數(shù)學史部分4-3-古希臘數(shù)學3優(yōu)秀課件

1、11 1、希羅（、希羅（Heron）與）與幾何學：幾何學： Heron：約公元：約公元62年前年前后活躍于亞歷山大，后活躍于亞歷山大，數(shù)學家、物理學家數(shù)學家、物理學家. .他的工作奠定了工他的工作奠定了工程學和土地測量學的程學和土地測量學的科學基礎科學基礎. .（七）后希臘時期的數(shù)學：（七）后希臘時期的數(shù)學： 2)()(cpbpappS 希臘最重要的幾何學著作是希臘最重要的幾何學著作是度量學度量學（Metrica），分三卷，是），分三卷，是R.舍內(nèi)舍內(nèi)（Schone）于）于1896年才在年才在君士坦丁堡君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)的. . 第一卷：講述各種圖形的面積度量第一卷：講述各種圖形的面積度量.

2、 求非完全平方的整數(shù)平方根近似值的希羅求非完全平方的整數(shù)平方根近似值的希羅方法方法 n=ab，則，則 第一近似值由第一近似值由 給出給出.此方法允許逐步近似此方法允許逐步近似.n2ba 的第一近似值的第一近似值 ，n1a第二近似值第二近似值2112anaa 第三近似值第三近似值2223anaa 3 第二卷：講述各種立體圖形的體積測量，包第二卷：講述各種立體圖形的體積測量，包括：錐體，柱體，平行六面體，棱錐，圓錐括：錐體，柱體，平行六面體，棱錐，圓錐和棱錐的平截頭體；球體球截形，錨環(huán)，五和棱錐的平截頭體；球體球截形，錨環(huán)，五種正立方體和某些旁面三角臺種正立方體和某些旁面三角臺. . 第三卷：講述

3、把一定的面積和體積依給定的第三卷：講述把一定的面積和體積依給定的比例分成兩部分的問題比例分成兩部分的問題. . 4 另一本代表作：另一本代表作：測量儀器測量儀器 其中描述一種儀器，功能類似現(xiàn)代的經(jīng)緯儀其中描述一種儀器，功能類似現(xiàn)代的經(jīng)緯儀. .（1 1）挖一個隧道，從山的兩側(cè)開始，找準方）挖一個隧道，從山的兩側(cè)開始，找準方向，使隧道準確會合向，使隧道準確會合. .（2 2）確定兩點之間的高度差）確定兩點之間的高度差. .（3 3）測量可望而不可及的兩點間距離）測量可望而不可及的兩點間距離. .（4 4）測量溝渠的深）測量溝渠的深. .（5 5）兩城市間的距離）兩城市間的距離. .（6 6）本書

4、最后論述如何運用齒輪的結構，用）本書最后論述如何運用齒輪的結構，用一個給定的力去移動給定的重物一個給定的力去移動給定的重物. . 5Heron發(fā)明的機械：發(fā)明的機械：（1 1）“汽轉(zhuǎn)球汽轉(zhuǎn)球”, ,也叫做也叫做“風神之球風神之球”或或“風神之門風神之門”第一個蒸汽機第一個蒸汽機（2 2）“自動售貸機自動售貸機” （3 3）滅火器）滅火器（4 4）水風琴）水風琴（5 5）水鐘等等）水鐘等等 672 2、三角學與托勒密：、三角學與托勒密： Ptolemy, 100170 系統(tǒng)三角學著作系統(tǒng)三角學著作: : 天文學大成天文學大成（Almagest） 成書于約成書于約150年年8（1 1）Ptolem

5、y 將圓周分成將圓周分成360度，角的度量度，角的度量采用采用60進制進制. .（2 2）弦表：）弦表：0度到度到90度每隔度每隔15分的角的正弦分的角的正弦. .（3 3）AAAAABABABAAAcossin22sin;2cos12sin;sincoscossin)sin(; 1cossin22 910（4） Ptolemy 定理：定理：“在圓內(nèi)接四邊形中，在圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線之積等于兩對邊乘積的和兩對角線之積等于兩對邊乘積的和.”（5）用直尺和圓規(guī)做出圓的內(nèi)接正五、十）用直尺和圓規(guī)做出圓的內(nèi)接正五、十五邊形五邊形. （6）圓周率的近似值）圓周率的近似值（7）球面三角定理，用以解決特

