晶格振動的量子化-聲子

1、4.2 晶格振動的量子化聲子晶格振動的量子化聲子一一. 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標二二. 晶格振動的量子化晶格振動的量子化三三. 聲子聲子1簡諧近似和簡正坐標：簡諧近似和簡正坐標： 從經(jīng)典力學的觀點看，晶格振動是一個典型的小振動問題，由于質點間的相互作用，多自由度體系的振動使用使用拉格朗日方程拉格朗日方程處理比上節(jié)中使用的牛頓方程要簡單明了。本節(jié)采用簡正坐標重新處理。（見黃昆書p79-82） N個原子組成的晶體，平衡位置為 ，偏離平衡位置的位移矢量為：0( )( )nnRtRu tnR( )nu t所以原子的位置表示為：勢能在平衡位置展開：只保留只保留 的二次項稱作簡諧近似的二次項稱

2、作簡諧近似。N個原子體系的動能函數(shù) 為： 系統(tǒng)總能量 ，由于勢能項中包含有依賴于兩原子坐標的交叉項，這給理論表述帶來了困難，同時，由于由于 的變化可以是連續(xù)的，所以總能量也是連續(xù)的變化可以是連續(xù)的，所以總能量也是連續(xù)的。這是經(jīng)典力學描述的結果的。這是經(jīng)典力學描述的結果。為使系統(tǒng)的勢能和動能表示更加簡化，現(xiàn)引入簡正坐標：iu23112NiiiduTmdtETViukNijikjiNijijiiNiiuuuuuuVuuuuVuuVVV3133123106121NQQQQQ34321,NjjijiiQaum3132112NiiTQ322112NiiiVQLTViiiLpQQ3222112NiiiiH

3、pQ引入簡正坐標后，使系統(tǒng)的能量表達更為簡潔，沒有了交叉項：系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：哈密頓量：經(jīng)過變換后的哈密頓量經(jīng)過變換后的哈密頓量已經(jīng)不包含交叉項，成為我們所熟知成為我們所熟知的經(jīng)典諧振子哈密頓量之和的經(jīng)典諧振子哈密頓量之和，也就是說在新的坐標系里，系統(tǒng)的原子振動可以被描述成簡諧振子的運動，即用簡正坐標用簡正坐標來描述獨立的簡諧振動。來描述獨立的簡諧振動。20iiiQQ應用正則方程得到：1,2,3,3iNsin()iiQAt任意簡正坐標的解：正則動量：系統(tǒng)振動由系統(tǒng)振動由 3N個獨立的諧振子來表述個獨立的諧振子來表述 晶體中原子間的耦合振動，在簡諧近似下也可以晶體中原子間的耦合振動，在簡諧近

4、似下也可以用用 3nN 個簡正坐標下的諧振子運動來描述。由于簡正個簡正坐標下的諧振子運動來描述。由于簡正坐標坐標 Qi 是各原子位移量的某種線性組合，所以一個簡是各原子位移量的某種線性組合，所以一個簡正振動并不是表示一個原子的振動，而是整個晶體所正振動并不是表示一個原子的振動，而是整個晶體所有原子都參與的運動。有原子都參與的運動。 由簡正坐標所代表的體系中所有原子一起參與的由簡正坐標所代表的體系中所有原子一起參與的共同振動常被稱作晶體的一個共同振動常被稱作晶體的一個振動模振動模。 N個原胞，每個原胞個原胞，每個原胞 n個原子的晶體總共有個原子的晶體總共有 3nN種種振動模?；蛘f可以用振動模。或

5、說可以用3nN種簡諧振子的運動來表述。種簡諧振子的運動來表述。 引入簡正坐標后，我們可以方便地轉入用量子力引入簡正坐標后，我們可以方便地轉入用量子力學的觀點來理解晶格振動問題，這才是最為重要的。學的觀點來理解晶格振動問題，這才是最為重要的。二二. 晶格振動的量子化晶格振動的量子化： 經(jīng)坐標變換后寫出體系經(jīng)典哈密頓量可以直接作為量子力經(jīng)坐標變換后寫出體系經(jīng)典哈密頓量可以直接作為量子力學的出發(fā)點，寫出波動方程：學的出發(fā)點，寫出波動方程：23222123123211(,)(,)2NiiNNiiQQ QQEQ QQQ顯然方程表示一系列相互獨立的簡諧振子，對于其中每一個簡正坐標都有：222221()()

6、2iiiiiiQQQQ諧振子的解是大家熟知的：而系統(tǒng)本征態(tài)的能量為：1()2iiin33111()2NNiiiiiEn通過經(jīng)典力學，我們已經(jīng)獲得晶格振動頻率的表達式。獨立諧振子能量量子化獨立諧振子能量量子化是量子力學的結論。是量子力學的結論。 顯然，一旦找到了簡正坐標，就可以直接過渡到量子理論。每一個簡正坐標，對應一個諧振子方程，波函數(shù)是以簡每一個簡正坐標，對應一個諧振子方程，波函數(shù)是以簡正坐標為宗量的諧振子波函數(shù)，其能量本征值是量子化的正坐標為宗量的諧振子波函數(shù)，其能量本征值是量子化的，所以把量子力學的基本結論應用到晶格振動上才揭示出了晶晶格振動的格振動的最基本的特征。 從量子力學的觀點看，

