可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理 (3)

1、可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法 東北大學(xué) 孫志禮可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法可靠性試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理方法l 可靠性試驗(yàn)及分類l 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)l 指數(shù)分布的分析法l 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法l 威布爾分布的分析法一、可靠性試驗(yàn)及分類一、可靠性試驗(yàn)及分類可靠性試驗(yàn)就是為了提高和證實(shí)產(chǎn)品的可靠性水平而進(jìn)行的各種試驗(yàn)的總稱 可靠性試驗(yàn)是為了獲得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，所用時(shí)間較長、所花的費(fèi)用較大。但從提高和保證產(chǎn)品的質(zhì)量角度來講是值得的，費(fèi)效比是較高的。壽命試驗(yàn)是可靠性試驗(yàn)的重要組成部分，是評(píng)價(jià)、分析產(chǎn)品壽命可靠性特征量所進(jìn)行的試驗(yàn)。下面列出幾種壽命試驗(yàn)的分類 按試驗(yàn)場(chǎng)所分：現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)兩

2、種?，F(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)是產(chǎn)品在使用條件下觀測(cè)到的壽命數(shù)據(jù)。最能說明產(chǎn)品的可靠性水平，是最終的客觀標(biāo)準(zhǔn)。，收集現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)重要。但會(huì)遇到很多困難，需要的時(shí)間較長、工作情況難以一致，要有詳細(xì)的產(chǎn)品使用記錄，很難獲得比較準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)是模擬現(xiàn)場(chǎng)情況的試驗(yàn)。它將現(xiàn)場(chǎng)重要的應(yīng)力條件搬到實(shí)驗(yàn)室，并加以人工控制。還可設(shè)法縮短試驗(yàn)時(shí)間以加速取得試驗(yàn)結(jié)果 一、可靠性試驗(yàn)及分類一、可靠性試驗(yàn)及分類按試驗(yàn)截止情況分：分為全數(shù)試驗(yàn)和截尾試驗(yàn)兩種全數(shù)試驗(yàn)是當(dāng)試樣全部失效才停止的試驗(yàn)這種試驗(yàn)方式可獲得較完整的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果也較好。但這種試驗(yàn)所需時(shí)間較長，有時(shí)甚至難以實(shí)現(xiàn) 一、可靠性試驗(yàn)及分類一、可靠性試驗(yàn)及分類截尾試驗(yàn)又

3、可分為定數(shù)和定時(shí)截尾試驗(yàn)兩種l定數(shù)截尾試驗(yàn)就是試驗(yàn)到規(guī)定的失效數(shù)即停止的試驗(yàn)l定時(shí)截尾試驗(yàn)就是試驗(yàn)到規(guī)定的時(shí)間，此時(shí)不管試樣失效多少都停止的試驗(yàn)l根據(jù)試驗(yàn)中試樣失效后是否用新試樣替換繼續(xù)試驗(yàn)，還可分為有替換和無替換兩種一、可靠性試驗(yàn)及分類一、可靠性試驗(yàn)及分類一般可歸納為如下四種試驗(yàn)： 有替換定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)； 有替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)； 無替換定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)； 無替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。全數(shù)壽命試驗(yàn)也可看成是截尾數(shù)是n的無替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。此外，尚有分組最小壽命試驗(yàn)、序貫壽命試驗(yàn)、有中止的壽命試驗(yàn)等 一、可靠性試驗(yàn)及分類一、可靠性試驗(yàn)及分類二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類

4、型的判斷有理論法和統(tǒng)計(jì)法兩種理論法是根據(jù)失效機(jī)理制定的數(shù)學(xué)模型或根據(jù)某種分布的性質(zhì)推導(dǎo)出來的例如，失效率為常數(shù)的壽命分布為指數(shù)分布；失效由“最弱”環(huán)節(jié)決定的壽命分布為極值分布；受很多獨(dú)立隨機(jī)因素和的影響，且沒有一個(gè)因素起主導(dǎo)作用，這種分布為正態(tài)分布等。統(tǒng)計(jì)法是根據(jù)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)求得的。很多同類性能在以往大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上已經(jīng)驗(yàn)證了其分布例如，幾何尺寸、材料性能、硬度等多服從正態(tài)分布；金屬的疲勞壽命則服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布等 下面僅介紹統(tǒng)計(jì)法在使用統(tǒng)計(jì)法時(shí)：對(duì)分布不明的情況應(yīng)做大樣本的試驗(yàn)以判定其分布類型；對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)參考的情況則可做較小樣本的試驗(yàn)，假設(shè)其分布類型再進(jìn)行相應(yīng)的擬合性檢驗(yàn) 下