6、定的天）球面三角定理，用以解決特定的天文學問題文學問題.6141. 3 11 第二篇，研究與地球球面有關的知識第二篇，研究與地球球面有關的知識 第三、四、五篇，利用本輪解釋天文學的地心第三、四、五篇，利用本輪解釋天文學的地心學說在第四篇中，提出了測量學的三點問題學說在第四篇中，提出了測量學的三點問題的解：確定這樣的點，使這一點與給定的三個的解：確定這樣的點，使這一點與給定的三個點中每兩點的連線所成之角分別為給定的角點中每兩點的連線所成之角分別為給定的角 在第六篇中，提出了日、月蝕的理論在第六篇中，提出了日、月蝕的理論 在第七、八篇中，含有在第七、八篇中，含有1028個恒星目錄個恒星目錄 其余幾

7、篇研究行星其余幾篇研究行星 天文學大成天文學大成一書，在一書，在哥白尼哥白尼( (N.Copernicus,14731543) )之名著之名著關于天體關于天體的運轉(zhuǎn)的運轉(zhuǎn)( (Derevolutionibusorbium Caelestium) )成書前，一直是標準的天文學著作成書前，一直是標準的天文學著作12 Ptolemy曾懷疑過歐幾里德平行公設，試圖利曾懷疑過歐幾里德平行公設，試圖利用用幾何原本幾何原本中的其它公理和公設推出第五公中的其它公理和公設推出第五公設，使之去掉歐幾里德的一系列原始假定，但未設，使之去掉歐幾里德的一系列原始假定，但未能成功能成功 幾乎在同一時期，希臘學者幾乎在同一

8、時期，希臘學者門納勞斯門納勞斯(Menelaus of Alexandria，進一步研究了球面，進一步研究了球面三角，并著三角，并著球面論球面論(Sphaerica)，著重討論，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)球面三角形的幾何性質(zhì)13 在在Ptolemy逝世之后，希臘的黃金時代已逝世之后，希臘的黃金時代已經(jīng)過去，希臘數(shù)學開始走下坡路正是在此時，經(jīng)過去，希臘數(shù)學開始走下坡路正是在此時，有一些才華出眾的學者，又為希臘數(shù)學增添了有一些才華出眾的學者，又為希臘數(shù)學增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里亞的亞的帕普斯帕普斯( (Pappus， 300？-350

9、？) )和和丟番圖丟番圖( (Diophantus) )，他們的工作推動了希臘后期的，他們的工作推動了希臘后期的數(shù)學數(shù)學1415郵票上的托勒密郵票上的托勒密 1617183 3、 代數(shù)學與丟番圖代數(shù)學與丟番圖 Diophantus，246330 ，代數(shù)方程理論，代數(shù)方程理論 （1 1）丟番圖的墓志銘：）丟番圖的墓志銘： “丟番圖一生的丟番圖一生的1/6為童年，為童年，1/12為青年，為青年，1/7為單身漢，結婚五年之后，生了個兒子，為單身漢，結婚五年之后，生了個兒子，兒子在他最終年齡的一半時，比他父親早兒子在他最終年齡的一半時，比他父親早四年死去。路過的朋友，請你猜一猜，丟四年死去。路過的朋友

10、，請你猜一猜，丟番圖活了多少年？番圖活了多少年？” （2 2）主要著作：）主要著作：算術算術（Arithmetica）：不定方程的求解）：不定方程的求解 論多邊形數(shù)論多邊形數(shù) 衍論衍論19Diophantus20 算術算術（Arithmetica） ：算術算術是代數(shù)數(shù)論的解析處理，特別以不是代數(shù)數(shù)論的解析處理，特別以不定方程的求解而著稱，表明作者在這個領定方程的求解而著稱，表明作者在這個領域中是一個天才域中是一個天才. .這部著作的尚存部分是大這部著作的尚存部分是大約約130130個各種各樣的，導出一次和二次方程個各種各樣的，導出一次和二次方程的問題的解法的問題的解法. .其中還解出了一個很特

11、殊的其中還解出了一個很特殊的三次方程三次方程. .其解法巧妙，遠遠超出了同時代其解法巧妙，遠遠超出了同時代人的水平人的水平. .21算術算術的主要內(nèi)容：的主要內(nèi)容： 第一卷講述一元的確定方程第一卷講述一元的確定方程. .Diophantus解一次方程的方法與現(xiàn)代基本相同，解一次方程的方法與現(xiàn)代基本相同，但是沒有概括出一般的解法和步驟但是沒有概括出一般的解法和步驟. . 余下的幾卷講述二元和三元，二次或高次的余下的幾卷講述二元和三元，二次或高次的不定方程不定方程. .cBxAxybyx 22; FExDxzCBxAxy222222值得注意的是：值得注意的是： 書中缺少一般的方法，主要是依靠其高超

