第8章 含耦合電感的電路

1、1第8章 具有耦合電感元件的電路分析l重點重點1.互感和互感電壓互感和互感電壓2.互感電路的計算互感電路的計算3.空心變壓器和理想變壓器空心變壓器和理想變壓器28.1 交流電路中的磁耦合1.磁耦合線圈磁耦合線圈 耦合電感元件屬于多端元件，在實際電路中，如收音機、耦合電感元件屬于多端元件，在實際電路中，如收音機、電視機中的中周線圈、振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器電視機中的中周線圈、振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件。等都是耦合電感元件。線圈線圈1 1通入電流通入電流i i1 1時，在線圈時，在線圈1 1中產(chǎn)生磁通中產(chǎn)生磁通( (magneticmagnetic fluxflux

2、) )，同時，有部分磁通穿過臨近線圈同時，有部分磁通穿過臨近線圈2 2，這部分磁通稱為互感磁通，這部分磁通稱為互感磁通, ,即兩線圈間存在著磁的耦合作用。即兩線圈間存在著磁的耦合作用。+u11+u21i1 11 21N1N23 當當一個一個線圈周圍無鐵磁物質(zhì)時，其磁鏈線圈周圍無鐵磁物質(zhì)時，其磁鏈 1 1與其與其i i1 1 成正比成正比, ,即有即有1111 11 (H)LiL稱 為自感系數(shù)，單位亨。 當兩個線圈都有電流時，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與當兩個線圈都有電流時，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和：互磁鏈的代數(shù)和： 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 。為

3、互感系數(shù)，單位亨為互感系數(shù)，單位亨、稱稱H)( 2112MM注意注意M M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈中的電流無關(guān)，只要磁場的媒質(zhì)是靜止的就有中的電流無關(guān)，只要磁場的媒質(zhì)是靜止的就有M M1212=M=M21212.磁鏈磁鏈 =N （1）一個線圈的情況一個線圈的情況（2）兩個線圈的情況兩個線圈的情況43. . 耦合系數(shù)耦合系數(shù) k 用耦合系數(shù)用耦合系數(shù)k k 表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。它表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。它與線圈與線圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。121defLLMk當

4、當 k=1 稱全耦合稱全耦合: : 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即有有 11= 21 ， 22 = 122211221 112 211221 12 212121M iM iMMkLiL iL LL L4. .互感現(xiàn)象的利與弊互感現(xiàn)象的利與弊5在一些電工設(shè)備，例如變壓器中，為了更有效的傳輸信號或在一些電工設(shè)備，例如變壓器中，為了更有效的傳輸信號或功率，總是采用極其緊密的耦合，使耦合系數(shù)功率，總是采用極其緊密的耦合，使耦合系數(shù)k盡可能接近盡可能接近于于1，因而一般都采用鐵磁材料制成鐵心，并且將輸入線圈，因而一般都采用鐵磁材料制成鐵心，并且將輸入線圈和輸出線圈同心繞制。和輸出線圈同心繞制。在工程上

5、有時要盡量減小互感，以避免線圈之間信號的相互干在工程上有時要盡量減小互感，以避免線圈之間信號的相互干擾，希望耦合系數(shù)擾，希望耦合系數(shù)k盡可能趨近于零，為此，可以采用增加屏盡可能趨近于零，為此，可以采用增加屏蔽的方法，還可以合理布置這些線圈的相互位置來減少互感作蔽的方法，還可以合理布置這些線圈的相互位置來減少互感作用。用。利利弊弊6當當i i1 1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。 dddd111111tiLtu 當當i i1 1、u u1111、u u2121方向與方向與 符合右手螺旋時，根據(jù)電磁符合右手

6、螺旋時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律：感應(yīng)定律和楞次定律： 當兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包當兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。含自感電壓和互感電壓。tiMtudd dd 12121 自感電壓自感電壓：互感電壓互感電壓：5. 耦合電感的電壓、電流關(guān)系耦合電感的電壓、電流關(guān)系7111121211221221222dd dddd dddddiiuLMdtdtdtttdddiiuMLdtdtdttt111121 112 2 LiM i 2212221 12 2 M i L i當將上面（當將上面（a)圖中任一個線圈上的電流反向，則有圖中任一個線圈上的電流

7、反向，則有1221MM8 在以上式子中，兩線圈的自感磁鏈和互感磁鏈在以上式子中，兩線圈的自感磁鏈和互感磁鏈“相助相助”， 則互感電壓取則互感電壓取正，正，否則取負。這表明，否則取負。這表明，自感磁鏈和互感磁自感磁鏈和互感磁 鏈是鏈是”相助相助“還是還是”相消相消”或或 者說者說互感電壓的正與負取決互感電壓的正與負取決于于 （1 1）兩個線圈電流的參考方向。）兩個線圈電流的參考方向。 注注意意22122111 jjjjILIMUIMILU在正弦交流電路中，上面方程的相量形式可以合并寫為在正弦交流電路中，上面方程的相量形式可以合并寫為111121 112 2 LiM i 2212221 12 2

8、M i L i 111121211221221222dd dddd dddddiiuLMdtdtdtttdddiiuMLdtdtdttt 1221MM9存在的問題存在的問題（2）兩個線圈的相對位置及繞向。兩個線圈的相對位置及繞向。 在實際電路的情況下，耦合線圈往往是密封的，看不見在實際電路的情況下，耦合線圈往往是密封的，看不見線圈的相對位置和導(dǎo)線繞向，更何況在電路圖中真實地繪出線線圈的相對位置和導(dǎo)線繞向，更何況在電路圖中真實地繪出線圈的繞向也很不方便。圈的繞向也很不方便。解決方法解決方法 人們引入一種同名端標志，根據(jù)同名端與電流的參考方向人們引入一種同名端標志，根據(jù)同名端與電流的參考方向可以非

