《數學史》周髀算經》與《九章算術》(課堂PPT)課件

1、1日照東方日照東方古代與中世紀的東方數學古代與中世紀的東方數學一、中國傳統數學一、中國傳統數學二、印度數學二、印度數學三、阿拉伯數學三、阿拉伯數學四、中國與印度、阿拉伯的數學交流四、中國與印度、阿拉伯的數學交流2第三章第三章 中世紀的中國數學中世紀的中國數學 希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個中世紀希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個中世紀的歐洲湮沒不彰。數學史上繼希臘幾何興盛時期之后是一個漫長的歐洲湮沒不彰。數學史上繼希臘幾何興盛時期之后是一個漫長的東方時期。中世紀（公元的東方時期。中世紀（公元5-17世紀）數學的主角，是中國、印度世紀）數學的主角，是中國、印度與阿拉伯

2、地區(qū)的數學。與阿拉伯地區(qū)的數學。 與希臘數學相比，中世紀的東方數學表現出強烈的算法精神，與希臘數學相比，中世紀的東方數學表現出強烈的算法精神，特別是中國與印度數學，著重算法的概括，不講究命題的數學推特別是中國與印度數學，著重算法的概括，不講究命題的數學推導。導。 就繁榮時期而言，中國數學在上述三個地區(qū)是延續(xù)最長的。就繁榮時期而言，中國數學在上述三個地區(qū)是延續(xù)最長的。從公元前后至公元從公元前后至公元14世紀，先后經歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時世紀，先后經歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋元時期達到了中國古期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋元時期達到了中國古典數學的

3、頂峰。典數學的頂峰。 33.13.1周髀算經周髀算經與與九章算術九章算術 3.1.1 3.1.1 古代背景古代背景 第一章中已涉及了中國遠古數與形概念的萌芽。殷商甲骨文中第一章中已涉及了中國遠古數與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經使用完整的十進制記數。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現嚴已經使用完整的十進制記數。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現嚴格的十進位值制籌算記數。格的十進位值制籌算記數。 孫子算經孫子算經中記載的籌算記數法則說：中記載的籌算記數法則說：“凡算之法，先識其位。凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當”。 4 縱式用來表示個位、

4、百位、萬位，縱式用來表示個位、百位、萬位，數字；橫式用來表示數字；橫式用來表示十位、千位、十萬位、十位、千位、十萬位、數字。縱、橫相間，零則以空位表示。數字?？v、橫相間，零則以空位表示。這樣，數這樣，數76 031用算籌表示出來是用算籌表示出來是 。這種十進位值記數法。這種十進位值記數法是中國古代數學對人類文明的特殊貢獻。是中國古代數學對人類文明的特殊貢獻。 關于幾何學，關于幾何學，史記史記“夏本紀夏本紀”記載說：夏禹治水，記載說：夏禹治水，“左左規(guī)矩，右準繩規(guī)矩，右準繩”?！耙?guī)規(guī)”是圓規(guī)，是圓規(guī)，“矩矩”是直尺，是直尺，“準繩準繩”則是則是確定鉛垂方向的器械。確定鉛垂方向的器械。 5中國古代

5、數學的萌芽中國古代數學的萌芽 社會歷史背景條件社會歷史背景條件 相對封閉的疆域相對封閉的疆域 大河背景下的農耕文化大河背景下的農耕文化 集中的王權集中的王權 中國數學的特點中國數學的特點 形成了以計算為核心的算法理論形成了以計算為核心的算法理論 具有濃郁應用色彩具有濃郁應用色彩 中國數學的成就中國數學的成就 第一部數學著作第一部數學著作九章算術九章算術（大約公元前（大約公元前200年左右）年左右） 公元公元3世紀至世紀至13世紀，創(chuàng)造了許多領先于其它民族的眾多世紀，創(chuàng)造了許多領先于其它民族的眾多數學成果數學成果,形成國家數學教育的體制形成國家數學教育的體制6中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽

6、中國古代數學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產生以后，中國古代數學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產生以后，數與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面數與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結繩記事了。結繩記事了。 7中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽西安西安半坡出土的陶器有用半坡出土的陶器有用18個圓點組成的等邊三角形和分正方形個圓點組成的等邊三角形和分正方形為為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為個小正方形的

