數(shù)學(xué)建模競賽案例選講95、98A

1、飛行管理問題（飛行管理問題（1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題 A） 問題：在約問題：在約10000米高空的正方形區(qū)域內(nèi)，有若干架飛機(jī)作水平飛米高空的正方形區(qū)域內(nèi)，有若干架飛機(jī)作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄數(shù)據(jù)，以便行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理，當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄進(jìn)行飛行管理，當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判別是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判別是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新

2、進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞。向角，以避免碰撞。 假定條件假定條件: 1.不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)是任意兩架飛機(jī)的距離大于不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)是任意兩架飛機(jī)的距離大于8km； 2.飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過30度，而要盡可能?。欢?，而要盡可能?。?3.所有飛機(jī)的飛行速度為所有飛機(jī)的飛行速度為800km/h，不受其他因素影響；，不受其他因素影響； 4.進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)邊緣時(shí)，與該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)在進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)邊緣時(shí)，與該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)在 60km以上；以上； 5.不考慮飛機(jī)離開區(qū)域后的情況；

3、不考慮飛機(jī)離開區(qū)域后的情況； 6.建模時(shí)暫考慮建模時(shí)暫考慮6架飛機(jī)；架飛機(jī)； 問題的提出：問題的提出： 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差不超過步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差不超過0.01度），要求飛度），要求飛機(jī)的方向角調(diào)整的幅度盡量小。機(jī)的方向角調(diào)整的幅度盡量小。 設(shè)該區(qū)域設(shè)該區(qū)域4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0),(160，0),(160，160),(0，160），），記錄數(shù)據(jù)如下表（其中方向角指飛行方向與記錄數(shù)據(jù)如下表（其中方向角指飛行方向與x軸正向夾角軸正向夾角)

4、飛機(jī)編號(hào)飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)y方向角度方向角度1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入新進(jìn)入0052問題分析問題分析 根據(jù)題目的條件，可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面根據(jù)題目的條件，可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面 xoy中的中的一個(gè)正方形，頂點(diǎn)在一個(gè)正方形，頂點(diǎn)在(0，0),(160，0),(160，160),(0，160）。各架飛）。各架飛機(jī)的飛行方向角為飛行方向與機(jī)的飛行方向角為飛行方向與x軸正向夾角（轉(zhuǎn)角）。根據(jù)兩飛機(jī)軸正向夾角（轉(zhuǎn)角）。根據(jù)兩飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8km，可將每

5、架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)，可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)為圓心、以為圓心、以4為半徑的圓狀物體（每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心為半徑的圓狀物體（每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定）。這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為的位置矢量和飛行速度矢量確定）。這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)動(dòng)中是否相交的問題。兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)兩圓在運(yùn)動(dòng)中是否相交的問題。兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即可。運(yùn)動(dòng)即可。CABDnimilijijijijijvijij建模時(shí)補(bǔ)充假定條件建模時(shí)補(bǔ)充假定條件: 1.飛機(jī)在所定區(qū)域內(nèi)作直線飛行，不偏離航向；飛機(jī)在所定區(qū)域內(nèi)作直線飛行，不偏離航向； 2.飛機(jī)管理

6、系統(tǒng)內(nèi)不發(fā)生意外，如發(fā)動(dòng)機(jī)失靈，或其他意外原因迫飛機(jī)管理系統(tǒng)內(nèi)不發(fā)生意外，如發(fā)動(dòng)機(jī)失靈，或其他意外原因迫 使飛機(jī)改變航向；使飛機(jī)改變航向； 4.飛機(jī)管理系統(tǒng)發(fā)出的指令應(yīng)被飛機(jī)立即執(zhí)行，即認(rèn)為轉(zhuǎn)向是瞬間飛機(jī)管理系統(tǒng)發(fā)出的指令應(yīng)被飛機(jī)立即執(zhí)行，即認(rèn)為轉(zhuǎn)向是瞬間 完成的（忽略飛機(jī)轉(zhuǎn)向的影響，即轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響）；完成的（忽略飛機(jī)轉(zhuǎn)向的影響，即轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響）； 3.飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí)，立即作出計(jì)算，每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí)，立即作出計(jì)算，每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角改變；示立即作方向角改變；5.每架飛機(jī)在在整個(gè)過程中指點(diǎn)改變一次方向每架飛機(jī)在在整個(gè)過程中指點(diǎn)

