第三講冪函數、指數函數

1、 理解有理數指數冪的含義，了理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，能進行冪的解實數指數冪的意義，能進行冪的運算；理解指數函數的概念和意義；運算；理解指數函數的概念和意義；理解指數函數的性質，會畫指數函理解指數函數的性質，會畫指數函數的圖象數的圖象.1.(1)化簡化簡:(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5= .(2) = .351416151223a3561052aaaa33= = = .(1)(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5=1+ ( ) -( )=1+ - = .(2) =35141494121100121611016153561052aaaa336105

2、53322aaaa3403aa34132()a23a12(-,-2)2.(2010北京海淀模擬北京海淀模擬)函數函數f(x)=a-2x的的圖象經過原點，則不等式圖象經過原點，則不等式f(x) 的解的解集是集是 .由由f(x)的圖象經過原點知的圖象經過原點知a=1，所以所以f(x)=1-2x 2x xy2y1 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y212D 冪值大小比較問題，首先考慮指數函冪值大小比較問題，首先考慮指數函數的單調性，不同底先化成同底數的單調性，不同底先化成同底. y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=( )-1.5=21.5. 又因為又因為y=

3、2x在在R上是單調增函數，上是單調增函數，1.81.51.44, 所以所以y1y3y2.12函數函數f(x)要在要在R上是增函數上是增函數2-a0 a1 a2-a+15.（2010江西模擬江西模擬) 已知已知f(x)= (2-a)x+1(x1) ax(x1),且且f(x)是是R上的增函數上的增函數,那么那么a的取值范圍是的取值范圍是( )AA. ,2) B.(1, ) C.(1,2) D.(1,+) a1且且nN*），當），當n為奇數時，正數的為奇數時，正數的n次方根是一個次方根是一個 ,負數的負數的n次方根是一次方根是一個個 .這時這時a的的n次方根記為次方根記為 ;當當n為偶數時，正數為偶

4、數時，正數a的的n次方根有兩個，可用次方根有兩個，可用符號符號 表示，其中表示，其中 叫做叫做 ,這里的這里的n叫做叫做 ,a叫做叫做 .ann次方根次方根正數正數負數負數anan根式根式根指數根指數被開方數被開方數(2)當當n為奇數時，為奇數時， =a;當當n為偶數時為偶數時, = = 2.分數指數冪分數指數冪(1)我們規(guī)定正數的正分數指數冪的意義我們規(guī)定正數的正分數指數冪的意義是是: = (a0,m、nN*,n1).(2)正數的負分數指數冪的意義與負整數正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿；我們規(guī)指數冪的意義相仿；我們規(guī) 定定 = (a0,m,nN*,n1).(3)0的正分數指

5、數冪等于的正分數指數冪等于0；0的負分數的負分數指數冪沒有意義指數冪沒有意義.nna|a|mnamnanna1111 a (a0) -a (a0,r、sQ);(2)(ar)s= (a0,r、sQ);(3)(ab)r= (a0,b0,rQ).4.指數函數及性質指數函數及性質(1)一般的一般的,函數函數 (a0,且且a)叫做叫做指數函數指數函數,其中其中x是是 ,函數的定函數的定義域是義域是 .121213131414ar+sarsarbr151516161717y=ax自變量自變量R（）指數函數（）指數函數y=ax的圖象與性質如下表：的圖象與性質如下表：a10a05.冪函數的定義冪函數的定義一般

6、的說，型如一般的說，型如 的函數叫冪函數的函數叫冪函數,其中其中x是自變量，是自變量，是常數是常數.對于冪函數，對于冪函數，我們只討論我們只討論=1,2,3, ,-1時的情形時的情形.性質過定點(0,1)當x0時, ;當x0時, ;當x10y10y122222323增函數增函數減函數減函數2424y=x126.冪函數的性質冪函數的性質所有的冪函數在所有的冪函數在(0,+)上都有定義，且圖象上都有定義，且圖象都過都過(1,1)點點.當當為奇數時，冪函數為奇函為奇數時，冪函數為奇函數；當數；當為偶數時，冪函數為偶函數為偶數時，冪函數為偶函數.一般的一般的,當當0時時,冪函數冪函數y=x有下列性質：

7、有下列性質：(1)圖象都通過點圖象都通過點 ;(2)在第一象限內在第一象限內,函數值函數值 ;(3)在第一象限內，當在第一象限內，當1時，圖象是向下凸時，圖象是向下凸的的;當當01時時,圖象是向上凸的；圖象是向上凸的；25252626(0,0),(1,1)隨隨x的增大而增大的增大而增大(4)在第一象限內，過點在第一象限內，過點(1，1)后，圖象向右上后，圖象向右上方無限伸展方無限伸展.當當0) ( )x (x0),所以函數所以函數y=( )-|x|在在(-,0上是減函數，在上是減函數，在0,+)上是增函數上是增函數.(此題可借助圖象思考此題可借助圖象思考)32232332232332且且y=(