7、圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據量工具。據史記史記夏本紀夏本紀記載，記載，夏禹夏禹治水時已使用了這些工具。治水時已使用了這些工具。 8 商代商代( (又稱殷代，約公元前又稱殷代，約公元前1717世世紀約前紀約前1111世紀世紀) )：18991899年在河南安年在河南安陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所刻的象形文字刻的象形文字( (甲骨文，公元前甲骨文，公元前1414世世紀紀) )。 自然數的記法：自然數的記法：1010進位制，最大進

8、位制，最大的數字是的數字是3 3萬。萬。9中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽與此同時，與此同時，殷人殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯丁卯等等60個名稱來記個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示構成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。種事物。 10太極八卦圖太極八卦圖 “易有太極，是生兩儀，兩易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。儀生四象，四象生八卦。” 圖中每個陽、陰爻分別代表數圖中每個陽、陰爻分別代表數9 9與與數

9、數6 6，其中數字的配置依照，其中數字的配置依照“九六九六”說，說，是一種均衡的數字配置。在八卦中，相對是一種均衡的數字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數之和均為稱的卦象，如乾與坤，其象數之和均為4545。它與洛書中它與洛書中1 1至至9 9的數字之和相同的數字之和相同 11 周周( (約公元前約公元前1111世紀公元前世紀公元前256256年年) )：奴隸制經濟獲得進一步：奴隸制經濟獲得進一步的發(fā)展的發(fā)展. “. “數數”作為六藝之一，作為六藝之一，開始形成一個學科。開始形成一個學科。 算籌記數和四則運算已經開始算籌記數和四則運算已經開始 春秋戰(zhàn)國時期：人們已經能春秋戰(zhàn)國時期：人

10、們已經能熟練地進行籌算。熟練地進行籌算。12中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽 “數學數學”一詞相當于我國古代一詞相當于我國古代的的“算術算術” 數學一詞，在中國最早出現數學一詞，在中國最早出現在在12世紀宋代數學家秦九韶的著世紀宋代數學家秦九韶的著作中。他指出作中。他指出“物生有象，象生物生有象，象生有數，乘除推闡，務究造化之源有數，乘除推闡，務究造化之源者，是數學者，是數學”。13中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數學有關。命題的爭論直接與數學有關。儒家以

11、儒家以“九數九數”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以周易周易象數學宇宙論為哲學依托象數學宇宙論為哲學依托.墨家則以幾何學為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨家則以幾何學為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨經墨經的邏輯學為其論說的工具。的邏輯學為其論說的工具。名家認為經過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提名家認為經過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出出“矩不方，規(guī)不可以為圓矩不方，規(guī)不可以為圓”，把，把“大一大一”(無窮大無窮大)定義為定義為“至大無至大無外外”，“小一小一”(無窮小無窮小)定義為定義為“至小無內至小無內”。

12、還提出了。還提出了“一尺之棰，一尺之棰，日取其半，萬世不竭日取其半，萬世不竭”等命題。等命題。 九章算術九章算術中的名題：中的名題：“女子善織，日子倍女子善織，日子倍”。14名家名家 戰(zhàn)國戰(zhàn)國時時諸子百家諸子百家之一。先秦時期以辯論之一。先秦時期以辯論名實名實問題為中心問題為中心的一個思想派別的一個思想派別,重視重視“名名”(概念概念)和和“實實”(事事)的關系的的關系的研究。研究。 以正名辨義為主，主要代表為以正名辨義為主，主要代表為鄧析鄧析 、惠施惠施 、公孫龍公孫龍等。等。莊子莊子天下天下有名家辯辭的記錄。有名家辯辭的記錄。 史記史記太史公自序太史公自序：“名家名家苛察繳繞苛察繳繞故曰故

13、曰使人使人儉而善失真儉而善失真?！?漢書漢書藝文志藝文志：“名家者流，蓋出於禮官。名家者流，蓋出於禮官?！?梁啟超梁啟超 論諸家之派別論諸家之派別：“名家言起於鄭之鄧析名家言起於鄭之鄧析 ，而，而宋之惠施及宋之惠施及趙之趙之公孫龍大昌之。公孫龍大昌之?！?15中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽墨家認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家墨家認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切相切)、端、端(點點)等等。等等。墨家是中國古代主要墨家是中國古代主要哲學哲學派別之一，約產生于派別之