7、改變一次方向6.新飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域時(shí)，已在區(qū)域內(nèi)部的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)整合適，新飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域時(shí)，已在區(qū)域內(nèi)部的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)整合適，不會(huì)碰撞；不會(huì)碰撞；7.對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。模型的建立模型的建立（1）圓狀模型）圓狀模型ABDnimilijijijijijvijij采用相對(duì)采用相對(duì)速度作為速度作為研究對(duì)象研究對(duì)象符號(hào)說明：符號(hào)說明：i,j第第i，第，第j架飛機(jī)的圓心；架飛機(jī)的圓心；ij第第i，第，第j架飛機(jī)的碰撞架飛機(jī)的碰撞角，角， ij= ji ;vij第第i架飛機(jī)相對(duì)第架飛機(jī)相對(duì)第j架飛架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度機(jī)的相對(duì)

8、飛行速度 ;lij第第i，第，第j架飛機(jī)的圓心距架飛機(jī)的圓心距i第第i架飛機(jī)的飛行方向與架飛機(jī)的飛行方向與x軸正向夾角（逆時(shí)針為正）軸正向夾角（逆時(shí)針為正）xi第第i架飛機(jī)的位置矢量架飛機(jī)的位置矢量vi第第i架飛機(jī)的的速度矢量架飛機(jī)的的速度矢量ij第第i飛機(jī)對(duì)第飛機(jī)對(duì)第j架飛機(jī)的架飛機(jī)的相對(duì)速度與兩架飛機(jī)圓心連相對(duì)速度與兩架飛機(jī)圓心連線的夾角（逆時(shí)針為正）線的夾角（逆時(shí)針為正）不碰撞不碰撞|ij|ij(2)由圓狀模型導(dǎo)出的方程由圓狀模型導(dǎo)出的方程討論討論ij的改變量與第的改變量與第i第第j兩架飛機(jī)飛行方向角改變量兩架飛機(jī)飛行方向角改變量i, j的關(guān)系的關(guān)系由題目條件知由題目條件知|vi|=A=

9、800，可用復(fù)數(shù)表示速度，可用復(fù)數(shù)表示速度iiiAev設(shè)第設(shè)第i，j飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別為飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別為jiijiiAevAev11,改變后的速度分別為改變后的速度分別為)(2)(2,jjiiijiiAevAev改變前后相對(duì)速度分別為改變前后相對(duì)速度分別為)()()()(222111jjiijiiijiijiijiijeeAvvveeAvvv兩者之商的幅角就是兩者之商的幅角就是ijjjiijjjjiiiiiiiiijijiiiieeAeeAvvjijjiisincossincos)sin()cos()sin()cos()()()(122sin(sincos)2222si

10、n(sincos)222iijjiijjiijjijijijii 22sin22sin2ijiijjiije 2jiij定理：對(duì)第定理：對(duì)第i，第，第j兩架飛機(jī)，其相對(duì)速度方向兩架飛機(jī)，其相對(duì)速度方向ij的改變量的改變量ij等于等于兩飛機(jī)飛行方向角改變量之和的一半，即兩飛機(jī)飛行方向角改變量之和的一半，即2jiij模型模型目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：|)|min(max|min61iii或Min其中其中為各飛機(jī)方向角調(diào)整量的最大值為各飛機(jī)方向角調(diào)整量的最大值或?yàn)榛驗(yàn)榧s束條件：約束條件：調(diào)整方向角時(shí)不能超過調(diào)整方向角時(shí)不能超過300：6 , 2 , 1,30|ii調(diào)整飛行方向后飛機(jī)不能碰撞：調(diào)整飛行方向后