9、常方便地判定磁通是可以非常方便地判定磁通是“相助相助”還是還是“相消相消”。105.互感線圈的同名端互感線圈的同名端對自感電壓，當對自感電壓，當u u11 11 , , i i1 1 取關(guān)聯(lián)參考方向，取關(guān)聯(lián)參考方向， u11 , i1與與 1111符符合右螺旋定則，其表達式為合右螺旋定則，其表達式為 dddd dd 111111111tiLtNtu 上式說明，對于自感電壓由于電壓、電流為同一線圈上的，上式說明，對于自感電壓由于電壓、電流為同一線圈上的，只要電壓、電流參考方向確定了，其數(shù)學(xué)描述便可容易地寫出，只要電壓、電流參考方向確定了，其數(shù)學(xué)描述便可容易地寫出，無需考慮線圈繞向。無需考慮線圈繞

10、向。i1u11對互感電壓，因產(chǎn)生該電壓的的電流在另一線圈上，因此，對互感電壓，因產(chǎn)生該電壓的的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，就必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯要確定其符號，就必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。得很不方便。為解決這個問題引入同名端的概念。為解決這個問題引入同名端的概念。 5.1 自感電壓的確定無需了解線圈繞向自感電壓的確定無需了解線圈繞向 5.2 互感電壓的確定必須了解線圈繞向互感電壓的確定必須了解線圈繞向 11tiMutiMudd dd1313112121 當兩個電流分別從兩個線圈的對應(yīng)端子同時流入或流出，若當兩個電流分別從兩個線圈的對應(yīng)端子同

11、時流入或流出，若所產(chǎn)生的磁通方向相同而所產(chǎn)生的磁通方向相同而“相助相助”，即磁通相互加強時，則這兩，即磁通相互加強時，則這兩個對應(yīng)端子稱為該兩互感線圈的同名端。個對應(yīng)端子稱為該兩互感線圈的同名端。 * 5.3同名端同名端i1i2i3線圈的同名端是對于兩個互感線圈中的線圈的同名端是對于兩個互感線圈中的一對一對端子而言的，端子而言的，因此必須每兩個線圈分別因此必須每兩個線圈分別成對成對確定。確定。+u11+u21 11 0N1N2+u31N3 s注注意意125.4 確定同名端的兩類方法確定同名端的兩類方法(1) 當兩個線圈中電流同時由同名端流入當兩個線圈中電流同時由同名端流入( (或流出或流出)

12、)時，兩時，兩個電流產(chǎn)生的磁場相互增強。個電流產(chǎn)生的磁場相互增強。 i1122*112233* 例例(2) 當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈對應(yīng)同名端的電位升高。會引起另一線圈對應(yīng)同名端的電位升高。 （1)1)在線圈的繞向和相對位置已知的情況下，可以根據(jù)同名在線圈的繞向和相對位置已知的情況下，可以根據(jù)同名端的定義來判斷端的定義來判斷; ;（2)2)對于實際的耦合電感線圈產(chǎn)品，同名端一對于實際的耦合電感線圈產(chǎn)品，同名端一般已由廠家提供，也可以通過實驗方法測定。般已由廠家提供，也可以通過實驗方法測定。(1)根據(jù)定義判斷耦合線

13、圈的同名端根據(jù)定義判斷耦合線圈的同名端13i1*u21+MtiMudd121 i1*u21+MtiMudd121 例例14i11122*R SV+在如圖所示的實驗電路中，當在如圖所示的實驗電路中，當開關(guān)開關(guān)S迅速閉合時，就有一個隨迅速閉合時，就有一個隨時間增大的電流時間增大的電流i1從電源正極流從電源正極流入線圈端子入線圈端子1，即在線圈，即在線圈1上產(chǎn)上產(chǎn)生了自感電壓。由于生了自感電壓。由于di1/dt0故故1端線圈端線圈1的實際高電位。的實際高電位。（2）耦合線圈同名端）耦合線圈同名端 的實驗測定方法的實驗測定方法由于電壓表內(nèi)阻無窮大，由于電壓表內(nèi)阻無窮大，22開路，線圈開路，線圈2中的電

14、流為零，其上中的電流為零，其上的自感電壓為零，所以電壓表指示為的自感電壓為零，所以電壓表指示為i1在線圈在線圈2上產(chǎn)生的互感電壓。上產(chǎn)生的互感電壓。如果電壓表指針正向偏轉(zhuǎn)，則表明端鈕如果電壓表指針正向偏轉(zhuǎn)，則表明端鈕2為線圈為線圈2的實際高電位端的實際高電位端（端鈕（端鈕2和電壓表和電壓表“”端相連）；由此可以判斷端子端相連）；由此可以判斷端子1和和2是同是同名端，當然名端，當然1和和2也是同名端。這種結(jié)果用式子可以表達如下：也是同名端。這種結(jié)果用式子可以表達如下：151122 0, 0didiuMdtdt電壓表正偏。電壓表正偏。對于黑盒線圈的對于黑盒線圈的應(yīng)用應(yīng)用 當兩組線圈裝在黑盒里，只引

