解析匯報(bào)幾何中地定點(diǎn)和定值問(wèn)題

1、word解析幾何中的定點(diǎn)定值問(wèn)題考綱解讀：定點(diǎn)定值問(wèn)題是解析幾何解答題的考查重點(diǎn)。此類問(wèn)題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問(wèn) 題，曲線系問(wèn)題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)?？疾閿?shù) 形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。1、 定點(diǎn)問(wèn)題解題的關(guān)健在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將量，未 知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理，變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決。例1、A、B是拋物線y2=2px ( p>0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線 OA和OB的傾斜角分別為“和 § , 當(dāng)a、B變化且a +

2、B =時(shí)，證明直線 AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。4例2 .橢圓C：與 。1(a b 0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心， a b2橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x y 應(yīng) 0相切.求橢圓 C的方程;設(shè)P(4, 0), M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PN交橢圓C于另一點(diǎn)E,求直線PN的斜率的取值圍；在的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn).【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F1 73 , 0 , F2 V3 , 0的距離之和是4 ,點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) A,不過(guò)點(diǎn)A的直線l:y kx b與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) P和Q.求軌跡C的方程；當(dāng) AP A

3、Q 0時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過(guò)定點(diǎn).22x y【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，如圖，橢圓 1的左、右頂點(diǎn)為 A、B,右焦點(diǎn)為F。95設(shè)過(guò)點(diǎn)Tt,m的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn) M (x1, y1)> N(x2,y2),其中m>0, y1 0,y2 0。1設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2 PB24,求點(diǎn)p的軌跡;12設(shè)x12, x2 一，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3m無(wú)關(guān)。3設(shè)t 9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)其坐標(biāo)與【針對(duì)性練習(xí)3】橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，焦距為2,短軸長(zhǎng)為2正.I求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)word方程；n假如直線l： y kx m k 0與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

4、 M、N M、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)A .求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).過(guò)橢圓的右焦例3、橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 x2 4y的焦點(diǎn)，離心率e點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l ,交橢圓于 A、B兩點(diǎn)。I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；n設(shè)點(diǎn)M (m,0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(MA MB) AB ,求m的取值圍；出設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) N,使得C、B、N三點(diǎn)共線？假如存在，求出定點(diǎn) N的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2、 定值問(wèn)題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)

5、用辯證 的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變中尋求定值的“不變性，一種思路是進(jìn)展一般計(jì)算推理求出其結(jié)果， 選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中量和參變量表示題中所涉與的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定 理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值是多少，用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊圖形等先 確定出定值，揭開(kāi)神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到 解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉與的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時(shí)有許 多定值問(wèn)題，通過(guò)特殊探索法不但能夠確定

6、出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形 式出現(xiàn)，特珠化方法往往比擬奏效。例4、橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),OA oB與a (3, 1)共線。1求橢圓的離心率；2設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 OM,oA OB ( , R),證明22為定值。3例5、，橢圓C過(guò)點(diǎn)A (1, ),兩個(gè)焦點(diǎn)為一1, 0，1, 0。1求橢圓C的萬(wàn)程； 22E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線 AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。將第二問(wèn)的結(jié)論進(jìn)展如下推廣：22結(jié)論1.過(guò)橢圓 告 一吟一1(a>0,b>

7、;0)上任一點(diǎn)A(x0,y°)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于 a bb2xE、F兩點(diǎn)，如此直線 EF的斜率為定值常數(shù)。a V。22結(jié)論2.過(guò)雙曲線 與 1(a>0,b>0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓 a bword于E、F兩點(diǎn)，如此直線 EF的斜率為定值一b2xo2a V。E、F兩結(jié)論3.過(guò)拋物線y2 2 Px(p >0)上任一點(diǎn)A(xo,%)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于點(diǎn)，如此直線 EF的斜率為定值 一上常數(shù)。y。例6、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)F到短軸端點(diǎn)的距離是 4,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn) F