12、書中缺少一般的方法，主要是依靠其高超的技巧的技巧. Diophantus只承認正有理數(shù)；只承認正有理數(shù)； 滿足于對一個問題只求出一個解滿足于對一個問題只求出一個解. 深刻的定理：深刻的定理： “兩個有理數(shù)立方的差也是兩個有理數(shù)立方兩個有理數(shù)立方的差也是兩個有理數(shù)立方的和的和” Veita, Fermat 把一個數(shù)表示成兩個，三個或四個數(shù)的平把一個數(shù)表示成兩個，三個或四個數(shù)的平方和方和 Fermat, Euler, Lagrange23 求兩個平方數(shù)，使得它們的乘積加到任一求兩個平方數(shù)，使得它們的乘積加到任一個上給出一個平方數(shù)個上給出一個平方數(shù). . 求三個數(shù)，使得它們和和為平方數(shù)，且任求三個數(shù)

13、，使得它們和和為平方數(shù)，且任何兩個數(shù)的和為平方數(shù)何兩個數(shù)的和為平方數(shù). . 求成算術級數(shù)的三個數(shù)，使得其中任何兩求成算術級數(shù)的三個數(shù)，使得其中任何兩個數(shù)的和為平方數(shù)個數(shù)的和為平方數(shù). . 求三個數(shù)，使得其中任何兩個數(shù)的乘積加求三個數(shù)，使得其中任何兩個數(shù)的乘積加上第三個數(shù)為平方數(shù)上第三個數(shù)為平方數(shù). . 求三個數(shù)，使得其中任何兩個數(shù)的乘積加求三個數(shù)，使得其中任何兩個數(shù)的乘積加上這兩個數(shù)的和為平方數(shù)上這兩個數(shù)的和為平方數(shù). .24 求兩個數(shù)，使得其和等于其立方和求兩個數(shù)，使得其和等于其立方和. . 求成幾何級數(shù)的三個數(shù)，使得任何兩個數(shù)求成幾何級數(shù)的三個數(shù)，使得任何兩個數(shù)的差為平方數(shù)的差為平方數(shù).

14、. 求一組畢氏三數(shù)，使其斜邊減去每一直角求一組畢氏三數(shù)，使其斜邊減去每一直角邊均為立方數(shù)邊均為立方數(shù). .求一組畢氏三數(shù)，使其一個銳角的平分線求一組畢氏三數(shù)，使其一個銳角的平分線的長度是有理數(shù)的長度是有理數(shù).25（3 3）字母運算方式的開端）字母運算方式的開端“簡寫代數(shù)簡寫代數(shù)” Diophantus是采用代數(shù)符號的第一個人是采用代數(shù)符號的第一個人. .他他所采用的步驟具有速記縮寫的性質(zhì)所采用的步驟具有速記縮寫的性質(zhì). . 他給出了未知數(shù)，據(jù)考證這個符號是他給出了未知數(shù)，據(jù)考證這個符號是s s . . 他還用專門的符號來表示未知數(shù)的冪他還用專門的符號來表示未知數(shù)的冪 二次冪是，二次冪是， 三次

15、冪是，三次冪是， 四次冪是，四次冪是， 五次冪是等等，五次冪是等等， 還有減號還有減號，相等和倒數(shù)等的縮寫，相等和倒數(shù)等的縮寫. .264 4、帕波斯與、帕波斯與數(shù)學匯編數(shù)學匯編( (Mathematical Collection) Pappus，約，約300350年，是古希臘后期亞歷山年，是古希臘后期亞歷山大里亞學派的最后一位數(shù)學家大里亞學派的最后一位數(shù)學家. .（1 1）著名的評注家：）著名的評注家：（2 2）數(shù)學匯編數(shù)學匯編( (Mathematical Collection)及其主及其主要內(nèi)容：要內(nèi)容：數(shù)學匯編數(shù)學匯編共共8 8篇，現(xiàn)存后篇，現(xiàn)存后6 6篇，以及第一篇與篇，以及第一篇與