15、出四個端線組，要確定其當兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結(jié)論來加以判斷。同名端，就可以利用上面的結(jié)論來加以判斷。相反，如果電壓表指針反向偏轉(zhuǎn)，則說明端鈕相反，如果電壓表指針反向偏轉(zhuǎn)，則說明端鈕2為實際高電位端，為實際高電位端，則端鈕則端鈕1與與2為同名端。為同名端。i11122*R SV+16 有了同名端，以后表示兩個線圈相互作用，就不再需要考有了同名端，以后表示兩個線圈相互作用，就不再需要考慮它們的實際繞向了，而只要畫出慮它們的實際繞向了，而只要畫出同名端同名端以及以及電流電流的的參考方向參考方向即可確定互感電壓的正負。即可確定互感電壓的正負。5.5 自

16、感電壓與自感電壓與互感電壓正負號的確定互感電壓正負號的確定 當所設(shè)定線圈上的當所設(shè)定線圈上的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向時，自感電壓時，自感電壓取取正號正號，其參考方向與該元件電壓參考方向相同，其參考方向與該元件電壓參考方向相同，當所設(shè)定線圈當所設(shè)定線圈上的上的電壓、電流為非關(guān)聯(lián)參考方向電壓、電流為非關(guān)聯(lián)參考方向時，自感電壓時，自感電壓取取負號負號，其參考其參考方向與該元件電壓參考方向相反。方向與該元件電壓參考方向相反。（1）自感電壓正負號的確定自感電壓正負號的確定（2）自感電壓正負號的確定自感電壓正負號的確定 當所設(shè)定兩線圈上電流的參考方向當所設(shè)定兩線圈上電流的參考方向均

17、從同名端流入或流出均從同名端流入或流出的的時，該元件的時，該元件的互感電壓與本線圈的互感電壓與本線圈的自感電壓同符號自感電壓同符號，即兩者的參，即兩者的參考方向相同；考方向相同；當所設(shè)定兩電感電流的參考方向當所設(shè)定兩電感電流的參考方向從異名端流入或流從異名端流入或流出出的時，該元件的的時，該元件的互感電壓與本線圈的自感電壓異號互感電壓與本線圈的自感電壓異號，即兩者的，即兩者的參考方向相反。參考方向相反。概概念念點點17tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2

18、+_u1+_u2i2M例例1對于下列電路，寫出其電壓、電流特性方程。對于下列電路，寫出其電壓、電流特性方程。 i1*L1L2+_u1+_u2i2M1211didiuLMdtdt1222ddddiiuMLtt 18i1*L1L2+_u1+_u2i2M1211didiuLMdtdt 1222ddddiiuMLtt 19例例2i1*L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s，111121212 2含耦含耦合合電電感的感的電電路路如如圖圖所所示示，已知，已知 R = 10 R = 10,L = 5H,L = 5H,L = 2H,M = 1H,L = 2H,M = 1H,電電流i 的流i

19、的波形波形如如圖圖所所示示求求電電流源流源的的端端電電壓壓u(t)u(t)和和開開路路電電壓壓u (t).u (t). tstVstVtiMtu2 021 1010 10dd)(12解解11 11100 50 01d( )100 150 12d0 2tVtsiu tRiLtVtstt tsttstti2 021102010101根據(jù)電流波形得出其表示式為根據(jù)電流波形得出其表示式為根據(jù)電流根據(jù)電流i i1 1的參考方向和同名端位置可得的參考方向和同名端位置可得208.2 耦合電感的串聯(lián)與并聯(lián)耦合電感的串聯(lián)與并聯(lián)1. 耦合線圈的串聯(lián)耦合線圈的串聯(lián)（1）順接串聯(lián)順接串聯(lián)11221212ddddddd

20、dd ()(2)dd deqeqiiiiuRiLMLMR ittttiRR iLLMtiR iLt1212 2eqeqRRRLLLMiReqLequ+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效電路去耦等效電路等效等效兩個耦合線圈的電流均從同名端流入的串聯(lián)方式兩個耦合線圈的電流均從同名端流入的串聯(lián)方式稱為順接串聯(lián)稱為順接串聯(lián), ,其中兩個電感是異名端相連。其中兩個電感是異名端相連。時域討論時域討論：21（2） 反接串聯(lián)反接串聯(lián)1212 2eqeqRRRLLLM11221212dddddddddd ()(2)ddeqeqiiiiuRiLMLMR ittttiiRR iLLMR iLtt)(21

21、21LLM 互感不大于兩個自感的算術(shù)平均值?；ジ胁淮笥趦蓚€自感的算術(shù)平均值。12 20eqLLLMiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iReqLequ+兩個耦合線圈的電流從異名端流入的串聯(lián)方式稱兩個耦合線圈的電流從異名端流入的串聯(lián)方式稱為反接串聯(lián)，為反接串聯(lián)，其中兩個電感是同名端相連。其中兩個電感是同名端相連。等效等效表明表明因為依據(jù)磁場能量公式因為依據(jù)磁場能量公式:W=(1/2)Li:W=(1/2)Li2 2，電感中儲存的能量只能是，電感中儲存的能量只能是正值，所以等效電感不能為負，故有正值，所以等效電感不能為負，故有22結(jié)論結(jié)論（1）順接時兩電感通過同一電流，均從同名端流入，磁場方）順接

22、時兩電感通過同一電流，均從同名端流入，磁場方向相同而相互增強，等效電感增大，故取正號；向相同而相互增強，等效電感增大，故取正號；（2）反接時兩電感通過同一電流，但從異名端流入，磁場方）反接時兩電感通過同一電流，但從異名端流入，磁場方向相反而相互削弱，等效電感減小，故取負號；向相反而相互削弱，等效電感減小，故取負號；（3）互感量值的一種測量方法）互感量值的一種測量方法 耦合電感順接和反接串聯(lián)時，等效電感相差耦合電感順接和反接串聯(lián)時，等效電感相差4M,因此，如果能因此，如果能用儀器測量實際耦合線圈順接串聯(lián)和反接串聯(lián)時兩電感的等效電用儀器測量實際耦合線圈順接串聯(lián)和反接串聯(lián)時兩電感的等效電感值，則因為

