第5章 離散型隨機(jī)變量的分布

1、第五章第五章 離散離散型隨機(jī)變量型隨機(jī)變量的的概率分布概率分布第一節(jié)第一節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布第二節(jié)第二節(jié) 超幾何分布超幾何分布第三節(jié)第三節(jié) 泊松分布泊松分布第一節(jié)第一節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 一、二項(xiàng)分布的一、二項(xiàng)分布的定義定義P98 (Binomial Distribution) 二項(xiàng)分布是從著名的二項(xiàng)分布是從著名的貝努里實(shí)驗(yàn)貝努里實(shí)驗(yàn)中推導(dǎo)出中推導(dǎo)出來的。所謂貝努里實(shí)驗(yàn)是指只有兩種可能來的。所謂貝努里實(shí)驗(yàn)是指只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種應(yīng)用非常廣泛，也非常重是一種應(yīng)用非常廣泛，也非常重要的一種分布。要的一種分布。 我們以投硬幣為例，投一次硬幣，只有兩種結(jié)果

2、，正面朝我們以投硬幣為例，投一次硬幣，只有兩種結(jié)果，正面朝上或反面朝上，單次實(shí)驗(yàn)就形成一個(gè)二點(diǎn)分布；正面朝上上或反面朝上，單次實(shí)驗(yàn)就形成一個(gè)二點(diǎn)分布；正面朝上的次數(shù)取值只有兩個(gè)，要么的次數(shù)取值只有兩個(gè)，要么1次，要么次，要么0次；我們這樣來表次；我們這樣來表達(dá)：達(dá)：P(X=1)=p，P(X=0)=q 接下來，我們來四次擲幣，每次拋幣都不會影響下一次拋接下來，我們來四次擲幣，每次拋幣都不會影響下一次拋幣的結(jié)果，所以是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)；幣的結(jié)果，所以是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)；正面朝上的次數(shù)正面朝上的次數(shù)這個(gè)這個(gè)隨機(jī)變隨機(jī)變量的取值量的取值就不會只是兩個(gè)，而是會有就不會只是兩個(gè)，而是會有41個(gè)取值。即：正個(gè)取值。即：正面

3、出現(xiàn)面出現(xiàn)0次和次和1、2、3、4次。次。 我們用小我們用小p來表示正面朝上的概率，用來表示正面朝上的概率，用q來表示反面朝上的來表示反面朝上的概率，我們把概率，我們把X的取值相應(yīng)寫成：的取值相應(yīng)寫成：X=0, X=1, X=2, X=3, X=4 ，來求這個(gè)隨機(jī)變量，來求這個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布。的概率分布。 （1）X=0時(shí)，時(shí)， P(X0)1/2*1/2*1/2*1/2=q*q*q*q=1/160.0625 （2） X=1時(shí)，時(shí)， P(X=1)=p*q*q*q*4= =1/40.25 （3） X=2時(shí)，時(shí)， P(X=2)=p*p*q*q*6= =6/160.375 （4）X=3時(shí)，時(shí)， P

4、(X=3)=p*p*p*q*4= =1/40.25 （5） X=4時(shí)，時(shí)， P(X=4)=p*p*p*p= =1/160.0625 我們推廣到我們推廣到n次，則可以寫出一般性的次，則可以寫出一般性的二項(xiàng)分二項(xiàng)分布布的的概率分布概率分布公式：公式： (X共有共有n+1個(gè)取值個(gè)取值) 如果在相同條件下進(jìn)行如果在相同條件下進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有驗(yàn)只有2種可能的結(jié)果，事件種可能的結(jié)果，事件A出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P(A)=p, 事件事件A不出現(xiàn)的概率不出現(xiàn)的概率P( )=q,那么，那么，n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)次數(shù)（隨機(jī)變量出現(xiàn)次數(shù)（隨機(jī)變量X）的概）的概率分布為：率分

5、布為： x=(0,1,2,.n) ， 可以可以簡寫為：簡寫為：B(n，p)(Binomial Distribution)，其中其中n為獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)，為獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中為每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)的概率。的概率。()xxn xnP XxC p q 由于由于pq1，所以只要知道了，所以只要知道了n和和p，該二，該二項(xiàng)分布就已經(jīng)被確定。我們可以不用計(jì)算，而項(xiàng)分布就已經(jīng)被確定。我們可以不用計(jì)算，而是通過查表的方法非常方便的了解隨機(jī)變量的是通過查表的方法非常方便的了解隨機(jī)變量的概率分布的全貌。概率分布的全貌。 二項(xiàng)分布表的用法。二項(xiàng)分布表的用法。隨機(jī)隨機(jī)變量變量取值在某一區(qū)間內(nèi)的概率：取值在某一區(qū)