5、面給出通用的2檢驗(yàn)法和K-S檢驗(yàn)法。二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)2檢驗(yàn)法一般只用于大樣本 計(jì)算理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)間的差異，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2的觀測(cè)值與臨界值 2滿足下列條件，接受原假設(shè)；否則，拒絕原假設(shè) 比較) 1()(2122mknpnpkiiii二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)式中 n樣本大小 k分組數(shù)，按樣本大小宜取 第組的實(shí)際頻數(shù)， 第組的理論頻數(shù)（概率） 未知參數(shù)的數(shù)目 顯著性水平)(2臨界值，查表二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)例例1： 220個(gè)某產(chǎn)品的失效時(shí)間記錄列于表中。試檢驗(yàn)該產(chǎn)品的壽命是否服從指數(shù)分布。 某產(chǎn)品失效時(shí)間的數(shù)據(jù)記錄某產(chǎn)

6、品失效時(shí)間的數(shù)據(jù)記錄時(shí)間 t/h0100200300400500600700800900失效數(shù) ri3950353228181242二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)解解 假設(shè)該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)未知。取組中值作為該組時(shí)間的代表值ti,則的點(diǎn)估計(jì)293)2850501503950(220111 kiiitnt h29311t 1/h二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0：-293( )1 etF t 為了使用2首先按規(guī)定分組。由于每組中實(shí)際頻數(shù)不宜少于5，故將前7段時(shí)間各作為一組，最后兩段時(shí)間合為一組?？傆?jì)組數(shù)k=8，正好在714范圍內(nèi) 檢驗(yàn)法二、二、 分

7、布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)表表2-2 例例2-1的列表計(jì)算的列表計(jì)算組號(hào)inpi=220pii -npi123456783950353228181260.28270.20550.14610.10390.07380.05250.03730.091762.19445.21032.14022.85816.23611.5508.20620.174-23.1944.7902.8609.14211.7646.4503.794-14.174537.96222.9448.18083.576138.39241.60314.394200.908.6500.5070.2543.6568.5243.6021.

8、7549.958 36.905iir)e1 ()e1 (293t-293t-1 - iiip2)(iinpiiinpnp2)(二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)kiiiinpnp122905.36)(10. 061181mkv64.10)6()(210. 02)6(210. 02取顯著性水平，由查表由于故拒絕原假設(shè)，既不能認(rèn)為該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。 K-S檢驗(yàn)法（亦稱d檢驗(yàn)法）適用于小樣本的情況 K-S檢驗(yàn)法要求所檢驗(yàn)的分布中不含未知參數(shù)。當(dāng)指定分布中含有未知參數(shù)時(shí)，對(duì)某些分布應(yīng)該用專門的臨界值表 二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類

9、型的假設(shè)檢驗(yàn)K-S檢驗(yàn)法是將n個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)由小到大的次序排列。根據(jù)假設(shè)的分布，計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的F0(xi)，將其與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(xi）相比較。其中，差的最大絕對(duì)值就是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn的觀測(cè)值。將Dn與臨界值Dn,比較。滿足下列條件，接受原假設(shè)；否則，拒絕原假設(shè) ,0max)()(supninxnDdxFxFDF0（x）原假設(shè)的分布函數(shù)；Fn（x）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)niinxxxxxnixxxF, 1, 0)(11)(,1)(max00iiixFninixFd,nD臨界值，查表 二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)例例2 某合金9個(gè)試件測(cè)得的

