現(xiàn)代控制理論最優(yōu)控制

1、現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第七章第七章 最優(yōu)控制最優(yōu)控制1.1.最優(yōu)控制是什么最優(yōu)控制是什么? ? 什么是最優(yōu)控制問題什么是最優(yōu)控制問題? ? 1.1 數(shù)學上的最優(yōu)方法或提法是極值問題，數(shù)學上的最優(yōu)方法或提法是極值問題， 極值問題是函數(shù)的極值問題極值問題是函數(shù)的極值問題.這表明這表明, 當自變量取何值時，函數(shù)或同變量達到當自變量取何值時，函數(shù)或同變量達到 極值。極值。 顯然對照這種條件或仿照這種方法顯然對照這種條件或仿照這種方法,最優(yōu)最優(yōu)控制理論的提供或問題的表達式為控制理論的提供或問題的表達式為:當控制當控制函數(shù)滿足何種條件時函數(shù)滿足何種條件時,其目標函數(shù)達到極值其目標函數(shù)達到極值.明顯地兩者

2、之間的差異和相同處在于明顯地兩者之間的差異和相同處在于:相同相同: 都要在給定目標函數(shù)條件下都要在給定目標函數(shù)條件下,求使目標求使目標 函數(shù)取極值的函數(shù)式變量函數(shù)取極值的函數(shù)式變量.相異相異: 一個是求函數(shù)的極值時的變量取值問題一個是求函數(shù)的極值時的變量取值問題,另一個是求函數(shù)極值時求控制函數(shù)的問題另一個是求函數(shù)極值時求控制函數(shù)的問題. 由于最優(yōu)控制中，目標函數(shù)依賴于控制由于最優(yōu)控制中，目標函數(shù)依賴于控制函數(shù)函數(shù)u(t),因而也稱目標函數(shù)為目標泛函因而也稱目標函數(shù)為目標泛函. 因此最優(yōu)控制問題實際上是求使目標泛因此最優(yōu)控制問題實際上是求使目標泛函取極值的控制規(guī)律問題函取極值的控制規(guī)律問題. 1

3、.2 1.2 最優(yōu)控制的提法最優(yōu)控制的提法 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程給定系統(tǒng)狀態(tài)方程 和目標函數(shù)和目標函數(shù)(泛函泛函) 求最優(yōu)控制求最優(yōu)控制u(t) U , 使使J（u）最大或最）最大或最 小小, U是是 的一個子集的一個子集,可開可閉。可開可閉。00, , ( )xfx u tx tt0( )( , , )( (),)ftfftJ uL x u t dtx ttRn 2.2.求最優(yōu)控制的方法求最優(yōu)控制的方法 1. 變分法變分法: 17 世紀世紀,無約束最優(yōu)控制無約束最優(yōu)控制 2. 最大值原理：前蘇聯(lián)龐特里雅金在最大值原理：前蘇聯(lián)龐特里雅金在20世世 紀紀50年代提出年代提出. (有約束最優(yōu)控制有約束

4、最優(yōu)控制) 3. 動態(tài)規(guī)劃：美國貝爾曼動態(tài)規(guī)劃：美國貝爾曼1957年提出年提出,求解求解 最優(yōu)控制策略應用于彈道優(yōu)化是控制策略最優(yōu)控制策略應用于彈道優(yōu)化是控制策略.3. 3. 實現(xiàn)最優(yōu)控制的必備條件實現(xiàn)最優(yōu)控制的必備條件 1. 具有適當精度的數(shù)學模型具有適當精度的數(shù)學模型; 2. 有明確的控制約束有明確的控制約束; 3. 有明確的目標函數(shù)有明確的目標函數(shù),其大小能反映出所設其大小能反映出所設計的控制系統(tǒng)的優(yōu)劣計的控制系統(tǒng)的優(yōu)劣. 4. 4. 典型的最優(yōu)控制問題典型的最優(yōu)控制問題 （1）最小時間問題）最小時間問題; （2）最小能量問題）最小能量問題; （3）最省燃料問題）最省燃料問題; （4）狀

5、態(tài)調(diào)節(jié)器問題）狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題; 當系統(tǒng)的狀態(tài)偏離平衡點當系統(tǒng)的狀態(tài)偏離平衡點 時時,可用可用狀態(tài)的平方和的積分衡量誤差的積累狀態(tài)的平方和的積分衡量誤差的積累. 目標函數(shù)可取為目標函數(shù)可取為 更一般的取為狀態(tài)變量的加權平方和的積更一般的取為狀態(tài)變量的加權平方和的積分分:0ex 0( )( ) ( )ftTtJ uxt x t dt0( )( )( )ftTtJ uxt Qx t dt 并對控制應有約束并對控制應有約束,如不如不,則控制會無窮大則控制會無窮大,則則目標泛函為目標泛函為 當有終點約束要求時當有終點約束要求時 （5）跟蹤問題）跟蹤問題. 0( )( )( )ftTTtJ uxt Qx

