不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃完全解析

1、第三節(jié) 不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃第一部分 五年高考薈萃2009年高考題一、選擇題x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 1. (2009山東卷理)設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12，則的最小值為( ). A. B. C. D. 4答案 A解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0）過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)（4,6）時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而

2、=,故選A.【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.2.（2009安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是 A. B. C. D. 答案 BAxDyCOy=kx+解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，設(shè)與的交點(diǎn)為D，則由知，選A。 3.（2009安徽卷文）不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積等于A. B.C. D.解析 由可得，故陰 =，

3、選C。答案 C4.（2009四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元答案 D（3，4）（0，6）O（，0）913解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸 3 則有： 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知： 當(dāng)3，5時(shí)可獲得最大利

4、潤(rùn)為27萬(wàn)元，故選D5.（2009寧夏海南卷理）設(shè)x,y滿足A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值 D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值答案 B解析 畫出可行域可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，但無(wú)最大值。選B.6.（2009寧夏海南卷文）設(shè)滿足則A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值 D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值 答案 B解析 畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過(guò)A（2,0）時(shí)，z取得最小值，最小值為：z2，無(wú)最大值，故選.B7.(2009湖南卷理)已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)

5、域，則圓 在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為 BA . B. C. D. 答案 B解析 解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長(zhǎng)是，故選B現(xiàn)。8.（2009天津卷理）設(shè)變量x，y滿足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為A.6 B.7 C.8 D.23答案 B【考點(diǎn)定位】本小考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。解析 畫出不等式表示的可行域，如右圖， 讓目標(biāo)函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點(diǎn)B自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組得，所以，故選擇B。 9.（2009四川卷理）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸

6、甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B 原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是 A. 12萬(wàn)元 B. 20萬(wàn)元 C. 25萬(wàn)元 D. 27萬(wàn)元 答案 D【考點(diǎn)定位】本小題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，基礎(chǔ)題。（同文10）解析 設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤(rùn)最大，故本題即已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最大 值，可求出最優(yōu)解為，故，故選 擇D。10.（2009福建卷文）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A.

7、 -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D解析 如圖可得黃色即為滿足 的直線恒過(guò)（0，1），故看作直線繞點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時(shí)，則可行域不是一個(gè)封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時(shí)，面積是1；a=2時(shí)，面積是；當(dāng)a=3時(shí)，面積恰好為2，故選D.二、填空題11.（2009浙江理）若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是 答案 4 解析 通過(guò)畫出其線性規(guī)劃，可知直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，12.（2009浙江卷文）若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小是 【命題意圖】此題主要是考查了線性規(guī)劃中的最值問題，此題的考查既體現(xiàn)了正確畫線性區(qū)域的要求，也體現(xiàn)了線性目標(biāo)函數(shù)最值求解的要求解析 通過(guò)畫出其線性規(guī)劃，可知直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，13.（2009北京

8、文）若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為 .答案 9解析：本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 如圖，當(dāng)時(shí)，為最大值. 故應(yīng)填9.14.（2009北京卷理）若實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_.答案 解析 本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 如圖，當(dāng)時(shí)， 為最小值.故應(yīng)填.15.(2009山東卷理)不等式的解集為 . 答案 解析 原不等式等價(jià)于不等式組或或不等式組無(wú)解,由得,由得,綜上得,所以原不等式的解集為. 16.(2009山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件

9、和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為_元. 答案 2300解析 設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費(fèi)為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品 設(shè)備 A類產(chǎn)品 (件)(50) B類產(chǎn)品 (件)(140) 租賃費(fèi) (元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則滿足的關(guān)系為即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對(duì)應(yīng)的直線過(guò)兩直線的交點(diǎn)(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元. 【命題立意】:本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,

10、需要通過(guò)審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)數(shù)形結(jié)合解答問題. 17.（2009上海卷文） 已知實(shí)數(shù)x、y滿足 則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是_. 答案 9解析 畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標(biāo)函數(shù)化為：z，畫直線及其平行線，當(dāng)此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z的值最大，z的值最小，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,6），所以，z的最小值為：32×69。2005-2008年高考題一、 選擇題1、（2008山東）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)yax(a0，a1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是( )A .1,3 B.2, C.2,9 D.,

11、9答案 C解析 本題考查線性規(guī)劃與指數(shù)函數(shù)。如圖陰影部分為平面區(qū)域M， 顯然，只需研究過(guò)、兩種情形。且即2、（2008廣東）若變量滿足則的最大值是（ ）A90 B80 C70 D40答案 C解析 畫出可行域（如圖），在點(diǎn)取最大值3（2007北京）若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則的取值范圍是（ ）或答案 D4.（2007天津）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）4111214答案 B5、（2008山東）10、（2006山東）已知x和y是正整數(shù)，且滿足約束條件則x2x3y的最小值是(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5答案 B6、（2006廣東）在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函