10、強(qiáng)度極限為453，436，429，419，405，416，432，423，440 N/mm2。檢驗(yàn)該合金的強(qiáng)度極限是否服從均值=28 N/mm2，標(biāo)準(zhǔn)差=15 N/mm2的正態(tài)分布。二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)解解 令該合金的強(qiáng)度極限b=X，將數(shù)據(jù)按由小到大次序排列。假設(shè)X服從正態(tài)分布，分布函數(shù))15428(de2151)(22152428)-(x-xxxFx式中的)(查表。計(jì)算結(jié)果見表 由上述中計(jì)算結(jié)果知，Dn的觀測(cè)值按前式求二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn) 1009. 0maxindD取顯著性水平=0.10，由表2-3查得38764. 0,nD由于,nnDD

11、 故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該合金的強(qiáng)度極限服從=28 N/mm2，=15 N/mm2的正態(tài)分布二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)序號(hào)ixi14050.06300.0000.1110.030124160.21190.1110.2220.100934190.27430.2220.3330.058744230.37070.3330.4440.073354290.52790.4440.5560.083964320.60640.5560.6670.060674360.70910.6670.7780.076184400.78810.7780.8890.100994530.95250.8891.00

12、00.0635)15428()(xxFni1niid二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn) K-S檢驗(yàn)臨界值表檢驗(yàn)臨界值表0.200.100.050.020.0110.900000.950000.975000.990000.9950020.683770.776390.841890.900000.9292930.564810.636040.707600.784560.8290040.492650.565220.623940.688870.7342450.446980.509450.563280.627180.6685360.410370.467990.519260.577410.6166

13、170.381480.436070.483420.538440.5758180.358310.409620.454270.506540.5417990.339100.387460.430010.479600.51332100.322600.368660.409250.456620.48893n 回歸分析法：回歸分析法：回歸分析法就是圖解分析法的解析。在直角坐標(biāo)紙上描得幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（n，yn），如圖2-1所示。按最小二乘原理確定直線xBAy二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn) O x 圖 2-1 x，y 散點(diǎn)圖和回歸直線 y 它反映出試驗(yàn)點(diǎn)散布狀態(tài)的一條最

14、佳直線，稱為回歸直線。斜率稱為回歸系數(shù)，截距 為常數(shù)項(xiàng)。BAxnxyxnyxBniiniii121二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)xByAniixnx11niiyny11各試驗(yàn)點(diǎn)是否在一直線上，即是否具有線性相關(guān)的關(guān)系，可用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)21212212121ynyxnxyxnyxniiniiniii二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)，則認(rèn)為具有線性相關(guān)的關(guān)系。是顯著性水平為時(shí)的相關(guān)系數(shù)起碼值，查表。查表時(shí)取自由度2 n 對(duì)于可靠性分析中常用的概率分布，其分布函數(shù)與自變量之間一般在直角坐標(biāo)上并不成線性關(guān)系，因此應(yīng)先進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q。幾種常用概率分布的

15、變換關(guān)系列于下表中 二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)起碼值相關(guān)系數(shù)起碼值0.100.050.020.010.00150.66940.75450.83290.87450.950760.62150.70670.78870.83430.924970.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.872190.52140.60210.68510.73480.8471100.49730.57600.65810.70790.8233名 稱yxBA指 數(shù)分 布t0威布爾分 布k正 態(tài)分 布t對(duì)數(shù)正態(tài)分布lnt)(ln1tF

16、ttttt02)(lnde2122)(1tFtttt de21222)()(11lnlntF4 . 03 . 0)(nitFi)(11lntFbkln1)ln(at 1分布函數(shù)te1kbat e1二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)在使用回歸分析法時(shí)，首先將試驗(yàn)獲得的n個(gè)數(shù)據(jù)按由小到達(dá)的次序排列，即t1t2tn，取中位秩作為各試驗(yàn)點(diǎn)相應(yīng)的分布函數(shù)，即4 . 03 . 0)(nitFi假設(shè)一種分布，按上表進(jìn)行變換后即可用前式進(jìn)行計(jì)算。若相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)通過則接受原假設(shè)。估計(jì)得B、A后再按上表關(guān)系估計(jì)原分布函數(shù)的參數(shù) 二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)例例3 某合金材料在某應(yīng)力水