16、第二篇的一部分內(nèi)容第二篇的一部分內(nèi)容. .這是一部總結前人成果的這是一部總結前人成果的典型著作，在數(shù)學史上有特殊的意義典型著作，在數(shù)學史上有特殊的意義. . 27Pappus, Collection 28PAPPUS, of Alexandria. Mathematicae Collectiones. 29 有許多古希臘數(shù)學的珍貴資料是由于有許多古希臘數(shù)學的珍貴資料是由于數(shù)學匯數(shù)學匯編編的記載而得以保留的的記載而得以保留的. . 例如例如: :(1)(1)割圓曲線化圓為方；割圓曲線化圓為方；(2) (2) 尼科米迪斯尼科米迪斯( (Nicomedes) )蚌線與倍立方體問蚌線與倍立方體問題的解

17、題的解 secbar (3) 阿基米德阿基米德(Archimedes)的半正多面體；的半正多面體；(4) 阿波羅尼奧斯阿波羅尼奧斯(Apollonius)圓錐曲線圓錐曲線(Conics)中未提及的圓錐曲線的焦點、準線性中未提及的圓錐曲線的焦點、準線性質(zhì)等等質(zhì)等等.30數(shù)學匯編數(shù)學匯編內(nèi)容簡介內(nèi)容簡介 幾何作圖問題：幾何作圖問題： 等周曲邊形問題：（第五篇）等周曲邊形問題：（第五篇） 、周長相等的所有弓形中，以半圓的面、周長相等的所有弓形中，以半圓的面積最大積最大. . 、球的體積比相同表面積的任何圓錐體、球的體積比相同表面積的任何圓錐體、圓柱體或正多面體的體積都大圓柱體或正多面體的體積都大.

18、. 研究了蜂巢問題：研究了蜂巢問題： 證明了六棱柱巢是最經(jīng)濟的巢形，即在其證明了六棱柱巢是最經(jīng)濟的巢形，即在其他條件相同的情況下，它的容積最大他條件相同的情況下，它的容積最大. .這個這個問題到問題到1818世紀又得到進一步的研究世紀又得到進一步的研究. .31 射影幾何：（第七篇）射影幾何：（第七篇） Pappus 在在數(shù)學匯編數(shù)學匯編的第七篇中，給出了的第七篇中，給出了一些概念和定理，為一些概念和定理，為1717世紀射影幾何的研究提世紀射影幾何的研究提供了線索供了線索. . 、過一點的四條直線在任一截線上所截取的、過一點的四條直線在任一截線上所截取的線段的交比不變；線段的交比不變； 、若一

19、個完全四邊形的、若一個完全四邊形的4 4條邊以及條邊以及2 2條對角線條對角線與某直線相交中有與某直線相交中有5 5個固定，則第個固定，則第6 6個也固定；個也固定； 、四邊形中一條對角線被另一條對角線以及、四邊形中一條對角線被另一條對角線以及兩組對邊交點的連線，分割成調(diào)和比的線段；兩組對邊交點的連線，分割成調(diào)和比的線段；32、Pappus 定理：若定理：若A,B,C與與D,E,F分分別是兩條直線上的三個點，則別是兩條直線上的三個點，則AE,BF,CD分別與分別與DB,EC,FA的三個交點共線的三個交點共線. .33 旋轉(zhuǎn)體體積：（第七篇）旋轉(zhuǎn)體體積：（第七篇） 旋轉(zhuǎn)體體積的旋轉(zhuǎn)體體積的Pap

20、pus定理：定理： 一個平面圖形繞同一平面上的軸線旋轉(zhuǎn)而成一個平面圖形繞同一平面上的軸線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積平面圖形面積其重心所轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積平面圖形面積其重心所轉(zhuǎn)過的圓周長過的圓周長. . 此定理到此定理到1717世紀被古爾?。ㄊ兰o被古爾?。≒.Guldin）重新）重新發(fā)現(xiàn)，又被稱為古爾丁定理發(fā)現(xiàn)，又被稱為古爾丁定理. . badyyV2 34 Pappus 問題：問題： Apollonius曾斷言：曾斷言：“可以求出這樣一個動點可以求出這樣一個動點的軌跡的軌跡, ,它與兩定直線距離的乘積它與另外它與兩定直線距離的乘積它與另外兩定直線距離的乘積兩定直線距離的乘積一個常數(shù)一個常數(shù)”. .