11、飛機(jī)不能碰撞：ijjiij|2|模型為模型為 6 , 2 , 1,30|, 6 , 2 , 1.,| )(21|. .|min61ijijitsiijjiijii或?yàn)榛驗(yàn)?6 , 2 , 1,30|30|, 6 , 2 , 1.,| )(21|. .minijijitsiiijjiij化為線性規(guī)劃模型化為線性規(guī)劃模型時(shí)當(dāng)0ijijijijijijij|時(shí)當(dāng)0ijijijijijijij|由于由于i可正可負(fù)，為使各變量均非負(fù)，引入新變量：可正可負(fù)，為使各變量均非負(fù)，引入新變量：2121,iiiii使模型模型化為化為0,303030220220. .min212121212121212121iii

12、iiiiiiiijijjjiiijijijjjiiijts時(shí)，時(shí)，模型求解模型求解ij的計(jì)算的計(jì)算)|8arcsin(jiijxx model:sets:plane/1.6/:x0,y0;link(plane,plane):alpha,sin2;endsetsfor(link(i,j)|i#ne#j:sin2(i,j)=64/(x0(i)-x0(j)2+(y0(i)-y0(j)2););for(link(i,j)|i#ne#j:(sin(alpha*3.14159265/180.0)2=sin2;);data:x0=150,85,150,145,130,0;y0=140,85,155,50,1

13、50,0;enddataendALPHA( 1, 1) 1.234568 ALPHA( 1, 2) 5.391190 ALPHA( 1, 3) 752.2310 ALPHA( 1, 4) 5.091816 ALPHA( 1, 5) 2000.963 ALPHA( 1, 6) 2.234507 ALPHA( 2, 1) 5.391190 ALPHA( 2, 2) 1.234568 ALPHA( 2, 3) 4.804024 ALPHA( 2, 4) 6.613460 ALPHA( 2, 5) 5.807866 ALPHA( 2, 6) 3.815925 ALPHA( 3, 1) 752.2310

14、 ALPHA( 3, 2) 4.804024 ALPHA( 3, 3) 1.234568 ALPHA( 3, 4) 4.364672 ALPHA( 3, 5) 1102.834 ALPHA( 3, 6) 2.125539 ALPHA( 4, 1) 5.091816ALPHA( 4, 2) 6.613460 ALPHA( 4, 3) 4.364672 ALPHA( 4, 4) 1.234568 ALPHA( 4, 5) 4.537692 ALPHA( 4, 6) 2.989819 ALPHA( 5, 1) 2000.963 ALPHA( 5, 2) 5.807866 ALPHA( 5, 3) 1

15、102.834 ALPHA( 5, 4) 4.537692 ALPHA( 5, 5) 1.234568 ALPHA( 5, 6) 2.309841 ALPHA( 6, 1) 2.234507 ALPHA( 6, 2) 3.815925 ALPHA( 6, 3) 2.125539 ALPHA( 6, 4) 2.989819 ALPHA( 6, 5) 2.309841 ALPHA( 6, 6) 1.234568ijJ=123456i=10.0000005.39119032.2309535.09181620.9633612.23450725.3911900.0000004.8040246.61346

16、05.8078663.815925332.2309534.8040240.0000004.36467222.8336542.12553945.0918166.6134604.3646720.0000004.5376922.989819520.9633615.80786622.8336544.5376920.0000002.30984162.2345073.8159252.1255392.9898192.3098410.000000整理可得整理可得ij的值（單位角度）的值（單位角度）也可以用也可以用MATLAB計(jì)算計(jì)算ij的值的值x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,1

17、55,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*asin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2); end endendalpha計(jì)算計(jì)算ij的值程的值程序?yàn)樾驗(yàn)橛?jì)算結(jié)果為計(jì)算結(jié)果為 0 5.391190237223 5.391190237223 032.230952672331 4.804023933797 5.091816448550 6.61346048987220.963360893128

18、 5.807866243421 2.234506736995 3.81592477539932.230952672331 5.091816448550 4.804023933798 6.613460489872 0 4.364671899111 4.364671899111 0 22.833654204009 4.537692462402 2.125538857551 2.98981913904520.963360893128 2.234506736995 5.807866243421 3.815924775399 22.833654204009 2.125538857551 4.537692

19、462403 2.989819139045 0 2.309841365405 2.309841365405 0ij的計(jì)算的計(jì)算:)()(ijjiijxxangvvanga=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita用用matlab程序編寫程序編寫beita =