17、平做疲勞壽命試驗(yàn)，10個(gè)試件的疲勞壽命分別為211，229，272，276，295，303，332，354，382，409千次。試進(jìn)行分布類型的判斷并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。解解 一般金屬疲勞壽命多較好地服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，故先假設(shè)該材料疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。按表NylnNxln1BA二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)序號(hào)Ni12115.3520.067-1.50028.6422.250-8.02822295.4340.162-0.98529.5250.970-5.35232725.6060.295-0.64531.4250.416-3.61642765.6200.356-0.37031.

18、5890.137-2.08052955.6870.452-0.12032.3420.014-0.68263035.7140.5480.12032.6470.0140.68673325.8050.6440.37033.7000.1372.14883545.8690.7410.64534.4450.4163.78693825.9450.8380.98535.3480.9705.856104096.0140.9331.50036.1652.2509.02157.0460325.8287.5741.739iiNxln2ix2iyiiyx)(1iiNFy4 . 03 . 0)(niNFi二、二、 分布類

19、型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)7046. 510046.5711niixnx011niiyny計(jì)算結(jié)果見表 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)： 9949. 0)0574. 7()7046. 510828.325(0739. 1212121212212121ynyxnxyxnyxniiniiniii二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)由表，當(dāng)82 n05. 0查得6319. 005. 0，故接受疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè) 311. 47046. 510828.3250739. 12121xnxyxnyxBniiniii5925.247046. 5311. 40 xByA二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布

20、類型的假設(shè)檢驗(yàn)估計(jì)分布參數(shù)和，由表2-6知：1BA232. 0311. 411B7046. 5)232. 05925.24(A二、二、 分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)分布類型的假設(shè)檢驗(yàn)三、 指數(shù)分布的分析法擬合性檢驗(yàn) 這種檢驗(yàn)法適用于截尾試驗(yàn)、全數(shù)試驗(yàn)和有中止的試驗(yàn) 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量dkkTt12ln2滿足下列條件則接受指數(shù)分布的假設(shè)，否則拒絕指數(shù)分布的假設(shè))2()2(222221dd三、 指數(shù)分布的分析法 t總累積試驗(yàn)時(shí)間；kT第（=1，2，）次失效時(shí)的累積試 驗(yàn)時(shí)間00, 1ttrttrdrr，定時(shí)截尾定數(shù)截尾或定時(shí)截尾t0指定的定時(shí)截尾時(shí)間tr指定的定數(shù)截尾時(shí)間 顯著性水平；)2(2d自由度為d的2分

21、布的分位數(shù)，查表 三、 指數(shù)分布的分析法總累積的試驗(yàn)時(shí)間t是所有投入試驗(yàn)的試樣（包括失效的、中止的、截尾未失效的）試驗(yàn)到規(guī)定時(shí)間的試驗(yàn)時(shí)間總和。當(dāng)開始投入n個(gè)試樣同時(shí)試驗(yàn)，試驗(yàn)中有b個(gè)中止，中止時(shí)間為j（j=1，2，）；有r個(gè)失效，失效時(shí)間為i（i=1，2，r）。規(guī)定試驗(yàn)到t0停止試驗(yàn)，則試驗(yàn)總累積時(shí)間 三、 指數(shù)分布的分析法無替換：011)(tbrnttbjjrii有替換：01)(tbntbjj第k次失效時(shí)的累積試驗(yàn)時(shí)間 無替換：kkbjjkiiktbkntTk)(11有替換：kkbjjktbnTk)(1第k（k=1，2，r）個(gè)失效的時(shí)間 三、 指數(shù)分布的分析法例例4 抽取某產(chǎn)品10個(gè)進(jìn)行壽

