《數(shù)學(xué)史》周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》(課堂PPT)課件

1、1日照東方日照東方古代與中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)古代與中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)一、中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)一、中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)二、印度數(shù)學(xué)二、印度數(shù)學(xué)三、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)三、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學(xué)交流四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學(xué)交流2第三章第三章 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué) 希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個(gè)中世紀(jì)希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個(gè)中世紀(jì)的歐洲湮沒不彰。數(shù)學(xué)史上繼希臘幾何興盛時(shí)期之后是一個(gè)漫長的歐洲湮沒不彰。數(shù)學(xué)史上繼希臘幾何興盛時(shí)期之后是一個(gè)漫長的東方時(shí)期。中世紀(jì)（公元的東方時(shí)期。中世紀(jì)（公元5-17世紀(jì)）數(shù)學(xué)的主角，是中國、印度世紀(jì)）數(shù)學(xué)的主角，是中國、印度與阿拉伯

2、地區(qū)的數(shù)學(xué)。與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。 與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，特別是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的數(shù)學(xué)推特別是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。導(dǎo)。 就繁榮時(shí)期而言，中國數(shù)學(xué)在上述三個(gè)地區(qū)是延續(xù)最長的。就繁榮時(shí)期而言，中國數(shù)學(xué)在上述三個(gè)地區(qū)是延續(xù)最長的。從公元前后至公元從公元前后至公元14世紀(jì)，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)世紀(jì)，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期以及宋元時(shí)期，其中宋元時(shí)期達(dá)到了中國古期、魏晉南北朝時(shí)期以及宋元時(shí)期，其中宋元時(shí)期達(dá)到了中國古典數(shù)學(xué)的

3、頂峰。典數(shù)學(xué)的頂峰。 33.13.1周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)與與九章算術(shù)九章算術(shù) 3.1.1 3.1.1 古代背景古代背景 第一章中已涉及了中國遠(yuǎn)古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中第一章中已涉及了中國遠(yuǎn)古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時(shí)代，又開始出現(xiàn)嚴(yán)已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時(shí)代，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位值制籌算記數(shù)。格的十進(jìn)位值制籌算記數(shù)。 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)中記載的籌算記數(shù)法則說：中記載的籌算記數(shù)法則說：“凡算之法，先識(shí)其位。凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當(dāng)一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當(dāng)”。 4 縱式用來表示個(gè)位、

4、百位、萬位，縱式用來表示個(gè)位、百位、萬位，數(shù)字；橫式用來表示數(shù)字；橫式用來表示十位、千位、十萬位、十位、千位、十萬位、數(shù)字。縱、橫相間，零則以空位表示。數(shù)字?？v、橫相間，零則以空位表示。這樣，數(shù)這樣，數(shù)76 031用算籌表示出來是用算籌表示出來是 。這種十進(jìn)位值記數(shù)法。這種十進(jìn)位值記數(shù)法是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻(xiàn)。是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻(xiàn)。 關(guān)于幾何學(xué)，關(guān)于幾何學(xué)，史記史記“夏本紀(jì)夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，記載說：夏禹治水，“左左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”?！耙?guī)規(guī)”是圓規(guī)，是圓規(guī)，“矩矩”是直尺，是直尺，“準(zhǔn)繩準(zhǔn)繩”則是則是確定鉛垂方向的器械。確定鉛垂方向的器械。 5中國古代

5、數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽 社會(huì)歷史背景條件社會(huì)歷史背景條件 相對封閉的疆域相對封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán)集中的王權(quán) 中國數(shù)學(xué)的特點(diǎn)中國數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 形成了以計(jì)算為核心的算法理論形成了以計(jì)算為核心的算法理論 具有濃郁應(yīng)用色彩具有濃郁應(yīng)用色彩 中國數(shù)學(xué)的成就中國數(shù)學(xué)的成就 第一部數(shù)學(xué)著作第一部數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)（大約公元前（大約公元前200年左右）年左右） 公元公元3世紀(jì)至世紀(jì)至13世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果數(shù)學(xué)成果,形成國家數(shù)學(xué)教育的體制形成國家數(shù)學(xué)教育的體制6中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽

