函數(shù)的極值與最大值最小值1學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)的極值與最大值最小值1第一頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。1.【定義定義】函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值, ,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). .若對(duì)去心鄰域若對(duì)去心鄰域的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè),)(0 xxf),()()()( 00 xfxfxfxf 或或有有內(nèi)任一內(nèi)任一 ,)(0 xxUo).()()(0或極小值或極小值的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱xfxf第1頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。2.【有關(guān)極值概念的幾點(diǎn)說(shuō)明有關(guān)極值概念的幾點(diǎn)

2、說(shuō)明】（1）極值是一個(gè)局部性的概念）極值是一個(gè)局部性的概念. .且不一定唯一且不一定唯一. .（2）極大值不一定比極小值大，還可能相等）極大值不一定比極小值大，還可能相等. .（3）某區(qū)間上可能有幾個(gè)極大值，幾個(gè)極?。┠硡^(qū)間上可能有幾個(gè)極大值，幾個(gè)極小 值，也可能無(wú)極值值，也可能無(wú)極值. .（4）由極值定義可知：極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得）由極值定義可知：極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，不能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，不能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得. .第2頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。.)()0)( 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)做做函函數(shù)數(shù)叫叫的的實(shí)實(shí)根根即即方方程程使使導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)xfxf 設(shè)設(shè))

3、(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且在且在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. . 【定理定理1 1】【定義定義】【注意注意】例如例如,3xy , 00 xy.0不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)但但 x（費(fèi)瑪引理）（費(fèi)瑪引理）即：可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件即：可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件. .()可導(dǎo)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn), ,但函數(shù)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). .1. .可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件取極值的必要條件() 極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，如極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，如 y=|x|在在x=0點(diǎn)點(diǎn).第3頁(yè)/共

4、31頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得處取得極大值極大值. . 如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得處取得極小值極小值. . 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf 符號(hào)相同符號(hào)相同, ,則則)(xf在在0 x處處無(wú)極值無(wú)極值. . 【定理定理2】的某去心的某去心處連續(xù)，且在處連續(xù)，且在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)00)(xxx f內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)鄰域鄰域)

5、,( 0 xU2. .判定極值的方法判定極值的方法(1) 第一充分條件第一充分條件第4頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。函數(shù)在不可導(dǎo)點(diǎn)處也可能取得極值函數(shù)在不可導(dǎo)點(diǎn)處也可能取得極值. .如如xy 0點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在 xxoyxy 然而取極小值然而取極小值, 0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)但在但在 x去心去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)鄰域內(nèi)可導(dǎo)故可用第一充分條件（定理故可用第一充分條件（定理2）判斷）判斷. .(2)【求極值的步驟求極值的步驟】若函數(shù)若函數(shù)f (x)在所論區(qū)間內(nèi)在所論區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù), ,除個(gè)除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)；則別點(diǎn)外處處可導(dǎo)；則求出全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)求出全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)

6、f (x)列表考查列表考查 f (x)在這些點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)，判斷極值點(diǎn)在這些點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)，判斷極值點(diǎn).求極值求極值【注注】第5頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！纠?】【解解】.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極極大大值值,10 )3)(1(3 xx),(:D第6頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。【例例2】【解

7、解】.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx .)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf【舉例舉例】函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn), ,也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). .M),(:Dx)(xf )(xf)2 ,(2), 2( 極大極大值值 1 1第7頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。設(shè)設(shè))(xf在在0 x處 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù)處 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù) , , 且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1)當(dāng)當(dāng)0

8、)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ; (2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. . 【定理定理3 3】【證證】)1(000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx , 0 異異號(hào)號(hào)，與與故故00)()(xxxfxf 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xx )()(0 xfxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xx )()(0 xfxf 有有, 0 同理可證同理可證( (2).).(3) 第二充分條件第二充分條件由極值第一充分條件由極值第一充分條件第8頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！菊f(shuō)明說(shuō)明】,

9、 0)()( 00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xfxf定理不能判別定理不能判別如如4xy 4xy 3xy 0, 0 0 yyx均滿足均滿足在在但它們分別取極小值、極大值和不取極值但它們分別取極小值、極大值和不取極值. .此時(shí)應(yīng)該用第一充分條件判別此時(shí)應(yīng)該用第一充分條件判別. .第9頁(yè)/共31頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！纠? 3】【解解】.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f

10、故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下第10頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。Mm第11頁(yè)/共31頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。最值問(wèn)題：最值問(wèn)題：在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到在一在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到在一定的條件下，怎樣使定的條件下，怎樣使“成本最低成本最低”、“利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大”、“用料最用料最省省”、“效率最高效率最高”等問(wèn)題，這類問(wèn)題一般可化為求某一函等問(wèn)題，這類問(wèn)題一般可化為求某一函數(shù)數(shù)( (稱為稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)) )的最大值或最小值問(wèn)題。的最大值或最小值問(wèn)題。最值定義

11、：最值定義：).()()(),()()()(,)(0000或最小值或最小值上的最大值上的最大值在在是是則稱則稱或或恒有恒有切切上的一上的一使得對(duì)使得對(duì)若存在若存在上有定義上有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)DxfxfxfxfxfxfxDDxDxf 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值最值，使函數(shù)取得最值的，使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為最值點(diǎn)最值點(diǎn)。最值與極值的區(qū)別：最值與極值的區(qū)別：極值是對(duì)極值點(diǎn)的某個(gè)鄰域，最值是對(duì)整個(gè)定義區(qū)間。極值是對(duì)極值點(diǎn)的某個(gè)鄰域，最值是對(duì)整個(gè)定義區(qū)間。極值只能在區(qū)間內(nèi)取，最值可在端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)取得。極值只能在區(qū)間內(nèi)取，最值可在端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)取得。第12頁(yè)/共31頁(yè)

