG/EF

22、AB 丄 EF”4強設(shè)計的方gG罷g帚， 甬道室廩均為沁剰報曰W綠【考點】一元二次方程的應用；解直角三角形的應用、【專題】幾何圖形問題、52 X 48 - 52 X 2 - 48 X 2+二2=2299 平方米、<1淳設(shè)計的方室H罷工靳示, 甬道題灼兀皿垂悚鬥四扶璟 址直股共冷眈平方*2SX【分析】1根據(jù)小亮的方案表示出矩形的長和寬，利用矩形的面積公式列出方程求解即可;2求得甬道的寬后利用平行四邊形的面積計算方法求得兩個陰影部分面積的和即可；【解答】解：1根據(jù)小亮的設(shè)計方案列方程得：52 - x 48 - X=2300解得：x=2或x=98舍去小亮設(shè)計方案中甬道的寬度為2m2作AI丄CD

23、垂足為I ,/ AB/ CD / 1=60°,/ ADI=60°,/ BC/ AD,四邊形ADCB為平行四邊形， BC=AD由1得 x=2, BC=HE=2=AD在 Rt ADI 中，AI=2sin60 ° =小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積為D2不圖BC=HE=AB/CDhHG/EFAB 丄 EF. Z1-605【點評】此題考查了一元二次方程的應用，特別是圖形的面積問題更是近幾年中考中考查一元二次 方程的應用的主要題型、6、如下圖，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形、1用a, b, x表示紙片剩余部分的面積；2當a=6, b=4，且剪

24、去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長、bIn rI嗎a 【考點】一元二次方程的應用、【專題】幾何圖形問題、【分析】1邊長為x的正方形面積為x2,矩形面積減去4個小正方形的面積即可、 2依據(jù)剪去部分的面積等于剩余部分的面積，列方程求出x的值即可、【解答】解：1ab-4x2;2依題意有：ab - 4x =4x ,將a=6, b=4,代入上式，得 x2=3,解得 x1=二，x2=-二舍去、 即正方形的邊長為【點評】此題是利用方程解答幾何問題，充分表達了方程的應用性、依據(jù)等量關(guān)系“剪去部分的面積等于剩余部分的面積”，建立方程求解、7、“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工

25、具、某運動商城的自行車銷售量 自2018年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了 100輛、1假設(shè)該商城前4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城4月份賣出多少輛自行車？2考慮到自行車需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，A型車的進價為500元/輛，售價為700元/輛，B型車進價為1000元/輛，售價為1300元/輛、根據(jù)銷售經(jīng) 驗，A型車不少于B型車的2倍，但不超過B型車的2、8倍、假設(shè)所進車輛全部售完，為使利潤最 大，該商城應如何進貨？【考點】一元二次方程的應用；一次函數(shù)的應用、【分析】1首先根據(jù)1月份和3月份的銷售量求得月平均增長率，

26、然后求得4月份的銷量即可；2設(shè)A型車x輛，根據(jù)“A型車不少于B型車的2倍，但不超過 B型車的2、8倍”列出不等式 組，求出x的取值范圍；然后求出利潤W的表達式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可、【解答】解：1設(shè)平均增長率為a，根據(jù)題意得：64 1+a2=100解得：a=0、25=25%或 a= - 2、25四月份的銷量為：100? 1+25%=125輛、答：四月份的銷量為 125輛、利潤 W= 700 - 500x+30000- 500x10001300 - 1000=9000+50x、設(shè)購進A型車x輛，那么購進B型車輛,根據(jù)題意得：2小xw 2、8“丄1000 1000解得：30< xw 3

27、5/ 50> 0,二W隨著x的增大而增大、當x=35時,30000- 500x1000不是整數(shù),故不符合題意,x=34，此時30000- 500x1000=13輛、答：為使利潤最大，該商城應購進34輛A型車和13輛B型車、【點評】此題考查了一元二次方程、一元一次不等式組和一次函數(shù)的應用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列 出方程或不等式，這也是此題的難點、& 2017年底某市汽車擁有量為 100萬輛，而截止到2018年底，該市的汽車擁有量已達到 144萬輛、 1求2017年底至2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率；2該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到2018年底全市汽車擁有量不

28、超過155、52萬輛，預計2018年報廢的汽車數(shù)量是 2018年底汽車擁有量的10%求2018年底至2018年底該 市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達到要求、【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用、【分析】1設(shè)2017年底至2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率是x，根據(jù)2017年底該市汽車擁有量為100萬輛，而截止到2018年底，該市的汽車擁有量已達144萬輛可列方程求解、2設(shè)2018年底到2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率為y，那么2018年底全市的汽車擁有量為144 1+yX 90%萬輛，根據(jù)要求到 2018年底全市汽車擁有量不超過155、52萬輛可列不等式求

