自動(dòng)控制原理 經(jīng)典控制部分 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第第2 2章章 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型信號(hào)流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖信號(hào)流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖示方法示方法，將信號(hào)流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀又形象。當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)化為，并可據(jù)此采用求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 考慮如下簡(jiǎn)單等式 jijixax 這里變量xi和xj可以是時(shí)間函數(shù)、復(fù)變函數(shù)，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數(shù)學(xué)運(yùn)算，稱作傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)，如果xi和xj是復(fù)變量s的函數(shù)，稱aij為傳遞函數(shù)Aij(s)，即上式寫為 )()()(sXsAsXjiji2.5.12.5.1信號(hào)流圖的定義信號(hào)流

2、圖的定義變量xi和xj用節(jié)點(diǎn)“”來表示；傳輸函數(shù)用一有向有權(quán)的線段(稱為支路)來表示；支路上箭頭表示信號(hào)的流向，信號(hào)只能單方向流動(dòng)。 信號(hào)流圖2.5.2 2.5.2 的信號(hào)流圖的信號(hào)流圖 在線性系統(tǒng)信號(hào)流圖的繪制中應(yīng)包括以下步驟： （1）將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換為以s為變量的代數(shù)方程。 （2）按將代數(shù)方程寫成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211（3）用節(jié)點(diǎn)“”表示n個(gè)變量或信號(hào)，用支路表示變量與變量之間的關(guān)系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。 7/27例例2-9 如下圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，v1為輸入、

3、v3為輸出。選5個(gè)變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫出四個(gè)獨(dú)立方程 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點(diǎn)表示，由用支路把節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)聯(lián)接，得信號(hào)流圖。 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV2.5.32.5.3信號(hào)流圖的定義和術(shù)語信號(hào)流圖的定義和術(shù)語 表示變量或信號(hào)的點(diǎn)，用“”表示。 連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向有權(quán)線段，方向 用箭頭表

4、示，權(quán)值用傳輸函數(shù)表示。 指向節(jié)點(diǎn)的支路。 離開節(jié)點(diǎn)的支路。 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，也稱輸入節(jié)點(diǎn)， 如圖中節(jié)點(diǎn)X1。 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖節(jié)點(diǎn)X7。 信號(hào)流圖定義與術(shù)語：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)， 如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。 ：沿著支路箭頭方向通過各個(gè)相連支路 的路徑，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅通過一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。 ：從輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))到匯節(jié)點(diǎn)的通道。 如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為 一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也為另一條前向通道。 則是指起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，且不則是指起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)為

5、同一節(jié)點(diǎn)，且不與其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)多于與其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)多于1次的封閉通路。次的封閉通路。 ：?jiǎn)我恢返拈]通道，如圖中的-H3構(gòu)成 自回環(huán)。 ：通道的起點(diǎn)就是通道的終點(diǎn)，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5 又反饋到X4。通道傳輸或通道增益通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸?shù)?乘積。如從X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 ：如果一些回環(huán)沒有任何公共的節(jié)點(diǎn)， 稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如G2H1 與G4H2。 （1）信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)； （2）信號(hào)流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程； （3）信號(hào)只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞； （4）節(jié)點(diǎn)上可把所有輸入支路的

6、信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路； （5）具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，即匯節(jié)點(diǎn)； （6）對(duì)于給定的系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不是唯一的。 ：n個(gè)同方向串聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之積，如圖（b）。 ：n個(gè)同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （3）混合節(jié)點(diǎn)可以通過的方法消去，如圖（c）。 （4）回環(huán)可根據(jù)的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）。 例例2-10 2-10 將圖2-43所示系統(tǒng)方框圖化為信號(hào)流圖并化簡(jiǎn)求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(sRsCs 解解：信號(hào)流圖如圖 (a)所示。化G1與G2串聯(lián)等效為G1

7、G2支路，G3與G4并聯(lián)等效為G3+G4支路，如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡(jiǎn)化為 支路，又與G3+G4串聯(lián)，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG進(jìn)而求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG 給定系統(tǒng)信號(hào)流圖之后，常常希望確定信號(hào)流圖中輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，即兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的或。上節(jié)采用信號(hào)流圖簡(jiǎn)化規(guī)則，逐漸簡(jiǎn)化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費(fèi)時(shí)又麻煩，而可以對(duì)復(fù)雜的信號(hào)流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來更為

8、方便。 式中， T 輸出和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)； Pk 第k條前向通道的增益或傳輸函數(shù)； 信號(hào)流圖的特征值，稱為流圖特征式流圖特征式 =1- Lj1+ Lj2- Lj3+ Lj1所有不同回環(huán)增益之和； Lj2所有兩兩互不接觸回環(huán)增益乘積之和； Lj3所有三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和； k 與第k條前向通道不接觸的那部分信號(hào)流圖的，稱為第k條前向通道特征式的。梅遜增益公式可表示為 kkPT 步驟步驟1 1：列寫出輸入：列寫出輸入R(sR(s) )到輸出到輸出C(sC(s) )的所有前向通路的所有前向通路步驟步驟2 2：列寫信號(hào)流圖的所有回路：列寫信號(hào)流圖的所有回路步驟步驟3 3：判斷所有回路