6、間內(nèi)的概率： （1）事件）事件A至多（最多）出現(xiàn)至多（最多）出現(xiàn)m的概率的概率： （2）事件）事件A至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)m次概率次概率： （3）事件）事件A出現(xiàn)次數(shù)不少于出現(xiàn)次數(shù)不少于a，不大于，不大于b的概率為：的概率為： （4）事件）事件A出現(xiàn)的全部概率之和出現(xiàn)的全部概率之和：二、二項(xiàng)分布的二、二項(xiàng)分布的討論討論 （1）二項(xiàng)分布是）二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布。的分布。X的取值有的取值有n+1個(gè)。個(gè)。 （2）二項(xiàng)分布的圖形當(dāng)）二項(xiàng)分布的圖形當(dāng)p=0.5時(shí)是時(shí)是對稱對稱的；當(dāng)?shù)?；?dāng)p0.5時(shí)則是時(shí)則是非對稱的。但是當(dāng)非對稱的。但是當(dāng)n越大的時(shí)候，越趨向于對稱。越大的時(shí)候，越趨向于

7、對稱。 （3）二項(xiàng)分布的特征值：）二項(xiàng)分布的特征值： （4）二項(xiàng)分布由概率）二項(xiàng)分布由概率p和實(shí)驗(yàn)次數(shù)和實(shí)驗(yàn)次數(shù)n兩個(gè)參數(shù)決定，也可以兩個(gè)參數(shù)決定，也可以簡單記為簡單記為B(n，p)。 （5）二項(xiàng)分布的概率值即可以通過公式計(jì)算，也可以通過）二項(xiàng)分布的概率值即可以通過公式計(jì)算，也可以通過查表求得。查表求得。 （6）二項(xiàng)分布的特點(diǎn)是，已經(jīng)知道兩種結(jié)果發(fā)生的概率，）二項(xiàng)分布的特點(diǎn)是，已經(jīng)知道兩種結(jié)果發(fā)生的概率，實(shí)際上對總體的情況已經(jīng)有所了解。這是求抽樣時(shí)（任何樣實(shí)際上對總體的情況已經(jīng)有所了解。這是求抽樣時(shí)（任何樣本量下）每得到一個(gè)樣本個(gè)體的概率。本量下）每得到一個(gè)樣本個(gè)體的概率。 【例】根據(jù)生命表，

8、年齡為【例】根據(jù)生命表，年齡為60歲的人，可望活到下年的歲的人，可望活到下年的概率是概率是0.95。設(shè)某單位年齡為。設(shè)某單位年齡為60歲的人共有歲的人共有10人，問：人，問： （1）其中）其中9人活到下年的概率為多少？人活到下年的概率為多少？ （2）至少有）至少有9人活到下年的概率是多少？人活到下年的概率是多少？ 解：任選一人能否活到下一年與他人無關(guān)，因此是獨(dú)立事件。解：任選一人能否活到下一年與他人無關(guān)，因此是獨(dú)立事件。因?yàn)橹挥袃煞N結(jié)果，所以符合二項(xiàng)分布。因?yàn)橹挥袃煞N結(jié)果，所以符合二項(xiàng)分布。n=10，p=0.95 【例例2】一場火星文的考試，共一場火星文的考試，共10道單項(xiàng)選擇題（五選一），道

9、單項(xiàng)選擇題（五選一），你隨機(jī)猜測答案。試問：你隨機(jī)猜測答案。試問： （1）能夠及格的概率是多少？）能夠及格的概率是多少？ （2）一道也答不對的概率是多少？）一道也答不對的概率是多少？ （3）答對）答對13道的概率是多少？道的概率是多少？ （4）答對的期望值和方差。）答對的期望值和方差。 解：由題意得，解：由題意得，p=0.2， n=10， 【練習(xí)【練習(xí)1】按照以往的經(jīng)驗(yàn)，你在】按照以往的經(jīng)驗(yàn)，你在5點(diǎn)半到點(diǎn)半到5點(diǎn)點(diǎn)40這段晚這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90。一個(gè)星期內(nèi)。一個(gè)星期內(nèi)（周一（周一到周五）到周五）你每天下班（你每天下班（5：30）時(shí)等車都不會超過）時(shí)等