6、中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示已刻有表示1234的符號(hào)。到原始公社末期，已開始用文字符號(hào)取代的符號(hào)。到原始公社末期，已開始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。結(jié)繩記事了。 7中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽西安西安半坡出土的陶器有用半坡出土的陶器有用18個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為為100個(gè)小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為個(gè)小正方形的

7、圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量工具。據(jù)量工具。據(jù)史記史記夏本紀(jì)夏本紀(jì)記載，記載，夏禹夏禹治水時(shí)已使用了這些工具。治水時(shí)已使用了這些工具。 8 商代商代( (又稱殷代，約公元前又稱殷代，約公元前1717世世紀(jì)約前紀(jì)約前1111世紀(jì)世紀(jì)) )：18991899年在河南安年在河南安陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所刻的象形文字刻的象形文字( (甲骨文，公元前甲骨文，公元前1414世世紀(jì)紀(jì)) )。 自然數(shù)的記法：自然數(shù)的記法：1010進(jìn)位制，最大進(jìn)

8、位制，最大的數(shù)字是的數(shù)字是3 3萬。萬。9中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽與此同時(shí)，與此同時(shí)，殷人殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯丁卯等等60個(gè)名稱來記個(gè)名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號(hào)天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。種事物。 10太極八卦圖太極八卦圖 “易有太極，是生兩儀，兩易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。儀生四象，四象生八卦?！?圖中每個(gè)陽、陰爻分別代表數(shù)圖中每個(gè)陽、陰爻分別代表數(shù)9 9與與數(shù)

9、數(shù)6 6，其中數(shù)字的配置依照，其中數(shù)字的配置依照“九六九六”說，說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為4545。它與洛書中它與洛書中1 1至至9 9的數(shù)字之和相同的數(shù)字之和相同 11 周周( (約公元前約公元前1111世紀(jì)公元前世紀(jì)公元前256256年年) )：奴隸制經(jīng)濟(jì)獲得進(jìn)一步：奴隸制經(jīng)濟(jì)獲得進(jìn)一步的發(fā)展的發(fā)展. “. “數(shù)數(shù)”作為六藝之一，作為六藝之一，開始形成一個(gè)學(xué)科。開始形成一個(gè)學(xué)科。 算籌記數(shù)和四則運(yùn)算已經(jīng)開始算籌記數(shù)和四則運(yùn)算已經(jīng)開始 春秋戰(zhàn)國時(shí)期：人們已經(jīng)能春秋戰(zhàn)國時(shí)期：人

10、們已經(jīng)能熟練地進(jìn)行籌算。熟練地進(jìn)行籌算。12中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽 “數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”一詞相當(dāng)于我國古代一詞相當(dāng)于我國古代的的“算術(shù)算術(shù)” 數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)在在12世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出作中。他指出“物生有象，象生物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)者，是數(shù)學(xué)”。13中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。儒家以

11、儒家以“九數(shù)九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以周易周易象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托.墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨經(jīng)墨經(jīng)的邏輯學(xué)為其論說的工具。的邏輯學(xué)為其論說的工具。名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實(shí)體不同，他們提名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實(shí)體不同，他們提出出“矩不方，規(guī)不可以為圓矩不方，規(guī)不可以為圓”，把，把“大一大一”(無窮大無窮大)定義為定義為“至大無至大無外外”，“小一小一”(無窮小無窮小)定義為定義為“至小無內(nèi)至小無內(nèi)”。

