第三講冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)

1、 理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，能進行冪的解實數(shù)指數(shù)冪的意義，能進行冪的運算；理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義；運算；理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義；理解指數(shù)函數(shù)的性質，會畫指數(shù)函理解指數(shù)函數(shù)的性質，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象數(shù)的圖象.1.(1)化簡化簡:(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5= .(2) = .351416151223a3561052aaaa33= = = .(1)(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5=1+ ( ) -( )=1+ - = .(2) =35141494121100121611016153561052aaaa336105

2、53322aaaa3403aa34132()a23a12(-,-2)2.(2010北京海淀模擬北京海淀模擬)函數(shù)函數(shù)f(x)=a-2x的的圖象經(jīng)過原點，則不等式圖象經(jīng)過原點，則不等式f(x) 的解的解集是集是 .由由f(x)的圖象經(jīng)過原點知的圖象經(jīng)過原點知a=1，所以所以f(x)=1-2x 2x xy2y1 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y212D 冪值大小比較問題，首先考慮指數(shù)函冪值大小比較問題，首先考慮指數(shù)函數(shù)的單調性，不同底先化成同底數(shù)的單調性，不同底先化成同底. y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=( )-1.5=21.5. 又因為又因為y=

3、2x在在R上是單調增函數(shù)，上是單調增函數(shù)，1.81.51.44, 所以所以y1y3y2.12函數(shù)函數(shù)f(x)要在要在R上是增函數(shù)上是增函數(shù)2-a0 a1 a2-a+15.（2010江西模擬江西模擬) 已知已知f(x)= (2-a)x+1(x1) ax(x1),且且f(x)是是R上的增函數(shù)上的增函數(shù),那么那么a的取值范圍是的取值范圍是( )AA. ,2) B.(1, ) C.(1,2) D.(1,+) a1且且nN*），當），當n為奇數(shù)時，正數(shù)的為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個次方根是一個 ,負數(shù)的負數(shù)的n次方根是一次方根是一個個 .這時這時a的的n次方根記為次方根記為 ;當當n為偶數(shù)時，正數(shù)為偶

4、數(shù)時，正數(shù)a的的n次方根有兩個，可用次方根有兩個，可用符號符號 表示，其中表示，其中 叫做叫做 ,這里的這里的n叫做叫做 ,a叫做叫做 .ann次方根次方根正數(shù)正數(shù)負數(shù)負數(shù)anan根式根式根指數(shù)根指數(shù)被開方數(shù)被開方數(shù)(2)當當n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， =a;當當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, = = 2.分數(shù)指數(shù)冪分數(shù)指數(shù)冪(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是是: = (a0,m、nN*,n1).(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿；我們規(guī)指數(shù)冪的意義相仿；我們規(guī) 定定 = (a0,m,nN*,n1).(3)0的正分數(shù)指

5、數(shù)冪等于的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義指數(shù)冪沒有意義.nna|a|mnamnanna1111 a (a0) -a (a0,r、sQ);(2)(ar)s= (a0,r、sQ);(3)(ab)r= (a0,b0,rQ).4.指數(shù)函數(shù)及性質指數(shù)函數(shù)及性質(1)一般的一般的,函數(shù)函數(shù) (a0,且且a)叫做叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),其中其中x是是 ,函數(shù)的定函數(shù)的定義域是義域是 .121213131414ar+sarsarbr151516161717y=ax自變量自變量R（）指數(shù)函數(shù)（）指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象與性質如下表：的圖象與性質如下表：a10a05.冪函數(shù)的定義冪函數(shù)的定義一般

6、的說，型如一般的說，型如 的函數(shù)叫冪函數(shù)的函數(shù)叫冪函數(shù),其中其中x是自變量，是自變量，是常數(shù)是常數(shù).對于冪函數(shù)，對于冪函數(shù)，我們只討論我們只討論=1,2,3, ,-1時的情形時的情形.性質過定點(0,1)當x0時, ;當x0時, ;當x10y10y122222323增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)2424y=x126.冪函數(shù)的性質冪函數(shù)的性質所有的冪函數(shù)在所有的冪函數(shù)在(0,+)上都有定義，且圖象上都有定義，且圖象都過都過(1,1)點點.當當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當數(shù)；當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù).一般的一般的,當當0時時,冪函數(shù)冪函數(shù)y=x有下列性質：

7、有下列性質：(1)圖象都通過點圖象都通過點 ;(2)在第一象限內在第一象限內,函數(shù)值函數(shù)值 ;(3)在第一象限內，當在第一象限內，當1時，圖象是向下凸時，圖象是向下凸的的;當當01時時,圖象是向上凸的；圖象是向上凸的；25252626(0,0),(1,1)隨隨x的增大而增大的增大而增大(4)在第一象限內，過點在第一象限內，過點(1，1)后，圖象向右上后，圖象向右上方無限伸展方無限伸展.當當0) ( )x (x0),所以函數(shù)所以函數(shù)y=( )-|x|在在(-,0上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù).(此題可借助圖象思考此題可借助圖象思考)32232332232332且且y=(