14、一，約產生于戰(zhàn)國戰(zhàn)國時期。創(chuàng)始人為時期。創(chuàng)始人為墨翟墨翟。墨家是一個紀律嚴密的學術團體，其首領稱。墨家是一個紀律嚴密的學術團體，其首領稱“矩子矩子”，其成，其成員到各國為官必須推行墨家主張，所得俸祿亦須向團體奉獻。員到各國為官必須推行墨家主張，所得俸祿亦須向團體奉獻。墨家墨家學派學派有前后期之分，前期思想主要涉及社會政治、有前后期之分，前期思想主要涉及社會政治、倫理倫理及認識論問及認識論問題；后期墨家在邏輯學方面有重要貢獻題；后期墨家在邏輯學方面有重要貢獻 。16 17 18中國古代數學的萌芽中國古代數學的萌芽 墨家不同意墨家不同意“一尺之棰一尺之棰”的命題，提出一個的命題，提出一個“非半非半

15、”的的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的就必將出現一個不能再分割的“非半非半”，這個，這個“非半非半”就是點。就是點。 19中國古代數學的萌芽 名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發(fā)展是很有意義的。論的發(fā)展是很有意義的。 20墨經墨經: :點、線、面、

16、方、圓等幾何概念點、線、面、方、圓等幾何概念考工記考工記: :分數比例、角度大小的區(qū)分、標準容器的計算等分數比例、角度大小的區(qū)分、標準容器的計算等荀子荀子管子管子: : “ “九九九九”乘法口訣。乘法口訣。春秋春秋: : “ “初稅畝初稅畝”，測量田畝面積和計算的方法。，測量田畝面積和計算的方法。莊子莊子天下篇天下篇:“:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，樸，樸素的素的 極限觀念。極限觀念。墨經墨經：點：端點：端,體之無厚而最前者也體之無厚而最前者也;直線：直直線：直, 參也參也;圓：圓圓：圓, 一中同長也一中同長也.史記史記: :齊威王與田忌賽馬齊威王與田忌賽馬,

17、 ,對對 策論的最早例證。策論的最早例證。213.1.23.1.2周髀算經周髀算經 在現存的中國古代數學著作中，在現存的中國古代數學著作中，周髀算經周髀算經是最早的是最早的一部。一部。 作者不祥，成書年代應不晚于公元前作者不祥，成書年代應不晚于公元前2世紀西漢時期，世紀西漢時期，但書中涉及的數學、天文知識，有的可追溯到西周（公元前但書中涉及的數學、天文知識，有的可追溯到西周（公元前11世紀世紀-前前8世紀）。這部著作實際上是從數學上討論世紀）。這部著作實際上是從數學上討論“蓋天蓋天說說”（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數學與天文學（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數學與天文學的密切聯系。

18、從數學上看，的密切聯系。從數學上看，周髀算經周髀算經主要的成就是分數主要的成就是分數運算、勾股定理及其在天文測量中的應用，其中關于勾股定運算、勾股定理及其在天文測量中的應用，其中關于勾股定理的論述最為突出。理的論述最為突出。 “周髀周髀”是測是測量日影的工量日影的工具具八尺長竿八尺長竿22蓋天說蓋天說勾股定理勾股定理宋版書影宋版書影日高術日高術 周髀算經周髀算經: : 數學著作數學著作, ,天文學著作天文學著作. . “ “蓋天說蓋天說”的代表的代表. . 約成書于西漢時期約成書于西漢時期( (公元前公元前2 2世紀世紀).). 數學內容數學內容: :學習數學的方法學習數學的方法、用勾股定理來