9、的接觸性，利用流圖的特征式：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征式公式計(jì)算流圖的特征式公式計(jì)算流圖的特征式 步驟步驟4 4：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計(jì)算所：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計(jì)算所有前向通路的特征余因子有前向通路的特征余因子步驟步驟5 5：利用：利用MasonMason公式計(jì)算輸入公式計(jì)算輸入R(sR(s) )到輸出到輸出C(sC(s) )的傳的傳遞函數(shù)遞函數(shù) 例例2-11 利用梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s) / R(s)。解解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有四條前向通道，對(duì)應(yīng)Pk與k為：P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P

10、3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1圖中有五個(gè)單回環(huán)，其增益為：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2 = G3G5H1H2 系統(tǒng)的特征式為 21654321)(1LLLLLLLL系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG例例2-12 求圖示信號(hào)流圖的

11、閉環(huán)傳遞函數(shù) 解解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統(tǒng)的特征式 為： 212151311GGGGLii前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中是相當(dāng)重要的，在線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等，而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來描述(Line

12、ar Time Invariant簡(jiǎn)記為)。 單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為，分母多項(xiàng)式的根稱為。令分母多項(xiàng)式等于零，得系統(tǒng)的特征方程：D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 因傳遞函數(shù)為多項(xiàng)式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項(xiàng)式的。MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示，行向量元素依次為降冪排列的多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)，例如多項(xiàng)式P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為： P=1 0 2 4 注意盡管s2項(xiàng)系數(shù)為0,但輸入P(s)時(shí)不可缺省0。 MAT

13、LAB下多項(xiàng)式乘法處理函數(shù)調(diào)用格式為 C=conv(A,B) 例如給定兩個(gè)多項(xiàng)式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應(yīng)先構(gòu)造多項(xiàng)式A(s)和B(s),然后再調(diào)用conv( )函數(shù)來求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多項(xiàng)式為10s3 +50s2 +63s +9 MATLAB提供的conv( )函數(shù)的調(diào)用允許多級(jí)嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 有 了 多 項(xiàng) 式 的 輸

14、入 , 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù) 在MATLAB下可由其分子和分母多項(xiàng)式唯一地確定出來,其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；對(duì)于其它復(fù)雜的表達(dá)式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列語句來輸入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045ssssssss

15、sss2.6.2傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖 傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對(duì)分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為 roots(p)其中p為多項(xiàng)式。 例如,多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反過來,若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的poly( )函數(shù),來求得多項(xiàng)式降冪排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例 poly(r) p = 1.0000 3.000

16、0 0.0000 4.0000 而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為 polyval(p,a)其中p為多項(xiàng)式;a為給定變量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時(shí)值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66p,z=pzmap(num,den)其中, p傳遞函數(shù)G(s)= numden的極點(diǎn) z傳遞函數(shù)G(s)= numden的零點(diǎn)例如,傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖,采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?極點(diǎn)用“”表示。其調(diào)用格式為13316)(232sssss

17、G)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH 用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點(diǎn)p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點(diǎn) 1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsy

18、s(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表達(dá)式pzmap(num,den) %零極點(diǎn)圖title(pole-zero Map) 零極點(diǎn)圖如圖所示 ：2.6.3 控制系統(tǒng)的方框圖模型 若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。 1.串聯(lián)串聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(212.并聯(lián)并聯(lián) 如圖所

19、示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATLAB的并聯(lián)函數(shù)parallel( )來實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(213.反饋反饋 反 饋 連 接 如 圖 所 示 。 使 用 M AT L A B 中 的feedback( )函數(shù)來實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負(fù)反饋其為1或缺省。dennums

20、HsGsG)()(1)(denhnumhsH)(例如 G(s)= ,H(s)= ,負(fù)反饋連接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) num/den= 1322ssss MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡(jiǎn)化多回路方框圖。另外,對(duì)于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop( )函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為 num,den=cloop(num1,den1,sign) 2.6.4 控制系統(tǒng)的零極

21、點(diǎn)模型 傳遞函數(shù)可以是時(shí)間常數(shù)形式,也可以是零極點(diǎn)形式,零極點(diǎn)形式是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母進(jìn)行因式分解得到的。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一個(gè)函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)表示形式,而第二個(gè)函數(shù)可將零極點(diǎn)表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。 例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB語句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0

22、.03530.9287i 0.03530.9287i p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即變換后的零極點(diǎn)模型為G(s)= )9287. 00353. 0)(9287. 00353. 0)(9294. 1(6sss)2272. 19567. 0)(2272. 19567. 0(isis)640. 0433. 0)(640. 0433. 0(isis 可以驗(yàn)證MATLAB的轉(zhuǎn)換函數(shù),調(diào)用zp2tf()函數(shù)將得到原傳遞函數(shù)模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6

23、.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 即 132106126)(23423ssssssssG2.6.5 狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)特性的又一種數(shù)學(xué)模型,它由狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中 x(t)Rn 稱為狀態(tài)向量,n為系統(tǒng)階次; ARnn 稱為系統(tǒng)矩陣;BRnp 稱為控制矩陣,p為輸入量個(gè)數(shù);CRqn 稱為輸出矩陣;DRqp 稱為連接矩陣,q為輸出量個(gè)數(shù)。 在一般情況下,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式項(xiàng)簡(jiǎn)記為(A,B,C,D)。 例如：設(shè)一個(gè)雙輸入雙輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為uxtx202264510623421)( xy020100系統(tǒng)模型可由MATLAB命令直觀地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D= zeros(2,2) MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了由狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)或由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換函數(shù)ss2tf( )和tf2ss( )。其調(diào)用格