12、還提出了。還提出了“一尺之棰，一尺之棰，日取其半，萬世不竭日取其半，萬世不竭”等命題。等命題。 九章算術(shù)九章算術(shù)中的名題：中的名題：“女子善織，日子倍女子善織，日子倍”。14名家名家 戰(zhàn)國戰(zhàn)國時(shí)時(shí)諸子百家諸子百家之一。先秦時(shí)期以辯論之一。先秦時(shí)期以辯論名實(shí)名實(shí)問題為中心問題為中心的一個(gè)思想派別的一個(gè)思想派別,重視重視“名名”(概念概念)和和“實(shí)實(shí)”(事事)的關(guān)系的的關(guān)系的研究。研究。 以正名辨義為主，主要代表為以正名辨義為主，主要代表為鄧析鄧析 、惠施惠施 、公孫龍公孫龍等。等。莊子莊子天下天下有名家辯辭的記錄。有名家辯辭的記錄。 史記史記太史公自序太史公自序：“名家名家苛察繳繞苛察繳繞故曰故

13、曰使人使人儉而善失真儉而善失真?！?漢書漢書藝文志藝文志：“名家者流，蓋出於禮官。名家者流，蓋出於禮官?！?梁啟超梁啟超 論諸家之派別論諸家之派別：“名家言起於鄭之鄧析名家言起於鄭之鄧析 ，而，而宋之惠施及宋之惠施及趙之趙之公孫龍大昌之。公孫龍大昌之。” 15中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽墨家認(rèn)為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家墨家認(rèn)為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切相切)、端、端(點(diǎn)點(diǎn))等等。等等。墨家是中國古代主要墨家是中國古代主要哲學(xué)哲學(xué)派別之一，約產(chǎn)生于派別之

14、一，約產(chǎn)生于戰(zhàn)國戰(zhàn)國時(shí)期。創(chuàng)始人為時(shí)期。創(chuàng)始人為墨翟墨翟。墨家是一個(gè)紀(jì)律嚴(yán)密的學(xué)術(shù)團(tuán)體，其首領(lǐng)稱。墨家是一個(gè)紀(jì)律嚴(yán)密的學(xué)術(shù)團(tuán)體，其首領(lǐng)稱“矩子矩子”，其成，其成員到各國為官必須推行墨家主張，所得俸祿亦須向團(tuán)體奉獻(xiàn)。員到各國為官必須推行墨家主張，所得俸祿亦須向團(tuán)體奉獻(xiàn)。墨家墨家學(xué)派學(xué)派有前后期之分，前期思想主要涉及社會(huì)政治、有前后期之分，前期思想主要涉及社會(huì)政治、倫理倫理及認(rèn)識(shí)論問及認(rèn)識(shí)論問題；后期墨家在邏輯學(xué)方面有重要貢獻(xiàn)題；后期墨家在邏輯學(xué)方面有重要貢獻(xiàn) 。16 17 18中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國古代數(shù)學(xué)的萌芽 墨家不同意墨家不同意“一尺之棰一尺之棰”的命題，提出一個(gè)的命題，提出一個(gè)“非半非半

15、”的的命題來進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，命題來進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半非半”，這個(gè)，這個(gè)“非半非半”就是點(diǎn)。就是點(diǎn)。 19中國古代數(shù)學(xué)的萌芽 名家的命題論述了有限長度可分割成一個(gè)無窮序列，墨名家的命題論述了有限長度可分割成一個(gè)無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。論的發(fā)展是很有意義的。 20墨經(jīng)墨經(jīng): :點(diǎn)、線、面、

16、方、圓等幾何概念點(diǎn)、線、面、方、圓等幾何概念考工記考工記: :分?jǐn)?shù)比例、角度大小的區(qū)分、標(biāo)準(zhǔn)容器的計(jì)算等分?jǐn)?shù)比例、角度大小的區(qū)分、標(biāo)準(zhǔn)容器的計(jì)算等荀子荀子管子管子: : “ “九九九九”乘法口訣。乘法口訣。春秋春秋: : “ “初稅畝初稅畝”，測量田畝面積和計(jì)算的方法。，測量田畝面積和計(jì)算的方法。莊子莊子天下篇天下篇:“:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，樸，樸素的素的 極限觀念。極限觀念。墨經(jīng)墨經(jīng)：點(diǎn)：端點(diǎn)：端,體之無厚而最前者也體之無厚而最前者也;直線：直直線：直, 參也參也;圓：圓圓：圓, 一中同長也一中同長也.史記史記: :齊威王與田忌賽馬齊威王與田忌賽馬,