20、 0 109.2636 -128.2500 24.1798 -186.9349 14.4749 109.2636 0 -88.8711 -42.2436 -92.3048 9.0000 231.7500 271.1289 0 12.4763 301.2138 0.3108 24.1798 -42.2436 12.4763 0 5.9692 -3.5256 173.0651 267.6952 -58.7862 5.9692 0 1.9144 14.4749 9.0000 0.3108 -3.5256 1.9144 0運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果最優(yōu)解的計(jì)算最優(yōu)解的計(jì)算用用LINGO求解求解程序如下程序如下m

21、odel:sets:plane/1.6/:cita;link(plane,plane):alpha,beta;endsetsmin=sum(plane:abs(cita);for(plane(i): bnd(-30,cita(i),30); );for(link(i,j)|i#ne#j: abs(beta(i,j)+0.5*cita(i)+0.5*cita(j) alpha(i,j); );data:alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507, 5.391190,0.000000,4.8040024,6.81346

22、0,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819, 20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051

23、13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.0000

24、00;enddataend用用MATLAB計(jì)算編程如下計(jì)算編程如下function f,g=plane(x)alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,

25、22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563

26、 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)= alpha(1,2) -abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2);g(2)= alpha(1,3) -abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+

27、0.5*x(3);g(3)= alpha(1,4) -abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)= alpha(1,5) -abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)= alpha(2,3) -abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)= alpha(2,4) -abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)= alpha(2,5) -abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+

28、0.5*x(5);g(9)= alpha(2,6) -abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)= alpha(3,4) -abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)= alpha(3,5) -abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)= alpha(3,6) -abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)= alpha(4,5) -abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)= alpha(4,6) -abs(beta(4,6)+0.5*

29、x(4)+0.5*x(6);g(15)= alpha(5,6) -abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);執(zhí)行程序執(zhí)行程序x0=0,0,0,0,0,0; v1=-30*ones(1,6); v2=30*ones(1,6);opt=;x= constr(plane,x0,opt,v1,v2)結(jié)果：結(jié)果：x = -0.00000576637983 -0.00000576637983 2.58794980234726 -0.00001243487985 0.00003620473095 1.04151019765274最優(yōu)解：最優(yōu)解：o654o3211.041500,2.58

30、790, 0模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)各飛行方向按此方案調(diào)整后，系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足各飛行方向按此方案調(diào)整后，系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足|ij+( I+ j)/2|ij ,結(jié)果是正確的。結(jié)果是正確的。模型的評(píng)價(jià)與推廣模型的評(píng)價(jià)與推廣（1）此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的，同時(shí)采用相對(duì)）此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的，同時(shí)采用相對(duì)速度作為判別標(biāo)準(zhǔn)，既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)），又簡化了速度作為判別標(biāo)準(zhǔn)，既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)），又簡化了模型的計(jì)算；模型的計(jì)算；（2）建模中用了適當(dāng)?shù)暮喕?，將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題簡）建模中用了適當(dāng)?shù)暮喕瑢⒁粋€(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題，既求到合理

31、的解，又提高了運(yùn)算速度，這對(duì)化為線性規(guī)劃問題，既求到合理的解，又提高了運(yùn)算速度，這對(duì)解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。（3）由對(duì)稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是）由對(duì)稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是 （n是飛機(jī)數(shù)），所有約是飛機(jī)數(shù)），所有約束條件數(shù)是束條件數(shù)是 ，計(jì)算量增加不大。，計(jì)算量增加不大。2nC2)7(42nnnCn問題的提出：問題的提出： 市場上有市場上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、種資產(chǎn)（如股票、債券、）Si ( i=1,n) 供投資者供投資者選擇，某公

32、司有數(shù)額為選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購買期內(nèi)購買Si的平均收益率為的平均收益率為 ，并預(yù)測出購買，并預(yù)測出購買Si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為的風(fēng)險(xiǎn)損失率為 ?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。 購買購買Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為

33、要付交易費(fèi)，費(fèi)率為 ，并且當(dāng)購買額不超過給定值，并且當(dāng)購買額不超過給定值 時(shí)，時(shí)，交易費(fèi)按購買交易費(fèi)按購買 計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是存款利率是 , 且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（ =5%）1. 已知已知n = 4時(shí)的相關(guān)數(shù)時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：據(jù)如下：Siri(%) qi(%)pi(%)ui(元元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購買若干種金，有選擇