12、數(shù)的最大值的變化范圍是( )A. B. C. D. 答案 D7、（2006天津）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A B C D答案 B8、（2006安徽）如果實(shí)數(shù)滿足條件 ，那么的最大值為（ ）A B C D答案 B9、（2006遼寧）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是（ ）(A) (B) (C) (D) 答案 A10. (2005重慶)不等式組的解集為( )A.(0,)；B.(,2)；C. (,4)D.(2,4)設(shè)滿足約束條件則的最大值為 答案 11解析 本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域?yàn)橐粋€(gè)四角形,其四個(gè)頂點(diǎn)分別為驗(yàn)證知在點(diǎn)時(shí)

13、取得最大值11.11（2007浙江）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是_。答案 0m12（2007湖南）設(shè)集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 答案 （1）（2）14（2007福建）已知實(shí)數(shù)x、y滿足 ，則的取值范圍是_；答案 解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+）選C15、（2006全國(guó)）設(shè)，式中變量滿足下列條件則z的最大值為_。答案 1116、（2006北京）已知點(diǎn) P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO |的最小值等于 ,最大值等于 ,答案 17、（2005山東設(shè)滿足約束條

14、件則使得目標(biāo)函數(shù)的值最大的點(diǎn)是_答案 （2，3） 18、（2005福建）非負(fù)實(shí)數(shù)滿足的最大值為 答案 919、（2005江西）設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足 答案 .第二部分 三年聯(lián)考題匯編2009年聯(lián)考題一、選擇題1、（山東省樂陵一中2009屆高三考前練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式的取值范圍是（ ）ABCD答案 C2、（山東省樂陵一中2009屆高三考前練習(xí)）已知滿足約束條件，則的最小值是（ ）A5 B6 C10 D10答案 B3福建省福州市普通高中09年高三質(zhì)量檢查已知實(shí)數(shù)的最小值為（ ）A6B3CD19答案 B4. (北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測(cè)試文)設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足，則的最小值為（ ）A

15、. B. C. 5 D. 27答案 A5(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試?yán)?在如圖所示的坐標(biāo)平面 的可行域內(nèi)（陰影部分且包括邊界），若目標(biāo)函數(shù) zxay取得最 小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則的最大值是 ( ) A B C D 答案 B6(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試文)在如下圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括邊界），若目標(biāo)函數(shù) zxay取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則a等于 ( ) A1 B C D答案 B 7、（2009福州三中理）已知x，y滿足 則S=|y-x|的最大值是_。答案 38、（2009福州三中文）已知x，y滿足 則S=的最大值_。答案 99、（2009廈門一中

16、）設(shè)二元一次不等式組 的圖象沒有經(jīng)過(guò)區(qū)域的取值范圍是_答案（0，1）（1，2）（9，+）；w.w.10、（2009廣東三校一模）若點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是 答案 A11、（2009東莞一模）已知點(diǎn)滿足條件的最大值為8，則 .答案 612、（2009茂名一模）已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,目標(biāo)函數(shù).若取最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .答案 13、（2009湛江一模）若 , 滿足約束條件，則的最大值為 答案 914、（2009潮州實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 答案415、（山東省樂陵一中2009屆高三考前練習(xí)）已知變量（其中a>0）

17、僅在點(diǎn)（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為 。16、（山東省樂陵一中2009屆高三考前練習(xí)）已知變量，滿足則的最大值為_.17.安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2009屆高三第一次聯(lián)考試題.已知函數(shù)，則不等式的解集為 答案（-，2）（3，+）18、安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2009屆高三第一次聯(lián)考試題.已知實(shí)數(shù)滿足條件，若使取得最大值的有序數(shù)對(duì)有無(wú)數(shù)個(gè)，則= 答案 1/319、（山東省樂陵一中2009屆高三考前練習(xí)）某公司計(jì)劃2009年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為0100200300100200300400500yxlM【

18、解】設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得 3分目標(biāo)函數(shù)為5分二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行 域 8分如圖：作直線，即平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 取 得最大值聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo)為 10分（元）答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬(wàn)元 12分2007-2008年聯(lián)考題1、(北京市海淀區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)已知圓上任一點(diǎn)，其坐標(biāo)均使得不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A.B.C.(D)答案 A2、(甘肅省蘭州一中2008屆高三上期期末考試)已知不等式和不等式的解集相同，則實(shí)數(shù)a、b的值分別為（ ）A8、10B4、9C1、9D1、2答案 B3、(山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)20072008學(xué)年度高三年級(jí)第四次月考)如果a、b都是非零實(shí)數(shù)，則下列不等式不恒成立是（ ）ABCD答案 D4、(2007屆岳陽(yáng)市一中高三數(shù)學(xué)能力題訓(xùn)練匯編)要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需A、B、C三種規(guī)格的成品各15、18、27塊，所需