工力第12章-彎曲變形

1、單輝祖:工程力學(xué)1第 12 章 彎曲變形 彎曲變形基本方程 計(jì)算梁位移的方法 簡單靜不定梁分析 梁的剛度條件與設(shè)計(jì)本章主要研究：單輝祖:工程力學(xué)21 引言 2 梁變形基本方程 3 計(jì)算梁位移的積分法4 計(jì)算梁位移的疊加法5 簡單靜不定梁6 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì)單輝祖:工程力學(xué)31 引 言 彎曲變形及其特點(diǎn)彎曲變形及其特點(diǎn) 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角單輝祖:工程力學(xué)4 彎曲彎曲變形及其特點(diǎn)變形及其特點(diǎn) 撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線 對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線 對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計(jì)對于細(xì)長梁，

2、剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計(jì), 因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸撓曲軸 變彎后的梁軸，稱為變彎后的梁軸，稱為撓曲軸撓曲軸 研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜 不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關(guān)基礎(chǔ)不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問題提供有關(guān)基礎(chǔ)單輝祖:工程力學(xué)5 撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角撓度撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（小變形小變形）xwddtan 撓度撓度橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移)( xww 撓曲軸方程撓曲軸方程轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角橫截面的角位移橫截面的角位移

3、)(x 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 （忽略剪力影響忽略剪力影響）xwdd （rad）單輝祖:工程力學(xué)62 梁變形基本方程 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程單輝祖:工程力學(xué)7 撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程EIxMx)()(1 3/2 21)(1wwx EIxMww)(13/2 2 EIM 1（純彎純彎）（推廣到非純彎推廣到非純彎） w彎矩引起的撓度彎矩引起的撓度 s smax s sp撓曲軸微分方程撓曲軸微分方程單輝祖:工程力學(xué)8 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程小變形時小變形時：12 b 時時0 0 11 wx處，處，在在0 22 wlx處，處，在在2121 wwa

4、xx 處，處，在在處，處，在在 21axx 位移邊界條件：位移邊界條件：位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件：021 DD)(62221lbEIlFbCC 2211d/dd/d xwxw 2. 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)發(fā)生在發(fā)生在AC段段1113116DxCxEIlFbw 22232322)(66DxCaxEIFxEIlFbw 0dd11 xw單輝祖:工程力學(xué)15例 3-2 建立撓曲軸建立撓曲軸 微分方程微分方程，寫出邊界條件，寫出邊界條件，EI 為常數(shù)為常數(shù)2qaFAy 23qaFBy 121122ddxEIqaxw 2222222ddxEIqxw 解：1. 建立撓曲軸近似微分方程建立撓曲軸近似微分方

5、程AB段段:CB段段:2. 邊界條件與連續(xù)條件邊界條件與連續(xù)條件0 0 11 wx處，處，在在0 11 wax處，處，在在2121 wwaxx 處，處，在在處，處，在在 21axx 位移邊界條件：位移邊界條件：位移連續(xù)條件：位移連續(xù)條件：2211dddd xwxw 單輝祖:工程力學(xué)16F=qa例 3-3 繪制撓曲軸的大致形狀繪制撓曲軸的大致形狀F=qa單輝祖:工程力學(xué)174 計(jì)算梁位移的疊加法 疊加法疊加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例題例題單輝祖:工程力學(xué)18 疊加法疊加法方法方法qAFAAwww, 分解載荷分解載荷分別計(jì)算位移分別計(jì)算位移求位移之和求位移之和)( 8343 EIqlEI

6、Fl)( 33, EIFlwFA)( 8 4, EIqlwqA? Aw當(dāng)梁上作用幾個載荷時，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和單輝祖:工程力學(xué)19理論依據(jù))()()(xMxMxMqF )(dd22xMxwEI )()( xwxwwqF 故： )(dd22xMxwEIF )( xwwF )(dd22xMxwEIq )( xwwq 上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形小變形, ,比例極限內(nèi)比例極限內(nèi)）（小變形小變形）疊加法適用條件疊加法適用條件：小變形小變形，比例極限內(nèi)，比例極限內(nèi)單輝祖:工程力學(xué)20 逐段

7、分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分別計(jì)算各梁段的分別計(jì)算各梁段的變形在需求位移處引變形在需求位移處引起的位移起的位移awB 1EIlFaaEIFalw3321 EIFaw332 21www )( )(32 alEIFa 求總位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體EIlFaB3 單輝祖:工程力學(xué)21 例例 題題例 4-2 圖示階梯形梁，圖示階梯形梁，WC = ?= ?解：21wwwC awwBB 1FaBFBBwww, 2322236523EIFaEIaFaEIFa FaBFBB, 22222232EIFaEIaFaEIFa 23137EIFaw 132

8、3EIFawIFaEIFaEIFawC ()()()單輝祖:工程力學(xué)22例 4-2 圖示組合梁，圖示組合梁，EI=常數(shù)，求常數(shù)，求 wB 與與 A2 qaFFByAy FBFBBwwwBy, 23623223aaEIaFEIaqa 48134EIqa qABAaw, 165244813333EIqaEIqaEIqa ()()解：單輝祖:工程力學(xué)23例 4-3 求自由端位移求自由端位移d d 故撓曲軸與外力作用面不重合撓曲軸與外力作用面不重合zyII 一般情況下一般情況下yzd dd d tan tanyzII 解： sinFFz cosFFy zzyyEIFlEIlF