17、 ,對對 策論的最早例證。策論的最早例證。213.1.23.1.2周髀算經(jīng)周髀算經(jīng) 在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)是最早的是最早的一部。一部。 作者不祥，成書年代應(yīng)不晚于公元前作者不祥，成書年代應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期，世紀(jì)西漢時(shí)期，但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識(shí)，有的可追溯到西周（公元前但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識(shí)，有的可追溯到西周（公元前11世紀(jì)世紀(jì)-前前8世紀(jì)）。這部著作實(shí)際上是從數(shù)學(xué)上討論世紀(jì)）。這部著作實(shí)際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天蓋天說說”（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)的密切聯(lián)系。

18、從數(shù)學(xué)上看，的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)上看，周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)主要的成就是分?jǐn)?shù)主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定運(yùn)算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。理的論述最為突出。 “周髀周髀”是測是測量日影的工量日影的工具具八尺長竿八尺長竿22蓋天說蓋天說勾股定理勾股定理宋版書影宋版書影日高術(shù)日高術(shù) 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng): : 數(shù)學(xué)著作數(shù)學(xué)著作, ,天文學(xué)著作天文學(xué)著作. . “ “蓋天說蓋天說”的代表的代表. . 約成書于西漢時(shí)期約成書于西漢時(shí)期( (公元前公元前2 2世紀(jì)世紀(jì)).). 數(shù)學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)內(nèi)容: :學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來

19、計(jì)算高深遠(yuǎn)近和、用勾股定理來計(jì)算高深遠(yuǎn)近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算等比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算等. .23周髀算經(jīng) 蓋天說認(rèn)為大地象個(gè)平面，天象口大鍋扣在地上。蓋天說認(rèn)為大地象個(gè)平面，天象口大鍋扣在地上。注：到西漢時(shí)期，有蓋天說、渾天說和宣夜說。渾天說認(rèn)為天是球形的，大地在中間。宣夜說認(rèn)為宇宙是無限的空間，天體浮生于其中，其運(yùn)動(dòng)需要“氣”的作用。24 25 第一卷敘述了西周開國時(shí)期（約公元前第一卷敘述了西周開國時(shí)期（約公元前11001100年）周公商高的問答：年）周公商高的問答： 26周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)上卷上卷 :勾股定理的證明勾股定理的證明 昔者周公問于商高曰：昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問竊

20、聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度昔者包犧立周天歷度夫天可不階而升，地不可得尺夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？寸而度，請問數(shù)安從出？” 商高曰：商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。此數(shù)之所生也?！?27“勾廣三勾廣三,股修四股修四,

21、徑徑隅五隅五”商高定理商高定理-勾股定理勾股定理返回“以日下為勾以日下為勾,日日高為股高為股,勾股各自乘勾股各自乘,并而開方除之并而開方除之,得邪得邪至日至日.”28古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期周人的測日影表古代認(rèn)為夏至?xí)r立一8尺高的標(biāo)竿，它的影長正好是6尺。“求邪至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里?！比崭吖剑ㄖ夭钚g(shù)）：日高公式（重差術(shù)）：29heSOchhd=+=+表表高高表表距距日日高高表表高高表表高高影影差差影差影差d =后影長后影長BD 前影長前影長AC = b a表距表距AB = e日日前表前表后表后表前影前影

22、后影后影南戴日下南戴日下日遠(yuǎn)日遠(yuǎn)日高日高A BO A a C B b DSOhhhc日高公式（重差術(shù)）日高公式（重差術(shù)）30古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期 第二章 敘述陳子榮方的對話。 陳子是周代的天文算學(xué)家，榮方是當(dāng)時(shí)天文算學(xué)的愛好者。榮方對陳子的數(shù)學(xué)才能很羨慕，十分虛心地向陳子求教。陳子教給榮方學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的方法，同時(shí)還教給榮方具體解決問題的方法。31古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期 關(guān)于數(shù)學(xué)特點(diǎn)。關(guān)于數(shù)學(xué)特點(diǎn)。 榮方請教陳子：榮方請教陳子：“今者竊聞夫子之道。知日之高大，光今者竊聞夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，遠(yuǎn)近之?dāng)?shù)，人所望見，四極之窮，