21、Pappus指出這個軌跡就是一個圓錐曲線，但指出這個軌跡就是一個圓錐曲線，但他沒有給出證明他沒有給出證明. .他還進一步指出，這一問題他還進一步指出，這一問題可以推廣到包含可以推廣到包含5條、條、6條或更多條直線的情形，條或更多條直線的情形，這成為著名的這成為著名的Pappus問題問題. .35 17世紀，笛卡爾（世紀，笛卡爾（Descartes）曾試圖用分析）曾試圖用分析方法來解決這個問題，這也是導致笛卡爾方法來解決這個問題，這也是導致笛卡爾（Descartes）創(chuàng)立解析幾何學（）創(chuàng)立解析幾何學（Analytic geometry）的一個重要因素）的一個重要因素. 數(shù)學匯編數(shù)學匯編（Math

22、ematical Collection）被）被認為是古希臘數(shù)學的安魂曲認為是古希臘數(shù)學的安魂曲. Pappus 之后，之后，古希臘數(shù)學開始衰落古希臘數(shù)學開始衰落. 36（八）古希臘幾何的三大難題：（八）古希臘幾何的三大難題：工具：歐幾里德工具工具：歐幾里德工具1 1、倍立方體、倍立方體 Doubling tne cube 圓錐曲線圓錐曲線傳說在公元前傳說在公元前4 4世紀，古希臘的雅典流行一種病疫，世紀，古希臘的雅典流行一種病疫，為了消除災難，雅典人向日神求助。日神說：為了消除災難，雅典人向日神求助。日神說：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方體如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方體香案

23、的體積擴大一倍。香案的體積擴大一倍?！边@個條件使雅典人很高這個條件使雅典人很高興，他們認為這是容易做到的，于是把舊香案的興，他們認為這是容易做到的，于是把舊香案的各棱放大一倍，做了一個新的立方體香案。然而各棱放大一倍，做了一個新的立方體香案。然而疫勢反而更加猖獗。當雅典人再去祈禱日神時，疫勢反而更加猖獗。當雅典人再去祈禱日神時，他們才知道新香案的體積并不是舊香案的兩倍。他們才知道新香案的體積并不是舊香案的兩倍。這就難住了當時的人們，連最有名的學者柏拉圖這就難住了當時的人們，連最有名的學者柏拉圖也感到無能為力。也感到無能為力。37 倍立方體問題之所以不能解決，是因為作倍立方體問題之所以不能解決，

24、是因為作圖時只能使用圓規(guī)和無刻度的直尺。這是古希圖時只能使用圓規(guī)和無刻度的直尺。這是古希臘人對作圖的要求。臘人對作圖的要求。 假設已知立方體的棱長是假設已知立方體的棱長是1 1個單位，那么個單位，那么這個立方體的體積便是這個立方體的體積便是1 1的的3 3次方等于次方等于1 1。根據(jù)。根據(jù)需求，要求作的立方體的體積是原立方體的兩需求，要求作的立方體的體積是原立方體的兩倍，即倍，即1 12=22=2，所以求作的立方體的棱長為，所以求作的立方體的棱長為2 2的立方根這一個無理數(shù)，通過有限次畫線、作的立方根這一個無理數(shù)，通過有限次畫線、作圓、求交點是無法作出長為圓、求交點是無法作出長為2 2的的3

25、3次根的線段的，次根的線段的，所以倍立方體問題是不可能用直尺和圓規(guī)來解所以倍立方體問題是不可能用直尺和圓規(guī)來解決的。決的。382 2、三等分角、三等分角 Trisecting an angel 1837年凡齊爾（年凡齊爾（18141848）運用代數(shù)方）運用代數(shù)方法證明了，這是一個標尺作圖的不可能問題。法證明了，這是一個標尺作圖的不可能問題。 在研究在研究“三等分角三等分角”的過程中發(fā)現(xiàn)了如蚌的過程中發(fā)現(xiàn)了如蚌線、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。線、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。 人們還發(fā)現(xiàn)，只要放棄人們還發(fā)現(xiàn)，只要放棄“尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖”的戒的戒律，三等分角并不是一個很難的問題。古希臘律，三等分角并不是一個很難的問題。古希臘數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)只要在直尺上固定一點，數(shù)學家阿基米德發(fā)現(xiàn)只要在直尺上固定一點，問題就可解決了。問題就可解決了。 39 現(xiàn)簡介其法如下：在直尺邊緣上添加一點現(xiàn)簡介其法如下：在直尺邊緣上添加一點，命尺端為。設所要三等分的角是，命尺