第三節(jié)-高階導(dǎo)數(shù)

1、二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階導(dǎo)數(shù) 第二章 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運(yùn)動機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)

2、 , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精確定義精確定義:設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo),如果極限xxfxxfx)()(lim0存在,則稱這個極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè).,e2yxyx 求解解:)e(2xxyxxe)(2xxxye)2(2 )e)(2(2xxxxx e)22( )e (2xx例例45.xxxe )2(2. )42(e2xxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxe2xx e2xxx)e2(2設(shè).),1ln(2yxy 求解解: )1ln(2xy211x)12(

3、2 xxy2222) 1() 1(2) 1()2(xxxxx222) 1(22) 1(2xxxx)1 (2x例例46.) 1() 1(2222xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,122xx設(shè). )(,)(),()()(2afxxaxxf 求連續(xù)且解解:所以因?yàn)?0)(afaxafxfafax)()(lim)( )(afaxxaxax)()(lim2例例47.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(limxaxax,0axafxfax)()(limaxxaxxaxax)()()()(2lim2)()()(2limxaxxax. )(2a設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:

4、1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例48.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)1 (nx,3xaeay 例例49. 設(shè)求解解:特別有:解解:!n思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例50. 設(shè),11xy求.)(ny,)1 (12xy,)1 (123xy ,)1 (321) 1(43xy )(ny1) 1(n,11xy)(ny2)1 (1xy1)1 (!nxn3)

5、1 (21xy ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1 ( 解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:例例51. 設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例52 設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2

6、n)2n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：例注意：例48、49、50、51、52可以當(dāng)做結(jié)論使用可以當(dāng)做結(jié)論使用.例例53 設(shè)bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求為常數(shù) , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí). 設(shè),3)(23x

7、xxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(

8、kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例54. .,11)(nyxxy求設(shè)xxy13練習(xí)解解: 解解: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 321131xy)()(321131nnx

9、y例例55. )0(,321)(nyxy求設(shè)解解: 由例由例50及及n階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 311)321 (!) 1(31nnxn)(3211nx.)32(n1)(3!2) 1()0(nnnnny于是) 1)(2(1xxy)()(1121nnxxy例例56. )0(,231)(2nyxxy求設(shè)解: 因?yàn)闄C(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(21nx1)2(!) 1(nnxn)(11nx) 1(1)2(1xx1) 1(!) 1(nnxn. ) 1(1)2(1 !) 1(11nnnxxn故._)0(,3212007)(nyxy則設(shè)函數(shù)年

10、)()()()(321131321131321nnnnxxxy解nnnxn)32()321(!)1(311.3!2) 1()32(1!) 1(31)0(1)(nnnnnnnny故例57 設(shè),22xexy 求.)20(y解解: 設(shè),22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .,cossin58)(66nyxxy求設(shè)例3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossin

11、sin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn練習(xí)練習(xí) 設(shè),arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茲公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2()

12、 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)( !nxfn2. (填空題) (1) 設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各項(xiàng)均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意階可導(dǎo), 且2n時)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè))(sin2xfx