7、表征原子集體運動的簡諧振子的從量子力學的觀點看，表征原子集體運動的簡諧振子的能量是量子化的，每個振動模式能量的最小單位能量是量子化的，每個振動模式能量的最小單位 被稱為被稱為聲子（聲子（Phonon）。這是晶格振動量子理論最重要的結論。）。這是晶格振動量子理論最重要的結論。 在經(jīng)典理論中，勢能函數(shù)是連續(xù)的，量子理論修正了這在經(jīng)典理論中，勢能函數(shù)是連續(xù)的，量子理論修正了這個錯誤，而保留了經(jīng)典理論中原子振動要用集體運動方式描個錯誤，而保留了經(jīng)典理論中原子振動要用集體運動方式描述的觀點，因而按經(jīng)典力學求出的色散關系是正確的，量子述的觀點，因而按經(jīng)典力學求出的色散關系是正確的，量子理論并沒有改變其結論

8、，只是對各模式振幅的取值做了量子理論并沒有改變其結論，只是對各模式振幅的取值做了量子化的規(guī)定?；囊?guī)定。j 聲子概念引入后給我們處理具有強相聲子概念引入后給我們處理具有強相互作用的原子集體晶體帶來了極大方互作用的原子集體晶體帶來了極大方便，而且生動地反映了晶格振動能量量子便，而且生動地反映了晶格振動能量量子化的特點。這種高度抽象化出概念是固體化的特點。這種高度抽象化出概念是固體物理的一大特征，他們被稱作物理的一大特征，他們被稱作元激發(fā)元激發(fā)， Elementary excitation 聲子是固體中最重要的元激發(fā)。聲子是固體中最重要的元激發(fā)。三三. 聲子：聲子： 聲子是晶格振動的能量量子聲子是

9、晶格振動的能量量子 。 聲子具有能量 ，也具有準動量 ，它的行為類似 于電子或光子，具有粒子的性質。但聲子與電子或光子是 有本質區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運動狀態(tài)的激聲子只是反映晶體原子集體運動狀態(tài)的激 發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨存在，它并不是一種真實發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨存在，它并不是一種真實 的粒子。的粒子。我們將這種具有粒子性質，但又不是真實物理實 體的概念稱為準粒子。所以，聲子是一種準粒子。聲子是一種準粒子。 而光子是一種真實粒子，它可以在真空中存在。 一種格波即一種振動模式稱為一種聲子一種格波即一種振動模式稱為一種聲子，對于由N個原子 組成的三維晶體，有 3N 種格波，

10、即有 3N種聲子。當一種 振動模式處于其能量本征態(tài)時，稱這種振動模有nj 個聲子。iiqi 當電子或光子與晶格振動相互作用時，總是以 為單 元交換能量，若電子交給晶格 的能量，稱為發(fā)射 一 個聲子；若電子從晶格獲得 的能量，則稱為吸收一 個聲子。 聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光子） 相互作用時，聲子數(shù)目并不守恒。聲子可以產生，也可以 湮滅。其作用過程遵從能量守恒和準動量守恒其作用過程遵從能量守恒和準動量守恒。 對于由N個原子組成的晶體，有3N個振動模式，即有3N種 不同的聲子。因此，晶格振動的總能量為：i3Niij=112Enii 引入聲子概念后，對于由強相互作用的原子的集體運

11、動狀態(tài)晶格振動的每一個格波，便可看作是由數(shù)目為 能量為 的理想聲子組成，而整個系統(tǒng)則是由眾多聲子組成的聲子氣體。引入聲子的概念不僅能生動地反映出晶格振動能引入聲子的概念不僅能生動地反映出晶格振動能量量子化的特點，而且在處理與晶格振動有關的問題時，可量量子化的特點，而且在處理與晶格振動有關的問題時，可以更加方便和形象。以更加方便和形象。 例如：處理晶格振動對電子的散射時，便可以當作電子與聲子的碰撞來處理。聲子的能量是 ，動量是 。 又例如：熱傳導可以看成是聲子的擴散；熱阻是由于聲熱傳導可以看成是聲子的擴散；熱阻是由于聲子被散射等等。子被散射等等。使許多復雜的物理問題變得如此形象和便于處理是引入聲

12、子概念的最大好處。 iniiq 但它的動量不是真實動量，因為當波矢增加一個倒格矢量時，不會引起聲子頻率和原子位移的改變。( )()hqqG即從物理上看，他們是等價的，這是晶體結構周期性的反映。但在處理聲子同聲子、聲子同其它粒子之間的相互作用時， 又具有一定的動量性質，所以叫做“準動量”。q 聲子氣體不受 Pauli 原理的限制，粒子數(shù)目不守恒，故屬于波色子系統(tǒng)，服從 Bose-Einstein 統(tǒng)計，當系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)時，頻率為i 的格波的平均聲子數(shù)由波色統(tǒng)計給出：1121,iBiBik Tiiik TiBiBneek Tk T 其平均能量：公式第一項是T=0K時的零點能。電子電子聲子對比聲子對比+晶體中原子的熱運動晶體中原子的熱運動使用牛頓力學處理在簡諧近似下，在簡諧近似下，任何運動都可以任何運動都可以看成是看成是3nN種簡種簡諧平面波的線性諧平面波的線性疊加。疊加。使用拉格朗日方程處理在簡諧近似下，原在簡諧近似下，原子間的耦合運動也子間的耦合運動也可以