8、距離的最大值是6.( I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率 e;(II )假如F為焦點(diǎn)F關(guān)于直線y 3的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足 H e,問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn) A ,使M到點(diǎn)A的距離為定值？假如存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)與此定值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例7、拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，P(2, 0)為定點(diǎn).(I )假如點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線 C的方程；(n)假如動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P,且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與y軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線 C,使|AB|為定值？假如存在，求這個(gè)定值；假如不存在，說(shuō)明理由.例8、橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為

9、 近1 ,離心率為e 2. I求橢圓E的方程；n過(guò)點(diǎn)1 , 0作直線f交E于P、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定 點(diǎn)M , MP MQ'為定值？假如存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3、 定直線問(wèn)題22_例9、設(shè)橢圓C:、與1(a b 0)過(guò)點(diǎn)M (72,1),且焦點(diǎn)為Fi(四,0) I求橢圓C的方程; a bn當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q ,滿足APQBi iAQ”P(pán)B證明：點(diǎn)Q總在某定直線上3例10、橢圓C的離心率e ,長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為 Ai 2,0 , A2 2,0。 I求橢圓C的方程;2II設(shè)直線x m

10、y 1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP與A?Q交于點(diǎn)S。試問(wèn)：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？假如是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；假如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。4、 其它定值問(wèn)題word22例11、雙曲線C:t41(aa2 b2o,b o）的離心率為，3,右準(zhǔn)線方程為xcn求雙曲線c的3方程；n設(shè)直線l是圓O:x22y2上動(dòng)點(diǎn)P(Xo, yo)(Xoyo o)處的切線,l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A, B ,證明 AOB的大小為定值.22x y ,例12、己知橢圓 ' 1 a>b>o，過(guò)其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是 a bP1P2、QlQ2,求證：以兩條直徑的四個(gè)

11、端點(diǎn)所成的四邊形PlQlP2Q2與一定圓相切。探索定圓：取橢圓長(zhǎng)軸和短軸為兩直徑，如此A2B2的方程為-y 1 ,原點(diǎn)O到直線A2B2的距離為 a bab2.2a b如此與菱形 AB1A2B2切的圓方程為x22, 2a b272.abyP22AiBiPiA2 X例13、P（xo，yo）是雙曲線xy2a (a0）上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)異于P點(diǎn)，求證：直線P1P2的方向不變。a2探索定值：取P（X。，），過(guò)P點(diǎn)且互相垂直的直線中有一條過(guò)原點(diǎn)，如此這一條直線Xo與曲線的另一個(gè)交點(diǎn) P（ x0,2),其斜率kpp1Xo2a2 Xok pp22X-o2- P

12、P2的萬(wàn)程為y ayo2 Xo / (XaXo)，一 a2把y 代入解得F2（ x4a3，Xo3()aP1P22Xo2a定值證明：設(shè)PP1的斜率為PP2的斜率為一PR的方程為y yo1 ,、，k(x %)PP2的萬(wàn)程為y yo(x Xo),與拋物xyk2 a聯(lián)立解得2.P1(臺(tái)"kyo222)、 P2(kyo,-7-),從而 kpp2 旦5 多定值kyoyoaEX過(guò)拋物線y2=2px P>。上一定點(diǎn)xo,y。作兩條直線分別交拋物線于A, B兩點(diǎn)，滿足直線 PA PBword斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，如此 AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習(xí)21、橢圓中心

13、在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為當(dāng),三角形ABM勺三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中 M點(diǎn)為1, 1，且直線MA MB的斜率之和為0。1求橢圓的方程。2求證：直線AB的斜率是定值。分析：1x2+2y2=32-22、定點(diǎn)C( 1,0)與橢圓x2 3y2 5 ,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于 A, B兩點(diǎn).I假如線段 AB中1點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 一，求直線 AB的方程；2II在X軸上是否存在點(diǎn) M ,使MA MB為常數(shù)？假如存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.，一一7、4分析：M0393、不垂直于x軸的動(dòng)直線l交拋物線y2=2mx m>0于A、B兩點(diǎn)，假如 A、B兩點(diǎn)滿足/ AQPW BQP假如其中