22、命試驗(yàn)，失效5個(gè)即停止試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果為：76，143，152，275，326 h。檢驗(yàn)該產(chǎn)品壽命是否服從指數(shù)分布。解解 假設(shè)該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。這是無替換定數(shù)截尾、無中止的壽命試驗(yàn)?？偫鄯e試驗(yàn)時(shí)間h2602326)510(32627515214376)(1rriitrntt三、 指數(shù)分布的分析法第k次失效時(shí)的累積試驗(yàn)時(shí)間 h76076) 110(76) 1(111tntTh1363143)210(14376)2(2212tnttTh1435152)310(15214376)3(33213tntttTh2296275)410(27515214376)4(443214tnttttT三、 指數(shù)

23、分布的分析法本例4151 rd dkkTt12195. 5)22962602ln14352602ln13632602ln7602602(ln2)ln(2取顯著性水平=0.10，由表查得73. 2)8()2(295. 0221d51.15)8()2(205. 022d滿足51.1519. 573. 22故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。三、指數(shù)分布的分析法參數(shù)估計(jì)和可靠度估計(jì) t1niitnt11rtt全數(shù)試驗(yàn) 截尾試驗(yàn)式中 總累積試驗(yàn)時(shí)間r觀測(cè)失效數(shù)，當(dāng)r=0進(jìn)行的點(diǎn)估計(jì)時(shí)，建議取31r。t三、 指數(shù)分布的分析法區(qū)間估計(jì) Lt Ut區(qū)間估計(jì)種類 定時(shí)截尾 定數(shù)截尾 單側(cè)置信下限 雙

24、側(cè)置信下限雙側(cè)置信上限Lt)22(22rt)2(22rt)22(222rt)2(222rt)22(2221rt)2(2221rt三、指數(shù)分布的分析法參數(shù)的區(qū)間估計(jì)先由上表計(jì)算平均壽命的置信限 的置信下限 UL1t的置信上限 LU1t可靠度的點(diǎn)估計(jì)ttttR-ee)(可靠度的置信下限 LUee)(LttttR三、 指數(shù)分布的分析法例例5 某產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布，抽取11個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)。在試驗(yàn)到500 h式中止1個(gè)，900 h時(shí)失效1個(gè)，其它試樣達(dá)到1000 h均未失效即停止試驗(yàn)。求平均壽命、失效率及工作到100 h時(shí)可靠度的點(diǎn)估計(jì)。若要求置信水平求平均壽命的單側(cè)置信下限、失效率的單側(cè)置信上限及工

25、作到100 h時(shí)可靠度的單測(cè)置信下限。%901三、 指數(shù)分布的分析法解解 這是n=11，失效數(shù)r=1，中止數(shù)b=2，截尾時(shí)間t0=1000 h的無替換定時(shí)截尾壽命試驗(yàn) 總累積試驗(yàn)時(shí)間 h100001000)2111(600500900)(0211tbrntt平均壽命的點(diǎn)估計(jì) h10000110000rtt失效率的點(diǎn)估計(jì) 1000011t三、 指數(shù)分布的分析法t=100 h時(shí)可靠度的點(diǎn)估計(jì) 9905. 0ee)100(10000100-tR由表查得 78. 7)4()22(201. 02r故平均壽命的單側(cè)置信下限 h7 .257078. 7100002)22(22Lrtt失效率的單側(cè)置信上限 4

26、LU1089. 37 .257011tt=100 h時(shí)可靠度的單側(cè)置信下限 96185. 0ee)100(2570.7100-LUtR四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法擬合性檢驗(yàn) 假設(shè) xsxxxxxssxxFxde21),(222)(20；與K-S檢驗(yàn)法類似，滿足下列條件則接受原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè) ,20max)()(supninxxnDdxFsxxFD；經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法)(1)(max2020 xxisxxFninisxxFd，；，；,nD臨界值，查表 0.200.150.100.050.0150.2850.2990.3150.3370.40580.2330.2