34、地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。險(xiǎn)盡可能小。 2.試就一般情試就一般情況對(duì)以上問題況對(duì)以上問題進(jìn)行討論，并進(jìn)行討論，并利用以下數(shù)據(jù)利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。進(jìn)行計(jì)算。 Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7685.6178S831.233.43.1220S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.11

35、95S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131假定條件假定條件: 1.題中所給利率均為一年，投資期為一年。題中所給利率均為一年，投資期為一年。2.公司的資金足夠多，且全部用于投資或存入銀行。公司的資金足夠多，且全部用于投資或存入銀行。3.投資期內(nèi)不再做其他交易，利潤僅在期末實(shí)現(xiàn)。投資期內(nèi)不再做其他交易，利潤僅在期末實(shí)現(xiàn)。4.風(fēng)險(xiǎn)損失率指投資到期后，如果風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生，損失額占投資額的百風(fēng)險(xiǎn)損失率指投資到期后，如果風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生，損失額占投資額的百分比。分比。5.對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)的概率與收益的波動(dòng)，在本模型中不予考慮。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)的概率與收益的波

36、動(dòng)，在本模型中不予考慮。6.總體的風(fēng)險(xiǎn)用最大的風(fēng)險(xiǎn)來衡量。總體的風(fēng)險(xiǎn)用最大的風(fēng)險(xiǎn)來衡量。7.當(dāng)購買額不超過給定值當(dāng)購買額不超過給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購買時(shí)，交易費(fèi)按購買ui計(jì)算。計(jì)算。符號(hào)說明符號(hào)說明: M：投資總額：投資總額Xi：對(duì)第：對(duì)第i種投資項(xiàng)目的投資（不含交易費(fèi)）占總投資額的比例種投資項(xiàng)目的投資（不含交易費(fèi)）占總投資額的比例Q：總體風(fēng)險(xiǎn)：總體風(fēng)險(xiǎn)ri：對(duì)第：對(duì)第i種投資項(xiàng)目的平均收益率種投資項(xiàng)目的平均收益率qi：對(duì)第：對(duì)第i種投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)損失率種投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)損失率pi：對(duì)第：對(duì)第i種投資項(xiàng)目的交易費(fèi)率種投資項(xiàng)目的交易費(fèi)率ui：對(duì)第：對(duì)第i種投資項(xiàng)目的交易費(fèi)應(yīng)付最小計(jì)算額種投資項(xiàng)目

37、的交易費(fèi)應(yīng)付最小計(jì)算額ei：對(duì)第：對(duì)第i種投資項(xiàng)目的交易費(fèi)種投資項(xiàng)目的交易費(fèi)：樂觀度常數(shù)：樂觀度常數(shù)模型的建立模型的建立: 考慮兩個(gè)主要問題：考慮兩個(gè)主要問題：1.投資所獲得的總收益盡量大投資所獲得的總收益盡量大2.投資所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)盡量小投資所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)盡量小不考慮收益波動(dòng)不考慮收益波動(dòng)用用xiri度量收益度量收益不考慮出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的概率不考慮出現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的概率以當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)的損失以當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)的損失xiqi度量風(fēng)險(xiǎn)度量風(fēng)險(xiǎn)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: iiiiiiiiiiiiiniiiniiiniuxxpuMxupxenixMeMxtsMqxMaxMinMrMxMaxM M0 0 0 , 2 , 1 , 0

38、0 )( . .)( )1 ( 010其中這是一個(gè)多目標(biāo)非線性規(guī)劃這是一個(gè)多目標(biāo)非線性規(guī)劃求解困難，需要簡化求解困難，需要簡化化為單目標(biāo)規(guī)劃化為單目標(biāo)規(guī)劃化為線性規(guī)劃化為線性規(guī)劃化為單目標(biāo)規(guī)劃：化為單目標(biāo)規(guī)劃：若有若有m個(gè)目標(biāo)個(gè)目標(biāo)fi(x)，分別給以權(quán)系數(shù)，分別給以權(quán)系數(shù)i(i=1,2, ,m),然后作新目標(biāo)函然后作新目標(biāo)函數(shù)（也稱效用函數(shù)）數(shù)（也稱效用函數(shù)）)()(1xfxUiimi本問題本問題)()1 ()1 ()(10iiniiiniMqxMaxMrMxxU樂觀程度)()1 ()1 (10iiniiiniMqxMaxMrMxMax將非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃規(guī)劃：將非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為線性規(guī)