14、Q點(diǎn)坐標(biāo)為-4, 0，原點(diǎn)。為PQ中點(diǎn)。1證明：A、P、B三點(diǎn)線；2當(dāng)m=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l '，使得l '被以PA為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在求出l'的方程。分析：設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)2l : x=3.224、橢圓、4 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為 A、B,且四邊形F1AF2B a b是邊長(zhǎng)為2的正方形。1求橢圓的方程。2假如C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M滿足MDL CD,連結(jié)CM交橢圓于點(diǎn)P,證明：OM*OP為值。3在2的條件下，試問(wèn)x軸上是否存在異于C的定點(diǎn)Q使彳#以MP為直徑的圓過(guò)直線 DP M

15、Q的交點(diǎn)，假如存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)。22分析：1二上1422由O M P三點(diǎn)共線，得、my,所以O(shè)M*OP=44 xp 23設(shè) Q點(diǎn)a, 0，由 QM-DP 0,得 a=0.word25、設(shè)P為雙曲線二 a24 1(a,b 0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是雙曲線的左右焦點(diǎn)，假如PF；Pf2的最小b值是-1 ,雙曲線的離心率是 翼3。1求雙曲線C的方程；2過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的直線交雙曲線 3于A、B兩點(diǎn)，過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為 C,求證：直線 AC恒過(guò)定點(diǎn)。分析:27X2.7一、1 y 12先猜再證：一，。34Xiyi74工換掉x1代入韋達(dá)定理得證。方法二:14設(shè)AB:x = m y +

16、2代入方程得：m 2 - 3yiy24my2-2m 31m2 3AC: y3(yiy2-)-2my<y2_y2 又 2myy2=- -y1+y2然后代入韋達(dá)2mx 1定理得。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt 4ABC的斜邊BC恰在x軸上，點(diǎn) B( 2,0) , C2, 0，且AD為BC邊上的高。(I)求AD中點(diǎn)G的軌跡方程；(II)假如過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與(I)中G的軌跡交于兩不同點(diǎn) P、Q,試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn) E(m,0)，使PE QE恒為定值入？假如存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)與實(shí)數(shù)入的值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2分析：1 y241(y0).172m=-833 、一 ,. 八一

17、,，,定值為33不容易先猜出，只能是化簡(jiǎn)求出。647、直線l過(guò)橢圓E: x2 2y2 2的右焦點(diǎn)F,且與E相交于 巳Q兩點(diǎn)。(1) 設(shè)OR (OP OQ),求點(diǎn)R的軌跡方程。21111(2) 假如直線l的傾斜角為60，求 的值。當(dāng)|的傾斜角不定時(shí)，可證 是|PF| |QF|PF| |QF |定值。分析：x2 2y2 x 02可先猜再證：2衣解析幾何中的定點(diǎn)定值問(wèn)題word考綱解讀：定點(diǎn)定值問(wèn)題是解析幾何解答題的考查重點(diǎn)。此類問(wèn)題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問(wèn) 題，曲線系問(wèn)題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程

18、等數(shù)學(xué)思想方法。四、定點(diǎn)問(wèn)題解題的關(guān)健在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將量，未 知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理，變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決。例1、A、B是拋物線y2=2px ( p>0)上異于原點(diǎn) O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線 OA和OB的傾斜角分別為“和當(dāng)a、B變化且a +B=時(shí)，證明直線 AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。4解析：設(shè)A2yi2p'yi，B2V22p'y2,如此tan22y1tan型,代入tan( V2得 2 P(yiV2)yi V24p21又設(shè)直線AB的方程為kx b ,如此kx2pxky22py2pb 02pbi