29、解、【解答】解：1設(shè)2017年底至2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率是x,根據(jù)題意，100 1+x2=1441+x=± 1、2Xt=0、2=20%x= - 2、2不合題意，舍去答：2017年底至2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率是20%2設(shè)2018年底到2018年底該市汽車擁有量的年平均增長率為y,根據(jù)題意得：144 1+y- 144 X 10%C 155、52解得：yw 0、18答：2018年底至2018年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在不超過18%能達到要求、【點評】此題考查了一元二次方程的應用及不等式的應用，重點考查理解題意的能力，根據(jù)增長的結(jié)果做為等量關(guān)系列出方

30、程求解，根據(jù)2018車的總量這個不等量關(guān)系列出不等式求解、9、為響應區(qū)“美麗廣西清潔鄉(xiāng)村”的號召，某校開展“美麗廣西清潔校園”的活動，該校經(jīng)過精心設(shè)計，計算出需要綠化的面積為498卅，綠化150卅后，為了更快的完成該項綠化工作，將每天的工作量提高為原來的1、2倍、結(jié)果一共用20天完成了該項綠化工作、1該項綠化工作原計劃每天完成多少m?,2在綠化工作中有一塊面積為170*的矩形場地，矩形的長比寬的2倍少3m,請問這塊矩形場地的長和寬各是多少米？【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用、【分析】1根據(jù)一共用20天列出分式方程求解即可；2根據(jù)矩形的面積為 170卅列出一元二次方程求解即可、【解答】

31、解：1設(shè)該項綠化工作原計劃每天完成xnf,那么提高工作量后每天完成1、2xnf,根據(jù)題意，得-，解得x=22、x 1.2x經(jīng)檢驗，x=22是原方程的根、答：該項綠化工作原計劃每天完成22卅、2設(shè)矩形寬為ym,那么長為2y - 3m,根據(jù)題意，得y2y - 3=170,解得y=10或y= - & 5不合題意，舍去、2y3=17、答：這塊矩形場地的長為17m,寬為10m【點評】此題考查了分式方程及一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是從題目中找到相關(guān)的等量關(guān)系 并列出方程求解、10、 在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方 差公式和完全平方公式、這種利

32、用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化、團團【研究速算】提出問題：47X 43, 56X 54, 79X 71,是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47X 43為例：1畫長為47,寬為43的矩形，如圖3,將這個47X 43的矩形從右邊切下長 40,寬3的一條， 拼接到原矩形上面、2分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47 X 43的矩形面積或40+7+3X 40的矩形與右上角 3X 7 的矩形面積之和，即 47X 43=40+10X 40+3X 7=5X 4X 100+

33、3X 7=2021、用文字表述47X 43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100,加上個位數(shù)字 3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果、歸納提煉：兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是用文字表述十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果、【研究方程】提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0x> 0？幾何建模：1變形:x x+2=35、2畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖43分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，x+x+22或四個長x+2,寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積、即x+x+2

34、 2=4x x+2 +22/ x x+2=35 x+x+22=4X 35+22 2x+22=144/ x> 0二 x=5歸納提煉：求關(guān)于 x的一元二次方程 xx+b=cx>0, b>0, c>0的解、要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長【研究不等關(guān)系】提出問題：怎樣運用矩形面積表示y+3 y+2與2y+5的大小關(guān)系其中 y >0？幾何建模：1畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割2變形:2y+5= y+3+ y+23分析：圖5中大矩形的面積可以表示為y+3 y+2丨；陰影部分面積可以表示為y+3x 1, 畫

35、點部分的面積可表示為 y+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知 y+3y+2> y+3+y+2丨， 即y+3 y+2> 2y+5歸納提煉：當a>2, b>2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系、根據(jù)題意，設(shè)a=2+m b=2+n m> 0, n> 0，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建 模步驟用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長【考點】一元二次方程的應用、【分析】【研究速算】：可根據(jù)例如歸納總結(jié)；【研究方程】：畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造圖，按照例如步驟分割即可得；【研究不等關(guān)系】：畫長m+2,寬n+2的矩形，按圖方式分割，根據(jù)圖形的部分與整體的關(guān)