19、計算高深遠近和、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等比較復雜的分數計算等. .23周髀算經 蓋天說認為大地象個平面，天象口大鍋扣在地上。蓋天說認為大地象個平面，天象口大鍋扣在地上。注：到西漢時期，有蓋天說、渾天說和宣夜說。渾天說認為天是球形的，大地在中間。宣夜說認為宇宙是無限的空間，天體浮生于其中，其運動需要“氣”的作用。24 25 第一卷敘述了西周開國時期（約公元前第一卷敘述了西周開國時期（約公元前11001100年）周公商高的問答：年）周公商高的問答： 26周髀算經周髀算經上卷上卷 :勾股定理的證明勾股定理的證明 昔者周公問于商高曰：昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問竊

20、聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度昔者包犧立周天歷度夫天可不階而升，地不可得尺夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？寸而度，請問數安從出？” 商高曰：商高曰：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。此數之所生也。” 27“勾廣三勾廣三,股修四股修四,

21、徑徑隅五隅五”商高定理商高定理-勾股定理勾股定理返回“以日下為勾以日下為勾,日日高為股高為股,勾股各自乘勾股各自乘,并而開方除之并而開方除之,得邪得邪至日至日.”28古典數學的形成與發(fā)展時期古典數學的形成與發(fā)展時期周人的測日影表古代認為夏至時立一8尺高的標竿，它的影長正好是6尺?！扒笮爸寥照?，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里?！比崭吖剑ㄖ夭钚g）：日高公式（重差術）：29heSOchhd=+=+表表高高表表距距日日高高表表高高表表高高影影差差影差影差d =后影長后影長BD 前影長前影長AC = b a表距表距AB = e日日前表前表后表后表前影前影

22、后影后影南戴日下南戴日下日遠日遠日高日高A BO A a C B b DSOhhhc日高公式（重差術）日高公式（重差術）30古典數學的形成與發(fā)展時期古典數學的形成與發(fā)展時期 第二章 敘述陳子榮方的對話。 陳子是周代的天文算學家，榮方是當時天文算學的愛好者。榮方對陳子的數學才能很羨慕，十分虛心地向陳子求教。陳子教給榮方學習和研究數學的方法，同時還教給榮方具體解決問題的方法。31古典數學的形成與發(fā)展時期古典數學的形成與發(fā)展時期 關于數學特點。關于數學特點。 榮方請教陳子：榮方請教陳子：“今者竊聞夫子之道。知日之高大，光今者竊聞夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數，人所望見，四極之窮，

23、之所照，一日所行，遠近之數，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣，夫子之道皆能知之。其信有之列星之宿，天地之廣，夫子之道皆能知之。其信有之乎？乎？” 陳子曰：陳子曰：“然，引皆算術之所及。然，引皆算術之所及?！标愖佑衷唬宏愖佑衷唬骸按艘嗤h起高之術，此亦望遠起高之術，夫道術，言約而用博夫道術，言約而用博” 32古典數學的形成與發(fā)展時期古典數學的形成與發(fā)展時期 關于學習數學的方法關于學習數學的方法 陳子對榮方說：陳子對榮方說：“思之未熟。思之未熟。則子之于數，未能通則子之于數，未能通類。類。問一類而以萬事達者，謂之知道。問一類而以萬事達者，謂之知道?！?“夫道術所以難通者，既學矣，患其不博。既

24、博矣，患夫道術所以難通者，既學矣，患其不博。既博矣，患其不習。既習矣，患其不能知。其不習。既習矣，患其不能知?！?33古典數學的形成與發(fā)展時期古典數學的形成與發(fā)展時期 關于學習態(tài)度。關于學習態(tài)度。 “夫學同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習。夫學同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習?！?34 中國數學史上最先完成勾股定理證明的數學家，是公元中國數學史上最先完成勾股定理證明的數學家，是公元3世世紀三國時期的趙爽（吳）。趙爽注紀三國時期的趙爽（吳）。趙爽注周髀算經周髀算經，作，作“勾股圓勾股圓方圖方圖”，其中的，其中的“弦圖弦圖”，相當于運用面積的出入相補證明了，相當于運用面積的出入相補證