19、 y1y22P，代入1式得b 2p 2pk,直線AB的方程為y 2pk(x 2p)，直線AB過(guò)定點(diǎn)-2p, 2p)說(shuō)明：此題在特殊條件下很難探索出定點(diǎn)，因此要從出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線從AB直線系中看出定點(diǎn)。2例2.12010東城一?！繖E圓 C :與 ay234 1(a b 0)的離心率為 ,以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半b2軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線 x y 。2 0相切.求橢圓C的方程;設(shè)P(4, 0), M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié) PN交橢圓C于另一點(diǎn)E,求直線PN的斜率的取值圍;在的條件下，證明直線解析：由題意知eME與x軸相交于定點(diǎn).c 32 c2一,所以e

20、a 2a22a b2a1 ,所以322.一，即a 4b ,又因?yàn)閎4由題意知直線聯(lián)立y k(x2x 27 y2 2(32k )word2故橢圓C的方程為C : y2 1 .4PN的斜率存在，設(shè)直線 PN的方程為y k(x 4)4)消去y得：(4k21221)x32 k x4(16k2 1) 0 ,24(4 k21)(64 k4)一 20 得 12k10,0不合題意,所以直線PN的斜率的取值圍是設(shè)點(diǎn) N (xi, yi), E(x2, y2),如此 M (x1,y1)，直線ME的方程為yy2y2(x x?),X2X2y2(x2 x)，府 y1k(x( 4), y2由得x1X2V2 y1224f|

21、L x1x2 64k2 4代入整理,得4k2 1 4k2 1k(x2 4)代入整理，得xx12xx2 4(x")x ” 8所以直線ME與x軸相交于定點(diǎn)(1,0).【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)Fi點(diǎn)，0 , F2 J3 , 0的距離之和是4 ,點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) A,不過(guò)點(diǎn)A的直線l:y 求軌跡C的方程；kx b與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) P和Q .當(dāng)AP AQ 0時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過(guò)定點(diǎn).解：點(diǎn)M到 73,0, 73,0的距離之和是4,M的軌跡C是長(zhǎng)軸為4,焦點(diǎn)在x軸上焦中為273將y kx b,代入曲線C的方程，整理得(12的橢圓，其方

22、程為-y2 1.4224k )x872kx 4 0 ,因?yàn)橹本€l與曲線C交于不同的兩64k b 4(1 4k )(4b4)216(4 k2b 1) 0 設(shè) P x1 , y1 , Q x2 , y2 ,如此 xXz8.2k；77V , xx21 4k且y1 y2(kx1b)(kx2 b) (k2xx2) kb(xx?) b2 ,顯然，曲線 C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) A 2,0 ,所以 AP x1 2 ,y1, AQx?2 ,y?.由 AP AQ 0,得(x2)( x?2)yy?0 .將、代入上式，整理得12k2 16kb 5b2都符合條件，當(dāng)b 2k時(shí)，直線l的方程為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與題意不符.當(dāng) b

23、 6k時(shí)，直線5word0 .所以(2 k b) (6k 5b)y kx 2k.顯然，此時(shí)直線,6l的方程為y kx -k k x5顯然，此時(shí)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn),0點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn) A .綜上,56,0 點(diǎn).52x【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，如圖，橢圓 90 ,即b 2k或b -k .經(jīng)檢驗(yàn),5l經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 2,0點(diǎn).即直線lk與b的關(guān)系b k ,且直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)52y 1的左、右頂點(diǎn)為 A、B,右焦點(diǎn)為F。5設(shè)過(guò)點(diǎn)Tt,m的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn) M (x1, y1)> N(x2,y2),其中m>0, y1 0,y2 0。1設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2 PB24,求點(diǎn)P的軌跡

24、;12設(shè)x12, x2 一，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；33設(shè)t 9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)?！窘馕觥勘拘☆}主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等根底知識(shí)。考查運(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。解：1設(shè)點(diǎn)Px, y，如此:F 2, 0、 B 3, 0、 A -3, 0。由 PF2 PB24 ,得(x 2)22y2 (x 3)2-.一y 4,化簡(jiǎn)得x 9故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x 922將 x12, x21 、，、-一分別代入橢圓方程,以與y10, y2 0 得：M2, 一、N一,209直線MTA方程為:直線NTB方程為:3y 0209聯(lián)立方程組，解得:10，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為10