23、感值，則因為12 2eqLLLM順 和和12 2eqLLLM反 所以所以順接一次，反接一次，就可以測出互感值，順接一次，反接一次，就可以測出互感值，有有234LLM順eq反eq當全耦合時當全耦合時 有有21LLM 12121221222()eqLLLMLLL LLL當當 L1=L2 時時 , 有有 M= L1=L2 ，又有又有4M 順接順接0 反接反接Leq=所以對于順接和反接有所以對于順接和反接有（4）同名端的一種判別方法）同名端的一種判別方法 如果能用儀器測量出實際耦合線圈順接串聯(lián)和反接串聯(lián)時如果能用儀器測量出實際耦合線圈順接串聯(lián)和反接串聯(lián)時兩電感的等效電感值，則可以根據(jù)等效電感值較大或較

24、小時線兩電感的等效電感值，則可以根據(jù)等效電感值較大或較小時線圈的連接情況來判斷其同名端。圈的連接情況來判斷其同名端。24*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I ) (j)(2121IMLLIRRU+正弦激勵情況正弦激勵情況頻域討論頻域討論：(1)(1)順接串聯(lián)與反接串聯(lián)的順接串聯(lián)與反接串聯(lián)的VCRVCR(2)(2)順接串聯(lián)與反接串聯(lián)的相量圖順接串聯(lián)與反接串聯(lián)的相量圖25*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量圖：相

25、量圖：(a(a) ) 順接順接(b) (b) 反接反接26（1） 同名端并聯(lián)同名端并聯(lián)tiMtiLudddd211 在以上兩式中均利用在以上兩式中均利用i2 = i i1 將兩個將兩個方程化為以方程化為以di1/dt和和di/dt為變量的方程：為變量的方程：2. 耦合線圈的并聯(lián)耦合線圈的并聯(lián)*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 12111111dddddddddddd ddiiiiiuLMLMMtttttiiLMMtt2111222122dddddddddddd =ddiiiiiuLMLLMtttttiiMLLtt27在全耦合在全耦合：L1L2=M2的情況下：的情況下：（1）

26、當）當 L1 L2 ，Leq=0 ( (物理意義不明確物理意義不明確) )（2）當）當 L1=L2 =L ， Leq=L ( (相當于導(dǎo)線加粗，電感不變相當于導(dǎo)線加粗，電感不變) ) 由所得電壓電流關(guān)系由所得電壓電流關(guān)系可得等效電感可得等效電感：0 2)(21221 MLLMLLLeqLequi+去耦等效電路去耦等效電路在上面二元一次方程中在上面二元一次方程中求出求出di/dtdi/dt便可得出便可得出tiMLLMLLudd2)(21221 28（2） 異名端并聯(lián)異名端并聯(lián)*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd211 i = i1 +i2 tiMtiLudddd122 tiMLLML

27、Ludd2)(21221 采用與同名端并聯(lián)的同樣的推導(dǎo)方法解得采用與同名端并聯(lián)的同樣的推導(dǎo)方法解得u u, , i i 的關(guān)系的關(guān)系為為等效電感：等效電感：0 2)(21221 MLLMLLLeq291. .耦合電感的耦合電感的T T形去耦等效電路形去耦等效電路（1）同名端相聯(lián)的同名端相聯(lián)的T T形去耦等效電路形去耦等效電路*j L1 I1 I2 I123j L2j M 12131111211121jj jjjj =jjUL IM IL IM IM IM ILM IMII21 IIIj (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)等效等效8.3 耦合電感的耦合電感的去耦等效電路去耦

28、等效電路30*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)等效等效21232222122212-Uj L Ij M Ij L Ij M Ij M Ij M IjLM Ij MII 21 III31（2）異名端相聯(lián)的異名端相聯(lián)的T T形去耦等效電路形去耦等效電路*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2 I123j Mj (L2M)21113 jj IMILU 12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML 等效等效32結(jié)論結(jié)論（1）去耦等效電路與兩去耦等效電路與

29、兩耦合電感上耦合電感上電流、電壓的函數(shù)形式也即電流、電壓的函數(shù)形式也即 與它們的波形無關(guān)；與它們的波形無關(guān)；（2）作出作出去耦等效電路要求兩個被去耦的去耦等效電路要求兩個被去耦的耦合耦合電感至少有一端電感至少有一端 相連接，另一端連接與否則沒有要求；相連接，另一端連接與否則沒有要求；（3）去耦等效電路與兩個耦合電感上電流、電壓的參考方向無去耦等效電路與兩個耦合電感上電流、電壓的參考方向無 關(guān)，僅取決于兩個關(guān)，僅取決于兩個耦合耦合電感是同名端相連還是異名端相電感是同名端相連還是異名端相 連，分別得出它們相應(yīng)的去耦等效電路。連，分別得出它們相應(yīng)的去耦等效電路。33*Mi2i1L1L2ui+*Mi2