39、劃規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)線性化：目標(biāo)函數(shù)線性化：令令加入約束加入約束)1 ()1 (0MQMrMxMaxiini,1,2,iiQx q in1()iii nQMax x q 約束條件線性化：約束條件線性化：當(dāng)投資額相當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為當(dāng)投資額相當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為xiui，iiiMpxe 由于由于M是常數(shù)，可以從目標(biāo)函數(shù)中去除是常數(shù)，可以從目標(biāo)函數(shù)中去除線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型0, 0 , 2 , 1, 0 )1 (M . .)1 ()1 (100iiiiiniiinixQniQxqMpMxxtsMQrMxMax即即0, 0 , 2 , 1, 0 1)1 ( . .)1 ()1 (100iiiiiniiin

40、ixQniQxqpxxtsQrxMax模型求解模型求解用用MATLAB求解求解計(jì)算線性規(guī)劃時(shí)用命令計(jì)算線性規(guī)劃時(shí)用命令:y=lp(C,A,b,v1,v2,x0,n)10100111110nnqqPPpAfunction x=tzyh(S,a)m=length(a);n=length(S(:,1);h=1;v1=zeros(n+1,1);x0=eye(1,n+1);b=eye(n,1);for i=1:m for j=1:n C(j)=-a(i)*(1+S(j,1); end C(n+1)=1-a(i); D=ones(1,n)+S(:,3); D=D,0; K=S(2:n,2:2);F=dia

41、g(K); H=zeros(n-1,1),F,-ones(n-1,1); A=D;H; y=lp(C,A,b,v1,x0,h); x(1,i)=a(i); for j=1:n+1 x(1+j,i)=y(j); endendx, z=S(:,1:1)*x(2:n+1,:)for i=1:mfor j=1:n Q(j,i)=x(j+1,i)*S(j,2);endendQ；f=x(n+2:n+2,:)；plot(f,z,b*)；建立函數(shù)建立函數(shù)M文件文件tzyh如下：如下：其中其中S是由收是由收益率，風(fēng)險(xiǎn)益率，風(fēng)險(xiǎn)損失率，交損失率，交易費(fèi)率構(gòu)成易費(fèi)率構(gòu)成的矩陣，的矩陣，a是是樂觀程度參樂觀程度參數(shù)數(shù)

42、組。數(shù)數(shù)組。10100111110nnqqPPpAS=0.05,0.28,0.21,0.23,0.25;0,0.025,0.015,0.055,0.0260,0.01,0.02,0.045,0.065S=S問題問題1）的運(yùn)算結(jié)果：）的運(yùn)算結(jié)果：S = 0.0500 0 0 0.2800 0.0250 0.0100 0.2100 0.0150 0.0200 0.2300 0.0550 0.0450 0.2500 0.0260 0.0650 a=0:0.1:1a=0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0

43、000運(yùn)行運(yùn)行tzyh(S,a)得得a0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S01.00000000000000S100.23760.36900.99010.99010.99010.99010.99010.99010.99010.9901S200.39600.615000000000S300.1080000000000S400.2284000000000凈收益0.050.23160.23250.27720.27720.27720.27720.27720.27720.27720.2772風(fēng)險(xiǎn)00.00590.00920.02480.02480.02480.02480.