25、(773點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9,m)word直線MTA方程為：-y0m 0直線NTB方程為：-y0x 39 3 x 39 3，即 y (x 12,即 y m(x 63),3)。2分別與橢圓之91聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到3公 3,解得：M （塑80m2) -2- m40 m80 m2)、3(m2 20)N (720 m20m2TV)°方法一當(dāng)x,X2時(shí)，直線MN方程為:20m20 m23(m2 20) x 20 m2令y 0,解得:40m80 m220m20 m23(80 m2) 3(m2 20)8020 m2x 1 。此時(shí)必過(guò)點(diǎn) D 1, 0；當(dāng)x1 x2時(shí)，直線MN方程為：x 1 ,與x軸

26、交點(diǎn)為D 1, 0。所以直線 MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn) D1, 0。方法二假如x1 x2，如此由_2_2_240 3m 3m 60280 m 20 m此時(shí)直線MN的方程為X 1,過(guò)點(diǎn)D1, 0。假如x1 x2 ,如此m 2 j10,直線MD的斜率kMD40m280 m2240 3m2 d 二180 m210m2 ,40 m220m2直線ND的斜率kND20 m一3m2 60 d T 1 20 m2因此，直線MN必過(guò)x軸上的點(diǎn)1,10m 2，得kMD kND ,所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。40 m20?！踞槍?duì)性練習(xí)3】2011年石景山期末理18橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，焦距為2,短軸長(zhǎng)為2百.I求

27、橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程;n假如直線l： y kx m k 0與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、NM、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) A.求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解：I設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a ,短半軸長(zhǎng)為b ,半焦距為c,如此2c2b2a2,2 3,22b c ,解得b2,.3,word，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為n由方程組22士上143y kx m2223 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0.由題意2-. 22 一 _8km 4 3 4k 4m 120,整理得：3 4k2 m2 0設(shè) M x1, y1、N ”, y2 ,如此x1x228 km4m 122 ， x1x2

28、2- 3 4k21 23 4k2由，AM AN ,且橢圓的右頂點(diǎn)為 A (2,0),x1 2 x2 2y1y 20.10分即 1 k2 x1x2 km 2 x1 x2也即k22_4m2 123 4k2km 28 km3 4k2整理得 7m2 16mk 4k2 0 .解得m 2k 或m2k11分2k ,均滿足72k時(shí)，直線l的方程為 ykx 2k ,過(guò)定點(diǎn)(2,0),不符合題意舍去;2k2 2當(dāng)m 時(shí)，直線l的方程為 y k x ,過(guò)te點(diǎn)(,0),777 2-故直線l過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為 (,0) . 13分2-5例3、橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2 4y的焦點(diǎn)，離心率e的

29、右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l ,交橢圓于A、B兩點(diǎn)。I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； _n設(shè)點(diǎn)M(m,0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(MA MB) 建，求m的取值圍；出設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) N ,使得C、B、 三點(diǎn)共線？假如存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。22解法一：門(mén)設(shè)橢圓方程為三 4 1(a b 0),由題意知b 1a bword由an2代入5a b25I得a2 5故橢圓方程為F(2,0)，所以0 m2x52,l的方程為y k(x 2) k 0如此x1MAX2MBr(MA 20k25k2 1MB)出在程為y y11,得(5k220k2Zp7 , x

30、ix25k 1(xi m, yi)2mVl的方程為必k(x2k事1)x2 20k2x20k2 52,5k 1(x2 m, n2AB, (MA MB)4k25k2 10,(8AB20k2yiy25 0 設(shè) A(xi, y) B(x2, y2),k(xi x2 4), %y2 k(xi x2)I時(shí)，有(MAx軸上存在定點(diǎn)MB)(xi 0,x2(xi5m)k2 mAB成立。N(-,0)，使得 C、2yy1(x x1)，令 y 0,如此x2 x1y k(x2)佻 20k2k2-5k2 1解法二：n由2、x代入51,xix2.(MA MB)2), A、B在直線l上,k(x2 2)20k25k2 14kI