27、440.2610.2850.331100.2150.2240.2390.2580.294150.1770.1870.2010.2200.257200.1600.1660.1740.1900.231300.1310.1360.1440.1610.187n四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法例例6 對(duì)某鋼材進(jìn)行靜強(qiáng)度試驗(yàn)，9個(gè)試件的強(qiáng)度極限按由小到大次序分別為625，650，656，659，661，662，663，668，672 N/mm2。檢驗(yàn)該鋼材強(qiáng)度極限是否服從正態(tài)分布。 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法解解 假設(shè)該鋼材的強(qiáng)度極限服從正態(tài)分布。由于分布參數(shù)未知，故先進(jìn)行估計(jì) )672668663

28、662661659656650625(9111niixnx3 .6572112)(11niixxxns21222)3 .657672()3 .657650()3 .657625(191 =13.69 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法假設(shè)： 列表計(jì)算 xxxxsxxFde269.131)(2269.132)3 .657(20，；id由計(jì)算結(jié)果知 24188. 0maxindD取顯著性水平=0.10 249. 0,nD因?yàn)?,nnDD 故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該鋼材的強(qiáng)度極限服從正態(tài)分布 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法完全樣本的參數(shù)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì) niixnx112112)(11niixxxns區(qū)間估

29、計(jì) )(2LLtnsxxx)(2UUtnsxxx顯著性水平，1為置信水平；n樣本大?。蛔杂啥?。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差已知，sx用代替，則=；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差為點(diǎn)估計(jì)sx，則=n1； 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法xxsns2122LL)(1xxsns212UU)(1自由度。當(dāng)均值已知時(shí)，=n；當(dāng)未知時(shí)，=n1。若隨機(jī)變量y服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即YLn（，2），則lnYN（，2），故取yxln四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法截尾壽命試驗(yàn)的參數(shù)估計(jì) 極大似然估計(jì) 021xxxxr 失效時(shí)間 dssxxrxr22)(nrDgdsx，四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法式中 riirxrx11ririrxxrs122)(1rxx

30、d0222rsddD)(nrDg，查表。四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法最佳線性無偏估計(jì) rjjxjrnDx1),(rjjxxjrnCs1),(式中 n樣本大小； r失效數(shù)； j壽命由小到大排列的次序； xj第j個(gè)壽命值；的最佳線性無偏估計(jì)系數(shù) 的最佳線性無偏估計(jì)系數(shù) ),(jrnD),(jrnC四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法簡單線性無偏估計(jì) )(,nrrYExx11,rjjrnrxxrxnks式中 nkr,n系數(shù)查表 E（Yr,n）系數(shù)，查表 其余同前四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法可靠壽命和可靠度的估計(jì) 指定可靠度R，可靠壽命的點(diǎn)估計(jì) xszxRxR)( 指定壽命x的可靠度R的點(diǎn)估計(jì))()

31、(RzxRxsxxzR四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法指定可靠度RL的可靠壽命置信下限xszxRxRL)( zR單側(cè)置信限系數(shù)，按指定的可靠度和置信水平由下式求取 221221122R2RRnzznznzzzz按指定的置信水平查表 四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法指定壽命xL的可靠度置信下限 )(RLLzR式中212RRRL2-2n1znzzzxsxxzLR應(yīng)該指出，這里的x并不限于壽命，也可以是服從正態(tài)分布的其它特性值，例如材料的機(jī)械強(qiáng)度等 四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法nrD,g 極大似然估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）極大似然估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布） 0.010.100.300.500

32、.700.900.990.020.1198030.1282830.1340060.1373230.1398330.1419190.1427660.040.1584280.1745150.1858090.1925420.1977370.2021280.2039290.060.1844410.2075840.2243590.2345880.2426120.2494890.252337r/nD 最佳線性無偏估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）最佳線性無偏估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）nrjC(n,r,j)D(n,r,j)nrjC(n,r,j)D(n,r,j)521-1.4971-0.7411751-0.4

33、3700.04655221.49711.7411752-0.19430.1072四、正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法 簡單線性無偏估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）簡單線性無偏估計(jì)用表（正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布）nrE(yr,n)nkr,nnrE(yr,n)nkr,n204-0.92101.6431355-1.112302.02138-0.31494.906510-0.60435.5602120.18709.669415-0.215110.2049160.745417.2531200.142816.2884250.520824.6235225-0.81532.2796300.997937.573110-0.1