10、車都不會超過10分分鐘概率時(shí)多少？至少有鐘概率時(shí)多少？至少有2天等車會超過天等車會超過10分鐘的概率是分鐘的概率是多少？多少？求求期望值和方差。期望值和方差。 【練習(xí)【練習(xí)2】設(shè)離散型隨機(jī)變量】設(shè)離散型隨機(jī)變量 ，概率，概率 ，求：求： （1）參數(shù)）參數(shù)p值；值； （2）概率）概率P(X=2) ； （3）數(shù)學(xué)期望）數(shù)學(xué)期望 ；（；（4）方差）方差 【例【例3】某人在每天上班途中要經(jīng)過】某人在每天上班途中要經(jīng)過3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且紅燈持續(xù)紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他

11、途中遇到紅燈的秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。 【練習(xí)【練習(xí)1】按照以往的經(jīng)驗(yàn)，你在】按照以往的經(jīng)驗(yàn)，你在5點(diǎn)半到點(diǎn)半到5點(diǎn)點(diǎn)40這段晚這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90。一個(gè)星期內(nèi)。一個(gè)星期內(nèi)（周一（周一到周五）到周五）你每天下班（你每天下班（5：30）時(shí)等車都不會超過）時(shí)等車都不會超過10分分鐘概率時(shí)多少？至少有鐘概率時(shí)多少？至少有2天等車會超過天等車會超過10分鐘的概率是分鐘的概率是多少？多少？求求期望值和方差。期望值和方差。第二節(jié)第二節(jié) 超幾何分布超幾何分布 一、超幾何分布一、超幾何分布

12、 二項(xiàng)分布的適用有一個(gè)非常重要的條件，那就是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，只有在大群體的情況下，這種獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的要求才能近似的得到滿足。但如果研究對象不是社區(qū)、大群體，而是一個(gè)小群體，比如是一個(gè)班組或者一個(gè)科室等等，這時(shí)總體不大，一般最多只有幾十個(gè)人。 假定總體分為兩類A和非A，如果這是從總體中抽取n名，那么每個(gè)抽取對象出現(xiàn)A類的概率將不再恒定，也就是不滿足二項(xiàng)分布所要求的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的條件。 超幾何分布將適合這類小群體研究小群體研究。 【例【例1】設(shè)小組共有】設(shè)小組共有10名成員，名成員，7男男3女。任抽女。任抽3名，問其中名，問其中男性的概率分布。男性的概率分布。 【解】根據(jù)題意有【解】根據(jù)題意有N10 男男7 女

13、女3 n3 定義：總體性質(zhì)共分兩類：定義：總體性質(zhì)共分兩類：A類與非類與非A類?？傮w總類?？傮w總數(shù)為數(shù)為N，A類類K個(gè)，設(shè)從總體中任抽個(gè)，設(shè)從總體中任抽n個(gè)個(gè)（nN-K），則），則n中含有中含有A類個(gè)數(shù)類個(gè)數(shù)X的概率分布為的概率分布為： 注意：（注意：（1）為什么是）為什么是nN-K？ （2）X的取值是的取值是n+1或者或者K1，取小的那個(gè)。，取小的那個(gè)。 二、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差：二、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差： 如果用如果用p=K/N q=1-p，則有：，則有： 【例【例1】以隨機(jī)方式自】以隨機(jī)方式自5男男3女的小群體中選出女的小群體中選出5人組人組成一個(gè)委員會，求該委員會中女性人數(shù)

14、的概率分布，成一個(gè)委員會，求該委員會中女性人數(shù)的概率分布，期望值和變異數(shù)。期望值和變異數(shù)。 【練習(xí)【練習(xí)1】班里學(xué)生】班里學(xué)生30名名,兄弟民族有兄弟民族有13名名,問任抽問任抽5名名,抽中兄弟民族人數(shù)的概率分布。抽中兄弟民族人數(shù)的概率分布。 解：解： 由題意由題意得得：N=30 ，K=13， n=5 ，X有有6個(gè)取值，代入超個(gè)取值，代入超幾何分布公式：幾何分布公式： 超幾何分布適合小群體研究，但如果群體規(guī)模逐超幾何分布適合小群體研究，但如果群體規(guī)模逐漸增大，以致抽樣個(gè)體間的改變可以忽略不計(jì)，漸增大，以致抽樣個(gè)體間的改變可以忽略不計(jì)，這時(shí)也可以采用二項(xiàng)分布來討論。且兩種分布計(jì)這時(shí)也可以采用二項(xiàng)