31、得 F(2,0),22得(5k2 1)x2k(x1 1)x22m,必 y2), AB x2 2m)(x2 x1)(x2(y20 由 k2 m 0, 08 5mB、N三點(diǎn)共線。依題意知yi(x2 xi)y2 yik(x2 1)xk(x1 x2) 4kx1y%yi)(yi8 m -5C(。y2%y2yiyi)v202kxix2 2k(x x2)k(x1 x2) 4ky1)，直線 5在x軸上存在定點(diǎn)N(-,0)，使得C B N三點(diǎn)共線。2所以0220k2_2_220k20k524涇 25k2 15k2 1BC的方m 2。設(shè)l的方程為y k(x 2) (k220k2yi0),5 0設(shè) A(xi,yi)

32、,B(x2,y2),如此y2k(xi x2 4)4k5k2I*y2 k(xix2)AB, |MA| |MB |,' T /(x1 m)2yi(x2 m)2y2,(xi x2 2m)(xi x2) (% yz)(yi y?)0,(1 k2)(x x2)8k22m 4k2 0, (8 5m)k2m 25k225 5(5k28一時(shí)，有(MA5MB) AB成立。出在 x軸上存在定點(diǎn)設(shè)存在N(t,0),使得C、.CB (% x2,y2 y)CN 即(x2 x1)k(x1 2) (tN(5,0)，使得 c、b、 2B、N三點(diǎn)共線，如此N三點(diǎn)共線。(t x,yi),(x2x1)k(x1 x2 4)

33、0CB/CN , xi)yi (t xi)(yi y2)2x1x2 (t 2)( x1 x2)word20k520k552一2一 (t 2) 4t 0 , t 存在 N(-,0)，使得 C B N 三點(diǎn)共線。5k215k2 122五、 定值問(wèn)題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變中尋求定值的“不變性，一種思路是進(jìn)展一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中量和參變量表示題中所涉與的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果，；另

34、一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值是多少，用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊圖形等先確定出定值，揭開(kāi)神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到 解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉與的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時(shí)有許 多定值問(wèn)題，通過(guò)特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形 式出現(xiàn)，特珠化方法往往比擬奏效。例4、橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，oA OBta (3, 1)共線。1求橢圓的離心率;2設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且OMOA OB (,R),

35、證明22為定值。解析:2設(shè)橢圓方程為各a2 y b21 a>b>0，A(x1,y1),B(x2,y2) , AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),2 x1 2 a2至2a2 幺 b22 y2 b21,兩式相減與y2y11得到x2x1y。b2-3x°,所以直線ON的萬(wàn)向向量為 aON (1, ON/a ,從而得b2目2,即a2探索定值因?yàn)镸是橢圓上任意一點(diǎn)，假如M與A重合，如此OM OA,此時(shí)1,0,證明 a2橢圓方程為x2 3y23b2,又直線方程為y x cy x 3y2c3b24x2 6cx 3 c23b20x13x21 c,2xx2_ 2_2_3c3b32一c482(x2

36、3y；)2222(x2 3y2) 22(Xi X2 3y2 y2) 3bX2,、 r2 ,代入橢圓方程整理得y2wordXX-i又設(shè)Mx, y，如此由OM OA OB 得1yyi3 29 22c c 3c22又x： 3y2 3b2, x； 3y2 3b2,2X1X2 3yi y； 4x1X2 3c(Xi x；) 3c3例5、，橢圓C過(guò)點(diǎn)A(i-),兩個(gè)焦點(diǎn)為一1, 0，1, 0。(1)(2)求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線 為定值，并求出這個(gè)定值。AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF的斜率解析：1由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為11 b294b23 一舍去42所以