12、第十三頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，則導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，則，且至多有有限個(gè)，且至多有有限個(gè)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)若若baxfbaCxf 從以上幾段曲線可以看出：最值可以在開(kāi)區(qū)間從以上幾段曲線可以看出：最值可以在開(kāi)區(qū)間( (a, ,b) )內(nèi)點(diǎn)處內(nèi)點(diǎn)處取得，即極值點(diǎn)，也就是有限個(gè)駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得，即極值點(diǎn)，也就是有限個(gè)駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，同時(shí)最值也可以在整個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處取得。由此可按，同時(shí)最值也可以在整個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處取得。由此可按以下方法進(jìn)行求最值。以下方法進(jìn)

13、行求最值。第13頁(yè)/共31頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。【閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)求最值的步驟閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)求最值的步驟】1. .求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); ;2. .求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值, ,【注意注意】在實(shí)際問(wèn)題，在實(shí)際問(wèn)題，如果開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值, , 則這個(gè)極值就是最值則這個(gè)極值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )3. .比較比較2中諸值的大小中諸值的大小, ,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值, ,哪個(gè)哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值小哪個(gè)就是最小值; ;第14頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)

14、，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！纠?】【解解】 )2 , 1(234 , 2 1 , 323)(22xxxxxxxf. 4 , 3232與與最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求函函數(shù)數(shù) xxy )2 , 1(32)4 , 2()1 , 3(32)(xxxxxf駐點(diǎn)為駐點(diǎn)為23 x不可導(dǎo)點(diǎn)有兩個(gè)為：不可導(dǎo)點(diǎn)有兩個(gè)為：2 , 1 x第15頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。，最大值最大值20)3( f比較得比較得. 0)2()1( ff最小值最小值由于由于, 20)3( f , 0)1( f , 41)23( f , 0)2( f , 6)4( fxyo12232

15、xxy【注意注意】xy 0 點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在 xxxy 0 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)在在 x故故axy 點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在ax axaxy )( 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)在在ax 由此得由此得232 xxy21 xx 2 , 1 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x第16頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。敵人乘汽車(chē)從河的北岸敵人乘汽車(chē)從河的北岸A A處以處以1 1千米千米/ /分鐘的速分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車(chē)從河的南岸度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車(chē)從河的南岸B B處處向正東追擊，速度為向正東追擊，速度為2千米千米/ /分鐘問(wèn)我軍摩托車(chē)何分鐘問(wèn)我軍摩托車(chē)何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？時(shí)射擊

16、最好（相距最近射擊最好）？點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放 暫停暫?！纠?】【解解】公里公里5 . 0( (1) )建立敵我相距函數(shù)關(guān)系建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追追擊擊至至射射擊擊的的時(shí)時(shí)間間處處發(fā)發(fā)起起為為我我軍軍從從設(shè)設(shè)Bt敵我相距函數(shù)敵我相距函數(shù)22)24()5 . 0()(ttts 公里公里4B A )(ts)(ts第17頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。.)()2(的最小值點(diǎn)的最小值點(diǎn)求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn). 5 . 1 t.5 . 1分鐘射擊最好分鐘射擊最好處發(fā)起

17、追擊后處發(fā)起追擊后故得我軍從故得我軍從B公里公里5 . 0公里公里4B A )(ts22)24()5 . 0()(ttts 第18頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！咎貏e注意特別注意】若函數(shù)在一個(gè)區(qū)間（有限或無(wú)限、開(kāi)或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)若函數(shù)在一個(gè)區(qū)間（有限或無(wú)限、開(kāi)或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)駐點(diǎn) ，且且這個(gè)駐點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，則這個(gè)極值就是函這個(gè)駐點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，則這個(gè)極值就是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值（如下圖示）數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值（如下圖示）. .xyoab0 xxb0 xaoy常利用此性質(zhì)證明不等式常利用此性質(zhì)證明不等式：如：如高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)P78 3（

18、9） 第19頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！緦?shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意】( (1) )建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù); ;( (2) )求最值求最值; ;值即為所求的最值值即為所求的最值點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！纠?】某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有5050套公寓要出租，當(dāng)租金定為每套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月月180180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加月增加1010元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而元時(shí)，就有一套公寓租

19、不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)租出去的房子每月需花費(fèi)2020元的整修維護(hù)費(fèi)元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？【解解】設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點(diǎn)）（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為故每月每套租金為350350元時(shí)收入最高元時(shí)收入最高. .最大收入為最大收入

20、為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。形形面面積積最最大大所所圍圍成成的的三三角角及及線線處處的的切切線線與與直直使使曲曲線線在在該該點(diǎn)點(diǎn)上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)，曲曲邊邊成成一一個(gè)個(gè)曲曲邊邊三三角角形形，在在圍圍及及拋拋物物線線，由由直直線線808022 xyxyxyxy【例例4】點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?！窘饨狻咳鐖D如圖, ,),(00yxP設(shè)所求切點(diǎn)為設(shè)所求切點(diǎn)為為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy ,200 xy )

21、,0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分。, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .274096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最最大大者者為為所所有有三三角角形形中中面面積積的的故故 s第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期日：二十一點(diǎn) 五十八分?？赡軜O值點(diǎn)可能極值點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的可能極值點(diǎn)：可導(dǎo)函數(shù)的可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)駐點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的可能極值點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)一般函數(shù)的可能極值點(diǎn)：一般函數(shù)的可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、連續(xù)但不駐點(diǎn)、連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)、有定義的間斷點(diǎn)可導(dǎo)的點(diǎn)、有定義的間斷點(diǎn)（第一或第二充分條件判別）（第一或第二充分條件判別）（第一充分條件判別）（第一充分條件判別）（用極值定義判別