36、系即可得、【解答】解：【研究速算】歸納提煉：兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是用文字表述為：十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果；故答案為：十位數(shù)字加 1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果、【研究方程】歸納提煉：求關(guān)于 x的一元二次方程 xx+b=cx>0， b>0， c>0的解、幾何建模：1畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造圖，2分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，x+x+b2或四個長x+b，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積、即x+x+b2=

37、4xx+b+b2/ x x+b=c2 2 x+x+b=4c+b 2x+b2=4c+b2/ x> 0 2x+b=±： ，x= '土匕：.；【研究不等關(guān)系】提出問題：怎樣運用矩形面積表示y+3 y+2與2y+5的大小關(guān)系其中 y >0？幾何建模：1畫長m+2寬n+2的矩形，按圖方式分割，2分析：圖中大矩形的面積可以表示為m+2 n+2；陰影部分面積可以表示為m+2 x 1,畫點部分的面積可表示為 n+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知 m+2 n+2> m+2 +n+2， 即 ab> a+B、【點評】此題主要考查一元一次方程、一元一次不等式的建模，根據(jù)例如和

38、方程、不等式的特點構(gòu)建幾何圖形并完成分割是解題的關(guān)鍵、11、“4?20”雅安地震后，某商家為支援災區(qū)人民，計劃捐贈帳篷16800頂，該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運送帳篷、計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完、1求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？2因地震導致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運200m頂，每輛小貨車每次比原計劃少運 300頂，為了盡快將帳篷運送到災區(qū)，大貨車每天比原計劃多跑'；.次，小貨車每天比原計劃多跑 m次，一天恰好運送了帳篷 14400頂，求m的值、【考點】一元二次方程的應用；一元一次方程的

39、應用、【分析】1設(shè)小貨車每次運送 x頂，那么大貨車每次運送x+200頂，根據(jù)兩種類型的車輛共 運送16800頂帳篷為等量關(guān)系建立方程求出其解即可；2根據(jù)1的結(jié)論表示出大小貨車每次運輸?shù)臄?shù)量，根據(jù)條件可以表示出大貨車現(xiàn)在每天運輸次數(shù)為1+ m次，小貨車現(xiàn)在每天的運輸次數(shù)為1+m次，根據(jù)一天恰好運送了帳篷14400頂:-建立方程求出其解就可以了【解答】解：1設(shè)小貨車每次運送 x頂，那么大貨車每次運送x+200頂，根據(jù)題意得：22 x+200+8x=16800，解得：x=800、大貨車原計劃每次運：800+200=1000頂答：小貨車每次運送 800頂，大貨車每次運送 1000頂；2由題意，得 2x

40、 1000 - 200m 1+8 800 - 300 1+m=14400,解得：m=2, m=21舍去、答：m的值為2、【點評】此題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時根據(jù)各部分工作量之和=工作總量建立方程是關(guān)鍵、12、雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動、第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款 12100元、1如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；2按照1中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【考點】一元二次方程的應用、【專題】增長率問題、【分析】1解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：第一天收到捐

41、款錢數(shù)x1+每次增長的百分率2=第三天收到捐款錢數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可；2第三天收到捐款錢數(shù)x 1+每次增長的百分率=第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可、【解答】解：1設(shè)捐款增長率為x，根據(jù)題意列方程得，10000X 1+X 2=12100,解得X1=0、1, X2=-2、1不合題意，舍去；答：捐款增長率為10%212100 x 1 + 10% =13310 元、答：第四天該單位能收到13310元捐款、【點評】此題考查了一元二次方程的應用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù)x1+每次降價的百分率2=第三天收到捐款錢數(shù)、13、 某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2

42、月份增加10% 5月份的營業(yè)額達 到633、6萬元、求3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率、【考點】一元二次方程的應用、【專題】增長率問題；壓軸題、【分析】此題是平均增長率問題，一般形式為a 1+x2=b, a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量、如果設(shè)平均增長率為 x,那么結(jié)合到此題中 a就是400x 1+10%，即3月份的營 業(yè)額，b就是633、6萬元即5月份的營業(yè)額、由此可求出 x的值、【解答】解：設(shè)3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為x,根據(jù)題意得，400 x 1 + 10% 1+x2=633、6,解得，x1=0> 2=20% x2= - 2、2不合題意舍去、答：3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為20%【點評】此題考查求平均變化率的方法、假設(shè)設(shè)變化前的量為 a,變化后的量為b,平均變化率為x,那么經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a 1± x2=b當增長時中間的“土”號選“ +”，當降低時中間的“土”號選