44、02480.02480.02480.0248最優(yōu)解、收益、及最大風(fēng)險(xiǎn)情況最優(yōu)解、收益、及最大風(fēng)險(xiǎn)情況a0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S000000000000S100.00590.00920.02480.02480.02480.02480.02480.02480.02480.0248S200.00590.009200000000S300.0059000000000S400.0059000000000風(fēng)險(xiǎn)00.00590.00920.02480.02480.02480.02480.02480.02480.02480.0248在最優(yōu)解處各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)情況在最優(yōu)解

45、處各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)情況對(duì)于固定的對(duì)于固定的a，最優(yōu)投資方案中各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)相同，最優(yōu)投資方案中各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)相同又如：對(duì)又如：對(duì)a=0.077，x = 0.0000 0.2376 0.3960 0.1080 0.2284收益：收益：0.2316風(fēng)險(xiǎn)：風(fēng)險(xiǎn)： 0.0059問題問題2）的求解：）的求解： a=0:0.1:1a=0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.70000.8000 0.9000 1.0000S=0.05,0.096,0.185,0.494,0.239,0.081,0.14,0.407,0.312,0.336,0.368,0.1

46、18,0.09,0.35,0.094,0.15 0,0.42,0.54,0.60,0.42,0.012,0.39,0.68,0.334,0.533,0.40,0.31,0.055,0.46,0.053,0.23 0,0.021,0.032,0.060,0.015,0.076,0.034,0.056,0.031,0.027,0.029,0.051,0.057,0.027,0.045,0.076S=S運(yùn)行運(yùn)行tzyh(S,a)得得運(yùn)行運(yùn)行tzyh(S,a)得得S = 0.0500 0 0 0.0960 0.4200 0.0210 0.1850 0.5400 0.0320 0.4940 0.6000

47、 0.0600 0.2390 0.4200 0.0150 0.0810 0.0120 0.0760 0.1400 0.3900 0.0340 0.4070 0.6800 0.0560 0.3120 0.3340 0.0310 0.3360 0.5330 0.0270 0.3680 0.4000 0.0290 0.1180 0.3100 0.0510 0.0900 0.0550 0.0570 0.3500 0.4600 0.0270 0.0940 0.0530 0.0450 0.1500 0.2300 0.0760a0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S01.000

48、1.000000000000S1000.087400000000S2000.068000000000S3000.06120.10710.10710.12690.12690.16580.20510.94340.9434S4000.08740.15310.1531000000S500000000000S6000.094200000000S7000.05400.09450.09450.11190.11190.14630.1810 00S8000.11000.19250.19250.22790.22790000S9000.06890.12060.12060.14280.14280.1867000S10

49、000.09180.16070.16070.19030.19030.24870.307700S1100000000000S1200000000000S13000.07980.13980.13980.16550.16550.21630.267600S1400000000000S15000.159700000000收益0.0500.0500.25040.33660.33660.35520.35520.37140.38190.46600.4660風(fēng)險(xiǎn)000.03670.06430.06430.07610.07610.09950.12310.56600.5660a0.00.10.20.30.40.50

50、.60.70.80.91.0S000000000000S1000.036700000000S2000.036700000000S3000.03670.06430.06430.07610.07610.09950.12310.56600.5660S4000.03670.06430.0643000000S500000000000S6000.036700000000S7000.03670.06430.06430.07610.07610.09950.123100S8000.03670.06430.06430.07610.07610000S9000.03670.06430.06430.07610.0761

51、0.0995000S10000.03670.06430.06430.07610.07610.09950.123100S1100000000000S1200000000000S13000.03670.06430.06430.07610.07610.09950.123100S1400000000000S15000.036700000000風(fēng)險(xiǎn)000.03670.06430.06430.07610.07610.09950.12310.56600.5660各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)情況：各項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)情況：數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析通過上述數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)如下特點(diǎn)：通過上述數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)如下特點(diǎn)：（1）定理：）定理： 如果一個(gè)投資方案是所謂的最優(yōu)非劣解，則各項(xiàng)投資如果一個(gè)投資方案是所謂的最優(yōu)非劣解，則各項(xiàng)投資所冒的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)基本相等，即所冒的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)基本相等，即njiqxqxjjii, 2 , 1, 引理：引理：在大資金的前提下，在大資金的前提下，ui的問題可近似不考慮。的問題可近似不考慮。定理的定理的證明：證明：用反證法。假設(shè)在最優(yōu)方案用反證法。假設(shè)在最優(yōu)方案x1,x2, ,xn中中,有有x1q1x2q2情況。故情況。故x1q1 x2q2。可將兩種方案推廣到多種方?？蓪煞N方