6、tu Ru dt011( )()()( )( )22ftTTTfftJ uxtFx txt Qx tu Ru dt5. 5. 線性二次型最優(yōu)控制問題線性二次型最優(yōu)控制問題 所謂二次型最優(yōu)控制問題所謂二次型最優(yōu)控制問題,實際上是指實際上是指目標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次目標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型型. 如狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題如狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,而線性二次型最優(yōu)而線性二次型最優(yōu)控制問題控制問題:則是除目標函數(shù)是狀態(tài)變量和控則是除目標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型制變量的二次型,而且它的狀態(tài)方程是線性而且它的狀態(tài)方程是線性微分方程微分方程,即即 情況下，線性調(diào)節(jié)器或狀態(tài)調(diào)節(jié)器是最常情況下，線性

7、調(diào)節(jié)器或狀態(tài)調(diào)節(jié)器是最常見的一類線性二次型問題見的一類線性二次型問題.00( )( ) ,( )xA t xB t ux tx 最優(yōu)控制的目的是最優(yōu)控制的目的是:當線性系統(tǒng)由于某種當線性系統(tǒng)由于某種原因偏離出原來的平衡狀態(tài)原因偏離出原來的平衡狀態(tài),控制的目的是控制的目的是使系統(tǒng)的狀態(tài)使系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)盡量接近平衡狀態(tài)盡量接近平衡狀態(tài),而所用而所用的量又不能太大的量又不能太大,控制能量一般描述為控制控制能量一般描述為控制變量的二次型變量的二次型. 因此目標函數(shù)選為因此目標函數(shù)選為: Q Q和和R R為加權矩陣為加權矩陣, ,調(diào)整調(diào)整Q Q和和R R的元素的元素,就是調(diào)就是調(diào)整狀態(tài)變量接近整狀態(tài)

8、變量接近“平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)”和和“控制的量控制的量不能太大不能太大”這兩個目標的重視程度這兩個目標的重視程度.01( )()2ftTTtJ ux Qxu Ru dt 6 6、研究線形二次型問題的重要性、研究線形二次型問題的重要性 1).1).相當多的最優(yōu)控制問題是線性二次型相當多的最優(yōu)控制問題是線性二次型問題問題 2).2).線性二次型問題理論上比較完善，其線性二次型問題理論上比較完善，其最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的反饋（或最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的反饋（或u=-kx)u=-kx)，所以應用比較方便，閉環(huán)品質(zhì)較準。所以應用比較方便，閉環(huán)品質(zhì)較準。 因此，最優(yōu)控制也是狀態(tài)反饋控制問題因此，最優(yōu)控制也是狀態(tài)反饋

9、控制問題，即，即 即即 ， 的目的的目的在于使系統(tǒng)的狀態(tài)回到在于使系統(tǒng)的狀態(tài)回到 的系統(tǒng)原平衡的系統(tǒng)原平衡點位置處，當然若系統(tǒng)的原平衡點不為零，點位置處，當然若系統(tǒng)的原平衡點不為零，則應先通過坐標變換，使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為則應先通過坐標變換，使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為零零.0rurk xukx 0ex 0r 7 7、線性二次型最優(yōu)控制的解（或二次型最、線性二次型最優(yōu)控制的解（或二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器）優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器） 方法：變分法或最大值原理，研究非時方法：變分法或最大值原理，研究非時變理論變理論 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程，給定系統(tǒng)狀態(tài)方程， （1）確定下列最優(yōu)控制向量的確定下列最優(yōu)控制向量的矩陣矩陣k k, （2

10、） 使下列性能指標達到最小值使下列性能指標達到最小值 （3） 式中式中Q Q、R R為正定為正定實對稱陣。實對稱陣。00, ( )xAxBu x tx( )( )u tkx t 01()2TTJx Qxu Ru dt 求最優(yōu)控制問題，實際歸納為求求最優(yōu)控制問題，實際歸納為求k k，下面求，下面求解過程解過程 1.1.將（將（2 2）代入（）代入（1 1）可得：）可得： （4） 在下面的在下面的推導過程中，假設矩陣推導過程中，假設矩陣A-BkA-Bk是穩(wěn)定是穩(wěn)定矩陣，即矩陣，即A-BkA-Bk的特征值都的特征值都具有負實部。具有負實部。 ()xAxBkxABk x 2. 2. 將（將（2 2）代