30、i1L1L2u+u+j (L1M) I1 I2 Ij Mj (L2M)j (L1M)1 I2 Ij Mj (L2M)例例等效等效等效等效342111 IMjILjU 1222 IMjILjU *Mi2i1L1L2u1+u2+j L11 I2 Ij L2+2 IMj 1 IMj +2 U+1 U2. .耦合電感的耦合電感的受控源（受控源（CCVS)去耦等效電路去耦等效電路等效等效舉舉例例 對于其它各種電流、電壓參考方向以及同名端標示的情況，對于其它各種電流、電壓參考方向以及同名端標示的情況，也一樣先根據(jù)原始電路列出其對應(yīng)的電壓、電流關(guān)系方程，再按也一樣先根據(jù)原始電路列出其對應(yīng)的電壓、電流關(guān)系方程

31、，再按照所列出的方程畫出它相應(yīng)的照所列出的方程畫出它相應(yīng)的CCVSCCVS去耦等效電路。去耦等效電路。35 在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，含有耦合電感的電路的計算仍應(yīng)用前面在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，含有耦合電感的電路的計算仍應(yīng)用前面 介紹的相量分析方法，具體說，仍是一般電路的兩種分析方法。介紹的相量分析方法，具體說，仍是一般電路的兩種分析方法。8.4 具有耦合電感具有耦合電感電路電路的的計算計算 由于耦合電感上的電壓除包含自感電壓外，還包括互感電壓，由于耦合電感上的電壓除包含自感電壓外，還包括互感電壓，所以含耦合電感電路的分析具有一定的特殊性。所以含耦合電感電路的分析具有一定的特殊性。一般采用支路法一般采用支路法

32、和回路法和回路法計算，計算，有時也采用節(jié)點分析法有時也采用節(jié)點分析法，但是由于所列的節(jié)點方，但是由于所列的節(jié)點方程實質(zhì)上是節(jié)點電流方程，不便考慮節(jié)點電壓，所以，程實質(zhì)上是節(jié)點電流方程，不便考慮節(jié)點電壓，所以，含耦合電含耦合電感的電路，如果不作去耦等效，多不采用節(jié)點電壓法。感的電路，如果不作去耦等效，多不采用節(jié)點電壓法。1. 計算方法計算方法方法方法1 1：方程分析法：方程分析法 方法方法2 2：等效電路分析法：等效電路分析法直接對去耦等效電路再用方程法，包括戴維南等效電路分析。直接對去耦等效電路再用方程法，包括戴維南等效電路分析。36列寫下圖電路的回路電流方程。列寫下圖電路的回路電流方程。例例

33、1MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1SUIIMjILjILjR )()(3231111 213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i113132222)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjILjILjICjLjLj 解解37例例2 2求圖示電路的開路電壓求圖示電路的開路電壓。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R1)2()( 313113123123131311231120MLLjRUMMMLjILjIMjIMjIMjUSc 解法解法1 1 )2(131311 SUIMLLjR

34、對于左邊回路列對于左邊回路列寫寫KVLKVL方程。其中方程。其中由于右端開路，由于右端開路，只有左邊回路中只有左邊回路中有電流，所以有電流，所以L L1 1和和 L L3 3等效于反接等效于反接串聯(lián)，于是有串聯(lián)，于是有解出解出38對于對于具有公共端接具有公共端接的的多個耦合電感多個耦合電感構(gòu)成的線性電路，可以構(gòu)成的線性電路，可以按照兩耦合線圈的去耦原則，采用按照兩耦合線圈的去耦原則，采用兩兩分別去耦等效兩兩分別去耦等效的方的方法法畫出其去耦等效電路。畫出其去耦等效電路。M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M2

35、3 +M13 L3+M12M23 M13 解解法法2 2L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13等效等效先去耦先去耦M M1212等效等效再去耦再去耦M M2323最后去耦最后去耦M13等效等效39L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(133111 MLLjRUIS將最終去耦等效電路連接上外部電路，可得出完整等效電路為將最終去耦等效電路連接上外部電路，可得出完整等效電路為在等效電路中求出電流在等效電路中求出電流I1為為再求出開路電壓再求出開路電壓Uoc為為ScUMLLjRMMMLjIMM

36、MLjU)2()( )(133111323123113231230408.5 空芯變壓器空芯變壓器*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX 變壓器一般是由兩個或兩個以上有磁場耦合的線圈構(gòu)成的。其變壓器一般是由兩個或兩個以上有磁場耦合的線圈構(gòu)成的。其中的線圈可以分為中的線圈可以分為兩類兩類，端接電源的線圈稱為原邊線圈或初級線圈，端接電源的線圈稱為原邊線圈或初級線圈，接向負載的線圈則稱為副邊線圈或次級線圈。變壓器就是利用磁場接向負載的線圈則稱為副邊線圈或次級線圈。變壓器就是利用磁場耦合實現(xiàn)從電源或一個電路向另一個負載電路傳輸能量或信號。耦合實現(xiàn)從電源或一個電路向另一個負載電

37、路傳輸能量或信號。就就有有無鐵芯而言無鐵芯而言，變壓器可以分為，變壓器可以分為鐵芯變壓器鐵芯變壓器和和空芯變壓器空芯變壓器兩種。所兩種。所謂鐵芯變壓器是指以鐵磁性物質(zhì)作為芯子的變壓器，一般說來，這謂鐵芯變壓器是指以鐵磁性物質(zhì)作為芯子的變壓器，一般說來，這種變壓器的電磁特性是非線性的，而所謂空芯變壓器則是指以空氣種變壓器的電磁特性是非線性的，而所謂空芯變壓器則是指以空氣或其他任何非或其他任何非鐵磁性物質(zhì)作為芯子的變壓器，這種變壓器的電磁特鐵磁性物質(zhì)作為芯子的變壓器，這種變壓器的電磁特性是線性的，故也稱為線性變壓器性是線性的，故也稱為線性變壓器。1.空芯變壓器的電路模型空芯變壓器的電路模型原邊回路