23、之所照，一日所行，遠(yuǎn)近之?dāng)?shù)，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣，夫子之道皆能知之。其信有之列星之宿，天地之廣，夫子之道皆能知之。其信有之乎？乎？” 陳子曰：陳子曰：“然，引皆算術(shù)之所及。然，引皆算術(shù)之所及?！标愖佑衷唬宏愖佑衷唬骸按艘嗤h(yuǎn)起高之術(shù)，此亦望遠(yuǎn)起高之術(shù)，夫道術(shù)，言約而用博夫道術(shù)，言約而用博” 32古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期 關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法 陳子對榮方說：陳子對榮方說：“思之未熟。思之未熟。則子之于數(shù)，未能通則子之于數(shù)，未能通類。類。問一類而以萬事達(dá)者，謂之知道。問一類而以萬事達(dá)者，謂之知道?！?“夫道術(shù)所以難通者，既學(xué)矣，患其不博。既

24、博矣，患夫道術(shù)所以難通者，既學(xué)矣，患其不博。既博矣，患其不習(xí)。既習(xí)矣，患其不能知。其不習(xí)。既習(xí)矣，患其不能知?！?33古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期 關(guān)于學(xué)習(xí)態(tài)度。關(guān)于學(xué)習(xí)態(tài)度。 “夫?qū)W同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習(xí)。夫?qū)W同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習(xí)?！?34 中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世世紀(jì)三國時(shí)期的趙爽（吳）。趙爽注紀(jì)三國時(shí)期的趙爽（吳）。趙爽注周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)，作，作“勾股圓勾股圓方圖方圖”，其中的，其中的“弦圖弦圖”，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證

25、明了勾股定理。勾股定理。 考察以一直角三角形的勾和股為考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個(gè)正方形的合并圖形，其面積邊的兩個(gè)正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有應(yīng)有 如果將這合并圖形所含如果將這合并圖形所含的兩個(gè)三角形移補(bǔ)到圖中所示的位置，的兩個(gè)三角形移補(bǔ)到圖中所示的位置，將得到一個(gè)以原三角形之弦為邊的正將得到一個(gè)以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為方形，其面積應(yīng)為 ，因此，因此 .22ba 2c.222cba35勾股定理的證明勾股定理的證明弦弦 圖圖abcaa2b236古代數(shù)學(xué)家趙爽古代數(shù)學(xué)家趙爽 趙爽，又名嬰，字君卿，趙爽，又名嬰，字君卿，中國中國數(shù)學(xué)家。東漢末至三國時(shí)數(shù)學(xué)家。東漢末至三國時(shí)代吳國

26、人。他是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。生平不詳，約生活于公元生平不詳，約生活于公元3世紀(jì)初。趙爽的世紀(jì)初。趙爽的周髀算經(jīng)注周髀算經(jīng)注逐段解釋逐段解釋周髀周髀經(jīng)文。經(jīng)文。 37古代數(shù)學(xué)家趙爽古代數(shù)學(xué)家趙爽 趙爽自稱負(fù)薪余日，研究趙爽自稱負(fù)薪余日，研究周髀周髀，遂為，遂為之作注，可見是一個(gè)未脫離體力勞動(dòng)的天之作注，可見是一個(gè)未脫離體力勞動(dòng)的天算學(xué)家。算學(xué)家。383.1.33.1.3九章算術(shù)九章算術(shù) 九章算術(shù)九章算術(shù)是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。成書年代至遲是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。成書年代至遲在公元前在公元前1世紀(jì)，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯

27、到周代。世紀(jì)，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。 周禮周禮記載記載,西周貴族子弟必學(xué)的六門課程（西周貴族子弟必學(xué)的六門課程（“六藝六藝”）中）中有一門是有一門是“九數(shù)九數(shù)”，劉徽，劉徽九章算術(shù)注九章算術(shù)注“序序”中就稱中就稱九章算九章算術(shù)術(shù)是由是由“九數(shù)九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼（發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼（?-公元前公元前152）、）、耿壽昌等人刪補(bǔ)。耿壽昌等人刪補(bǔ)。 九章算術(shù)采用問題集的形式，全書九章算術(shù)采用問題集的形式，全書246個(gè)問題，分成九章。個(gè)問題，分成九章。 39中國古代數(shù)學(xué)體系形成中國古代數(shù)學(xué)體系形成九章算術(shù)是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就

28、來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來說，它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。 40中國古代數(shù)學(xué)體系形成中國古代數(shù)學(xué)體系形成秦漢時(shí)期強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。成書于東漢初年的九章算術(shù)，排除了戰(zhàn)國時(shí)期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其

29、解法。 九章算術(shù)有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。41九章算術(shù)九章算術(shù)的內(nèi)容是由周代的的內(nèi)容是由周代的“九九數(shù)數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則九章九章是是矣矣”。 九章算術(shù)九章算術(shù)標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已初步形成。代學(xué)的知識(shí)體系已初步形成。代表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點(diǎn)：注重實(shí)際問題的數(shù)值法的特點(diǎn)：注重實(shí)際問題的數(shù)值計(jì)算方法，缺少抽象的理論和邏計(jì)算方法，缺少抽

30、象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨(dú)有的計(jì)算工具和程序化計(jì)算上獨(dú)有的計(jì)算工具和程序化計(jì)算方法方法明代刊印的九章算術(shù)注 42中國古代數(shù)學(xué)體系形成中國古代數(shù)學(xué)體系形成 九章算術(shù)在隋唐時(shí)期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。 43 1.1.方田方田：主要是田畝面積的計(jì)算和分?jǐn)?shù)的計(jì)算，是世界主要是田畝面積的計(jì)算和分?jǐn)?shù)的計(jì)算，是世界 上最早對分?jǐn)?shù)進(jìn)行系統(tǒng)敘述的著作。上最早對分?jǐn)?shù)進(jìn)行系統(tǒng)敘述的著作。 2.2.粟米粟米：組好事糧食交易的計(jì)算方法，

31、其中涉及許多比組好事糧食交易的計(jì)算方法，其中涉及許多比 例問題。例問題。 3.3.衰衰（讀作（讀作“翠翠”）分分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.4.少廣少廣：主要講開平方和開立方的方法。：主要講開平方和開立方的方法。 5.5.商功商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問題，以體：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問題，以體 積的計(jì)算為主。積的計(jì)算為主。 6.6.均輸均輸：計(jì)算稅收等更加復(fù)雜的比例問題。：計(jì)算稅收等更加復(fù)雜的比例問題。 7.7.盈不足盈不足：雙設(shè)法的問題。：雙設(shè)法的問題。 8.8.方程方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負(fù)數(shù)的加減：主要是聯(lián)立一次方程組的解

32、法和正負(fù)數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。 9.9.勾股勾股：勾股定理的應(yīng)用。：勾股定理的應(yīng)用。九章算術(shù)九章算術(shù)的內(nèi)容的內(nèi)容44( (一）算術(shù)方面一）算術(shù)方面 （1）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則。）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則。九章算術(shù)九章算術(shù)“方田方田”章給出了完整章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。 “約分術(shù)：可半者半之不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以約分術(shù)：可半者半之不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也以等數(shù)約之少減多，更相減損，求其等也以等數(shù)約之”45 （2）比例算法。）比例算法。九章算術(shù)

33、九章算術(shù)“粟米粟米”、“衰分衰分”、“均輸均輸”諸章集中討論比例問題，并提出諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)今有術(shù)”作為解決各類比例問作為解決各類比例問題的基本算法。題的基本算法。 a: b=c: x設(shè)從比例關(guān)系設(shè)從比例關(guān)系求求x, 九章算術(shù)九章算術(shù)稱稱a為為“所有率所有率”，b為為“所求率所求率”，c為為“所有所有數(shù)數(shù)”，x為為“所求數(shù)所求數(shù)”。今有術(shù)相當(dāng)于。今有術(shù)相當(dāng)于abcx “今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法實(shí)如今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法實(shí)如法而一法而一”46 以以“今有術(shù)今有術(shù)”為基礎(chǔ)，為基礎(chǔ)，“衰分衰分”章處理正、反比例分配問章處理正、反比例分配問