11、入（）代入（3 3）可）可得：得： 令令 式中式中P為正定為正定實對稱陣實對稱陣 于是得到于是得到 將式（將式（4）的結(jié)果代入后得：）的結(jié)果代入后得：0011()()22TTTTTJx Qxx k Rkx dtxQk Rk xdt()(. . )TTTdxQk Rk xx P xdt ()TTTTxQk Rk xx Pxx Px ()TTTTxQk Rk xxABkPP ABkx 如果要對于所存如果要對于所存x均成立，則均成立，則 （5 5） 顯然對式（顯然對式（5 5）來說，若）來說，若A-BkA-Bk為穩(wěn)定矩陣，為穩(wěn)定矩陣，則必存在一個正定矩陣則必存在一個正定矩陣P P，并滿足式（，并滿足

12、式（5 5）. . 3. 3.有了式（有了式（5 5）以后，問題轉(zhuǎn)化為求）以后，問題轉(zhuǎn)化為求P P，并，并檢驗檢驗P P是否正定陣是否正定陣。()()()TTQk RkABkPP ABk 4.性能指標可計算如下性能指標可計算如下: 由于由于A-BkA-Bk是穩(wěn)定矩陣是穩(wěn)定矩陣，因此，因此 ，故而故而顯然性能指標可由初始條件和顯然性能指標可由初始條件和P P算得算得。0011()22TTTJxQk Rk xdtx Px 1(00 )2TTxPxxPx 0 x 1002TJxPx5.以下求以下求k 由于由于R為正定實對稱陣，故為正定實對稱陣，故 ，其，其中中T為非奇異矩陣，于是方程式（為非奇異矩陣

13、，于是方程式（5）可以）可以寫成寫成 （6） 由于目標泛函可歸結(jié)為或需滿足式（由于目標泛函可歸結(jié)為或需滿足式（5）或式（或式（6）的要求，同時泛函）的要求，同時泛函J對對k極小值的極小值的問題可歸結(jié)為方程式（問題可歸結(jié)為方程式（5）或式（）或式（6）對）對k取取極小值的問題極小值的問題。TRT T0TTTTTAk BPP ABkQk T Tk 也就是說，當也就是說，當k取何值時，式（取何值時，式（5）或式（）或式（6）為極小，這樣可將式（）為極小，這樣可將式（6）改寫為）改寫為: 或或 （7） 111.0TTTTTTTA PPATKTB PTKTB PPBR B PQ111.0TTTTTTTA

14、 PPAPBR B PQTKTB PTKTB P 在式（在式（7）中，第一項與）中，第一項與K無關，因此無關，因此若第二項取極小，則能得證該式為最小，若第二項取極小，則能得證該式為最小，考慮到第二項為二次型的形式，即它們是考慮到第二項為二次型的形式，即它們是每個元素的平方和，其結(jié)果非負，因此若每個元素的平方和，其結(jié)果非負，因此若使二次型取得最小值，則使得構(gòu)成向量的使二次型取得最小值，則使得構(gòu)成向量的元素為零即可，即：元素為零即可，即： 或或 （8） 時才出現(xiàn)極小值。時才出現(xiàn)極小值。10TTTKTB P111TTTKTTB PR B P 因此，因此，當當二次型最優(yōu)控制問題的性能指二次型最優(yōu)控制問

15、題的性能指標如前所描述的那樣。標如前所描述的那樣。 其最優(yōu)控制為其最優(yōu)控制為 其中其中P應滿足應滿足 （9） 式（式（9）稱為退化的矩陣黎卡提方程。）稱為退化的矩陣黎卡提方程。 TTukxR B Px 10TTA PPAPBR B PQ 8. 8. 線性二次型最優(yōu)控制的設計步驟線性二次型最優(yōu)控制的設計步驟 1 1）. .解黎卡提方程解黎卡提方程, ,求出矩陣求出矩陣P,P,并檢驗并檢驗P P的的正定性正定性, ,如如P P正定正定, ,則則 A A BK BK是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的; ; 2 2）. . 將解出的將解出的P,P,代入代入 中中, 得到得到 最優(yōu)控制最優(yōu)控制 1K=TR B PQKx

16、例例2. 考慮如圖所表示的系統(tǒng)考慮如圖所表示的系統(tǒng).假如控制信號假如控制信號為為( )( )u tKx t 試確定最優(yōu)反饋增益試確定最優(yōu)反饋增益 K K ,使得下列性能指標使得下列性能指標達到最小達到最小 式中式中 201( )()2TJ ux Qxudt100Q(0),1R 解解.1.) 先寫出對象的狀態(tài)方程先寫出對象的狀態(tài)方程 12010,001TxAxBuABxxx 2.) 求求P,由于由于 ,故故 則假設則假設 2 2AR2 2PR11122122ppPpp 有黎卡提方程有黎卡提方程 可得可得 10TTA PPAPBR B PQ 1111211121112111221222122212221220 00 101 00 00 11 00 0100 01pppppppppppppppp 上述方程上述方程,計算后得到計算后得到 先設先設P為實對稱矩陣為實對稱矩陣,則則1221111222211222112212210000p ppp ppp pppp1 22 1pp 故可得到下列方程故可得到下列方程a, b,C, d,21210p1112220ppp2