9、3cos333 d d yyzzEIFlEIlF3sin333 d d 22zyd dd dd d 223sincos3 yzIIEFl 單輝祖:工程力學(xué)245 簡單靜不定梁 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束 簡單靜不定梁簡單靜不定梁分析方法分析方法 例題例題單輝祖:工程力學(xué)25 靜不定度與靜不定度與多余約束多余約束多余約束多余約束 凡是多于維持平衡所必須的約束凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力多余反力 與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度靜不定度 未知未知支反力（力偶）數(shù)支反力（力偶）數(shù)有效平衡方程數(shù)有效平衡方程數(shù)靜不定度靜不定度多余約束數(shù)多余約

10、束數(shù)4-3 = 1 度度 靜不定靜不定5-3 = 2 度度 靜不定靜不定靜不定梁靜不定梁 支反力（含力偶）數(shù)支反力（含力偶）數(shù)超過超過平衡方程數(shù)的梁平衡方程數(shù)的梁單輝祖:工程力學(xué)26 簡單靜不定梁分析方法簡單靜不定梁分析方法選選 FBy 為為多余力多余力EIlFEIFlwByB348533 0 Bw變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件物理方程物理方程0348533 EIlFEIFlBy補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程165FFBy 163 0,/FlMMAA 得得平衡方程平衡方程1 度靜不定度靜不定1611 0,/FFFyAy 得得算例綜合考慮三方面綜合考慮三方面求梁的支反力求梁的支反力, EI=常數(shù)常數(shù)單輝祖:工程力學(xué)

11、27 判斷梁的靜不定度判斷梁的靜不定度 用多余力用多余力 代替多余約束代替多余約束的作用，得的作用，得受力與原靜不定受力與原靜不定梁相同的靜定梁梁相同的靜定梁相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形束處的位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程 由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力 通過相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等通過相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等依據(jù)綜合考慮三方面依據(jù)綜合考慮三方面關(guān)鍵確定多余支反力關(guān)鍵確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)注意注意: : 相當(dāng)系

12、統(tǒng)有多種選擇相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇單輝祖:工程力學(xué)28 例例 題題例 5-1 求支反力求支反力BAM,AM,AF,AA BAM,BM,BF,BB EIlMEIlMEIlblFabBA636)( EIlMEIlMEIlalFabBA366)( 0 0 解：1. 問題分析問題分析2. 解靜不定解靜不定0 0 BA, 2222 lbFaM,lFabMBA 3232)2( )2(lblFaF,lalFbFByAy 水平反力忽略不水平反力忽略不計(jì)計(jì), ,2多余未知力多余未知力單輝祖:工程力學(xué)29例 5-2 懸臂梁懸臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，試分析加固效果加固，試分析加固效果EIlFFwC48)

13、2(53R 解：1. 靜不定分析靜不定分析GCww EIlFEIlFwG243/2)(3R3R 45RFF EIlFEIlFF2448)2(53R3R 單輝祖:工程力學(xué)30EIFlEIlFEIFlwB6413485333R3 45RFF 2. 加固效果分析（剛度）加固效果分析（剛度）2maxFaM 減少減少 50%減少減少39.9%EIFlwB33,未未加加固固FaM未未加加固固,max3. 加固效果分析（強(qiáng)度）加固效果分析（強(qiáng)度）單輝祖:工程力學(xué)31 33REIlFFwB 梁梁EIlFEAlFlWBCB33RR 桿桿 EIlFEIlFF333R3R 2RFF 例 5-3 圖示桿梁結(jié)構(gòu)，圖示桿

14、梁結(jié)構(gòu)，試求桿試求桿 BC 的軸力的軸力BBww桿桿梁梁 解：一度靜不定一度靜不定單輝祖:工程力學(xué)326 梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì) 梁的剛度條件梁的剛度條件 梁的合理剛度設(shè)計(jì)梁的合理剛度設(shè)計(jì) 例題例題單輝祖:工程力學(xué)33 梁的剛度條件梁的剛度條件 d dmaxw max最大位移控制指定截面的位移控制 許許用用撓撓度度 d d 許許用用轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角 500750 ll d d橋式起重機(jī)梁：橋式起重機(jī)梁： 100005100003 ll d d一般用途的軸：一般用途的軸：例如滑動軸承處例如滑動軸承處: d dw rad 001. 0 單輝祖:工程力學(xué)34 梁的合理剛度設(shè)計(jì)梁的合理剛度設(shè)計(jì) 橫截面形狀的合

15、理選擇橫截面形狀的合理選擇 材料的合理選擇材料的合理選擇使用較小的截面面積使用較小的截面面積 A，獲得較大慣性矩，獲得較大慣性矩 I 的截面形的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學(xué)性能是影響梁剛度的力學(xué)性能是 E ，為提高剛度，宜選用，為提高剛度，宜選用E 較高的材料較高的材料GPa 220)(200 E鋼鋼與與合合金金鋼鋼：注意：注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的各種鋼材（或各種鋁合金）的 E 基本相同基本相同GPa 72)(70 E金金：合合鋁鋁單輝祖:工程力學(xué)35 梁跨度的合理選取梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變3max l d dEIFl33max d dEIFl483max d dFlM max4maxFlM lM max 例如例如 l 縮短縮短 20，d dmax 將將減少減少 48.8%單輝祖:工程力學(xué)36 合理安排約束與合理安排約束與加載方式加載方式% 75. 8max, 1max, 2 d dd dmax1,d dmax2,d dmax1,d dmax2,d d% 5 . 26max, 1max, 2 d dd dq=F/l增加約束，制作成靜不定梁增加約束，制作成靜不定梁單輝