拋物線的簡單幾何性質(zhì)

1、X定義：在平面定義：在平面內(nèi)內(nèi),與一個定點與一個定點F和一條定直和一條定直線線l(l不經(jīng)過點不經(jīng)過點F)的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋物線拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、溫故知新一、溫故知新范圍范圍1、yox)0 ,2(pF由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x

2、二、探索新知二、探索新知如何研究拋物線如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì)）的幾何性質(zhì)?拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時，的值增大時，y也也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。對稱性對稱性2、yox)0 ,2(pF( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱( ,)xy即點即點(x,-y) 也在拋物線上也在拋物線上,故故 拋物線拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱.則則 (-y)2 = 2px若點若點(x,y)在拋物線上在拋物線上, 即滿足即滿足y2 = 2px，頂點頂點3、yox)0 ,2(pF 定

3、義：定義：拋物線與拋物線與它的對稱軸的交點叫它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。做拋物線的頂點。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,則則x=0.即：拋物線即：拋物線y2 = 2px (p0)的的頂點（頂點（0，0）.只有一只有一個個注注:這與橢圓有四個頂點這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。雙曲線有兩個頂點不同。離心率離心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 拋物線上的點與拋物線上的點與焦點的距離和它到準(zhǔn)焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做線的距離之比，叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率。 由定義知，由定義知， 拋物線拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為的離心率為e=1

4、. 下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。物線的幾何性質(zhì)。（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1特點：特點：1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它

5、可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱中心對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線一個焦點、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.yox)0 ,2(pFP(x,y)P越大越大,開口越開闊開口越開闊y2=2pxxyoFlAB過焦點且垂直于對稱軸的直線過焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段被拋物線截得的線段AB叫做拋叫做拋物線的通徑，物線的通徑，),2(),2(p

6、pBppA、長度為長度為2pP越大，開口越闊越大，開口越闊補充補充（1）通徑：）通徑：（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。補充補充（1）通徑：）通徑：|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2PP越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點與焦點的線段叫連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的

7、幾何意義）總結(jié)總結(jié)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大，拋物線的張口越大越大.1、范圍：、范圍：2、對稱性：、對稱性：3、頂點：、頂點：4、離心率：、離心率：5、通徑：、通徑：因為拋物線關(guān)于因為拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原軸對

8、稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點點，并且經(jīng)過點M M（，），（，），2 2解解:所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因為點又因為點M M在拋物線上：在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx例：已知拋物線關(guān)于例：已知拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點原點，并且經(jīng)過點M M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .2 2三、典例精析三、典例精析坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸當(dāng)焦點在當(dāng)焦點在x(y)軸上軸上,開口方向不定時開口方向不定時,設(shè)為設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m

9、0),可避免討論可避免討論練習(xí)：練習(xí)：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在軸，焦點在直線直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是上，那么拋物線通徑長是 .162、已知點、已知點A（-2，3）與拋物線）與拋物線 的焦點的距離是的焦點的距離是5，則，則P= 。 22(0)ypx p4法一法一: :直接求兩點坐標(biāo)直接求兩點坐標(biāo), ,計算弦長計算弦長( (運算量一般較大運算量一般較大);); 法法二二: :設(shè)設(shè)而而不不求求, ,運運用用韋韋達(dá)達(dá)定定理理, ,計計算算弦弦長長( (運運算算量量一一般般) ); ; 法法三三: :設(shè)而不求設(shè)而不求, ,數(shù)

10、形結(jié)合數(shù)形結(jié)合, ,活用定義活用定義, ,運用韋達(dá)定理運用韋達(dá)定理, ,計計算弦長算弦長. . 例例2、斜率為、斜率為1的直線的直線 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的的焦點焦點F，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于A，B兩點，求線兩點，求線段段AB的長。的長。l24yxAABBFOxy的長。兩點，求線段拋物線相交于且與的焦點經(jīng)過拋物線的直線斜率為例ABBAFxyl,4142xyOFABBA, 12, 2pp解：由題意可知，. 1:xl準(zhǔn)線.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距離分別為準(zhǔn)線到設(shè), 1, 121xdBFxdAFBA由拋物線的定義可知221xxBFAFAB所以的長。兩點，求線

11、段拋物線相交于且與的焦點經(jīng)過拋物線的直線斜率為例ABBAFxyl,4142xyOFABBA1),0 , 1 ( xyABF的方程為所以直線為由已知得拋物線的焦點,4) 1(,422xxxy得代入方程.0162xx化簡得8262121xxABxx。的長是所以，線段8AB拋物線的焦點弦的特征拋物線的焦點弦的特征1、已知、已知AB是拋物線是拋物線y22px的任意一條焦點弦，且的任意一條焦點弦，且A（x1，y1）、）、B（x2，y2）1）求證：）求證：y1y2P2，x1x2p2/4。2）設(shè)）設(shè)為直線為直線AB的傾斜角，求證：當(dāng)?shù)膬A斜角，求證：當(dāng)90o時，取得時，取得AB的最小值的最小值2p。3）若弦）若弦AB過焦點，求證：以過焦點，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。切。124) ABxxP四、歸納總結(jié)四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸拋物線只有