34、題，題，“衰分衰分”就是按一定級(jí)差分配。就是按一定級(jí)差分配?！熬斁敗闭聞t運(yùn)用比例分配章則運(yùn)用比例分配解決糧食運(yùn)輸負(fù)擔(dān)的平均分配。解決糧食運(yùn)輸負(fù)擔(dān)的平均分配。 （3）盈不足術(shù)。）盈不足術(shù)?！坝蛔阌蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問題為原型，通術(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。 47 九章算術(shù)九章算術(shù)中典型的盈虧類問題如：中典型的盈虧類問題如： 今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價(jià)各幾何？何？ 一般地假設(shè)人數(shù)為一般地假設(shè)人數(shù)為 ，物價(jià)為，物價(jià)為 ，每人出錢，每人出錢 盈盈

35、 ，出錢，出錢 不不足足 。九章算術(shù)九章算術(shù)“盈不足術(shù)盈不足術(shù)”相當(dāng)于給出解法：相當(dāng)于給出解法： xy1a1b2a2b“盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下令維乘所出率，盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下令維乘所出率，并，以為實(shí)并盈、不足為法實(shí)如法而一盈、不足相與同并，以為實(shí)并盈、不足為法實(shí)如法而一盈、不足相與同其買物者，置所出率，以少減多余，以約法、實(shí)實(shí)為物價(jià)，其買物者，置所出率，以少減多余，以約法、實(shí)實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)法為人數(shù)”48211221bbbabaxy分兩部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，分兩部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：其公式是：211221212

36、1,aababayaabbx第二部分是求人數(shù)、物價(jià)的公式：第二部分是求人數(shù)、物價(jià)的公式：49 任何算術(shù)問題（不一定是盈虧類問題），通過兩次假任何算術(shù)問題（不一定是盈虧類問題），通過兩次假設(shè)未知量的值，都可以轉(zhuǎn)換成盈虧類問題來求解。設(shè)未知量的值，都可以轉(zhuǎn)換成盈虧類問題來求解。九章九章算術(shù)算術(shù)“盈不足盈不足”章就用這種方法解決了許多不屬于盈虧類章就用這種方法解決了許多不屬于盈虧類的問題。的問題。 “盈不足術(shù)盈不足術(shù)”在中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作中稱為在中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作中稱為“契丹契丹算法算法”，即中國算法。，即中國算法。50（二）代數(shù)方面（二）代數(shù)方面（1）方程術(shù)。）方程術(shù)。“方程術(shù)方程術(shù)”即線性聯(lián)

37、立方程組的解法。即線性聯(lián)立方程組的解法。 以“方程”章第1題為例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問：上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？” 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三 51方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗，于右方中、左禾列如右方以右行上禾三十九斗，于右方中、左禾列如右方以右行上禾遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除左

38、方下禾然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)實(shí)即下禾之實(shí)求中禾，不盡者，上為法，下為實(shí)實(shí)即下禾之實(shí)求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)求上禾亦以法乘余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)求上禾亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)余如上禾秉數(shù)而一右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)實(shí)皆如法，各得一斗，即上禾之實(shí)實(shí)皆如法，各得一斗”52 題中題中“禾禾”為黍米為黍米(黍黍,音音“署署”)，“秉秉”指捆，指捆，“實(shí)實(shí)”是打下來的糧食。設(shè)上、中、下、禾各一秉打出的糧食分是打下來的糧食。設(shè)上、中、下、禾各一秉打出