37、橢圓方程為x42 y31。2設(shè)直線AE方程為:y k(x 1)-22-(3 4k )x 4k(32k)x4(12_k) 12設(shè) E(XE，yE)，F(xiàn)(XF，yF),因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)在橢圓上, 2所以Xf324(- k)2 1223 4k2Ye又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以一Xf324(; k)2 123 4k2YekXE所以直線EF的斜率KefYfYek(xFxE) 2kXfXeXfXe即直線EF的斜率為定值，其值為 一2word2 X 結(jié)論1.過(guò)橢圓三 a將第二問(wèn)的結(jié)論進(jìn)展如下推廣:22-1(a>0,b> 0)上任一點(diǎn)A(Xo, y0)任意作兩條斜率互為相反

38、數(shù)的直線交橢圓于 b2E、F兩點(diǎn)，如此直線EF的斜率為定值bx0常數(shù)。a V。證明：直線AE的方程為yyok(X X。) ,如此直線AF的方程為y yo k(x Xo),一x y聯(lián)立y y。k(XX。)和不 f 1，消去y可得 a b(a2k2 I b2)X2 I 2a2k(y0 kX0) I a2(y0 kX0)2 a2b2 - 02,2a k(y° kX°) 設(shè) E(x1> yi)> F (x2>Y2)>X1 + % 2. 2I2a k b2, 2- 2, 22, 2 C 2, 2、 a k X0 -2a ky0 b x°a k x0

39、-2a ky0 b %寸二2 22 ,X2= 2 221a2k2 Tb22a2k2-b2由 x, x24a2ky02. 2 . . 2a k by1 -Y2 =k(x1 -X0) -y0 +k(x2 -X0)- y0 =2.4b kx02.21.2a k b則直線EF的斜率為2、，yy2 _ b x0一2-X1 -X2a y2 X結(jié)論2.過(guò)雙曲線彳 a22-1(a >0,b> 0)上任一點(diǎn)A(x0, y0)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓 b2于E、F兩點(diǎn)，如此直線EF的斜率為定值一b2X0-2 a V。常數(shù)。結(jié)論3.過(guò)拋物線y2 2px(p>0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)

40、任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，如此直線 EF的斜率為定值 一衛(wèi)常數(shù)。y。例6、2010 市第一學(xué)期期末質(zhì)檢】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn) F到短軸端點(diǎn)的距離是4,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn) F距離的最大值是6.(I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率 e;(II )假如F為焦點(diǎn)F關(guān)于直線y 3的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足噂) e,問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn) A ,使M 到點(diǎn)A的距離為定值？假如存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)與此定值；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .解析：(I )設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與半焦距分別為a, c,由得worda4,a c 6,解得a4,c 2.v221所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-1.離心率e2

41、1.161242(n)F(0,2), F (0,1)，設(shè) M(x,y),由程,x2 (y 2)2 1x2 (y 1)22化簡(jiǎn)得 3x2 3y2 14y 15 0 ,即 x2 (y 7)2 (2)2 33故存在一個(gè)定點(diǎn) A(0,Z)，使M到A點(diǎn)的距離為定值，其定值為-33x軸上，P(2, 0)為定點(diǎn).例7、【2010師大附中第二次月考】拋物線 C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 (I )假如點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線 C的方程；(n)假如動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)P,且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與y軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線 C,使|AB|為定值？假如存在，求這個(gè)定值；假如不存在，說(shuō)明理由.解析

42、：(I )設(shè)拋物線方程為y2 2 px( p 0),如此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(匕0).由，衛(wèi) 2 ,即p 4 ,22故拋物線C的方程是y2 8x.(n)設(shè)圓心M (a,b) (a 0),點(diǎn)A(0,y1)，B(0,y2).因?yàn)閳AM過(guò)點(diǎn)p(2, 0),如此可設(shè)圓 M的方程 為(x a)2(yb)2 (a2)2 b2. 令x 0,得 y22by 4a 4 0.如此 y1 y2 2b,Vi y2 4a4.所以 |AB|而丁 '(%y2)24y1 y )4b2 16a 16.，設(shè)拋物線C 的方程為y2 mx(m 0),因?yàn)閳A心 M在拋物線C上，如此b2 ma .所以|AB| J4ma 16a 16