34、6996.7158四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法 zR與可靠度與可靠度R的關(guān)系（正態(tài)分布）的關(guān)系（正態(tài)分布）)(zRRR0.9100.9200.9300.9400.9500.9600.9700.9800.9900.9100zR1.2822.3263.0903.7194.6254.7535.1995.6125.9976.36R0.91100.91200.91300.91400.91500.91600.91700.91800.91900.9200zR6.707.037.347.657.948.228.498.759.019.26不同置信水平不同置信水平時(shí)的時(shí)的z0.500.600.700.800

35、.900.950.990.9950.999z0.000.25340.52440.84161.2821.6452.3262.5763.090四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法例例 某鋼材的強(qiáng)度極限服從正態(tài)分布，11個(gè)試件測(cè)得的強(qiáng)度極限為608，622，630，638，642，648，652，660，673，688 N/mm2。求均值和標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)和置信水平=80的雙側(cè)置信限，失效概率為0.10時(shí)強(qiáng)度極限的點(diǎn)估計(jì)和置信水平為90的單側(cè)置信下限。四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法解解 本例為完全樣本試驗(yàn)。均值的點(diǎn)估計(jì)，按式91.647)688622608(11111 niixnx標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)，按式2

36、22112)91.647622()91.647608(1111)(11niixxxns33.23)91.647688(212 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法均值的雙側(cè)置信限，按式并由表查得 372. 1) 111()(22 . 02 tt26.638372. 11133.2391.647)(2Ltnsxxx56.657372. 11133.2391.647)(2Utnsxxx故得 四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法標(biāo)準(zhǔn)差的雙側(cè)置信限，按式并由表查得 ) 111()(222 . 022987.15865. 4) 111()(222 . 01221故得 45.1833.23987.15111)(1

37、212122Lxxsns45.3333.23865. 4111)(12121221Uxxsns四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法失效概率F=0.10的強(qiáng)度極限，可借用可靠壽命與可靠度的關(guān)系式。這時(shí)相當(dāng)于R=1-F=0.90時(shí)的強(qiáng)度極限。點(diǎn)估計(jì)可用式來求，并由R=0.90查表2-15得zR=1.28，故 05.61833.2328. 191.647)( RFxszxRxx四、 正態(tài)及對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分析法失效概率F=0.10，置信水平=90強(qiáng)度極限的單側(cè)置信下限可用式來求，并由R=1-F=0.90查表得zR=2.01129，故99.60033.2301129. 291.647)(RLFLxszxRx

38、x五、威布爾分布的分析法擬合性檢驗(yàn) 樣本大小為n，截尾壽命試驗(yàn)得t1t2tr。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值0010110) 1(riirriilrrlrW式中 20rr即取括號(hào)內(nèi)整數(shù)部分 )()(lnln11iiiiizEzEttlE(zi)查表中的E(zi，n) 五、威布爾分布的分析法滿足下式條件則接受兩參數(shù)威布爾分布的假設(shè)，否則拒絕兩參數(shù)威布爾分布的假設(shè) )2) 1(2()2) 1(2(0020021rrrFWrrrF，式中 顯著性水平 ),(21F自由度為1=2(r-r0-1)，2-=2 r0的F分布的分位數(shù)，查表 ),(1),(12211FF五、威布爾分布的分析法參數(shù)估計(jì) 矩法估計(jì) 樣本均值nii

39、xnx11樣本標(biāo)準(zhǔn)差 2112)(11niixxxns樣本偏態(tài)系數(shù)niixkxxsnnnk133)()2)(1(五、威布爾分布的分析法根據(jù)kk值由表查得形狀參數(shù)k的點(diǎn)估計(jì) k同時(shí)可查得系數(shù)ka、kb，故 尺度參數(shù)b的點(diǎn)估計(jì)bxksb 位置參數(shù)a的點(diǎn)估計(jì)min,minmin,iaiiaaxkbxxxkbxkbxa若若五、威布爾分布的分析法若位置參數(shù)a已知（例如兩參數(shù)威布爾分布a=0），則求axskxc根據(jù)kc值由表查得形狀參數(shù)k的點(diǎn)估計(jì) k同時(shí)查得kb，再由式求尺度參數(shù)b的點(diǎn)估計(jì) b五、威布爾分布的分析法極大似然估計(jì) riikrikikriikixrkxrnxxxrnxx101001ln11)(