39、的糧食分別為別為 （斗），則問題就相當(dāng)于解一個(gè)三元一次聯(lián)立（斗），則問題就相當(dāng)于解一個(gè)三元一次聯(lián)立方程組：方程組： .2632,3432,3923zyxzyxzyxzyx,53 九章算術(shù)沒有表示未知數(shù)的符號(hào)，而是用算籌將 的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)方陣（如圖,其中已將籌算數(shù)碼換作阿拉伯?dāng)?shù)碼），這就是“方程”一詞的來源。 “方程術(shù)”的關(guān)鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下： zyx, 用圖(i)右行上禾 的系數(shù)3“遍乘”中行和左行各數(shù)，然后從所得結(jié)果按行分別“直除”右行，即連續(xù)減去右行各數(shù)，就得到圖(ii)所示的新方程。 )(x 其次以圖(ii)中行中禾 的系數(shù)5遍乘左行各數(shù)，從所得結(jié)果直除

40、中行并約分，右得到圖(iii)所示的新方程。其中左行未知量系數(shù)只剩一項(xiàng)，以4除11，即得下禾 （斗）。 )(y432)(z54 為求上禾 和中禾 ，重復(fù)“遍乘直除”程序。以圖(iii)左行下禾 的系數(shù)4遍乘中行和右行各數(shù)，從所得結(jié)果按行分別直除左行并約分，最后得到圖(iv)所示的新方程。由此方程計(jì)算得 )(x)(y)(z上禾 ，中禾 ，下禾 。419)(x414)(y432)(z 九章算術(shù)方程術(shù)的遍乘直除算法，實(shí)質(zhì)上就是我們今天所使用的解線性聯(lián)立方程組的消元法，西方文獻(xiàn)中稱之為“高斯消去法”。 55 （2）正負(fù)術(shù)。九章算術(shù)在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)是負(fù)數(shù)的引進(jìn)。 九章算術(shù)正是在“方程”章中提出

41、了“正負(fù)術(shù)”，即正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則： “同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。” 對負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)是人類數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發(fā)現(xiàn)，那么如前所述可以看到，中算負(fù)數(shù)則是算法思維的產(chǎn)物。 56 (3) 開方術(shù)。九章算術(shù)“少廣”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法。九章算術(shù)開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。 九章算術(shù)開方術(shù)實(shí)際上包含了二次方程 的數(shù)值求解程序，稱為“開帶從平方法”。 cbxx257 稍后的劉徽在“開方術(shù)注”中明確提出了用十進(jìn)制小數(shù)任意逼近不盡根

42、數(shù)的方法，他稱之為求微數(shù)法，并指出在開方過程中，“其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)，則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也.” 九章算術(shù)開方術(shù)中特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”，并給這種不盡根數(shù)起了一個(gè)專門的名字“面”。 58開方術(shù)開方術(shù): : 開平方和開立方的算法開平方和開立方的算法 本質(zhì)本質(zhì): : 減根變換減根變換 過程過程: 開方術(shù)相當(dāng)于解方程開方術(shù)相當(dāng)于解方程: x2=A. 設(shè)解設(shè)解 x 是一個(gè)是一個(gè) k 位數(shù)位數(shù) , 令令x=10k 1x1 , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)? 102k 2x12 = A , 儀得儀得x1的整數(shù)部分的整數(shù)部分, 記

43、記為為 , 令令 ,則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)? ,其中其中1x111210 xxx212121a xb xA222221222111111010;10102;10kkkabxAAx再議得再議得x2的整數(shù)部分的整數(shù)部分,記為記為 ,令令 , 則方程變則方程變?yōu)闉? , 其中其中上述過程一直下去上述過程一直下去.2x122310 xxx223232a xb xA2121212121121210;(2) 10;()aaba xbAAa xbx59二次方程的數(shù)值求解算法稱為二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法開帶從平方法”. .“開方術(shù)開方術(shù)” 指出了開方有指出了開方有開不盡開不盡的情形：的情形： “若開之不盡者，為不可開若開之不盡者，為不可開”。 不盡根數(shù)專門的名字不盡根數(shù)專門的名字面面60（三）幾何方面 九章算術(shù)“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積問題，“商功”章討論體積問題，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。 各種幾何圖形的