43、 J4a(m 4) 16.由此可得，當(dāng)m 4時(shí)，| AB | 4為定值.故存在一條拋物 線y2 4x ,使|AB|為定值4.例8、橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值 為&1 ,離心率為e紅.2I求橢圓E的方程；II過(guò)點(diǎn)1,0作直線f交E于P、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在 x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) M , MP MQ為定值？ 假如存在，求出這個(gè)定點(diǎn) M的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22a c 1-2 1解析：I設(shè)橢圓E的方程為x2 y2 1,由得：屈 。2分 a b-a 2a 五b2 a2 c2 1 橢圓E的方程為x- y2 1。3分c 12n法一：假設(shè)存在符合條件的

44、點(diǎn) M(m,0)MP (x1 m, y1),MQ(x? m,yz),MP MQ2xx2 m(x 1 x2) m y1y2。5 分當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為:2 x由2yk(x1 得 x2 2k2(x 1)2 2 01)(2k21)x22_ 24k x (2kk2(x11)(X2 1)所以mpmq 1A對(duì)于任意的k值，MP所以 M(5,0),MP MQ4word，又設(shè) P(Xi,yi),Q(x 2,y2),如此:(x1m)(x2 m)yy2k(x1),如此4k22) 0 x1 x2 2,x1 x2 2k2 12k xx2 (x1 x2) 14k2m2-2k2 1MQ為定值,2k2 2

45、2T所以k22k2 122mk22k2 1(2m24m22 一1)k (m 2)22k2 124m 1 2(m2),工；11分16當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l: x 1,x 1 x2 2,xx21,y 1y2綜上述知，符合條件的點(diǎn)法二：假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0),M存在，起坐標(biāo)為(5 0) -4，又設(shè) P(x1,y)Q(x 2%),如此:13分MP (x1MP MQ當(dāng)直線2x(x1 m) (x2 m)l的斜率不為0時(shí),y1y2 = x1x2 m(x1設(shè)直線l的方程為"2x2)mx ty 1,m,y 1),MQ (x2 m,y 2)5分ty1 得(t2 2)y2 2ty 1 0 y1 y

46、212tp-2,y1 y21t2 2xx2(ty11) (ty21) t2y1y2t(y1y2) 1222t2 2t2 t2 22t 22t22 tx1x2t(y1 2MP MQ2t2百2t2F4mF22t2 42t22 (m2222)t2 2m24m 1設(shè)MPMQ如此2_ 2_2(m 2)t 2m 4mt2 2t2(m(m22)t2222m 4m 1、2_2)t 2m 4m(t12)02m224m5457M(-,0) 11 分16當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l :y0,MP MQ (、2 5) (2 5)2516由 M(5,0)得:47_16綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為(5 0)4，

47、13分六、定直線問(wèn)題word22例9、設(shè)橢圓C:。與 1(a b 0)過(guò)點(diǎn)M (J2,1),且焦點(diǎn)為Fi( J2,0) a bI求橢圓C的方程；當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q ,滿足AP, QB. AQm PB ,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上解析：(1)由題意：c2 221.一2. 2一一 .一x2V21，解得a24,b22,所求橢圓方程為一工1ab4222, 2cab(2)設(shè)點(diǎn) Q(x, V),A(x,V1), B(x2, V2)，由題設(shè)，PA|,|Pb|,|aQ,|Qb|均不為零。又P,A,Q,B四點(diǎn)共線，可設(shè)PAAq,PB BQ( 0, 1),于是X1x-,V1X212由于A(, V1),B(X2，V2)在橢圓C上，將1，2分別代入C的方程x22y24,整理得(x2 2V2 4) 2 4(2x V 2)14 03(x2 2v2 4) 2 4(2x V 2)14 0(4)