38、原邊回路副邊回路副邊回路空芯變壓空芯變壓器的相量器的相量模型模型以耦合電以耦合電感作為線感作為線性變壓器性變壓器的電路模的電路模型：型：412. 分析方法分析方法（1）方程分析法方程分析法*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j-) j( UIMILR 0)j(j2221 IZLRIM令令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)= R22+jX22以圖中兩個電流以圖中兩個電流I1 和和I2作為作為回路電流列寫方程回路電流列寫方程：S2111 j- UIMIZ 0j2221 IZIM 解以上兩個方程得到解以上兩個方程得到42 SS1

39、21122 = ()inUUIMZZZ222111Sin)( ZMZIUZ 1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 其中輸入阻抗其中輸入阻抗Z Zinin：2212j ZIMI 或者在上式中引入原邊電流或者在上式中引入原邊電流I1，將副邊電流將副邊電流I2表示為表示為43（2）等效電路分析法等效電路分析法1 I+S UZ11222)(ZM原邊等效電路原邊等效電路2 I+oc UZ22112)(ZM副邊等效電路副邊等效電路22212222222222222211222222222222()j jjrefrefrefM MZZRX M MRXRXRXRX副邊等

40、效電源為副邊等效電源為11Soc jZUMU111Soc jIMjZUMU根據(jù)上面推導(dǎo)出的電路方程可以作出根據(jù)上面推導(dǎo)出的電路方程可以作出空心變壓器的原副邊等效電路如下空心變壓器的原副邊等效電路如下引入副邊對于原邊的反射阻抗引入副邊對于原邊的反射阻抗Z Zref1ref1：4422221222222ref M RRRX22122222222ref MXXRX 222222in11in11當當I = 0, Z =I = 0, Z =, , 即即當當副副邊邊開開路路, , 有有 Z= ZZ= Z反射電阻：反射電阻：其中負號反映了反射電抗與副邊電抗的性質(zhì)相反。其中負號反映了反射電抗與副邊電抗的性質(zhì)相

41、反。反射電阻恒為正反射電阻恒為正 ,表示副邊回路吸收的功率是靠原邊供給的。表示副邊回路吸收的功率是靠原邊供給的。反射電抗反射電抗：原邊對副邊的反射阻抗原邊對副邊的反射阻抗Zref2 ：2211()refMZZ111Soc jIMjZUMU從副邊等效電路圖可知，從副邊等效電路圖可知，副邊開路時，原邊電流在副邊產(chǎn)生的副邊開路時，原邊電流在副邊產(chǎn)生的互感電壓互感電壓U UOCOC為為2 I+oc UZ22112)(ZM副邊等效電路副邊等效電路45反射阻抗反映了副邊回路對原邊回路的影響。從物理意反射阻抗反映了副邊回路對原邊回路的影響。從物理意義講，雖然原副邊沒有電的聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的義講，雖

42、然原副邊沒有電的聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的副邊產(chǎn)生電流，反過來這個電流又影響原邊的電流、電壓。副邊產(chǎn)生電流，反過來這個電流又影響原邊的電流、電壓。從能量角度來說從能量角度來說 : :電源發(fā)出有功功率電源發(fā)出有功功率 P= I12(R1+Rref1)I12R1 消耗在原邊消耗在原邊；I12Rref1 消耗在副邊，由互感傳輸消耗在副邊，由互感傳輸。121222222222222122222122222)(refRIRXRRMIRZMIIRP副邊消耗的功率可以說明如下：副邊消耗的功率可以說明如下：由此證明，次級回路消耗的功率與反射電阻由此證明，次級回路消耗的功率與反射電阻Rref1在初級等效電路在

43、初級等效電路中消耗的功率是相同的。中消耗的功率是相同的。46另外，利用戴維南定理可以求得空心變壓器副邊的等效電路另外，利用戴維南定理可以求得空心變壓器副邊的等效電路 。（3） 去耦等效法分析去耦等效法分析 對于空心變壓器這種用對于空心變壓器這種用互感元件來表示的電路，可以采用去互感元件來表示的電路，可以采用去耦等效電路，變?yōu)闊o互感的電路，再進行分析。耦等效電路，變?yōu)闊o互感的電路，再進行分析。47已知已知 US=20 V , 原邊反射阻抗原邊反射阻抗 Zref1=10j10 。求求: ZX 并求負載獲得的有功功率并求負載獲得的有功功率.101010j422221jZZMZXref 8 . 9 j

44、2 . 010200)1010(41010104 jjjjZX此時負載獲得的功率此時負載獲得的功率： W10101010202121）（refRIP W104 , *2S111RUPZZref實際是最佳匹配實際是最佳匹配：解：解：* *j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX例例1解解+S U10+j10 Zref1=10j10 原邊原邊等效電路等效電路48L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o sU。求 , :21II應(yīng)用原邊等效電路應(yīng)用原邊等效電路.jj41130201

45、111 LRZ .j851808422222jLRRZL 8188422)1 .24(3 .4621 .2411.46146o22221.-jZXZMref1 I+S UZ11222)(ZM 例例2*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL解法解法149A)9 .64(111. 08 .1884224 .1130200115o111S1jjZZUIref應(yīng)用副邊等效電路：應(yīng)用副邊等效電路：VjjLjRUMjIMjUSOC085.144 .1130200115146 111 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZM解法解法22 I+oc U