25、明了勾股定理。勾股定理。 考察以一直角三角形的勾和股為考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個正方形的合并圖形，其面積邊的兩個正方形的合并圖形，其面積應有應有 如果將這合并圖形所含如果將這合并圖形所含的兩個三角形移補到圖中所示的位置，的兩個三角形移補到圖中所示的位置，將得到一個以原三角形之弦為邊的正將得到一個以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應為方形，其面積應為 ，因此，因此 .22ba 2c.222cba35勾股定理的證明勾股定理的證明弦弦 圖圖abcaa2b236古代數學家趙爽古代數學家趙爽 趙爽，又名嬰，字君卿，趙爽，又名嬰，字君卿，中國中國數學家。東漢末至三國時數學家。東漢末至三國時代吳國

26、人。他是我國歷史上著名的數學家與天文學家。代吳國人。他是我國歷史上著名的數學家與天文學家。生平不詳，約生活于公元生平不詳，約生活于公元3世紀初。趙爽的世紀初。趙爽的周髀算經注周髀算經注逐段解釋逐段解釋周髀周髀經文。經文。 37古代數學家趙爽古代數學家趙爽 趙爽自稱負薪余日，研究趙爽自稱負薪余日，研究周髀周髀，遂為，遂為之作注，可見是一個未脫離體力勞動的天之作注，可見是一個未脫離體力勞動的天算學家。算學家。383.1.33.1.3九章算術九章算術 九章算術九章算術是中國古典數學最重要的著作。成書年代至遲是中國古典數學最重要的著作。成書年代至遲在公元前在公元前1世紀，其中的數學內容，有些也可以追溯

27、到周代。世紀，其中的數學內容，有些也可以追溯到周代。 周禮周禮記載記載,西周貴族子弟必學的六門課程（西周貴族子弟必學的六門課程（“六藝六藝”）中）中有一門是有一門是“九數九數”，劉徽，劉徽九章算術注九章算術注“序序”中就稱中就稱九章算九章算術術是由是由“九數九數”發(fā)展而來，并經過西漢張蒼（發(fā)展而來，并經過西漢張蒼（?-公元前公元前152）、）、耿壽昌等人刪補。耿壽昌等人刪補。 九章算術采用問題集的形式，全書九章算術采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章。個問題，分成九章。 39中國古代數學體系形成中國古代數學體系形成九章算術是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數學發(fā)展的總結，就其數學成就

28、來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發(fā)展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。 40中國古代數學體系形成中國古代數學體系形成秦漢時期強調數學的應用性。成書于東漢初年的九章算術，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其

29、解法。 九章算術有幾個顯著的特點：采用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發(fā)展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。41九章算術九章算術的內容是由周代的的內容是由周代的“九九數數”發(fā)展而來的。劉徽稱：發(fā)展而來的。劉徽稱：“周公制周公制禮而有九數，九數之流則禮而有九數，九數之流則九章九章是是矣矣”。 九章算術九章算術標志著中國傳統數標志著中國傳統數學的知識體系已初步形成。代學的知識體系已初步形成。代表了中國傳統數學體系和思想方表了中國傳統數學體系和思想方法的特點：注重實際問題的數值法的特點：注重實際問題的數值計算方法，缺少抽象的理論和邏計算方法，缺少抽

30、象的理論和邏輯系統性，使用算籌，形成世界輯系統性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計算上獨有的計算工具和程序化計算方法方法明代刊印的九章算術注 42中國古代數學體系形成中國古代數學體系形成 九章算術在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發(fā)展。 43 1.1.方田方田：主要是田畝面積的計算和分數的計算，是世界主要是田畝面積的計算和分數的計算，是世界 上最早對分數進行系統敘述的著作。上最早對分數進行系統敘述的著作。 2.2.粟米粟米：組好事糧食交易的計算方法，

31、其中涉及許多比組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比 例問題。例問題。 3.3.衰衰（讀作（讀作“翠翠”）分分：主要內容為分配比例的算法。：主要內容為分配比例的算法。 4.4.少廣少廣：主要講開平方和開立方的方法。：主要講開平方和開立方的方法。 5.5.商功商功：主要是土石方和用工量等工程數學問題，以體：主要是土石方和用工量等工程數學問題，以體 積的計算為主。積的計算為主。 6.6.均輸均輸：計算稅收等更加復雜的比例問題。：計算稅收等更加復雜的比例問題。 7.7.盈不足盈不足：雙設法的問題。：雙設法的問題。 8.8.方程方程：主要是聯立一次方程組的解法和正負數的加減：主要是聯立一次方程組的解