8、 )-|x|=2323 合函數(shù)的值域可采用換元法，合函數(shù)的值域可采用換元法，結合中間變量的范圍求函數(shù)的值域；結合中間變量的范圍求函數(shù)的值域；復合函數(shù)復合函數(shù)y=f(x)的單調性要根據(jù)的單調性要根據(jù)y=au,u=f(x)兩函數(shù)在相應區(qū)間上的兩函數(shù)在相應區(qū)間上的單調性確定，遵循單調性確定，遵循“同增異減同增異減”的的規(guī)律規(guī)律.例例2 已知冪函數(shù)已知冪函數(shù)f(x)=xm2-m-2(mZ)是偶函數(shù)，且在是偶函數(shù)，且在(0,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù),求函數(shù)求函數(shù)f(x)的解析式的解析式,并討論并討論 g(x)=a - (x (a、bR)的奇的奇偶性偶性.( )f x( )bxf x 利用冪函數(shù)的定義和性

9、質求解析利用冪函數(shù)的定義和性質求解析式，根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性式，根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性. 由題意可知由題意可知,m2-m-2是偶數(shù)是偶數(shù),且且m2-m-20,即即-1m0,且且a1)的圖象有兩個公共點，則的圖象有兩個公共點，則a ；(2)已知已知f(x)=( + )x，x0，若，若f(x)0在定義域內恒成立在定義域內恒成立,則則a的取的取 值范圍為值范圍為 .1211xa (1,+)120a1時，作圖知無解；時，作圖知無解；當當0a1時時,作圖知作圖知02a10a0 x(ax-1)0.當當x0時時,ax-10 axa0,又又x0,所以所以a1；當當x0時時,ax-10 axa0,又又

10、x1.綜上，綜上，a的取值范圍為的取值范圍為(1,+).12(1)2(1)xxx aa(2009北京豐臺區(qū)期末）北京豐臺區(qū)期末）已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=3x，f(a+2)=18，g(x)=3ax-4x的的定義域為定義域為0,1.（1）求求a的值；的值；（2）若函數(shù)若函數(shù)g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上是單調上是單調遞減函數(shù)，求實數(shù)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍的取值范圍. (方法一方法一)(1)由已知得由已知得3a+2=18 3a=2 a=log32.（2）此時此時g(x)=2x-4x.設設0 x10恒成立，恒成立，即即20+20=2，所以實數(shù)所以實數(shù)的取值范圍是的取值范圍是(-,2.(方法二方法二

11、)(1)由已知得由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此時，此時，g(x)=2x-4x.因為因為g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上是單調減函數(shù)，上是單調減函數(shù)，所以所以g(x)=ln22x-ln44x= ln2-2(2x)2+2x0成立成立.設設2x=u1,2,上式成立等價于上式成立等價于-2u2+u0恒成恒成立立.因為因為u1,2，只需，只需2u恒成立，恒成立，所以實數(shù)所以實數(shù)的取值范圍是的取值范圍是(-,2.1.分數(shù)指數(shù)冪的定義揭示了分數(shù)指數(shù)冪與分數(shù)指數(shù)冪的定義揭示了分數(shù)指數(shù)冪與根式的關系，因此，根式的運算可以轉根式的關系，因此，根式的運算可以轉化為分數(shù)指數(shù)冪的運算化為分數(shù)指數(shù)冪的

12、運算.在運算過程中，在運算過程中，要貫徹先化簡后計算的原則，并且注意要貫徹先化簡后計算的原則，并且注意運算的順序運算的順序.2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax的底數(shù)須滿足條件的底數(shù)須滿足條件a0且且a，研究幾個指數(shù)函數(shù)盡量化為同底，研究幾個指數(shù)函數(shù)盡量化為同底.3.指數(shù)函數(shù)的性質主要是單調性指數(shù)函數(shù)的性質主要是單調性,比較大小是單比較大小是單調性的一個重要應用，比較時注意底數(shù)與的調性的一個重要應用，比較時注意底數(shù)與的大小分類討論大小分類討論.(1)若底數(shù)相同，指數(shù)不同，則利用指數(shù)函數(shù)的若底數(shù)相同，指數(shù)不同，則利用指數(shù)函數(shù)的單調性來比較；單調性來比較；(2)若底數(shù)、指數(shù)均不相同，則可引入中間量或若底數(shù)、指數(shù)均不相同，則可引入中間量或畫圖象來比較畫圖象來比較.4.利用指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質討論一些復利用指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質討論一些復合函數(shù)的相應問題是常考題型合函數(shù)的相應問題是?？碱}型,應注意數(shù)形結應注意數(shù)形結合、分類討論、化歸等數(shù)學思想的靈活運用合、分類討論、化歸等數(shù)學思想的靈活運用.學例1 (2009山東卷山東卷)函數(shù)函數(shù)y=的圖象大致為（的圖象大致為（ ）Axxxxeeee要使函數(shù)有意義，需使要使