46、Z22112)(ZMAjjUZMZUIOCOC0353. 008.42085.14 85.1808.4285.18112222AZIMI0353. 0j 2212 AMIZI9 .64111. 0j2221而50例例3全耦合互感電路如圖，求電路初級端全耦合互感電路如圖，求電路初級端abab間的等效阻抗。間的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解法解法1111 jLZ 222 jLZ 222221)(LMjZMZref)1 ()1 ( 212121221111kLjLLMLjLMjLjZZZrefab解法解法2畫出去耦等效電路畫出去耦等效電路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )( )

47、/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab 51例例4L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01 F , 問：問：R R2 2= =？它能吸收最大？它能吸收最大功率功率, , 并求最大功率。并求最大功率。V 010o sU解解1 10)1 j(11111CLRZ 222222)1 j(RCLRZ 22221400)(RZMZref 10 106 6rad/s,* *j L1j L2j M+S UR1C2R2C1 100 21LL 1001121CC 20 M 應(yīng)用原邊等效電路應(yīng)用原邊等效電路+S U10 2

48、400R當當211140010RZZref即即R2=40 時吸收最大功率時吸收最大功率WP5 . 2)104(102max 52解解2應(yīng)用副邊等效電路應(yīng)用副邊等效電路4010400)(1122ZMZref+oc UR240)(112 ZM VjjZUMjUSOC2010102011 當當4022RZref時吸收最大功率時吸收最大功率WP5 . 2)404(202max 53解解例例5*uS(t)Z100 CL1L2MttuCMLScos2100)(,201120 2，已知問問Z Z為何值時其上獲得最大為何值時其上獲得最大功率，求出最大功率。功率，求出最大功率。（1 1）判定互感線圈的）判定互感

49、線圈的同名端。同名端。j L1 R + SUIMZ*j L2 1/j C 54（2 2）作去耦等效電路）作去耦等效電路j100 j20 j20 100 j( L1-20) 00100 j100 100 j( L1-20) 00100 j L1 R + SUIMZ*j L2 1/j C 等效等效等效等效55j100 100 j( L1-20) 00100 uocj100 100 j( L1-20) ZeqVjjjUjUSoc045250100100100100100100100 5050100100jjZeq/ 5050*jZZeqWRUPeqoc25504)250(42max 對圖示電路應(yīng)用等

50、效原理，將感抗對圖示電路應(yīng)用等效原理，將感抗j(wLj(wL1 1-20)-20)用與其并聯(lián)的用與其并聯(lián)的電壓源代替，再用分壓公式可得電壓源代替，再用分壓公式可得568.6 理想變壓器理想變壓器 121LLMk 1.理想變壓器的條件理想變壓器的條件 理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想化科學(xué)抽象，可以視為是極限情況下的耦合電感。理想化科學(xué)抽象，可以視為是極限情況下的耦合電感。（2 2）全耦合全耦合（1 1）無損耗無損耗繞制線圈的金屬導(dǎo)線無任何電阻，或者說，繞制線圈的金屬導(dǎo)線無任何電阻，或者說，繞制線圈的金屬導(dǎo)線的導(dǎo)電率繞制線圈

51、的金屬導(dǎo)線的導(dǎo)電率 。（3 3）參數(shù)無窮大參數(shù)無窮大1,2,1 21212,1, N NLLkMLLL Ln由于故但為常數(shù) 以上三個條件在工程實際中永遠不可能滿足，但在實際制造以上三個條件在工程實際中永遠不可能滿足，但在實際制造變壓器時，可以通過合理選材和改進工藝，盡可能地接近或者近變壓器時，可以通過合理選材和改進工藝，盡可能地接近或者近似滿足上述條件，從而在誤差允許的范圍內(nèi)，把實際變壓器當作似滿足上述條件，從而在誤差允許的范圍內(nèi)，把實際變壓器當作理想變壓器處理，可使計算過程簡化。理想變壓器處理，可使計算過程簡化。 制造芯子的鐵磁材料具有超導(dǎo)磁性即其導(dǎo)磁率 。57 i1122N1N211222

52、. .理想變壓器的特性理想變壓器的特性（1）變壓關(guān)系變壓關(guān)系*n:1+_u1+_u2理想變壓器電路模型理想變壓器電路模型11 111 1211112NNN222222122221NNN12221 k2111由于全耦合：由于全耦合： 所以有所以有 1111221NN2222112NN上式中上式中 稱為主磁通，即穿越初級線圈，同稱為主磁通，即穿越初級線圈，同時也時也穿越次級線圈。顯而易見，如穿越次級線圈。顯而易見，如果兩個電流，從異名端流入，則，果兩個電流，從異名端流入，則，主磁通將變?yōu)橹鞔磐▽⒆優(yōu)?8dtdNdtdu 111 dtdNdtdu 222 nNNuu 2121nNNuu 2121*n

53、:1+_u1+_u2理想變壓器電路模型理想變壓器電路模型11222211 或主磁通通過初、次級線圈分別產(chǎn)生感應(yīng)電壓主磁通通過初、次級線圈分別產(chǎn)生感應(yīng)電壓*n:1+_u1+_u2理想變壓器電路模型理想變壓器電路模型若理想變壓器模型中的電壓若理想變壓器模型中的電壓u u1 1、u u2 2一個相對同名端為一個相對同名端為“，另，另一個相對同名端為一個相對同名端為“”，則有：，則有：59（2）變流關(guān)系變流關(guān)系dtdiMdtdiLu2111 112201111( )( )( )( )tMMi tudi ti tLLL考慮到考慮到MM21和和L1的定義以及理想化條件的定義以及理想化條件k=1( 02 2