40、ln)(lnkkrikixrnxrb101)(1五、威布爾分布的分析法最佳線性無偏估計(jì)和簡單線性無偏估計(jì) 先做如下變換： 原分布函數(shù)kbttF)(e1)(令：txlnxtek11kblneb即 即 即 五、威布爾分布的分析法則原分布函數(shù)變?yōu)閤xFee1)(式中，參數(shù)和的最佳線性無偏估計(jì)jrjxjrnD1),(rjjxjrnC1),(五、威布爾分布的分析法當(dāng)樣本容量較大時(shí)，和用簡單線性無偏估計(jì)。和的簡單線性無偏估計(jì))(,nrnszExrsjjsjjnsnrxxxrsnk11,)2(1s，nkr,n，E(zr,n)查表 五、威布爾分布的分析法形狀參數(shù)k的點(diǎn)估計(jì)按式求得后，為得到k的無偏估計(jì)再加以修

41、正得,nrgk 式中 gr,n修偏系數(shù)，查表 eb尺度參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)五、威布爾分布的分析法可靠度和可靠壽命的估計(jì) 指定壽命t時(shí)可靠度R的點(diǎn)估計(jì)atattRkbat, 1,e)()(當(dāng)當(dāng)指定可靠度R時(shí)可靠壽命t(R)的點(diǎn)估計(jì) kRbaRt11ln)(五、威布爾分布的分析法指定置信水平、可靠度的置信下限 對(duì)于全數(shù)試驗(yàn)的兩參數(shù)威布爾分布，可按可靠度的極大似然點(diǎn)估計(jì))(tR查表 對(duì)于截尾壽命試驗(yàn)，其可靠度的置信下限可查表。五、威布爾分布的分析法可靠壽命的單側(cè)置信下限nrnrgVBRt,R,2)(Le)(式中 gr,n，Br,n，VR查表五、威布爾分布的分析法 威布爾分布形狀參數(shù)和各參數(shù)點(diǎn)估計(jì)系數(shù)威布爾分

42、布形狀參數(shù)和各參數(shù)點(diǎn)估計(jì)系數(shù)kkkbkakckkkkbkakck0.604.5932.6451.5051.7583.100.1360.4130.8950.3530.703.4981.8510.2661.4623.200.1060.3070.8960.3430.802.8151.4281.1331.2603.300.0780.2980.8970.333五、威布爾分布的分析法 最佳線性無偏估計(jì)系數(shù)（威布爾分布）最佳線性無偏估計(jì)系數(shù)（威布爾分布）nrjC(n,r,j)D(n,r,j)nrjC(n,r,j)D(n,r,j)521-0.8963-0.95995330.79861.29615220.896

43、31.9599541-0.2730-0.0154531-0.4343-0.2101542-0.24990.0520532-0.3642-0.0860543-0.14910.15215440.67210.81137660.57190.5791五、威布爾分布的分析法簡單線性無偏估計(jì)系數(shù)（威布爾分布）簡單線性無偏估計(jì)系數(shù)（威布爾分布）nrsE(zr,n)nkr,ngr,nnrsE(zr,n)nkr,ngr,n2655-1.66874.21180.7592402525-0.062129.99360.96561010-0.798910.09210.900030300.280539.24950.97301515-0.216417.02920.939835350.671251.79230.977620200.310325.99020.959340360.766156.49230.9798五、威布爾分布的分析法最佳線性無偏估計(jì)和置信下限系數(shù)（威布爾分布）最佳線性無偏估計(jì)和置信下限系數(shù)（威布爾分布）nrE(zr,n)gr,nBr,nV0.90V0.95V0.990.