32、法和正負數的加減 法，在世界數學史上是第一次出現。法，在世界數學史上是第一次出現。 9.9.勾股勾股：勾股定理的應用。：勾股定理的應用。九章算術九章算術的內容的內容44( (一）算術方面一）算術方面 （1）分數四則運算法則。）分數四則運算法則。九章算術九章算術“方田方田”章給出了完整章給出了完整的分數加、減、乘、除以及約分和通分運算法則。的分數加、減、乘、除以及約分和通分運算法則。 “約分術：可半者半之不可半者，副置分母、子之數，以約分術：可半者半之不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也以等數約之少減多，更相減損，求其等也以等數約之”45 （2）比例算法。）比例算法。九章算術

33、九章算術“粟米粟米”、“衰分衰分”、“均輸均輸”諸章集中討論比例問題，并提出諸章集中討論比例問題，并提出“今有術今有術”作為解決各類比例問作為解決各類比例問題的基本算法。題的基本算法。 a: b=c: x設從比例關系設從比例關系求求x, 九章算術九章算術稱稱a為為“所有率所有率”，b為為“所求率所求率”，c為為“所有所有數數”，x為為“所求數所求數”。今有術相當于。今有術相當于abcx “今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法實如今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法實如法而一法而一”46 以以“今有術今有術”為基礎，為基礎，“衰分衰分”章處理正、反比例分配問章處理正、反比例分配問

34、題，題，“衰分衰分”就是按一定級差分配。就是按一定級差分配。“均輸均輸”章則運用比例分配章則運用比例分配解決糧食運輸負擔的平均分配。解決糧食運輸負擔的平均分配。 （3）盈不足術。）盈不足術?！坝蛔阌蛔恪毙g是以盈虧類問題為原型，通術是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設來求繁難算術問題的解的方法。過兩次假設來求繁難算術問題的解的方法。 47 九章算術九章算術中典型的盈虧類問題如：中典型的盈虧類問題如： 今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數、物價各幾今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數、物價各幾何？何？ 一般地假設人數為一般地假設人數為 ，物價為，物價為 ，每人出錢，每人出錢 盈盈

35、 ，出錢，出錢 不不足足 。九章算術九章算術“盈不足術盈不足術”相當于給出解法：相當于給出解法： xy1a1b2a2b“盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下令維乘所出率，盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下令維乘所出率，并，以為實并盈、不足為法實如法而一盈、不足相與同并，以為實并盈、不足為法實如法而一盈、不足相與同其買物者，置所出率，以少減多余，以約法、實實為物價，其買物者，置所出率，以少減多余，以約法、實實為物價，法為人數法為人數”48211221bbbabaxy分兩部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，分兩部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：其公式是：211221212

36、1,aababayaabbx第二部分是求人數、物價的公式：第二部分是求人數、物價的公式：49 任何算術問題（不一定是盈虧類問題），通過兩次假任何算術問題（不一定是盈虧類問題），通過兩次假設未知量的值，都可以轉換成盈虧類問題來求解。設未知量的值，都可以轉換成盈虧類問題來求解。九章九章算術算術“盈不足盈不足”章就用這種方法解決了許多不屬于盈虧類章就用這種方法解決了許多不屬于盈虧類的問題。的問題。 “盈不足術盈不足術”在中世紀阿拉伯數學著作中稱為在中世紀阿拉伯數學著作中稱為“契丹契丹算法算法”，即中國算法。，即中國算法。50（二）代數方面（二）代數方面（1）方程術。）方程術?！胺匠绦g方程術”即線性聯

37、立方程組的解法。即線性聯立方程組的解法。 以“方程”章第1題為例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問：上、中、下禾實一秉各幾何？” 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三 51方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方中、左禾列如右方以右行上禾三十九斗，于右方中、左禾列如右方以右行上禾遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除左