15、分布來討論。且兩種分布計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是逐漸的接近。數(shù)學(xué)上也可以證明，算的結(jié)果應(yīng)該是逐漸的接近。數(shù)學(xué)上也可以證明，當(dāng)當(dāng)N很大（很大（N）時(shí)超幾何分布將趨向于二項(xiàng)分）時(shí)超幾何分布將趨向于二項(xiàng)分布。布。第三節(jié)第三節(jié) 泊松分布泊松分布（Poisson Distribution） 一、一、泊松分布泊松分布 泊松分布泊松分布是由法國數(shù)學(xué)家泊松是由法國數(shù)學(xué)家泊松Simeon Denis Poisson提出的，提出的，Poisson對于對于小概率事件小概率事件特別著迷，特別是許多情特別著迷，特別是許多情況下可能出現(xiàn)的事件。他研究了在那況下可能出現(xiàn)的事件。他研究了在那個(gè)騎兵仍舊騎馬而不是用坦克的時(shí)代個(gè)騎兵仍舊騎

16、馬而不是用坦克的時(shí)代里普魯士士兵被馬踢死的人數(shù)的數(shù)據(jù)。里普魯士士兵被馬踢死的人數(shù)的數(shù)據(jù)。他的成果發(fā)表于他的成果發(fā)表于1837年。年。 泊松利用二項(xiàng)分布的公式推導(dǎo)出泊松分布的公式：泊松利用二項(xiàng)分布的公式推導(dǎo)出泊松分布的公式： x0，1，2，。，。 (e=2.718) 泊松分布只有一個(gè)參數(shù)泊松分布只有一個(gè)參數(shù)，確定了，確定了，就確定了泊，就確定了泊松分布。松分布。二、泊松分布的二、泊松分布的性質(zhì)性質(zhì) （1）泊松分布隨機(jī)變量）泊松分布隨機(jī)變量X的取值為的取值為0和一切正整數(shù)。比如和一切正整數(shù)。比如被馬踢死了幾個(gè)人。被馬踢死了幾個(gè)人。 （2）泊松分布圖形是非對稱的，但是隨著）泊松分布圖形是非對稱的，但

17、是隨著的增大，圖形的增大，圖形將變得接近對稱。將變得接近對稱。 （3）泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差：）泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差： E(X)= D(X)= 泊松分布的這個(gè)性質(zhì)很重要，在泊松分布的這個(gè)性質(zhì)很重要，在N較大，較大，p較小的情況下，較小的情況下，我們只要確定了我們只要確定了X的期望值（出現(xiàn)概率最大的那個(gè)值）實(shí)的期望值（出現(xiàn)概率最大的那個(gè)值）實(shí)際上就是際上就是,這時(shí)就可以確定這個(gè)隨機(jī)變量的分布了。這時(shí)就可以確定這個(gè)隨機(jī)變量的分布了。 【例例】見張彥教材見張彥教材P131，發(fā)生在，發(fā)生在18751894年普年普魯士軍隊(duì)中，魯士軍隊(duì)中，10個(gè)師團(tuán)被馬踢死士兵的事故記錄個(gè)師團(tuán)被馬踢死士兵的事故記錄

18、如下表。試與泊松理論分布相比較。如下表。試與泊松理論分布相比較。 分析：分析： 要了解泊松分布的理論分布，必須要知道參數(shù)要了解泊松分布的理論分布，必須要知道參數(shù)，根據(jù)泊松分布的根據(jù)泊松分布的非常重要的性質(zhì)非常重要的性質(zhì)= E(X) =D(X) ，如果我們知道了數(shù)學(xué)期望或者方差就可以知道如果我們知道了數(shù)學(xué)期望或者方差就可以知道了。了。 【例例】已知任抽一張卡片，上面的錯(cuò)字?jǐn)?shù)服從泊已知任抽一張卡片，上面的錯(cuò)字?jǐn)?shù)服從泊松分布?，F(xiàn)在有松分布。現(xiàn)在有1000張卡片，一共有錯(cuò)字張卡片，一共有錯(cuò)字300個(gè)，個(gè)，求所抽卡片上錯(cuò)字?jǐn)?shù)的概率分布。求所抽卡片上錯(cuò)字?jǐn)?shù)的概率分布。 【解】X一張卡片上的錯(cuò)字?jǐn)?shù)， x=0,1,2,.300，= E(X), 平均每張卡片上出現(xiàn)的錯(cuò)字?jǐn)?shù)實(shí)際上是X的期望