54、12 11211121 111 11111111 NNMiiNMNNLLNnii)(1)(21tinti i1*L1L2+_u1+_u2i2Mn:1理想變壓器的電路模型理想變壓器的電路模型1L 1200,00,ii設(shè)則于是得到于是得到2111）,可得可得60)(1)(21tinti 若在理想變壓器模型中，設(shè)定電流若在理想變壓器模型中，設(shè)定電流i1、i2一個從同名端流入，一個一個從同名端流入，一個從異名端流入，則有：從異名端流入，則有：結(jié)論結(jié)論（1 1）在進行變壓關(guān)系計算時，選用以上兩個）在進行變壓關(guān)系計算時，選用以上兩個變壓變壓關(guān)系式中的哪關(guān)系式中的哪一個只取決于兩電壓的參考方向的正負極性與同

55、名端的相對位一個只取決于兩電壓的參考方向的正負極性與同名端的相對位置，而與初、次級線圈上電流的參考方向置，而與初、次級線圈上電流的參考方向如何設(shè)定如何設(shè)定無關(guān)；無關(guān)；(2)(2)在進行變流關(guān)系計算時，選用以上兩個變流關(guān)系式中的哪一在進行變流關(guān)系計算時，選用以上兩個變流關(guān)系式中的哪一個只取決于兩電流的參考方向的流向與同名端的相對位置，而個只取決于兩電流的參考方向的流向與同名端的相對位置，而與初、次級線圈上電壓的參考方向如何設(shè)定無關(guān)；與初、次級線圈上電壓的參考方向如何設(shè)定無關(guān)；i1*L1L2+_u1+_u2i2Mn:1理想變壓器的電路模型理想變壓器的電路模型61（3）變阻抗關(guān)系變阻抗關(guān)系22122

56、122 ()1/inUnUUZnn ZIn II*1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z（1 1）理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)只改變阻抗的大小，不改變理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)只改變阻抗的大小，不改變 阻抗的性質(zhì)。阻抗的性質(zhì)。（2 2）理想變壓器的阻抗等效變換性質(zhì)與電流、電壓的參考方理想變壓器的阻抗等效變換性質(zhì)與電流、電壓的參考方 向以及同名端的位置無關(guān)。向以及同名端的位置無關(guān)。注注意意62（2 2）理想變壓器的電氣特性方程為代數(shù)關(guān)系，因此它是無記憶）理想變壓器的電氣特性方程為代數(shù)關(guān)系，因此它是無記憶 的四端元件。的四端元件。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i

57、2+u2121 12 21 1111()0pppu iu iu iunin （1 1）理想變壓器既不儲能，也不耗能，在電路中只起著傳遞信號）理想變壓器既不儲能，也不耗能，在電路中只起著傳遞信號 和能量的作用。和能量的作用。（4）功率性質(zhì)功率性質(zhì)結(jié)論結(jié)論理想變壓器吸收的功率為其兩個端口吸收的功率和：理想變壓器吸收的功率為其兩個端口吸收的功率和：即有即有12pp 吸收能量發(fā)出能量63例例1 1在下圖的電路中，已知電源內(nèi)阻在下圖的電路中，已知電源內(nèi)阻R RS S=1k=1k ，負載電阻，負載電阻R RL L=10=10 。為使。為使R RL L上獲得最大功率，求理想變壓器的變比上獲得最大功率，求理想

58、變壓器的變比n n。n2RL+uSRS當當 n2RL=RS時匹配，時匹配，即即 10n2=1000 n2=100， n=10 .* *n : 1RL+uSRS應(yīng)用變阻應(yīng)用變阻抗性質(zhì)抗性質(zhì)解解首先利用理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)，首先利用理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)，將副邊阻抗變換到原邊，從而成為一個將副邊阻抗變換到原邊，從而成為一個戴維南等效電路問題：戴維南等效電路問題：64例例2 21 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 2.U 在在圖圖示示電電路路中中求求 10121UU 2110II o110101 UI2250 IU對以上四個方程求解可得對以上四個方程求解可得V033

59、.33o2 U技巧：技巧：（1 1）若列寫）若列寫KVLKVL方程，方程，先將理想變壓器視為獨立電壓先將理想變壓器視為獨立電壓源列出方程，其電壓大小即為源列出方程，其電壓大小即為理想變壓器的兩個端電壓變量，理想變壓器的兩個端電壓變量，再補充理想變壓器的再補充理想變壓器的兩兩個特性個特性方程方程；（；（2 2）若列寫若列寫KCLKCL方程，方程，則先將理想變壓器視為獨立電則先將理想變壓器視為獨立電流源列出方程，其電流大小即流源列出方程，其電流大小即為理想變壓器的兩個端電流變?yōu)槔硐胱儔浩鞯膬蓚€端電流變量，再補充理想變壓器的量，再補充理想變壓器的兩兩個個特性方程特性方程；對電路中左右兩個回路對電路中

60、左右兩個回路列寫列寫KVL方程可得方程可得補充理想變壓器的兩個補充理想變壓器的兩個特性方程又得：特性方程又得：解解方法方法1：方程法：方程法65方法方法2：利用阻抗變換等效電路：利用阻抗變換等效電路oc21So1010 100 0 VUUUU211S0, 0 IIUU1 I2150)101(2 +1 U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 101o112 UUnU方法方法3：采用戴維南等效電路：采用戴維南等效電路1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1 oc:U（1） 求66（2）求）求Req：Req=102 1=100 （3）在戴維