38、方下禾然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除左方下禾不盡者，上為法，下為實實即下禾之實求中禾，不盡者，上為法，下為實實即下禾之實求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實以法乘中行下實，而除下禾之實余如中禾秉數而一，即中禾之實求上禾亦以法乘余如中禾秉數而一，即中禾之實求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實余如上禾秉數而一右行下實，而除下禾、中禾之實余如上禾秉數而一，即上禾之實實皆如法，各得一斗，即上禾之實實皆如法，各得一斗”52 題中題中“禾禾”為黍米為黍米(黍黍,音音“署署”)，“秉秉”指捆，指捆，“實實”是打下來的糧食。設上、中、下、禾各一秉打出的糧食分是打下來的糧食。設上、中、下、禾各一秉打出

39、的糧食分別為別為 （斗），則問題就相當于解一個三元一次聯立（斗），則問題就相當于解一個三元一次聯立方程組：方程組： .2632,3432,3923zyxzyxzyxzyx,53 九章算術沒有表示未知數的符號，而是用算籌將 的系數和常數項排列成一個方陣（如圖,其中已將籌算數碼換作阿拉伯數碼），這就是“方程”一詞的來源。 “方程術”的關鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下： zyx, 用圖(i)右行上禾 的系數3“遍乘”中行和左行各數，然后從所得結果按行分別“直除”右行，即連續(xù)減去右行各數，就得到圖(ii)所示的新方程。 )(x 其次以圖(ii)中行中禾 的系數5遍乘左行各數，從所得結果直除

40、中行并約分，右得到圖(iii)所示的新方程。其中左行未知量系數只剩一項，以4除11，即得下禾 （斗）。 )(y432)(z54 為求上禾 和中禾 ，重復“遍乘直除”程序。以圖(iii)左行下禾 的系數4遍乘中行和右行各數，從所得結果按行分別直除左行并約分，最后得到圖(iv)所示的新方程。由此方程計算得 )(x)(y)(z上禾 ，中禾 ，下禾 。419)(x414)(y432)(z 九章算術方程術的遍乘直除算法，實質上就是我們今天所使用的解線性聯立方程組的消元法，西方文獻中稱之為“高斯消去法”。 55 （2）正負術。九章算術在代數方面的另一項突出貢獻是負數的引進。 九章算術正是在“方程”章中提出

41、了“正負術”，即正、負數的加減運算法則： “同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。” 對負數的認識是人類數系擴充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發(fā)現，那么如前所述可以看到，中算負數則是算法思維的產物。 56 (3) 開方術。九章算術“少廣”章有“開方術”和“開立方術”，給出了開平方和開立方的算法。九章算術開方術本質上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數值解之先河。 九章算術開方術實際上包含了二次方程 的數值求解程序，稱為“開帶從平方法”。 cbxx257 稍后的劉徽在“開方術注”中明確提出了用十進制小數任意逼近不盡根

42、數的方法，他稱之為求微數法，并指出在開方過程中，“其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也.” 九章算術開方術中特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”，并給這種不盡根數起了一個專門的名字“面”。 58開方術開方術: : 開平方和開立方的算法開平方和開立方的算法 本質本質: : 減根變換減根變換 過程過程: 開方術相當于解方程開方術相當于解方程: x2=A. 設解設解 x 是一個是一個 k 位數位數 , 令令x=10k 1x1 , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)? 102k 2x12 = A , 儀得儀得x1的整數部分的整數部分, 記

43、記為為 , 令令 ,則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)? ,其中其中1x111210 xxx212121a xb xA222221222111111010;10102;10kkkabxAAx再議得再議得x2的整數部分的整數部分,記為記為 ,令令 , 則方程變則方程變?yōu)闉? , 其中其中上述過程一直下去上述過程一直下去.2x122310 xxx223232a xb xA2121212121121210;(2) 10;()aaba xbAAa xbx59二次方程的數值求解算法稱為二次方程的數值求解算法稱為“開帶從平方法開帶從平方法”. .“開方術開方術” 指出了開方有指出了開方有開不盡開不盡的情形：的情形： “若開之不盡者，為不可開若開之不盡者，為不可開”。 不盡根數專門的名字不盡根數專門的名字面面60（三）幾何方面 九章算術“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積問題，“商功”章討論體積問題，“勾股”章則是關于勾股定理的應用。 各種幾何圖形的