8、 )-|x|=2323 合函數的值域可采用換元法，合函數的值域可采用換元法，結合中間變量的范圍求函數的值域；結合中間變量的范圍求函數的值域；復合函數復合函數y=f(x)的單調性要根據的單調性要根據y=au,u=f(x)兩函數在相應區(qū)間上的兩函數在相應區(qū)間上的單調性確定，遵循單調性確定，遵循“同增異減同增異減”的的規(guī)律規(guī)律.例例2 已知冪函數已知冪函數f(x)=xm2-m-2(mZ)是偶函數，且在是偶函數，且在(0,+)上是減函數上是減函數,求函數求函數f(x)的解析式的解析式,并討論并討論 g(x)=a - (x (a、bR)的奇的奇偶性偶性.( )f x( )bxf x 利用冪函數的定義和性

9、質求解析利用冪函數的定義和性質求解析式，根據奇偶性的定義判斷奇偶性式，根據奇偶性的定義判斷奇偶性. 由題意可知由題意可知,m2-m-2是偶數是偶數,且且m2-m-20,即即-1m0,且且a1)的圖象有兩個公共點，則的圖象有兩個公共點，則a ；(2)已知已知f(x)=( + )x，x0，若，若f(x)0在定義域內恒成立在定義域內恒成立,則則a的取的取 值范圍為值范圍為 .1211xa (1,+)120a1時，作圖知無解；時，作圖知無解；當當0a1時時,作圖知作圖知02a10a0 x(ax-1)0.當當x0時時,ax-10 axa0,又又x0,所以所以a1；當當x0時時,ax-10 axa0,又又

10、x1.綜上，綜上，a的取值范圍為的取值范圍為(1,+).12(1)2(1)xxx aa(2009北京豐臺區(qū)期末）北京豐臺區(qū)期末）已知函數已知函數f(x)=3x，f(a+2)=18，g(x)=3ax-4x的的定義域為定義域為0,1.（1）求求a的值；的值；（2）若函數若函數g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上是單調上是單調遞減函數，求實數遞減函數，求實數的取值范圍的取值范圍. (方法一方法一)(1)由已知得由已知得3a+2=18 3a=2 a=log32.（2）此時此時g(x)=2x-4x.設設0 x10恒成立，恒成立，即即20+20=2，所以實數所以實數的取值范圍是的取值范圍是(-,2.(方法二方法二

11、)(1)由已知得由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此時，此時，g(x)=2x-4x.因為因為g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上是單調減函數，上是單調減函數，所以所以g(x)=ln22x-ln44x= ln2-2(2x)2+2x0成立成立.設設2x=u1,2,上式成立等價于上式成立等價于-2u2+u0恒成恒成立立.因為因為u1,2，只需，只需2u恒成立，恒成立，所以實數所以實數的取值范圍是的取值范圍是(-,2.1.分數指數冪的定義揭示了分數指數冪與分數指數冪的定義揭示了分數指數冪與根式的關系，因此，根式的運算可以轉根式的關系，因此，根式的運算可以轉化為分數指數冪的運算化為分數指數冪的

12、運算.在運算過程中，在運算過程中，要貫徹先化簡后計算的原則，并且注意要貫徹先化簡后計算的原則，并且注意運算的順序運算的順序.2.指數函數指數函數y=ax的底數須滿足條件的底數須滿足條件a0且且a，研究幾個指數函數盡量化為同底，研究幾個指數函數盡量化為同底.3.指數函數的性質主要是單調性指數函數的性質主要是單調性,比較大小是單比較大小是單調性的一個重要應用，比較時注意底數與的調性的一個重要應用，比較時注意底數與的大小分類討論大小分類討論.(1)若底數相同，指數不同，則利用指數函數的若底數相同，指數不同，則利用指數函數的單調性來比較；單調性來比較；(2)若底數、指數均不相同，則可引入中間量或若底數、指數均不相同，則可引入中間量或畫圖象來比較畫圖象來比較.4.利用指數函數的概念、圖象、性質討論一些復利用指數函數的概念、圖象、性質討論一些復合函數的相應問題是?？碱}型合函數的相應問題是?？碱}型,應注意數形結應注意數形結合、分類討論、化歸等數學思想的靈活運用合、分類討論、化歸等數學思想的靈活運用.學例1 (2009山東卷山東卷)函數函數y=的圖象大致為（的圖象大致為（ ）Axxxxeeee要使函數有意義，需使要使